工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法讲解
结构可靠度计算
g
(U1*
,U
* 2
,L
,
U
* n
)
0
超切平面方程化简为
n
i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
2012
结构可靠度计算
13
Changsha University of Science & Technology
可靠指标的几何意义
U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。
在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点
在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取
线性项：
Z g X1 , X2 ,L , Xn
n g
i1 X i M
Xi Xi
则功能函数Z的平均值和标准差为
Z g X1 , X2 ,L , Xn
2
Z
n g i1 X i
M
Xi
2012
结构可靠度计算
3
Changsha University of Science & Technology
1、中心点法的优点 直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本
变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即 可计算可靠指标值；
若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合概率分
布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf 值大致在同
一个数量级内；
对正常使用极限状态尤为适用 ( ＝1～2)。
Z g(X1, X2, Xn)
X1, X 2 ,L X n 是表示影响结构可靠度因素的随机变量，
简称基本变量。
X1 , X1 , X2 , X2 ,L Xn , Xn 是基本变量的统计参数。 M (X1 , X2 ,L Xn ) 称为中心点。
结构可靠度设计验算点法介绍
结构可靠度设计验算点法介绍摘要：工程结构应要求具有一定的可靠性，才能保证结构在规定的使用期内能够满足设计要求的各项使用功能。
本文对设计验算点法进行了分类与总结, 同时分析了此计算方法的缺点。
关键字：结构可靠度计算方法缺点1 引言工程可靠度是结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。
是结构可靠性的概率度量[1]。
“规定时间”一般是指结构设计基准期，目前世界上大多数国家普通结构设计基准期均为50年。
设计基准期和设计使用年限是有区别的。
设计基准期是为确定可变作用及与时间有关的材料性能取值而选用的时间参数[2]。
所谓设计使用年限，是设计规定的结构或构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。
是借鉴了国际标准ISO2394：1998提出的，又称为服役期、服务期等。
“预定的功能”指结构在设计基准期内，经济合理的满足下列要求：1、在正常的施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用；2、在正常使用时具有良好的工作性能；3、在正常维护下具有足够的耐久性能；4、在设计规定的偶然时间发生时及发生后，人能保持必须的稳定性。
上述要求的第1、4项关系到人身安全问题，属于结构的安全性，第2项关系到结构的适用性；第3项关系到结构的耐久性。
安全性、适用性和耐久性总称为可靠性。
要注意安全性与可靠性的区别，可靠性的范围更大[3]。
我国结构可靠度理论的研究相对起步较晚。
1954年，大连工学院提出用数理统计学中的误差公式，计算各种荷载组合的总超载系数及构件的总匀质系数，代替各分项系数。
1960年又提出用数理统计法计算的安全系数与经验系数相结合，设计混凝土结构构件。
1978年，借鉴了JCSS编制的《结构统一标准规范的国际体系》，采用了水准Ⅱ的概率极限状态设计法，进行《建筑结构统一设计标准》的编制和研究。
1992年正式颁布了适用于全国的《工程结构可靠度设计统一标准》（GB50216—94）等6个统一标准。
在“统一标准”的指导下，对建筑、水利等各专业结构设计规范进行了大规模的修订或编制。
结构可靠度-可靠度分析方法
利用对数正态分布的特性------ ln X 服从正态分布，
可以推出：
X ' X * ln X
X ' X 1 ln X ln X
验算点法
用当量正态变量
X
' i
的统计参数
、 X
' i
X
' i
代替
Xi
的统计参数 Xi 、 Xi 后，关于正态变量计算 的
方法均可适用。
对于大多数的非正态随机变量，并不能由其概率
S
2 R
2 S
cosRˆ
R
2 R
2 S
R S p OˆP
2 R
2 S
可见：在坐标系 SˆOˆRˆ 中，极限状态直线的法线
OˆP 的长度恰好等于 。
验算点法
结构可靠指标 的几何意义：
------是标准正态坐标系中原点到极限状态直线的 最短距离。
设计验算点
法线的垂足 P点称为设计验算点。
基本思路： 当量正态化
非正态变量
正态变量
当量正态化条件：
设X为非正态连续型随机变量，在 X 处进行当量正态 化，即找一个正态随机变量 X ' ，使得在 X 处满足：
⑴、正态变量 X ' 的分布函数在 X 处的值 FX ' X 与 非正态变量 X 的分布函数在 X 处的值 FX X 相等；
可靠度计算方法
一次二阶矩法当基本状态变量Xi(i=1,2, ••；n)的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不 易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它 们的一阶原 点矩和 二阶中心 矩这两个特征参 数，近 似地计算 状态函数的均值 和方 差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order seco nd mome nt method)，包括中心点法和验 算点法。
