2012年山东高考理科数学试题含答案(1)
2012年山东省高考数学试题(附答案和解释)(理科Word版)
2012年山东省高考数学试题（附答案和解释）（理科Word版）2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V= Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）•P（B）。
第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析： .答案选A。
另解：设，则根据复数相等可知，解得，于是。
2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA） B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 解析：。
答案选C。
3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数”等价于；q：“函数g(x)=(2-a) 在R 上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学山东卷(理科)
数学山东卷(理科)一、选择题1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i2．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}3．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．155．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]6．执行下面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45 C.74 D.348．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 0129．函数y ＝cos 6x 2x －2－x的图像大致为( )10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝111．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．48412．设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0二、填空题13．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 14.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．15．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．三、解答题17．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域． 18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．19．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .20．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .21．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M 的横坐标为2，直线l ：y ＝kx ＋14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k ≤2时，|AB |2＋|DE |2的最小值．22．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.答案 数学山东卷(理科)一、选择题1．解析：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.故选A.答案：A2．解析：因为∁U A ＝{0,4}，所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}． 答案：C3．解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．答案：A4．解析：从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人． 答案：C 5．解析：作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图像可知当直线经过点E (2,0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3×2－0＝6，当直线经过C 点时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－32，所以z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．答案：A6．解析：当a ＝4时，第一次P ＝0＋40＝1，Q ＝3，n ＝1，第二次P ＝1＋41＝5，Q ＝7，n ＝2，第三次P ＝5＋42＝21，Q ＝15，n ＝3，此时P ≤Q 不成立，输出n ＝3.答案：B7．解析：因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.答案：D8．解析：由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.答案：B9．解析：函数为奇函数，所以其图像关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x ＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为(π12，0)，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x >0，cos 6x >0，所以函数y ＝cos 6x2x －2－x>0，排除B.答案：D10．解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(25b ，25b )，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：D11．解析：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C 14×C 14×C 14＝64种，若2张同色，则有C 23×C 12×C 24×C 14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，剩余2张同色，则有C 14×C 13×C 24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．答案：C 12．解析：不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图像，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图像上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图像上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0.答案：B 二、填空题13．解析：由|kx －4|≤2可得2≤kx ≤6，所以1≤k 2x ≤3，所以k2＝1，故k ＝2.答案：214.解析：因为E 点在线段AA 1上，所以S △DED 1＝12×1×1＝12，又因为F 点在线段B 1C上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以VD 1－EDF ＝VF －DED 1＝13×S △DED 1×h＝13×12×1＝16. 答案：1615．解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.答案：4916．解析：因为圆心移动的距离为2，所以劣弧P A ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB＝1－cos 2，所以OP ―→＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2) 三、解答题17．解：(1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]，故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．18.解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，AD ⊥BD ， 又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)法一：连接AC ，由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设CB ＝1， 则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)，所以x ＝3y ＝3z ， 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．所以二面角F －BD －C 的余弦值为55.法二：取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD ， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ， 故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角． 在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°， 因此CG ＝12CB ，又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos ∠FGC ＝55， 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 19．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性得 P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D ) ＝34×(1－23)×(1－23)＋(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23 ＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P (X ＝0)＝P (B C D ) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝(1－34)×(1－23)×(1－23)＝136. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D ) ＝34×(1－23)×(1－23)＝112. P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D ) ＝34×23×(1－23)＋34×(1－23)×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝(1－34)×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.20．解：(1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ， 则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45， 故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ， 则9m ＋8<9n <92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.21．解：(1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p4上，因为抛物线C的准线方程为y ＝－p 2，所以3p 4＝34，即p ＝1，因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)假设存在点M (x 0，x 202)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22)′|x ＝x 0＝x 0， 所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)．令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0，所以Q (x 02＋14x 0，14)．又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116，因此(14－x 202)2＝916，又x 0>0， 所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .(3)当x 0＝2时，由(2)得Q (528，14)， ⊙Q 的半径为r ＝(528)2＋(14)2＝368， 所以⊙Q 的方程为(x －528)2＋(y －14)2＝2732. 由⎩⎨⎧ y ＝12x 2，y ＝kx ＋14，整理得2x 2－4kx －1＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由于Δ1＝16k 2＋8>0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－12， 所以|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(4k 2＋2)．由⎩⎨⎧ (x －528)2＋(y －14)2＝2732，y ＝kx ＋14， 整理得(1＋k 2)x 2－524x －116＝0. 设D ，E 两点的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，由于Δ2＝k 24＋278>0， x 3＋x 4＝524(1＋k 2)，x 3x 4＝－116(1＋k 2). 