第二章3节

−∞
∞
其中 f ( x ) 为X的概率密度 .
(2) 利用公式计算
D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 .
证明
D( X ) = E {[ X − E ( X )]2 }
= E { X 2 − 2 XE ( X ) + [ E ( X )]2 } = E ( X 2 ) − 2 E ( X ) E ( X ) + [ E ( X )]2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = E ( X 2 ) − E 2 ( X ).
π π 2 = − 3π + 24 − − 2 4 16
4 2
2
= 20 − 2π 2 .
7、设F(x)是连续型随机变量 的分布函数， 、 是连续型随机变量X的分布函数 是连续型随机变量 的分布函数， 的概率密度， 而f(x)是X的概率密度，已知 和-X有相同的 是 的概率密度 已知X和 有相同的 分布函数， 分布函数，则（ C ）。
答案 : a = 12 , b = − 12 , c = 3
5.设E ( X ) = D( X ) = λ , 且E[( X − 1)( X − 2)] = 1, 则λ = _______ .
6、 设连续型随机变量 X 的概率密度为 、
π cos x , 0 ≤ x ≤ f ( x) = 2, 0, 其它 . 求随机变量 Y = X 2 的方差 D (Y ).
2
定理2: 若随机变量X的方差存在 的方差存在,则 定理 若随机变量 的方差存在 则Var(X)=0的充要条件 的充要条件 几乎处处为某个常数a,即 是X几乎处处为某个常数 即P(X=a)=1. 几乎处处为某个常数 证明: ⇐ 显然. 证明 "⇐" 显然
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"⇒" 令 Var ( X ) = 0 , 则对任意 n = 1, 2 , ⋯ , 有 ⇒
ET 2 = F (0 − 0) + 1 − F (0)
1 1-F(0)
F(0-0) F(0)-F(0-0)
4、设随机变量 X 的概率密度为 ax 2 + bx + c ,0 < x < 1 f ( x) = 0, 其它 并已知 E ( X ) = 0 .5 , D ( X ) = 0 .15 , 求 a , b , c .
2
说明:数学期望是随机变量取值的集中位置 说明 数学期望是随机变量取值的集中位置. 数学期望是随机变量取值的集中位置
5、切比雪夫不等式 、
定理 1 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) = µ , 方差 D ( X ) = σ 2 , 则对于任意正数 ε , 不等式 σ P{ X − µ ≥ ε} ≤ 2 ε 成立 .
a
x− µ f ( x) d x 2 ε
2
P{( X ,Y ) ∈ G} = ∫∫ f ( x, y)dxdy
G
1 ≤ 2 ε
1 2 ∫−∞ ( x − µ) f ( x ) d x = ε 2 σ . σ2 得 P{ X − µ ≥ ε} ≤ 2 . ε
2
∞
σ σ2 P{ X − µ ≥ ε} ≤ 2 ⇔ P{ X − µ < ε} ≥ 1 − 2 . ε ε
1 + x , − 1 ≤ x < 0, f ( x ) = 1 − x , 0 ≤ x < 1, 0, 其它. 求 D( X ).
0 1
解
E ( X ) = ∫ x (1 + x ) d x + ∫ x (1 − x ) d x
−1 0
= 0,
E ( X ) = ∫ x (1 + x ) d x + ∫ x 2 (1 − x ) d x
+∞
因而有 P (| X − EX |= 0) = 1, 即P ( X = EX ) = 1
例1、设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫 1/2 不等式估计 P {| X − E ( X ) |≥ 2 } ≤
1 D( X ) 解: P{| X − E ( X ) |≥ 2} ≤ 2 = 2 2
2 2
称 D( X ) 为标准差或均方差 , 记为 σ ( X ).
注意： 注意：Var(X)≥0
2. 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量X取 方差是一个常用来体现随机变量 取 值分散程度的量.如果 值大, 值分散程度的量 如果D(X)值大 表示 取 如果 值大 表示X 值分散程度大, E(X)的代表性差 而如果 的代表性差;而如果 值分散程度大 的代表性差 D(X) 值小 则表示 的取值比较集中 以 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好 作为随机变量的代表性好. 作为随机变量的代表性好
2 2 −1 0
0
1
1 = , 6
于是
D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 1 2 1 = −0 = . 6 6
2、 已知 E ( X ) = 3, D( X ) = 5, 求 E ( X + 2)2 . 、 解
E ( X + 2) 2 = E ( X 2 + 4 X + 4)
0.03 0.07 0.8 0.07 0.03
E(X)=E(Y)=0， ，
1. 方差的定义
设X是一个随机变量 , 若E {[ X − E ( X )]2 }存在, 则称E {[ X − E ( X ) ]2 } 为 X 的方差 , 记为 Var ( X )或 D( X ) 或 σ 2 ( X ), 即 D( X ) = σ ( X ) = E {[ X − E ( X )] }.