中心点法中心点法［56］是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平 均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为的可靠度问题，可靠度指标为当随机变 量R 和S 服从正态分 布时，式可变为住 »R 一讥上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功 能函数Z =g x (X ! ,X 2, ,X n )其中：X 1,X 2, “;X n 为结构中的n 个相互独立的随 机变量，其平均值为 眾』X 2,X 「 标准差为61,62,…，二X n 。
将功能函数 在随机变量的平 均值处 展开泰勒 级数展 开，取一次项近似Z 、Z L 二 g X (「i 』2,…• 7 ^^(X i 「二xj i£ cX i函数的均值和方差分别为由中心点法 的可靠度指标的 定义，从而有氏 A Z g X (匕1，比2,…’i n )P = 从式和的推 导可以看出，中 心点法 使用了结 构功能函数的的一次泰勒级数展 开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称J Z 」Z 二EZ 二g x 宀；S ；n )上 .2匚 Z ；「Z L=E(Z L _ "Z n )2八 i ± x (") ° X i ：=X i i'2C X i£g x (4) ＜欣iJ Z为二阶矩模式。
中心点法的优点是显而易见的，即计算简便，不需要进行迭代求 解。
结构构件可靠度的计算方法讲解
X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为Xi
和 Xi 。
2. 功能函数的概率特征值
n
Z a0 ai Xi i 1
Z
n
2
ai Xi
i 1
3.1 均值一次二阶矩法
可靠指标：
n
Z
计算过程:
(1) 建立功能函数 a、按截面塑性弯矩极限状态
3.1 均值一次二阶矩法
Z1 Wf y M Wf y 128800（N·m）
b、材料屈服应力极限状态。
Z2
f
y
M W
fy
128800 W
（Pa）
(2)对功能函数在均值点进行线性化
Z1 fy W 128800 w ( f y fy ) fy (W W )
g
(
X
* 1
,
X
* 2
,L
,
X
* n
)
0
非正态随机变量的当量正态化
改进均值一次二阶法的不足
在极限状态曲面 g(X )寻 找0 验算点 P* ，x1*,并x2*在,...,此xn*基础上
进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，采用非正态 随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效概率的一种方 法，该方法简称验算点法，后被JCSS推荐使用，又称JC法。
– 随机变量由 X空间向 U 空间变换
X (X1, X 2,L , X n )
U (U1,U2 ,L ,Un )
– 功能函数由X空间向 U 空间变换 Z g( X ) g( X1, X 2 ,L , X n ) Zˆ G(U) G(U1,U2,L ,Un)
结构可靠度计算方法(一次二阶矩)
s o u t h w e s t j I a o t o n g w nIversIty
一、基本概念
西南交通大学
3 Southwest Jiaotong University
1、解决的问题
现代的结构可靠度理论是以概率论 和数理统计学为基础发展起来的，要解 决的中心问题是围绕着怎样描述和分析 可靠度，以及研究影响可靠度各基本变 量的概率模型。
➢对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区 内，而不在极限边界上；
➢选择不同极限状态方程（数学表达式不同， 同样物理含义），得到的可靠指标不同。例 如：p30例3-1。
▪ 适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求
不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限
状态的可靠度分析。
16
5、举例
[例题1] 设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互
1、验算点法（JC法）
JC法是Hasofer, Lind, Rackwitz和Fiessler, Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。
适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标 的计算。
泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的 可靠度，因此称为一次二阶矩。
7
s o u t h w e s t j I a o t o n g w nIversIty
二、一次二阶矩理论的中心点法
西南交通大学
8 Southwest Jiaotong University
1、一次二阶矩中心点法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的 一种方法。
g(X1 , X2 , , Xn )
2 ZL
E
ZL
E
ZL
2
n i 1
g X i
2
工程结构可靠度讲解
课程内容
• 介绍工程结构可靠度、安全度理论和规范 设计方法；
• 介绍以概率理论为基础的极限状态设计法 （一次二阶矩理论）；
• 介绍荷载和抗力的统计分析方法； • 介绍材料性能的质量控制； • 介绍可靠度研究的动向。
1绪 论
• 工程结构的设计的两个步骤： • 1.结构选型：包括结构总体布置、结构方案
3．1 中心点法
• 中心点法是结构可靠度研究初期提出的一 种方法，其基本思想是首先将非线性功能 函数在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒 级数展开并保留至一次项，然后近似计算 功能函数的平均值和标准差。可靠指标直 接用功能函数的平均值和标准差表示。