所以|DE |2＝(1＋k 2)[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝258(1＋k 2)＋14. 因此|AB |2＋|DE |2＝(1＋k 2)(4k 2＋2)＋258(1＋k 2)＋14. 令1＋k 2＝t ，由于12≤k ≤2，则54≤t ≤5， 所以|AB |2＋|DE |2＝t (4t －2)＋258t ＋14＝4t 2－2t ＋258t ＋14， 设g (t )＝4t 2－2t ＋258t ＋14，t ∈[54，5]， 因为g ′(t )＝8t －2－258t2， 所以当t ∈[54，5]，g ′(t )≥g ′(54)＝6，即函数g (t )在t ∈[54，5]是增函数，所以当t ＝54时，g (t )取到最小值132，因此当k ＝12时，|AB |2＋|DE |2取到最小值132. 22．解：(1)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)证明：因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e xx ＋1(1＋e －2)． 由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)， 所以h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)，因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． 所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2， 故1－x －x ln x ≤1＋e －2. 设φ(x )＝e x －(x ＋1)．因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x －(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1. 所以1－x －x ln x ≤1＋e －2<e xx ＋1(1＋e －2)． 因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2.。
2012年高考真题——理科数学(山东卷)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件,A B 独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i -- 【解析】i ii i i i ii z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=。
故选A 。
【答案】A（2）已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C. 【答案】C（3）设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数，则有10<<a 。
2012年山东省高考数学试卷(理科)
2012年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）（2012•山东）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z 为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（5.00分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}3．（5.00分）（2012•山东）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5.00分）（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．155．（5.00分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．6．（5.00分）（2012•山东）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n 的值为（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5.00分）（2012•山东）若θ∈[，]，sin2θ=，则sinθ=（）A．B．C．D．8．（5.00分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．20129．（5.00分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5.00分）（2012•山东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=111．（5.00分）（2012•山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．48412．（5.00分）（2012•山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4.00分）（2012•山东）若不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=．14．（4.00分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．15．（4.00分）（2012•山东）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．16．（4.00分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（12.00分）（2012•山东）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．18．（12.00分）（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．19．（12.00分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．20．（12.00分）（2012•山东）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．21．（13.00分）（2012•山东）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py （p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．22．（13.00分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2012年山东省高考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．D；3．A；4．C；5．A；6．C；7．D；8．B；9．D；10．D；11．C；12．B；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．2；14．；15．；16．（2﹣sin2，1﹣cos2）；三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．；18．；19．；20．；21．；22．；。
2012年高考数学山东省理科试题详细解答包括选择填空
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.若复数z 满足()2-=11+7z i i （i 为虚数单位），则z 为 （A ）3+5i (B) 3-5i (C) -3+5i (D) -3-5i()()()()11+72+11+715+25====3+52-2-2+5i i i i z i i i i ，故选Ａ2.已知全集{}=0,1,2,3,4U ，集合{}{}=1,2,3,=2,4A B ，则()U C A B 为 （A ）{}1,2,4 (B) {}2,3,3 (C) {}0,2,4 (D) {}0,2,3,4{}(){}=0,4,=0,2,4U U C A C A B ，故选Ｃ3.设>0a 且1a ≠，则“函数 ()=x f x a 在R 上是减函数”是“函数()()3=2-g x a x 在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件()=x f x a 在R 上是减函数0<<1a ⇒1<2-<2a ⇒()()3=2-g x a x ⇒函数在R 上是增函数，而函数()()3=2-g x a x 在R 上是增函数只需<2a 即可，又>0a 且1a ≠，所以0<<21a a ≠且，故选Ａ4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 (B) 9 (C)10 (D)15抽取３２人，可将９６０人分成３２组，每组３０人，由于第一组抽取的是９号，所以第ｋ组抽取的人的号码为()=9+30-1=30-21k a k k ，令45130-217k k N ≤≤∈，解得236257,15.725.7,1625,*1510k k k k N ≤≤∴≤≤∴≤≤∈，所以共有１０人，故选Ｃ 5. 已知变量,x y 满足约束条件+222+44--1x y x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则目标函数=3-z x y 的取值范围是（A ）3-,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）3-,-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）[]-1,6 （D ）3-6,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦区域如所示，()()12,0,,3,0,12C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而目标函数对应直线为=3-y x z ，当直线过Ｃ时，max =6z ，当直线过点Ｄ时，3=-2min z ，故选Ａ 6.执行右面的程序框图，如果输入=4a ，那么输出的n 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 当=0n 时，=1,=3,n=1P Q 当=1n 时，=5,=7,n=2P Q当=2n 时，=21,=15,n=3P Q ，此时>P Q ，输出=3n ，故选Ｂ7若,,sin 2=428ππθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则. sin =θ (A)35 (B) 45(C) (D) 341,,2,,cos2sin 2cos2=-4228πππθθπθθθ⎡⎤⎡⎤∈∴∈∴⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又21-cos 293sin==,,,sin =216424θππθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选D8.定义在R 上的函数()f x 满足()()+6=f x f x .当-3<-1x ≤时，()()2=-+2f x x ；当-1<3x ≤时，()=f x x .则()()()1+2++2012=f f f(A) 335 (B) 338 (C)1678 (D) 2012()()+6=f x f x ，周期为６，只需弄清楚()()()()()()1,2,3,4,5,6f f f f f f 即可，由已知()()()()()()()()()()1=1,2=2,3=-3=-1,4=-2=0,5=-1=-1,6=0=0f f f f f f f f f f ，所以６个一组得１，共３３５组，还余下两个分别等于()()1=1,2=2,f f 所以()()()1+2++2012=f f f 338，故选Ｂ 9.函数-cos 6=2-2x xxy 的图象大致为=cos6y x 为偶函数，-=2-2x x y 为奇函数，所以-cos 6=2-2x xxy 为奇函数，故可排除Ａ，又当>0x 时，-4-12-2=>02x xxx 恒成立，所以只需研究=cos6y x 的值，当0<<12x π时，=cos 6y x 的值为正，-cos 6=2-2x xxy 值也为正，故可排除Ｂ，而且已知=cos6y x 的值不可能在某一个自变量之后恒为正，故可排除Ｃ，故选Ｄ10. 已知椭圆()2222:+=1>>0x y C a b a b 双曲线22-=1x y 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22+=182x y （B ）22+=1126x y （C ）22+=1164x y （D ）22+=1205x y 双曲线22-=1x y 的渐近线的方程为=y x ±，设直线=y x 与椭圆在第一象限的交点坐标为()()000,>0x x x ，且由已知2004=16=2x x ∴，代入椭圆方程有2244+=1a b ，又=2c a ，解得 22=20,=5a b ，方程为22+=1205x y ，故选Ｄ11现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中人取3张，要求3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 (A)232 (B)252 (C)472 (D)484３种颜色为()33144=256C C ；２种颜色，有红色为121344=72C C C ，无红色为21213244=144C C C C ，所有方法数位４７２，故选Ｃ 12.设函数()()()21=,=+,,0f x g x ax bx a b R a x∈≠.