Var ( X ) 1 P {| X − EX |≥ } ≤ =0 1 2 n ( ) n
1 又因为 {| X − EX |> 0} = ∪ {| X − EX |≥ } n n =1 +∞ +∞ Var ( X ) 1 所以P{| X − EX |> 0} ≤ ∑ P (| X − EX |≥ ) ≤ ∑ =0 2 n (1 / n) n =1 n =1
3. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算 离散型随机变量的方差
D( X ) = E[( X − EX)2 ] = ∑[ xk − E( X )]2 pk ,
k=1
∞
其中 P{ X = xk } = pk , k = 1,2,⋯是 X 的分布律 .
连续型随机变量的方差
D( X) = ∫ [ x − E( X)]2 f ( x)d x,
则下列各等式中不正确的是( 则下列各等式中不正确的是 D ) ( A)ET = ET 3 ( B)ET = 1 − F (0) − F (0 − 0)
(C )ET 2 = ET 4
( D)DT = 1 − [F (0) − F (0 − 0)]
解: T 的分布律为
T P -1 0
ET = −F(0 − 0) + 1 − F(0)
0.975
的方差存在， 例 3、设随机变量 X 的方差存在，并且满足 不等式 2 D P {| X − E ( X ) |≥ 3} ≤ , 则一定有 9
( A) D( X ) = 2 (C ) D( X ) ≠ 2 7 ( B ) P{| X − E ( X ) |< 3} < 9 7 ( D) P{| X − E ( X ) |< 3} ≥ 9
= E( X 2 ) + 4E( X ) + 4
= DX + ( EX ) 2 + 4 EX + 4
= 5 + 3 2 + 4 × 3 + 4= 30.
所以 E ( X + 2)2 = 30.
3、设随机变量 X 的分布函数为 − 1, X < 0 F ( x ), 令 T = 0 , X = 0 1, X > 0
( A)F ( x) = F (− x) (C ) f ( x) = f (− x)
( B )F ( x ) = − F ( − x ) ( D) f ( x) = − f (− x)
8、设 f ( x ) = E ( X − x ) , x ∈ R , 证明： 证明： 达到最小值。 当 x = E ( X )时， f ( x )达到最小值。
证明 取连续型随机变量的情况来证明. 取连续型随机变量的情况来证明
2
设 X 的概率密度为 f ( x ), 则有
P{ X ∈ G } =
∫
G
f ( x ) dx
b
P{ X − µ ≥ ε } = ∫
≤∫
x− µ ≥ε
x− µ ≥ε
f ( x) d x
P{a < X < b} = ∫ f ( x)dx
§2.3 随机变量的方差与标准差
乙两品牌手表，日走时误差分别为X和 引例 甲、乙两品牌手表，日走时误差分别为 和Y, 乙 的 偏 差 比 甲 大 得 多 P 0.1 0.2 0.4 ， 0.2 0.1 分 Y -2 -1 0 1 2 各分布律为： 各分布律为： X P -2 -1 0 1 2 甲 优 于 乙
= E {[aX + b − E (aX + b )]2 } 证明: 证明 D(aX+ b)
= E {[ aX + b − aE ( X ) − b ] }
2
= a E[( X − EX ) ] = a D( X ).
2 2
2
注: Var(CX)=C2Var(X)
练习
1、 设随机变量 X 具有概率密度 、
注: E( X 2 ) = DX +[E( X)]2 .
4. 方差的性质
(1) 设 C 是常数 则有 D(C ) = 0. 是常数,
2 2 证明: 证明 D(C ) = E (C ) − [ E (C )] = C 2 − C 2 = 0.
(2) 设 X 是一个随机变量 a,b 是常数 则 是一个随机变量, 是常数, 有 D(aX + b) = a 2 D( X ).
解
E( X ) = ∫ x 2 f ( x) d x
2 −∞
∞
=∫
π 2 0
∞
π2 2 x cos x d x = − 2, 4
E( X 4 ) = ∫ x4 f ( x) d x
−∞
= ∫ x 4 cos x d x
π 2 0
π4 2 = − 3π + 24, 16
因为 D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 , 所以 D( X 2 ) = E ( X 4 ) − [ E ( X 2 )]2
例 2、设随机变量 X的数学期望 EX = 100 , 方差 DX = 10 , 则由切比雪夫不等式估 计 P {80 < X < 120 } ≥ 0.975
解: P{80 < X < 120} = P{80 − 100 < X − 100 < 120 − 100} D( X ) = P {| X − 100 |< 20 } ≥ 1 − = 0 . 975 2 20 思考: 思考:若求 P { 80 < X < 125 } ≥