• 中心点法计算的结果比较粗糙，一般常用 于结构可靠度要求不高的情况，如钢筋混 凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析。
约界法、截止枚举法、优化准则法等。
附录A 国际标准IS02394：1998 《结构可靠性总原则》简介
• 国际标准IS02394：1998《结构可靠性总 原则》，‘是由国际标准化组织ISO／TC 98技术委员会(结构设计基础)分委员会 SC2(结构可靠性)编制完成的，取代了曾经 在技术上修订过的第一版国际标准 (1S02394：1986)。
A．2 国际标准ISO 2394：1998
《结构可靠性总原则》的适用范围
• 该标准适用于各种整体结构，如房屋建筑、各种 桥梁、工业构筑物等，以及组成结构的各种结构 构件和基础的设计；适用于施工中的各个阶段， 即结构构件的制作、运输和装匈、安装和全部现 场作业，以及结构在设计工作寿命期的使用及维 修；允许不同国家之间在实际设计中有所差别， 具体到某个国家，其国家标准和实用规范与该国 际标准相比可以略作简化，或在某些方面更加详 细一些。对已有工程结构的鉴定或变更用途的评 定，该标淮同样适用，并在专门章节作了较为详 细的阐述。
可靠度计算方法
一次二阶矩法当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。
中心点法中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为S R Z -=的可靠度问题，可靠度指标为ZZσμβ=当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为22SRS R σσμμβ+-=上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数),,,(21n X X X X g Z =其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。
将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似)()(),,,(121i X i ni in X L X X g g Z Z μμμμμ-∂∂+=≈∑= 函数的均值和方差分别为),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-=≈ni X i X Z L ZZ i L LXg Z E 122)()(σμμσσ 由中心点法的可靠度指标的定义，从而有∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈=n i X iX X X X X Z Z inX g g 12)(),,,(21σμμμμσμβ 从式和的推导可以看出，中心点法使用了结构功能函数的的一次泰勒级数展开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称为二阶矩模式。
第8章 工程结构可靠度计算方法2
GB50068—2001规定：结构设计使用年限分类
类别 设计使用年限（年）
示例
1
5
临时性结构
2
25
易于替换的结构构件
3
50
普通房屋和构筑物
可靠指标 1 Z Z Z
f Z
Z
Pf
0
Z
Z
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.3可靠指标的概念
结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为Pf ：
Pf PZ 0 f xdx f x1, x2,, xn dx1dx2 dxn
2 S
§8.2 中心点法
§8.2.3多个随机变量服从正态分布的情况
该法首先将结构功能函数在随机变量的平均值（中心点） 算用泰勒级数展开并取线性项，然后近似计算功能函数的 平均值和标准差。可靠指标直接用功能函数的平均值和标 准差之比表示。 设结构的功能函数为
Ｚ＝g(X1 , X2 ····· Xn)
4、在设计规定的偶然事件发生时及发生后，仍能保持必要
的整体稳定性
1项、4项 结构安全性的要求
2项
结构适用性的要求
3项
结构耐久性的要求
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
设计使用年限(design working life)
——设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其 预期目的使用的时期
Xi
Xi
2
§8.2 中心点法
§8.2.3多个随机变量服从正态分布的情况
结构可靠度计算方法(一次二阶矩)
R R
R
两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点
R
O P *(S*, R*)
O
S
S S
S
4、非正态分布时
▪ 非正态分布时，可采取以下三种方法：
➢ 当量正态化法（JC法） ➢ 映射变换法 ➢ 实用分析法
▪ JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随 机变量Xi用等效正态分布代替，Xi 要求满足 以下2个条件：
适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标 的计算。
通俗易懂，计算精度又能满足工程实际需要。
国际结构安全度联合委员会(JCSS)推荐使用， 故称为JC法。
我国《建筑结构设计统一标准(GBJ68-84)》和 《铁路工程结构设计统一标准(GB50216-94)》中都 规定采用JC法进行结构可靠度计算。
2、推导过程
X
* i
g X i
Xi
(3-11)
将(3-11)代入(3-9)，得
g
(
X
* 1
,
X
* 2
,
,
X
* n
)
n i 1
g X i
p*
X
i
X
* i
Xi
0
(3-12)
2.1 按定义推导
Z的平均值为：
Z