若()=y f x 的图像与()=y g x 的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y 则下列判断正确的是 (A)当<0a 时，1212+<0,+>0x x y y (B) 当<0a 时，1212+>0,+<0x x y y (C) 当>0a 时，1212+<0,+<0x x y y (D) 当>0a 时，1212+>0,+>0x x y y 若()=y f x 的图像与()=y g x 的图像有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，即方程()21=+0ax bx a x ≠有两个不同的实根，即32+-1=0ax bx x有两个不同的实根，即32+-1=0ax bx 有两个不等于0的不等实根，又0a ≠，即321+-=0b x x a a有两个不等于0的不等实根，由于是三次形式，说明必有一个二重根，不妨令1x 为二重根，所以有()()232121--=+-b x x x x x x a a ，即()()32223212112121+2+++2+=+-b x x x x x x x x x x x x a a对应系数相等得()()()1221122122+=1+2=021=-3b x x a x x x x x a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，又120,0x x ≠≠，由（2）得12=-2x x ，代入（3）得321=4a x ，而此时1221221+=-,+=2x x x y y x ，当>0a 时，2>0x 所以1212+<0,+>0x x y y 当<0a 时，2<0x 所以1212+>0,+<0x x y y ，故选B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.若不等式·-42kx ≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数=k .-42-2-4226kx kx kx ≤⇔≤≤⇔≤≤，易知0k ≠，若>0k 得，26=2x k k k≤≤∴，<0k 显然不成立，所以=2k14. 如图，正方体1111-ABCD A BC D 的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1-D EDF 的体积为 .11--111==1=326D EDF F EDD V V ⨯⨯，所以1615设>0a，若曲线y =,=0x a y 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ___________由已知33222022===33a xa a ⎰解得4=9a16.如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP的坐标为____________圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于()2,1时，点P 转过的弧长为2，中心角为2弧度，如图所示，''=2,PO'F=2-2PO A π∠∴∠令(),P x y ，则=2-cos 2-=2-sin 22x π⎛⎫⎪⎝⎭， =1+sin 2-=1-cos 22y π⎛⎫⎪⎝⎭，所以OP 的坐标为()2-sin 2,1-cos2三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）已知向量()()=sin ,1,=cos ,cos 2>02A m x n x x A ⎫⎪⎭，函数()=f x m n 的最大值为6，（1）求A（2）将函数()=y f x 的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()=y g x 的图像，求()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. ()1=sin cos +cos 2sin 2+cos 2=sin 2+226A f x m n x x x A x A x A x π⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）函数()=f x m n的最大值为6，所以=6A（2）由已知()=6sin 4+3g x x π⎛⎫⎪⎝⎭，570,,4+,24336x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()[]-3,6g x ∈ 18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,=60,AB CD DAB ∠︒ ,FC ABCD ⊥平面 ,==AE BD CB CD CF ⊥（1）求证：BD AED ⊥平面 （2）求二面角--F BD C 的余弦值19.（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.20.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，3455++=84,=73a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9n n 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m项的和m S21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，F 是抛物线()2:=2>0C x py p 的焦点，M 是抛物线Ｃ上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线Ｃ的准线的距离为34。
2012年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则3．（5分）（2012•山东）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）34．（5分）（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，5．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的B（6．（5分）（2012•山东）执行程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）7．（5分）（2012•山东）若，，则sinθ=（）B解：因为=﹣，，=8．（5分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=9．（5分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）．B．D．，﹣y=10．（5分）（2012•山东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程+=1 B+=1 +=1 +=1+=1．利用：=1+=111．（5分）（2012•山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种种取法，由此可得结论．种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有故所求的取法共有﹣﹣12．（5分）（2012•山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正是奇函数，所以二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）（2012•山东）若不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=2．，14．（4分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．为顶点，则=，=××S故答案为：15．（4分）（2012•山东）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．==．故答案为：．16．（4分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．=，即为向量的坐标．=﹣﹣的坐标为（三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（12分）（2012•山东）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标倍，纵坐标不变，得到函数，•（2x+））的图象向左平移个单位后得到，）]2x+倍，4x+）的图象．因此4x+，==时函数取得最小值﹣]18．（12分）（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．，﹣，=，﹣，，的一个法向量为，则••x=z=，=，＞==CG==CGFGC=的余弦值为19．（12分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．+，A=BB）（（）））））×））﹣×）﹣﹣×）﹣））×﹣）（（﹣××﹣﹣﹣×BC）B=××﹣）×=）××=×××+1×+2×+3×+4×+5×=20．（12分）（2012•山东）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．，由可求公差可得==9≤21．（13分）（2012•山东）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．y=）时，）上，﹣）=得，=时，由（Ⅱ）的）r=的方程为，整理得（，==．⇒2t+2t+﹣t）t t=，k=的最小值为22．（13分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g （x）＜1+e﹣2．，（=（，（（＜＞（精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
2012年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(2i)117i z -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i --2. 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为 （ ）A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}3. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）A. 7B. 9C. 10D. 15 5. 已知变量x ，y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≥则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）A. 3[,6]2- B. 3[,1]2-- C. [1,6]-D. 3[6,]2-6. 执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若ππ[,]42θ∈，sin 2θ=sin θ= （ ）A.35B. 45C.D.348. 定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x --≤＜时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤＜时，()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（ ）A. 335B. 338C. 1 678D. 2 012 9. 函数cos622x xxy -=-的图象大致为（ ）ABD10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 （ ）A. 22182x y +=B. 221126x y +=C. 221164x y +=D.221205x y += 11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）A. 232B. 252C. 472D. 48412. 设函数1()f x x=，2()(,,0)g x ax bx a b a =+∈≠R ，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是（ ）A. 当0a <时，120x x +<，120y y +>B. 当0a <时，120x x +>，120y y +<C. 当0a >时，120x x +<，120yy +<D. 当0a >时，120x x +>，120y y +>姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共39页）数学试卷 第5页（共39页）数学试卷 第6页（共39页）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 若不等式|4|2kx -≤的解集为{|13}x x ≤≤，则实数k =_________.14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为_________.15. 设0a >.若曲线y 与直线x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a =_________.16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)x =m，cos ,cos2)(0)3Ax x A =>n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5π[0,]24上的值域.18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值.19.（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .20.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M，直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当122k ≤≤时，22|AB||DE|+的最小值.22.（本小题满分13分） 已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.{0,2,4}A B=A B．又可知，0,a>并不单调递减，故而“函数3 / 13【解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，5 / 1312412C 264=数学试卷 第16页（共39页）不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，(2OP=-∠=PCD2, OP=-，即(27 / 133cos==m n A的图像向左平移60，CBCD CB DAB-∠3CDcos(180=60，3BD==，故AD AE A3BD=，建立如图所示的空间直角坐标系，数学试卷第22页（共39页）9 / 13，向量(0,0,1)n =为平面设向量(,,m x y=0,0m BD m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 1，则x =，则(3,1m =为平面BDF 的一个法向量．1,5m n m n m n〈〉===，而二面角F BD C --的余弦值为5（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，确定法向量(0,0,1)n =和(3,1m =12311127C 4343336⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 121113111121.(1),(2)C ,433643124339P X P X ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22123121121321C (4),(5),4333439433P X P X ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0 1 234数学试卷 第28页（共39页）210919m +=，可求公差11 / 1322818k k -=+数学试卷第34页（共39页）13 / 13。
