【高中数学选择性必修】求曲线的方程

求曲线的方程

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.动点P到点(-1,2)的距离是3,则动点P的轨迹方程为( )

A.(x+1)2+(y-2)2=9

B.(x-1)2+(y+2)2=9

C.(x+1)2+(y-2)2=3

D.(x-1)2+(y+2)2=3

2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )

A.2x+y+1=0

B.2x-y-5=0

C.2x-y-1=0

D.2x-y+5=0

3.等腰三角形ABC底边两端点是A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0),顶点C的轨迹是( )

A.一条直线

B.一条直线去掉一点

C.一个点

D.两个点

4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A.9π

B.8π

C.4π

D.π

5.在平面直角坐标系中,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!未找到引用源。=α错误!未找到引用源。+β错误!未找到引用源。,其中α,β∈R,且α+β=1,O 为坐标原点,则点C的轨迹为( )

A.射线

B.直线

C.圆

D.线段

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足错误!未找到引用

源。·错误!未找到引用源。=4,则点P的轨迹方程是.

7.(2013·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0)连线的斜率的积为定值-错误!未找到引用源。,则动点P的轨迹方程为.

8.(2013·揭阳高二检测)已知直线l:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P 是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么?

10.已知A,B分别是直线y=错误!未找到引用源。x和y=-错误!未找到引用源。x 上的两个动点,线段AB的长为2错误!未找到引用源。,P是AB的中点.求动点P 的轨迹C的方程.

11.(能力挑战题)在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.

答案解析

1.【解析】选A.由条件可知,点P的轨迹是以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆,

方程为(x+1)2+(y-2)2=9.

2.【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0. 【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?

【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=错误!未找到引用源。,y=错误!未找到引用源。, ∴x0=2x+1,y0=2y-2.

∵点P在直线2x-y+3=0上,

∴2(2x+1)-(2y-2)+3=0.

整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.

3.【解题指南】利用等腰三角形的性质知|CA|=|CB|.

【解析】选B.∵△ABC为等腰三角形,∴|CA|=|CB|,

∴点C的轨迹应是AB的中垂线,又∵C为AB中点时不能构成三角形,∴C的轨迹应是一条直线去掉一点.

4.【解析】选C.设P(x,y),由|PA|=2|PB|,知错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。.化简整理,

得(x-2)2+y2=4,所以动点P的轨迹是圆心为(2,0),半径为2的圆,此圆的面积为4π.

5.【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把α,β用动点坐标(x,y)表示后代入α+β=1,整理即得点C的轨迹.

【解析】选B.设C(x,y).∵错误!未找到引用源。=α错误!未找到引用源。+β错误!未找到引用源。,

∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),

∴(x,y)=(3α-β,α+3β),

∴错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。

∵α+β=1,∴错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,

即x+2y-5=0,∴点C的轨迹是一条直线.

6.【解析】由错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=4知,x+2y=4⇒x+2y-4=0,

∴P点的轨迹方程是x+2y-4=0.

答案:x+2y-4=0

7.【解析】设P(x,y),由题意知,x≠±错误!未找到引用源。,k AP=错误!未找到引用源。,

k BP=错误!未找到引用源。,由条件知k AP·k BP=-错误!未找到引用源。,

∴错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,整理得x2+2y2-2=0(x≠±错误!未找到引用源。).

答案:x2+2y2-2=0(x≠±错误!未找到引用源。)

【误区警示】解答本题时容易漏掉“x≠±错误!未找到引用源。”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.

【变式备选】与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是.

【解析】设P(x,y),则错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=-1,

整理得x2+2xy=1(x≠±1).

答案:x2+2xy=1(x≠±1)

8.【解题指南】利用相关点法.

【解析】如图,设P(x,y),