E(Z
)
g(
X
* 1
,
X
* 2
,
,
X
* n
)
n i 1
直到满足下式为止，即
n n1
迭代结束，计算完成。
第五章工程结构可靠度计算方法
状态之一时，即认为超过了承载能力极限状态：
①整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡
（如倾覆等）。例如，烟囱在风力作用下发生整
体倾覆，或挡土墙在土压力作用下发生整体滑移。
②结构构件或连接因材料强度被超过而破坏（包
括疲劳破坏），或因过度的塑性变形而不适于继
续承载。例如，轴心受压柱中混凝土到达其抗压
强度；或阳台雨棚等悬挑构件因钢筋锚固长度不
支座移动、收缩、徐变等。 2)适用性：在正常使用条件下，结构应能具有良好 的使用功能。如吊车梁变形过大则影响运行，水 池裂缝便不能蓄水，这些情况虽不引起倒塌，但 使结构丧失使用功能。 3)耐久性：在正常维护条件下，结构应能在预计的 使用年限内满足各项功能要求。例如，在设计基 准期内，混凝土老化，钢筋的锈蚀均不应超过一 定限度而影响使用功能。
σz
p f
0
μz
9Z
用上面公式求结构可靠度一般要通过多维积分,比 较复杂.为此引入可靠度指标来度量结构的可靠度.
以下介绍结构可靠度分析的实用方法。
5.2结构可靠度分析的实用方法
1.中心点法 中心点法不考虑基本随机变量的实际分布， 直接按其服从正态或对数正态分布，导出结 构可靠度指标的计算公式。由于分析时采用 了泰勒级数在统计中心点展开，故称中心点 法。
s
11
R
结构可靠指标定义为: 1 z z z
则结构失效慨率 p f .
③影响正常使用的振动（如振幅过大)； ④影响正常使用的其他特定状态。
虽然超过正常使用极限状态的后果一般不如超过 承载能力极限状态严重，但是也不可忽视。例如， 过大的变形会造成房屋内粉刷层剥落，填充墙和 隔断墙开裂，以及屋面积水等后果；在多层精密 仪表车间中，过大的楼面变形可能会影响到产品 的质量；水池、油罐等结构开裂会引起渗漏现象； 过大的裂缝会影响到结构的耐久性；过大的变形 和裂缝也将使用户在心理上产生不安全感.
工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法讲解
Z=R-S>0 结构处于可靠状态
Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 f (Z)
Z=R-S<0 结构处于失效状态
βσZ
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结的构能力在规定的时间内，P在f 规定的条件下，完成预定功能
结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下z ，完成预定功Z 能 的概率，以可靠概率Ps表示
Ｘ
Xi '
xi*
1[F Xi
(xi*)] Xi
Xi ' {1[FXi (xi*)]}/ fXi (xi*)
式中 —标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi’、σXi’后根据验算点法可计算β值
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标β
(1)β的几何意义
标准正态化坐标系中, β就是原点o’到极限状态直线的最
短距离o’P*，其中cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向 余弦。
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
P* (Sˆ*, Rˆ * )
Sˆ* coss
足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
工程结构可靠度的分析原理及方法
工程结构可靠度的分析原理及方法摘要：针对工程结构的可靠度问题，分析了实际工程结构中引入可靠度概念的必要性以及结构可靠度的基本原理。
阐述了计算结构可靠度指标及失效概率的几种方法，并以JC法为例，验证了可靠度指标的计算。
关键词：工程结构，可靠度分析，失效概率Abstract:Based upon reliability of engineering strctures,the necessaries of the introduction and the basic principles of reliability are introduced,and elaborate the methods of consideration of reliability index and probality of failure according to the basic principles of reliability.Then with the example of JC method,calculate reliability index in detail.Key words:engineering structures,reliability analysis,probality of failure土木工程结构设计的基本目标，是在一定的经济条件下，赋予结构足够的可靠度，使结构建成后在规定的设计使用年限内能满足设计所预定的各种功能要求。
工程结构可靠度分析原理结构可靠度是结构可靠性的定量指标。
在按极限状态设计时，要涉及到各种荷载（如自重、风载、雪载等）及外界作用（如温度变化、地震作用等），材料强度、几何尺寸、计算模型等因素，而这些因素都是具有不确定性的，或者说它们具有随机性，作为变量便称为随机变量。
因此，采用概率作为量度可靠性的大小是比较合理的。
工程结构可靠度的设计方法结构的可靠性是安全性、适用性、和耐久性的统称，它定义为：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的能力。
工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法.ppt
Rˆ R R
S
S
S
0'
Sˆ
R
S
以 Rˆ 和 Sˆ 表述的极限状态
S