12年高考真题——理科数学(山东卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）参考公式：⑴锥体的体积公式：V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；⑵若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+；若事件,A B 独立，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --2．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则U A B ð为（ ）（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,43．设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）155．已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ） （A ）[]32,6-（B ）[]32,1-- （C ）[]1,6- （D ） []6,32-6．执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=（ ）（A ）35 （B ）45（C （D ）348．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，()()22f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
2012年全国高考数学山东卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科综合第Ⅰ卷（必做，共87分）一、选择题（本题包括13小题，每小题只有一个选项符合题意） 7. 下列与化学概念有关的说法正确的是A. 化合反应均为氧化还原反应B.金属氧化物均为碱性氧化物C.催化剂能改变可逆反应达到平衡的时间D.石油是混合物，其分馏产品汽油为纯净物8. 下列与含氯化合物有关的说法正确的是 A.是弱酸，所以是弱电解质B.向沸水中逐滴加入少量FeCl 3饱和溶液，可制得Fe(OH)3胶体C.溶液和溶液均通过离子导电，所以和均是离子化合物D.电解溶液得到22.4L （标准状况），理论上需要转移N A 个电子（N A 阿伏伽德罗常数）9. 下列关于原子结构、元素性质的说法正确的是 A 非金属元素组成的化合物中只含共价键 B. ⅠA 金属元素是同周期中金属性最强的元素 C. 同种元素的原子均有相同的质子数和中子数D. ⅦA 族元素的阴离子还原性越强，其最高价氧化物对应水化物的酸性越强 10.下列与有机物的结构、性质有关的叙述正确的是 A.苯、油脂均不能使酸性KMnO 4溶液褪色B.甲烷和cl 2的反应与乙烯和的反应属于同一类型的反应C.葡萄糖、果糖的分子式均为，二者互为同分异构体D.乙醇、乙酸均能与反应放出,二者分子中官能团相同11.下列实验操作正确的是A.中和滴定实验时，用待测液润洗锥形瓶B.盛放NaOH 溶液时，使用带玻璃塞的磨口瓶C.用苯萃取溴水中的溴时，将溴的苯溶液从分液漏斗下口放出D.溶液蒸发结晶时，蒸发皿中有晶体析出并剩余少量液体即停止加热 12.下列由相关实验现象所推出的结论正确的是A. cl 2、so 2均能使品红溶液褪色，说明二者均有氧化性B. 向溶液中滴加酸化的溶液出现白色沉淀，说明该溶液中一定有-24SO C.Fe 与稀HNO 3稀H 2SO 4反应均有气泡产生，说明Fe 与两种酸均发生置换反应D.分别充满、的烧瓶倒置于水中后液面均迅速上升，说明二者均易溶于水13.下列与金属腐蚀有关的说法正确的是A. 图a 中，插入海水中的铁棒，越靠近底端腐蚀越严重B. 图b 中，开关由M 改置于N 时，n Z C u -合金的腐蚀速率减小HClO NaClO HCl NaCl HCl NaCl NaCl 2H 2Br 6126C H O Na 2H NaCl 32()Ba NO HCL 3NHC. 图c中，接通开关时Zn腐蚀速率增大，Zn上放出气体的速率也增大D. 图d中，Zn - MnO2干电池自放电腐蚀主要是由MnO2的氧化作用引起的二、选择题（本题包括7小题，每小题给出四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）28. （12分）工业上由黄铜矿（主要成分CuFeS2）冶炼铜的主要流程如下：（1）气体A中的大气污染物可选用下列试剂中的吸收。
2012年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式： 锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
2012年山东高考数学真题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：锥体的体积公式：V=Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）〃P （B ）。
第I 卷（共60分）一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A。
另解：设),(R b a bi a z Î+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ） B 为A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
答案选C 。
3 设a ＞0 a 0 a≠≠1 ，则“函数f(x)= a x在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 3x 在R 上是增函数”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析：p ：“函数f(x)= a x 在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数g(x)=(2-a) 3x 在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件. 答案选A 。
2012年山东高考理科数学试题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ） B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
答案选C 。
3 设a ＞0 a ≠1 ，则“函数f(x)= a x 在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 3x 在R 上是增函数”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析：p ：“函数f(x)= a x 在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数g(x)=(2-a) 3x 在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件. 答案选A 。
（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）15解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即30=l ，第k 组的号码为930)1(+-k ，令750930)1(451≤+-≤k ，而z k ∈2516≤≤k 的整数k 有10个，故答案应选C 。
2012年高考数学试卷 山东理
2012年高考山东卷（理）选择题1.若复数z 满足(2i)117i z -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）.（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i -- 2.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为（ ）. （A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4 3.设01a a >≠且，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）.（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）155.设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）.（A ）3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）[]1,6- （D ）36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.执行下面的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）.（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57.若42θππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（ ）.（A ）35 （B ）45 （C ）4（D ）34 8.定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=.当31x -≤<-时，()()22f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =.则()()()()1232012f f f f ++++=（ ）.（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012 9.函数cos 622x xxy -=-的图象大致为（ ）.10.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）.（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）. （A ）232 （B ）252 （C ）472 （D ）484 12.设函数()1f x x=，()2g x ax bx =+(),,0a b a ∈≠R .若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列判断正确的是（ ）. （A ）当0a <时，12120,0x x y y +<+> （B ）当0a <时，12120,0x x y y +>+< （C ）当0a >时，12120,0x x y y +<+< （D ）当0a >时，12120,0x x y y +>+> 填空题13.若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.14.如下图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 分别为线段1AA ，1BC 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.15.设0a >.若曲线y 与直线x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a =______. 16.如下图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP 的坐标为______________.参考答案 选择题 1.A提示：方法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 2i 22i 117i a b a b b a +-=++-=+.根据复数相等的充要条件可知211,27,a b b a +=⎧⎨-=⎩解得3,5,a b =⎧⎨=⎩于是35i z =+.方法二：()()()117i 2i 2271411i117i 35i 2i 55z ++-+++====+-. 2.C提示：因为{}0,4,U A =ð所以(){}0,2,4U A B ⋃=ð. 3.A提示：“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”等价于10<<a ； “函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且1a ≠，所以“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”是“函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”的充分不必要条件.4.C提示：从960中用系统抽样抽取32人，则每30人抽取一人.