Z R Rˆ S Sˆ R S 0
用
2 R
2 S
除上式得
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
f (Z) f (t)
Z
Pf
Z
1
t2
e2
dt
(
Z
)
2
Z
1
σz
式中 () —标准正态函数
Pf
( Z ) ( ) 1 ( ) Z
0 z
tZ
β
1.00
2.00
2.70
3.09
3.20
3.70
4.20
Pf 15.86×10-2 2.27×10-2 3.47×10-3 1.00×10-3 6.87×10-4 1.08×10-4 1.34×10-5
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
Z=R-S
Z=R-S>0 结构处于可靠状态
Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 f (Z)
Z R S
Z
2 R
2 S
fZ (z)
1
1( Z Z )2
e 2 Z
工程结构可靠度计算方法
功能函数为非线性时，上式确定的积分也会亦得相当复杂。
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
中心点法： 只适用于基本变量为正态分布、功能函数 为线性的情况
失效概率 Pf PZ 0
Z Z
0
f Z dZ
0 1 Z 2
GB50068—2001规定：结构设计使用年限分类
类别5 临时性结构
示
例
易于替换的结构构件
3
4
50
100
普通房屋和构筑物
纪念性建筑和特别重要的建筑结构
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
设计基准期(design reference period) ——为确定可变作用及时间有关的材料性能等取值而
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
结构的可靠性：结构在规定的时间（设计使用年基准期 ）内，在规定的条件下（正常设计、正常施工、正常使 用），完成预定功能的能力（结构的安全性、适用性和 耐久性）
可靠度：是对结构可靠性的概率度量，即结构在规定的 时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。
1
1 Z Z 2 e Z
1 X2 e 2 dX
dZ
令
Pf
1 2
1 X2 e 2 dx
1 2
1
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
公式 p f 1 推导
Z 可靠指标 Z Z
1
Pf
f Z
Z
0
关于可靠度分析的若干方法
关于可靠度分析的若干方法1.一次二阶矩法 （1）中心点法中心点法的基本思路就是将非线性功能函数在其随机变量均值(中心点)处Taylor 级数展开并取至一阶项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，而结构可靠度可用功能函数的均值和标准差来表示。
假设n x x x ,...,,21为结构中互不相关的n 个基本随机变量，其均值为),...,2,1(n i ix =μ标准差为),...,2,1(n i i x =σ，将功能函数Z=G(n x x x ,...,,21)在均值处Taylor 级数展开并取至一阶项：)(),...,,(121i n x i ni i x x x x x G G Z μμμμμ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=∑= 由此可计算出功能函数的均值和标准差为：),...,,(21nx x x Z G μμμμ=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ni x i Z i x G 122σσμ从而结构的可靠度可表示为：∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==ni x i x x x Z Z inx G G 122),...,,(21σμμμσμβμ由以上论述可知，中心点法的最大的优势在于计算简便，不需要进行过多的数值计算，但其缺陷也是非常明显的：①不考虑随机变量的分布类型；②将非线性功能函数在基本随机变量均值处展开不合理，这是因为均值不一定在结构的极限状态面上，因此展开后的功能函数可能会较大地偏离原来的极限状态面；③对有相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程，求得的结构可靠指标值不同。
（2）验算点法（JC 法）验算点法的特点是能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠指标β进行精度较高的计算。
对于极限状态方程中包含非正态分布的随机变量的情形，在进行其可靠度分析时，一般要把非正态随机变量当量化为正态随机变量。
当量正态化方法即为JC 法。
它的基本思想就是：①在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的分布函数值*I X F 与原随机变量(其均值*i x μ ，标准差为*I x σ)的分布函数值*I x F 相等；②在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的概率密度函数值*IX f 与原随机变量(其均值*ix μ ，标准差为*Ix σ)的概率密度函数值*Ix f 相等。
验算点法在工程结构可靠度编程中的运用
验算点法在工程结构可靠度编程中的运用（北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京，100191）摘 要：用验算点法对可靠度编程中的关键问题进行了探讨并给出了解决方法。
这些问题主要包括随机变量服从正态分布的情形且功能函数为非线性和随机变量不服从正态分布时的当量正态化方法。
针对这两种情况运用了两个编程算例来说明验算点法在可靠度分析中的运用。
关键字：验算点法、可靠指标、正态分布函数、非正态随机变量、当量正态化1. 前 言结构可靠度为结构在规定的时间内和规定的条件下完成预定功能的概率。
结构可靠性理论的研究，起源于对结构设计、施工和使用过程中存在的不确定性的认识，以及结构设计风险决策理论中计算结构失效概率的需要。
结构可靠度计算方法有一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡洛方法及其他方法。
一次二阶矩方法又分为中心点法和验算点法，其中验算点法是目前可靠度分析中最常用的方法。
由于这两种方法都是将非线性功能函数作为一次泰勒级数展开，并使用了随机变量的平均值（一阶矩）和方差（二阶矩），故称为一次二阶矩方法。
利用验算点法计算结构的可靠指标时，需要预先知道验算点的坐标值，而对于非线性结构功能函数和非正态随机变量的情形，验算点坐标值是不能预先求得的，因此一般需要迭代求解。
2. 随机变量服从正态分布的情形2.1 功能函数为线性函数功能函数随机变量Z 是一个正态随机变量，其概率密度函数和U 的密度曲线如图1示图1 一个随机变量时的可靠指标（左图为正态随机变量，右图为标准正态随机变量） 假定存在n 个相互独立的随机变量，12,,...,n X X X ，其均值为12,,...,n X X X μμμ，标准差为12,,...,nX X X σσσ结构功能函数为：()∑=+==ni i i x X a a g Z 10n 321...X X ,X ,X （1）其中()n i a i ...3,2,1=为常数将随机变量()n i X i ...3,2,1=变换为标准正态随机变量()n i Y i ...3,2,1=()n i X Y iiXX i i ...3,2,1=-=σμ （2）则由（1）表示的功能函数表示成()()123n 00111Y ,Y ,Y ...Y i i i i nn nY i X X i i X i X i i i Z g a a Y a a a Y μσμσ=====++=++∑∑∑从而功能函数的平均值和标准差表示为∑=+=ni Xi Z ia a 10μμ ∑==ni X iZ ia122σσ按照严格的可靠度指标定义∑∑==+==ni Xini X i ZZ iiaa a 12210σμσμβ （3）可靠度指标和结构失效概率存在精确的对应关系()β-Φ=f P对极限状态方程 0110=++=∑∑==ni X i n i X i Y a a a Zi i σμ两端同时除以∑=-ni X iia122σ得到：0122101221=+--∑∑∑∑====ni Xini X i ni Xini X i iiiiaa a aY a σμσσ（4）与公式（3）比较，有01221=--∑∑==βσσni Xini X iiiaYa （5）令()n i aa ni XiX i Y Y iii i ,...3,2,1cos 122=-==∑=σσθα公式（5）可以写成：0cos 11=-=-∑∑==βθβαni i Y ni Y Y Y i i（6）公式（6）表示的是一法线式的直线方程，i Y θcos 为法线与坐标轴夹角余弦1cos 1=∑=ni Y iθ图2 可靠度指标的几何意义及验算点验算点在Y 空间（标准正态空间）表示为：()**3*2*1*...,,n y y y y =y 在X 空间表示为：()**3*2*1*...,,n x x x x =x两者之间的关系为：()n i y x iX X i i i ,...3,2,1**=+=σμ 根据几何关系有：()n i y ii Y Y i ,...3,2,1cos *===θββα在X 空间，验算点坐标值：()n i x i i i i i i Y X X Y X X i ,...3,2,1cos *=+=+=θβσμβασμ通常表示为：()n i x ii i i i i X X X X X X i ,...3,2,1cos *=+=+=θβσμβασμ2.2 功能函数为线性函数1Y假定随机变量12,,...,n X X X 服从正态分布，但结构功能函数不再是线性函数，显然，这时精确求解Z 的平均值和标准差是非常困然的。
工程结构可靠度指标的计算方法
工程结构可靠度指标的计算方法陈海彬;郑玉;佟晓君;王力【摘要】Because of the intercoordination and restriction between designing checking point and reliability index ,it brings some difficulties to the reliability index for solution with checking point method (JC meth-od) .In the paper ,the maximum likelihood method of determining the reliability index and the checking point is proposed with maximum likelihood theory under the condition of meeting limit state equation .This method is relatively simple and rapidly solution ,it can meet the present engineering requirements .The method of solving reliability index is put forward by using the weighted least require method .Seen from the example in the paper ,this method is feasible to solve reliability index and it’s corresponding check ing point .The solving process is simplified ;the tedious iteration of traditional method is avoided .The reliabili-ty index of this paper is more precise and secure than the traditional method .%利用验算点法（即JC法）求解可靠指标时，由于设计验算点与可靠指标之间的相互耦合、制约，给求解带来一定的难度。