因为第一组号码为9，则第二组为39，公差为30，所以通项为()93013021n a n n =+-=-.由7502130451≤-≤n ，即11715251510n ≤≤，所以16,17,,25n =，共有1011625=+-人.5. A提示：作出可行域，如下图，作出平行于直线03=-y x 的一族直线，易知直线过点()2,0时有最大值，过点1,32⎛⎫⎪⎝⎭时有最小值，即623≤≤-z ．6.B提示：第一次循环后，0041,213P Q =+==+=，1n =； 第二次循环后，1145,617P Q =+==+=，2n =； 第三次循环后，25421,14115P Q =+==+=，3n =． 此时不满足条件，退出循环. 7.D提示：由42θππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，可得2,2θπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.所以812sin 12cos 2-=--=θθ，从而4322cos 1sin =-=θθ. 8.B提示：因为函数()f x 的周期为6，且2)2(,1)1(,0)0(,1)1(,0)2(,1)3(===-=-=--=-f f f f f f ，所以()()()122012f f f +++=()()()33510101212f f ⨯-+-+++++=3353338+=.9.D提示：令()cos 622x x x f x -=-，则()()cos 622x xxf x f x --==--，即()f x 为奇函数. 当0→x ，且0>x 时，()f x →+∞；当0→x ，且0<x 时，()f x →-∞；当x →+∞时，22x x--→+∞，()0f x →；当x →-∞时，22x x --→-∞，()0f x →.10.D提示：因为双曲线221x y -=的渐近线方程为x y ±=，代入()222210x y a b a b+=>>，可得22222a b x a b=+.又四边形的面积2416S x ==，所以()22224a b a b =+.又椭圆C 的离心率为，可得2a b =，则425b b =，于是225,20b a ==．故椭圆方程为221205x y +=. 11.C提示：方法一： 3321164412161514C 4C C C 1672560884726⨯⨯--=--=-=； 方法二： 0331241244121211101211C C 3C C C 1242202641247262⨯⨯⨯-+=-+⨯=+-=. 12.B提示：令bx ax x+=21，则()3210ax bx x =+≠.设()32F x ax bx =+，()232F x ax bx '=+.令()2320F x ax bx '=+=，得23bx a=-，要使()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点，只需函数()F x 的图象与直线1y =有且仅有两个公共点，即322221333b b b F a b a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得32427b a =，于是可取2,3a b =±=来研究，当2,3a b ==时，32231x x +=，解得1211,2x x =-=，此时121,2y y =-=，所以12120,0x x y y +<+>；当2,3a b =-=时，32231x x -+=，解得1211,2x x ==-，此时121,2y y ==-，所以12120,0x x y y +>+<.填空题 13.2提示：由42kx -≤，得242kx -≤-≤，即26kx ≤≤.又不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，所以2k =.14.16提示： 11111111326D EDF F D DE V V --==⨯⨯⨯⨯=.15.49提示：3322202233aa S x x a a ====⎰，解得49a =.16. ()2sin 2,1cos2--提示：根据题意，圆的半径为1，圆滚动的距离为2，如下图，点P 在圆上旋转的弧度数为221=，即2PCD ∠=，所以圆心位于()2,1时，点P 的横坐标为2cos 22sin 22P x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，纵坐标为1sin 21cos 2,2P y π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭从而()2sin 2,1cos2.OP =--【解答题】【1】．已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A x x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5π[0,]24上的值域．【2】．在如下图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60,DAB ∠=FC ⊥平面,ABCD AE BD ⊥，CB CD CF ==． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值．【3】．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ． 【4】．在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．【5】．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x py =(0)p >的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点?M 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M 1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22||||AB DE +的最小值．【6】．已知函数ln ()e xx k f x +=（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()(+)()g x x x f x '=，()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.【参考答案】 【1】．解：（Ⅰ）1π()sin cos +cos2=2+cos2)=sin (2+)226A f x x x x A x x A x =m n g ．因为0A >，所以由题意知6A =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()6sin(2+)6f x x =.将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位后得到πππ=6sin[2(+)+]=6sin(2+)1263y x x的图象；再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到π=6sin(4+)3y x的图象．因此π()=6sin(4+)3g x x . 因为5π[0,]24x ∈，所以ππ7π4+[,]336x ∈. 故()g x 在区间5π[0,]上的值域为[3,6]-.【2】．（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=， 所以120ADC BCD ∠=∠=． 又CB CD =，所以 30CDB ∠=. 因此90ADB ∠=，AD BD ⊥. 又AE BD ⊥，且AE AD A =，,AE AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .（Ⅱ）解法一：由（I ）知AD BD ⊥，所以AC BC ⊥，又FC ⊥平面ABCD ，因此,,CA CB CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直线为x 轴、y 轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设1CB =，则(0,0,0)C ，(0,1,0)B ，1(,,0)2D -，(0,0,1)F ，因此33(,,0)2BD =-，(0,1,1)BF =-．设平面BDF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则0BD =⋅m ，0BF=⋅m ，所以x =.取1z =，则(=m ．又平面BDC 的法向量为(0,0,1)=n ，所以cos ,||||<>===⋅m n m n m n所以二面角F BD C -- 解法二：取BD 的中点G ，连结,CG FG ，由于CB CD =，所以CG BD ⊥． 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC BD ⊥． 由于FCCG C =，,FC CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG ，故BD FG ⊥．所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角．在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=，因此12CG CB =，又CB CF =， 所以GF ，故cos FGC ∠=.因此 二面角F BD C --的余弦值为． 【3】．解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A ；“该射手射击甲靶命中”为事件B ；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，3()4P B =，2()()3P C P D ==，由于A BCD BCD BCD =++，根据事件的独立性与互斥性，得()()()()()P A P BCD BCD BCD P BCD P BCD P BCD =++=++333222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)433433433=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯736=.（Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5． 根据事件的独立性和互斥性，得3221(0)()(1)(1)(1)43336P X P BCD ===-⨯-⨯-=，3221(1)()(1)(1)P X P BCD ===⨯-⨯-=， 3221(2)()()(1)(1)24339P X P BCD P BCD ==+=-⨯⨯-⨯=，3221(3)()()(1)24333P X P BCD P BCD ==+=⨯⨯-⨯=， 3221(4)()(1)4339P X P BCD ===-⨯⨯=，3221(5)()4333P X P BCD ===⨯⨯=，故X 的分布列为所以111111410123453612939312EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【4】．解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个等差数列，所以3454384a a a a ++==，即428a =．设数列{}n a 的公差为d ，则945==7328=45d a a --，故=9d .由41+3=a a d ，得128=+39a ⨯，即1=1a . 所以*1=+(1)=1+9(1)=9()n a a n d n n n ∈N ---8. （Ⅱ）对*m ∈N ，若 299m m n a <<，则 298998m m n +<<+，因此 121919m m n --+≤≤，故得2-1-1=99m m m b -． 于是32-1-112+++==(9+9++9)(1+9++9)m m m m S b b b -=9(181)19m m ⨯---2+199+1=80m m ⨯-10. 【5】．解：（Ⅰ）依题意知(0,)p F ，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线py =上，因为抛物线C 的准线方程为2p y =-，所以33=44p ，即1p =.因此抛物线C 的方程为2=2x y .（Ⅱ）假设存在点0(M x ，2)2x 0(>0)x 满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为2==0|=()|=2x x x x x y x ''，因此直线MQ 的方程为2000=()2x y x x x --. 令1=4y ，得00124Q x x x =+，所以001(24x Q x +，1)4.又||=||QM OQ ，故2222000001111()+()=(+)+42424216x x x x x --，因此22019()=x -. 又0>0x，所以0xM .故存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .（Ⅲ）当点MQ 1)4，圆Q的半径r 圆心Q 到直线1=+4y kx的距离为|d 所以2222222|272527+2|=4()=4[]=3232(1+)8(1+)k k DE r d k k --.由2=2,1=+,4x y y kx ⎧⎪⎨⎪⎩得212=02x kx --.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有1212+=2,1=.2x x k x x ⎧⎪⎨⎪⎩-所以222221212||(1)[()4](1)(42)AB k x x x x k k =++-=++.于是22222422222792511||||(1)(42)46(2)4828(1)1k AB DE k k k k k k k ++=+++=+++≤≤++⋅. 记292511()46(4)4814f x x x x x =+++≤≤+⋅，则225125()=8+6>6>0f x x '∙--，所以()f x 在区间1[4，4]上是增函数. 所以当14x=时，()f x 取得最小值min 131()()42f x f ==.故当12k=时，22||||AB DE +取得最小值132. 【6】．解：（Ⅰ）由ln ()e x x k f x +=得1ln ()e xx x xkf x x --'=，(0,+)x ∈∞. 由于曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，所以1(1)0ekf -'==，因此1k =. （Ⅱ）由（Ⅰ）得1ln ()e xx x xf x x --'=，(0,+)x ∈∞，记()1ln 0h x x x x x =∈∞--,(,+)， 所以，当(0,1)x ∈时，()0h x >； 当(1,+)x ∈∞时，()0h x <.又e >0x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,+)x ∈∞时，()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. （Ⅲ）因为2()(+)()g x x x f x '=，所以+1()(1ln ),(0,+)ex x g x x x x x =∈∞--， 因此对任意20,()1e x g x -><+等价于-2e 1ln <(1+e )+1xx x x x --.由（Ⅱ）知，()1ln 0h x x x x x =∈∞--,(,+)，所以()ln ln ln 0h x x x x '=∈∞-2--2=-(-e ),(,+)，因此当2(0,e )x ∈-时，()>0h x '，函数()h x 单调递增； 当2(e ,+)x ∈∞-时，()<0h x '，函数()h x 单调递减. 所以函数()h x 的最大值为-2-2(e )=1+e h . 故-21--ln 1+e x x ≤. 记()=e (+1)x x x ϕ-.因为()=e 1=e x x x ϕ'0--e ，所以(0,+)x ∈∞时，()>0x ϕ'，函数()x ϕ单调递增，()>(0)=0x ϕϕ.故(0,+)x ∈∞时，()=e (+1)>0xx x ϕ-，即e >1+1xx .所以-2-2e 1--ln 1+e <(1+e )+1x x x x ≤.因此对任意20,()1e x g x -><+. 【End 】。
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绝密★启用并使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各科目指定区域内相应位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：椎体的体积公式：V =31Sh ,其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高.如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A 、B 独立，那么P (AB )=P (A )•P (B ).第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若复数z 满足z (2－i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（A ）3+5i （B ）3－5i （C ）－3+5i （D ）－3－5i（2） 已知全集 ={}4,3,2,1,0，集合A ={}3,2,1, B ={}2,4,则()B A C U 为（A ）{}4,2,1 （B ）{}4,3,2 （C ）{}4,2,0 （D ）{}4,3,2,0（3）设a >0且a ≠1, 则“函数f (x )=a x在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2－a )x 3在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4） 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为(A ) 7 (B )9 (C )10 (D )15（5）实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+--+2 ≥21 ≥44≤2y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的取值范围是(A )[23-,6] (B )[123--,] (C )[61,-] (D )[236,-](6)执行右面的程序框图，如果输入a =4.那么输出的n 的值为 (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D ) 5(7)若θ∈[24ππ,],sin 2θ=873,则sin θ=(A )53 (B )54 (C )47(D )43(8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ).当-3≤x ＜-1时，f (x )= -(x +2)2.当-1≤x ＜3时，f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+ … +f (2012)=(A )335 (B ) 338 (C )1678 (D ) 2012(9)函数xx xcos y --=226的图像大致为((10)已知椭圆C :12222=+b y a x （a >b >0）的离心率为23.双曲线122=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为(A )12822=+y x (B )161222=+y x (C )141622=+x x (D )152022=+y x (11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法种数为 (A ) 232 (B )252 (C )472 (D )484 (12)设函数f （x ）=x1,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0).若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A （x 1 ,y 1）B （x 2 ,y 2）,则下列判断正确的是 (A )当a ＜0时，x 1+x 2＜0,y 1+y 2＞0 (B )当a ＜0时，x 1+x 2＞0,y 1+y 2＜0(C )当a ＞0时，x 1+x 2＜0,y 1+y 2＜0 (D )当a ＞0时，x 1+x 2＞0,y 1+y 2＞0第Ⅱ卷(共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）若不等式4-kx ≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k =_________. （14）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ,F 分别为线段AA 1，B 1C上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为_____________.（15）设a ＞0.若曲线x y =与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =____________.（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0 ,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2,1）时，OP 的坐标为_____________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）（本小题满分12分）已知向量m =(sin x ,1),n =(x cos Ax cos A 223,)(A ＞0），函数n m x f ⋅=)(的最大值为6.)(x f y = (Ⅰ)求A .(Ⅱ)将函数)(x f y =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标短 为原来的21倍,纵坐标不变,得到函数)(x g y =的图象.求)(x g 在[245,0π]上的值域.(18)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形, AB ∥CD ,∠DAB =︒60,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF .(Ⅰ).求证: BD ⊥平面AED .(Ⅱ)求二面角F -BD -C 的余弦值.(19)（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为43，命中得1分，没命中得0分.向乙靶射击两次，每次命中的概率为32,每命中一次得2分，没命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .A 1 EABC C 1D D 1B 1FEFACD(20)（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中,a 3+a 4+a 5=84,a 9=73.. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式.(Ⅱ)对任意+∈N m ,将数列{}n a 中落入区间)9,9(2mm 内的项的个数记为b m ,求数列{}m b 的前m 项和S m .(21)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C : )0(22＞p py x =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ,F ,O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为43. (Ⅰ)求抛物线C 方程;(Ⅱ)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切与点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若点M 的横坐标为2,直线l :41+=kx y 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,l 与圆Q 有两个不同的交点D ,E ,求当21≤k ≤2时，22DE AB +的最小值. (22)（本小题满分13分）已知函数xkx x f e ln )(+=（k 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值.(Ⅱ)求)(x f 的单调区间.(Ⅲ)设g (x )=(x 2+x )f '(x )，其中f '(x )为f (x )的导函数.证明：对任意x ＞0,2e 1)(-+＜x g .。
2012山东高考数学（理科）及答案
2012年山东省高考压轴卷年山东省高考压轴卷数学数学 (理科) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．参考公式：1.如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =×2.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率:()(1)(0,10,1,2,,2,,)k kn k n n P k C pp k n -=-= . 3.独立性检验附表：2()P K k ³ 0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.828第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U R =，集合1{|()2}2xA x =³和2{|lg(1)}B y y x ==+，则=B A C U )(A ．{|1x x £-或0}x ³B ．{(,)|1,0}x y x y £-³C ．{|0}x x ³D ．{|1}x x >-2. 已知复数13z i =+和21z i =-，其中i 是虚数单位，则复数121z z +的虚部为A ．2B ．2iC ．32 D ．32i3. “1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4. 某调查机构对某地区小学学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟，有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是320，则平均每天做作业的时间在0～60分钟（包括60分钟）内的学生的频率是A ．680 B ．320C ．0.68 D ．0.325. 已知4sin()5a p +=-，且a 是第二象限的角，那么tan()4pa +等于 A ．17- B ．17C ．7D ．7-6. 设 m n 、是不同的两条直线，a 、b 、g 是不同的三个平面，有以下四个命题 ①g b g a b a //////Þþýü；②b a b a ^Þþýü^m m //；③b a b a ^Þþýü^//m m ；④a a ////m n n m ÞþýüÌ；其中正确的命题是Ａ．①④ Ｂ．②③Ｃ．①③ Ｄ．②④7. 通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表: 由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，算得22110(40302020)7.860506050K ´´-´=»´´´参照独立性检验附表，得到的正确结论是A ．有99%的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”]pp p p p632252 5025032523]333; 2______________若1()2nxx-的展开式中所有项的系数和是132，则展开式的第三项系数是_______;、证明过程或演算平面直角坐标系中，]p平面问题：是等比数列，并求数列2 -A235222)22)22t t2)22p2)p p p]p5pp p p)pp22)2p )))x1 2 3 P2764 2764 964 164(()x0 1 2 3P2764 2764964164连结因为DAE D 为等边三角形，所以DH AE^因为平面DAE ^平面ABCE所以DH ^平面ABCE ，AC Ì平面ABCE所以AC DH ^…………………………2分 因为ABCE 为平行四边形，CE BC a == 所以,ABCE 为菱形，AC BE ^因为H F 、分别为AE 、AB 中点，所以//HF BE 所以AC HF ^………………………4分因为HF Ì平面DHF ，DH Ì平面DHF ，且HF DH H = 所以AC ^平面DHF ，又DF Ì平面DHF所以DF AC ^……………………6分 （Ⅱ）连结,BH EB 由题意得三角形ABE 为等边三角形所以，BH AE ^由（Ⅰ）知DH ^底面ABCE以H 为原点，分别以,,HA HB HD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则333(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)2222a A B a D a C a a -所以，33(0,,)22BD a a =- ，(,0,0)BC a =- 设面DCB 的法向量为(,,)m x y z =，则033022ax ay az -=ìïí-+=ïî 不妨设(0,1(0,1,1),1)m = …………………………………8分设面DAB 的法向量(,,)n x y z ¢¢¢= ，又3(,0,)22a DA a =- 则300x z y z 좢-=ïí¢¢-=ïî，取33(1,,)33n = ……………………10分1015nnn3)的切线方程35x(0,)a a(,1)a1(1,)+¥'y+0-0+y 极大值 极小值22))11--0,2-,2-2+22)22(++=221+=2)2(+22)22(++=2<-=221(2)2+=+2,32<--)614,32±-③若FN MF =，即22)22(y x ++221y +=解得0=x ，12-<-=x （显然不符合条件，舍去） 此时所以满足条件的点N 的坐标为)22,0(±………………13分 综上，存在点N )614,32(±-或)22,0(±，使得FMN D 为等腰三角形……………14分。