结构构件可靠度的计算方法
- 二阶矩: 在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二 阶矩。
- 均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
Z g ( X ) a0 a1 x1 a2 x2
an xn a0 ai xi
i 1
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 非线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
Z g ( X ) g ( X1 , X 2 , , X n )
Xi X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为
2. 功能函数泰勒级数展开
Xi 和
。
将Z在各变量的均值点 M (X , X , , X ) 处展开成泰勒级数， 并取线性项 n g Z g ( X1 , X 2 , , X n ) ( X i X i ) X i ( , , , ) i 1
(5) 总结 同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果 差别达7.46%。
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.4 均值一次二阶矩法的特点
1. 优点 计算简单。 不要求随机变量的概率分布。 2. 缺点 当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是 不准确的。 在随机变量都服从正态分布时，功能函数的非线性程度 影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高， 可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低， 可靠指标计算的精度越高， 同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的 原因是线性化的功能函数代替真实的功能函数时，功能 函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函 数拟合真实功能函数的精度不一样。
n * i
中心点法和设计验算点法的基本思路及其优缺点
中心点法和设计验算点法的基本思路及其优缺点文摘：在采用结构的可靠指标来度量结构的可靠度时,采用一次二矩法,其中包括中心点法和验算点法。
中心点法不考虑基本变量的实际分布,导出结构可靠指标的公式。
但是荷载一般服从极值Ⅰ型分布，结构抗力服从正态分布，，而当量正态模式，并把极限状态函数推到多于两个变量的非线性的跟一般的情况，就是验算点法。
中心点法的优点是计算简便，β值是近似的，存在误差。
验算点法可对可靠度指标进行精度较高的计算，但较复杂。
关键词：可靠指标、失效概率、中心点法、验算点法、迭代法。
《建筑结构可靠度统一标准》将结构在规定的时间呢，在规定的条件下，完成预定功能的能力成为可靠性。
可靠度是对可靠性的概率量度，在可靠性度分析中，首先应建立结构的功能函数，进而确定结构构件或体系的极限状态方程。
结构的功能函数可以用一下变量表示：Z=g(X1,X2,…Xn),适中的变量表示基本变量。
若另R 表示结构抗力，S 表示荷载效应，则Z 为随机变量，Z 可能出现三种情况：①Z=R-S ＞0,结构处于可靠状态。
②Z=R-S=0，结构处于极限状态。
③Z=R-S ＜0，结构处于失效状态。
已知随机变量Z=R-S 的概率密度函数如图所示，失效概率Pf为密度函数与OZ 负轴所围成的面积，可靠概率Ps 为剩余面积。
又Z Zμβσ=，可以看出β与Pf 值一一对应，β越大，Pf 越小。
运用中心点法时，导出结构的可靠指标的计算公式，在分析是采用泰勒公式不考虑基本变量的实际分布，直接按其服从的正态分布或对数正态分布，在分析时采用泰勒级数在中心点展开。
在使用中心点法时，主要思想是把荷载和抗力所服从的函数根据β的定义把二者的函数标准化后求出β.当抗力R 和荷载效应S当抗力R 和荷载效应S 相互独立且均服从对数正态分布时，可靠度指标为：β=lnR μβ=当多个随机变量服从正态分布时，在实际工程中，状态函数的基本变量往往不止一两个，也不一定服从正态分布或对数正态分布。
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三 验算点法
为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变
量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验
算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用
1 两个相互独立的正态分布变量R和S
极限状态方程为： Z R S 0 Rˆ R
R=S极极限限状状态态线线
对R和S作标准化变换
(1)β的几何意义
标准正态化坐标系中, β就是原点o’到极限状态直线的最
短距离o’P*，其中cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向 余弦。
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
P* (Sˆ*, Rˆ * )
Sˆ* coss
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
Rˆ R
0' S
P*
极限状态线
Sˆ
cosR
R
2 R
2 S
cosS
S
2 R
2 S
cosR Rˆ cosS Sˆ 0
极限状态直线的 标准法线式方程
极限状态曲面
Xˆ
* n
P*
θn
θ1
θ2
Xˆ
* 1
Xˆ
* 2