2012年山东高考数学理科试卷(带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足z (2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 ( ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】给出含复数z 的一个等式，化简求复数z . 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】117i (117i)(2i)227(1411)i35i 2i 55z +++-++====+-.答案选A. 另解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则(i)(2i)2(2)i 117i a b a b b a +-=++-=+,根据复数相等可知211,27a b b a +=-=，解得3,5a b ==，于是35i z =+.2.已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合A ={1,2,3,}，B ={2,4} ，则U A B ð为 ( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}【测量目标】集合间的关系，集合的基本运算.【考查方式】给出三个集合，考查它们之间补集与并集. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，{}{}0,4,0,2,4U U A A B == 故而痧,故而选择答案C. 3．设a ＞0 ，a ≠1 ，则“函数f (x )= a x 在R 上是减函数 ”，是“函数g (x )=(2-a )3x 在R 上是增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个命题，判断它们之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由题意可知，()f x 在R 上单调递减，故而01a <<,所以20a ->,故()g x 在R 上单调递增，（步骤1）反之，由于()g x 在R 上单调递增，可知20a ->⇒2,a <0,02a a ><< 又可知，， （步骤2）当1a =时，()1f x =，函数()f x 并不单调递减，故而“函数f (x )= a 3在R 上是减函数 ”，是“函数g (x )=(2-a ) 3x 在R 上是增函数”的 充分不必要条件，答案选A.（步骤3） 4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ． B.9 C.10 D.15 【测量目标】系统抽样.【考查方式】构造数学模型，利用系统抽样解决问题. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即30l =，（步骤1）第k 组的号码为451(1)309750k -⨯+剟，令451(1)309750k -⨯+剟，而k ∈Z ，解得1625k 剟，（步骤2）则满足1625k 剟的整数k 有10个，故答案应选C.（步骤3）5.设变量x ，y 满足约束条件2224,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩………则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.[]1,6- D.36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出二元不等式组，画出可行域求目标函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，第5题图 （步骤1）而目标函数可以看做3y x z =-，截距最小时z 值最大，当截距最大时z 值最小，根据条件242220x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，故当目目标函数过()2,0时，取到z 的最大，max 6z =，（步骤2）由1412243x y x x y y ⎧-=-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩，当目标函数经过1,32⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取到最小值，min 32z =-，故而答案为A.（步骤3）6．执行下面的程序图，如果输入a =4，那么输出的n 的值为 （ ）第6题图A.2B.3C.4D.5 【测量目标】循环型程序框图.【考查方式】给出程序框图的输入值，求输出值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】00,041,213n p q ==+==+=；（步骤1）11,145,617n p q ==+==+=；（步骤2）22,5421,14115,3,n p q n p q ==+==+==>.（步骤3）答案应选B.7.若ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2θ=，则sin θ= ( ) A.35 B.45C.4D.34【测量目标】二倍角.【考查方式】给出一个角的取值范围及其二倍正弦值，求此角在范围内的正弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得π2,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 28θ==-，3sin 4θ==，答案应选D.另解：由ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及sin 2θ=可得3sin cos 4θθ+====，（步骤1）而当ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时sin cos θθ>，结合选项即可得3sin ,cos 4θθ==答案应选D.（步骤2）8．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +6）=f （x ），当-3…x ＜-1时，f （x ）=22x -+（），当-1…x ＜3时，f （x ）=x .则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）= ( ) A.335 B.338 C.1678 D.2012【测量目标】函数的周期性.【考查方式】给出分段函数周期性及其解析式，求此函数一系列函数值的和. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据条件(6)f x f x +=（）可知函数是周期为6的周期函数，由因为当-3…x ＜-1时，f （x ）=2(2)x -+，当-1…x ＜3时，f （x ）=x 可知，(1)1,(2)2,f f ==22(3)(3)(32)1,(4)(2)(22)0,f f f f =-=--+=-=-=--+= (5)(1)1,(6)(0)0f f f f =-=-==，（步骤1）故而(1)+(2)(3)(4)(5)6=f f f f f f ++++（）1，故而f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=3351(1)(2)338f f ⨯++=（步骤2）故选B. 9.函数cos 622x xxy -=-的图象大致为 ( )A B C D 【测量目标】三角函数的图象.【考查方式】给出三角函数解析式判断其图象. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】函数cos6()22x x x f x -=-，cos 6()()22x xxf x f x --==--为奇函数，（步骤1） 当0x →，且0x >时()f x →+∞；当0x →，且0x <时()f x →-∞；（步骤2） 当x →+∞，22xx--→+∞，()0f x →；当x →-∞，22x x --→-∞，()0f x →.答案应选D.（步骤3）10.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ( )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出椭圆的离心率及与已知抛物线形成的位置关系，求椭圆方程. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】双曲线x ²-y ²＝1的渐近线方程为y x =±，（步骤1） 代入22221(0)x y a b a b +=>>可得222222,416a b x S x a b===+，则22224()a b a b =+，（步骤2）又由e =2a b =，则425b b =，于是225,20b a ==.椭圆方程为221205x y +=，答案应选D.（步骤3）11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ( ) A.232 B.252 C.472 D.484 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出数学模型利用排列组合判断取法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，抽取的三张卡可以分为两类，一类为不含红色的卡，一类是含一张红色的卡片，（步骤1）第一类的抽取法的种数为33124C 3C 208-=,第二类抽取法的种数为12412C C 264=,故而总的种数为208264472+=（步骤2） 12.设函数f （x ）=1x，g （x ）=ax 2+bx (,,0),a b a ∈≠R 若y =f (x )的图象与y =g (x )图象有且仅有两个不同的公共点A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),则下列判断正确的是 ( ) A.当a <0时，x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B.当a <0时, x 1+x 2>0, y 1+y 2<0 C.当a >0时，x 1+x 2<0, y 1+y 2<0 D.当a >0时，x 1+x 2>0, y 1+y 2>0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出含参量的两个函数解析式，讨论参量的不同取值，通过两图象的交点判断交点坐标的关系. 【难易程度】较难 【参考答案】B 【试题解析】令x1bx ax +=2，则321(0)ax bx x =+≠，（步骤1） 设32()F x ax bx =+，2()32.F x ax bx '=+令2()320F x ax bx '=+=，则23bx a=-，（步骤2）要使y =f (x )的图象与y =g (x )图象有且仅有两个不同的公共点只需32222()()()1333b b bF a b a a a-=-+-=，整理得32427b a =，于是可取2,3a b =±=来研究，（步骤3）当2,3a b ==时，32231x x +=，解得1211,2x x =-=，此时121,2y y =-=，此时12120,0x x y y +<+>；当2,3a b =-=时，32231x x -+=，解得1211,2x x ==-，此时121,2y y ==-，此时12120,0x x y y +>+<.答案应选B.（步骤4）另解：令()()f x g x =可得21ax b x =+.（步骤 1） 设21,y y ax b x '''==+ （步骤2）不妨设12x x <，结合图形可知， 当0a >时如右图，第12题图此时12x x >，即120,x x ->>此时122121110,x x y y x x +<=>-=-，即120y y +>；同理可由图形经过推理可得当0a <时12120,0x x y y +>+<.答案应选B.（步骤3）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．若不等式42kx -…的解集为{}|13x x剟，则实数k =__________.【测量目标】绝对值不等式.【考查方式】通过含参量的绝对值不等式的解集判断未知参量的值. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】4224226kx kx kx -⇔--⇔剟剟?