Xˆ 2
Xˆ 1
可证明在原坐标系中P*的坐标为
X
* i
i
cosi
i
①
cosi
g X i
i
p*
②
1
n
( g
i1 X i
2
i )2
p*
g
(
X
* 1
,
X
* 2
，X
* n
)
0
③
设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点
允许值为止
3 多个非正态分布随机变量
需在设计验算点xi＊处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随 机变量（当量正态化处理）
根据设计验算点xi＊处当
f(Q)
量正态化条件
FX '(x*) FX (x*)
f X '(x*) f X (x*)
得当量正态变量Ｘi’的特征值
0 Ｘ* μ ’X μ X
Xi* i cosi i ①
cosi
g X i
i
p*
1
②
n
(
g
i1 X i
2
i )2
p*
g
(
X
*1,
X
* 2
，X
* n
)
0
③
由于P*点未知，用式① ② ③不能直接求出β，需采用迭代法结合式
① ② ③确定结构设计验算点坐标和计算β
(1) 假设一组Xi＊值，通常取Xi＊＝μi ห้องสมุดไป่ตู้2) 求cosθi (3) 由Xi*=σiβcosθi+μi，求X1*，X2*，…，Xn* (4) 代入g(X1*，X2*，…，Xn*)=0求β (5) 重复(2) - (4)求β,与前一轮值比较，直至两轮β值的差小于
3计算方向余弦 4 求S* 、R*
cosR
R'
0.9347
2 R'
2 S'
cosS
S'
0.3555
2 R'
2 S'
R* R R cosR 133.5 18.8249 S* S S cosS 54.517 2.7231
知识回顾
一 结构可靠度的基本概念
1 结构的功能要求
◆安全性：结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保 持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏
◆适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求 ◆耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有
5求β
Z R*S* 21.548 78.983 0
3.6654
6 求S* R*
R* 133.5 18.8249 64.498kN S* 54.517 2.7231 64.498kN
重复2-6,计算见表8-4
β=3.3005
Z=R-S
Z=R-S>0 结构处于可靠状态
Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 f (Z)
Z=R-S<0 结构处于失效状态
βσZ
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结的构能力在规定的时间内，P在f 规定的条件下，完成预定功能
结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下z ，完成预定功Z 能 的概率，以可靠概率Ps表示
PS P(Z 0) 1- Pf fx (X1X2 Xn )dX1X2 Xn
4 结构的可靠指标
Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度
量结构的可靠程度 Z 1 Z Z
β值与Pf值也一一对应， β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高
极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布
Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0
对Xi作标准化变换
Xˆ i Xi i i
Xi i Xˆ i i
Z g(1Xˆ1 1,， nXˆ n n ) 0
Xˆ n
在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 Ô到曲面的最短距离ÔP*就 是结构可靠指标β
Rˆ R R
S
S
S
0'
Sˆ
R
S
以 Rˆ 和 Sˆ 表述的极限状态
S
Z R Rˆ S Sˆ R S 0
用
2 R
2 S
除上式得
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
解：１假设验算点坐标： S*= μS=60kN
２将R、S当量正态化
R R*[1 ln
R ] 133.5kN
1
2 R
R R*
ln(1
2 R
)
20.14kN
R*= μR=135kN
S 7.953
1.28255
S 0.57722 55.41
Rˆ * cosR
Rˆ
R Sˆ *
0' S
Rˆ *
P*
极限状态线
Sˆ
在原坐标系中，验算点的坐标
S* S S cosS R* R R cosR
且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程
Z R* S* 0
2 多个正态分布随机变量
足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
FS
(
S
*
)
exp{
exp[
S
*
]}
0.5703
fS
(S*)
1
exp(
S*
)
exp{
exp[
S*
]}
0.0403
S
{1[FS (S*)]}
fS (S*)
0.3087 0.0403
7.66kN
S S * 1[FS (S *)] S 54.517 kN
Ｘ
Xi '
xi*
1[F Xi
(xi*)] Xi
Xi ' {1[FXi (xi*)]}/ fXi (xi*)
式中 —标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi’、σXi’后根据验算点法可计算β值
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标β