，(步骤1)根据解集为{}13x x 剟，故而0k >，这是26x kk 剟故而2613k k==且得2k =（步骤2）另解：由题意可知1,3x x ==是42kx -=的两根，则42,342k k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得2k =.14．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为____________.第14题图【测量目标】立体几何空间几何体的体积.【考查方式】给出正方体的棱长，求正方体内几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】16【试题解析】由题意可知，11111111113326D EDF F D ED D ED V V DC S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△ 15．设a ＞0.若曲线y =与直线x ＝a ，y =0所围成封闭图形的面积为a ，则a =______.【测量目标】微积分的应用.【考查方式】给出曲线与直线函数解析式，求图象所围成的面积. 【难易程度】中等 【参考答案】94【试题解析】33220229334a S x a a a ====⇒=⎰. 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2,1）时，OP的坐标为______________.第16题图【测量目标】弧度制.【考查方式】通过三角函数与向量知识，求平面点坐标的变化. 【难易程度】较难【参考答案】()2sin 2,1cos2--【试题解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转了221=弧度，此时点P 的坐标为π2cos(2)2sin 2,2π1sin(2)1cos 2,2(2sin 2,1cos 2)P P x y OP =--=-=+-=-=--另解1：根据题意可知滚动自圆心为（2,1）时的圆的参数方程为2cos ,1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩且3π2,22PCD θ∠==-，（步骤1） 则点P 的坐标为3π2cos(2)2sin 223π1sin(2)1cos 22x y ⎧=+-=-⎪⎪⎨⎪=+-=-⎪⎩，即(2sin 2,1cos2)OP =-- .（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知向量m =（sin x ，1）cos ,cos 2)(0)2Ax x A =>n ，函数()f x = m n 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数y =f （x ）的图象向左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g （x ）的图象.求g （x ）在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【测量目标】向量的坐标运算，函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换.【考查方式】给出两向量，通过它们的乘积运算得三角函数关系式，讨论图象及值域. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）()cos sin cos 2sin 2cos 222A Af x x x x A x x ==+=+= m n πsin(2)6A x +，则6A =;（步骤1）（Ⅱ）函数y =f （x ）的图象向左平移π12个单位得到函数ππ6sin[2()]126y x =++的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数π()6sin(4)3g x x =+.（步骤2）当5π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7ππ14[,],sin(4)[,1],()[3,6]33632x x g x +∈+∈-∈-. 故函数g （x ）在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[3,6]-.（步骤3） 另解：由π()6sin(4)3g x x =+可得π()24cos(4)3g x x '=+，（步骤1） 令()0g x '=， 则ππ4π()32x k k +=+∈Z ，（步骤2） 而5π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π24x =，于是πππ5π7π(0)6sin()6sin 6,()6sin 33242246g g g ======-， 故3()6g x -剟，即函数g （x ）在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[3,6]-.（步骤3）18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB =60，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB =CD =CF .第18题图（Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F-BD-C 的余弦值.【测量目标】立体几何线面垂直及二面角.【考查方式】给出几何体中线线、线面关系，求证线面垂直及二面角的余弦值. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =60，CB =CD , 由余弦定理可知22222cos(180)3BD CD CB CD CB DAB CD =+--∠= ,即BD ==,（步骤1）在ABD △中，∠DAB =60，BD =，则ABD △为直角三角形，且AD DB ⊥.（步骤2）又AE ⊥BD ，AD ⊂平面AED ，AE ⊂平面AED ，且AD AE A = ，故BD ⊥平面AED ；（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC CB ⊥，设1CB =，则CA BD =,（步骤4）建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,0,1),(0,1,0),,0)2F B D -，向量(0,0,1)=n 为平面BDC 的一个法向量.（步骤5）设向量(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0BD FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ m m即30,20x y y z -=⎪-=⎩（步骤6） 取1y =，则1x z =，则,1)=m 为平面BDF 的一个法向量.（步骤7）cos ,〈〉===m n m n m n ，而二面角F -BD -C 的平面角为锐角，则 二面角F -BD -C（步骤8）第18题图19．（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX.【测量目标】简单的随机抽样，用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出数学模型，运用随机变量、分布列和数学期望求解事件概率及数学期望. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）212311127()C 4343336P =+=；（步骤1） （Ⅱ）0,1,2,3,4,5X =22121113111121(0)().(1)(),(2)C ,433643124339P X P X P X =========12223121121321(3)C .(4)(),(5)(),4333439433P X P X P X ========= （步骤2）EX =0×36+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3=31212=.（步骤3） 20.（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间（9m ，92m ）内的项的个数记为m b ，求数列{b m }的前m 项和S m .【测量目标】等差数列的通项及数列的前n 项和.【考查方式】给出等差数列几项的和及某一项的值，求等差数列的通项，并求新定义的数列m b 的前n 项和.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由a 3+a 4+a 5=84，9a =73可得44384,28,a a ==（步骤1） 而a 9=73，则94545,9d a a d =-==，14328271,a a d =-=-=于是1(1)998,n a n n =+-⨯=-即98n a n =-.（步骤2）（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，29989mmn <-<，则298998m mn +<<+，即121889999m m n --+<<+，（步骤3） 而*n ∈N ，由题意可知21199m m m b --=-，（步骤4）于是132101112999(999)m m m m S b b b --=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2121212129919999191091919191980880808m m m m m m m m++++-----++=-=-==--- ，即21919808m mm S ++=-.（步骤5） 21．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M l ：y =kx +14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当122k 剟时，22AB DE +的最小值.【测量目标】抛物线的简单几何性质，圆锥曲线中的探索性问题.【考查方式】给出含未知参量的抛物线方程及点线之间的位置关系，求抛物线方程，并探索点的存在问题和线段最短问题. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）F 抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F (0,)2p，（步骤1） 设M 200(,)(0)2x x x p>，(,)Q a b ，由题意可知4p b =，则点Q 到抛物线C 的准线的距离为3324244p p p b p +=+==，解得1p =，于是抛物线C 的方程为22x y =.（步骤2） （Ⅱ）假设存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，而001(0,),(0,0),(,)22x F O M x ，1(,),4Q a MQ OQ QF ==，（步骤3） 22220011()()2416x x a a -+-=+，300388x a x =-，（步骤4）由22x y =可得y x '=，200300142388x k x x x -==-，则42200013118842x x x -=-， 即420020x x +-=，解得01x =，点M 的坐标为1(1,)2.（步骤5）（Ⅲ）若点MM，1()4Q .（步骤6） 由2214x yy kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得21202x kx --=，（步骤7） 设1122(,),(,)A x y B x y ，222221212(1)[()4](1)(42)AB k x x x x k k =++-=++（步骤8）圆221213:(()82641632Q x y ++-=+=，D ==222223324[]3232(1)8(1)k k DE k k +=-=++，（步骤9） 于是22222232(1)(42)8(1)k AB DE k k k ++=++++，令251[,5]4k t +=∈ 2222222322111(1)(42)(42)428(1)884k t AB DE k k t t t t k t t +++=+++=-+=-+++，（步骤10）设211()4284g t t t t =-++，21()828g t t t'=--， 当5[,5]4t ∈时，21()8208g t t t '=-->，即当51,42t k ==时min 255111()424516441084g t =⨯-⨯++=⨯.故当12k =时，22min 1()410AB DE +=.（步骤11）22.(本小题满分13分) 已知函数f (x ) =ln e xx k+（k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y = f (x )在点（1，f (1)）处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求f (x )的单调区间；（Ⅲ）设g (x )=(x 2+x )()f x ',其中()f x '为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，2()1e g x -<+. 【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】给出含参量的函数解析式及函数图象上某点的切线，通过导数的应用求未知参量及函数单调区间. 【难易程度】较难【试题解析】由f (x ) = ln e x x k +可得1ln ()exk x x f x --'=，而(1)0f '=，即10e k -=，解得1k =；（步骤1）（Ⅱ）11ln ()e xx x f x --'=，令()0f x '=可得1x =，当()0,1x ∈时，1()1ln 0f x x x '=-->；当(1,)x ∈+∞时，1()1ln 0f x x x'=--<.于是()f x 在区间(0,1)内为增函数；在(1,)+∞内为减函数.（步骤2）（Ⅲ）22211ln 1()ln ()()e e x xxx x x x x g x x x ----+=+=，（步骤3） 当1x …时，22210,ln 0,0,e 0,()01e x x xx x g x --+>><+剠?.当01x <<时，要证222211ln 1()ln ()()1e e ex xxx x x x x g x x x -----+=+=<+. 只需证2221()ln e (1e )xx x x x ---+<+，然后构造函数即可证明.（步骤4）。