矩阵特征值PPT课件
合集下载
矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
线性代数 矩阵的特征值与特征向量(课堂PPT)
互不相等的特征值.
§
20
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§
4
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
性质3：已知 为n阶矩阵A的一个特征值，则
（1） kA 必有一个特征值为 k ;
（2） A2 必有一个特征值为
2
;
§
8
（3） Am (m Z ) 必有一个特征值为 （4）A可逆时，A1必有一个特征值为 （5）A可逆时，A* 必有一个特征值为
m
;
1 ;
A
；
（6）多项式( A)必有一个特征值为 ( ).
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§
1
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§
2
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为
定理1 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量.
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
精选幻灯片3矩阵的特征值和特征向量总结
命题2 如果 x是矩阵 A的对应特征值 ?的特征向量， 则k（x k ? 0）也是 A的对应特征值 ?的特征向量。
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x ? 0， Ax? ?1x， Ax? ?2x
?1x ?
?2x
?
0
?
（?1
? ?2）x
x? 0
?
0? ? ?
?
?1 ? ?2 ? 0
5
目录
上页
下页
返回
怎样求矩阵 A的特征值与特征向量？
Ax? ? x
要求实数? 与非零向量x.
( A? ? I )x ? 0
它有非零解的充分必要条件是
A? ? I ? 0
a11 ? ? a12 L
即
a21 a22 ? ? L
LL LL L
a1n a2n ? 0 LL
an1
an2 L ann ? ?
6
目录
上页
下页
返回
矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
?I ? A
A的特征矩阵
?I ? A ?I ? A? 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
7
目录
上页
下页
返回
求矩阵的特征值与特征向量的步骤 ( A? ? I )x ? 0
1.求矩阵A的特征方程 A ? ? I ? 0
0 ?2
2 4
????????12
? ???
?
????63
? ???
?
3 ????12
? ???
?
3x1
是
?2 1 ?1???2 ? ??6?
Ax2 ? ????43
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x ? 0， Ax? ?1x， Ax? ?2x
?1x ?
?2x
?
0
?
（?1
? ?2）x
x? 0
?
0? ? ?
?
?1 ? ?2 ? 0
5
目录
上页
下页
返回
怎样求矩阵 A的特征值与特征向量？
Ax? ? x
要求实数? 与非零向量x.
( A? ? I )x ? 0
它有非零解的充分必要条件是
A? ? I ? 0
a11 ? ? a12 L
即
a21 a22 ? ? L
LL LL L
a1n a2n ? 0 LL
an1
an2 L ann ? ?
6
目录
上页
下页
返回
矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
?I ? A
A的特征矩阵
?I ? A ?I ? A? 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
7
目录
上页
下页
返回
求矩阵的特征值与特征向量的步骤 ( A? ? I )x ? 0
1.求矩阵A的特征方程 A ? ? I ? 0
0 ?2
2 4
????????12
? ???
?
????63
? ???
?
3 ????12
? ???
?
3x1
是
?2 1 ?1???2 ? ??6?
Ax2 ? ????43
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
数值分析ppt第8章-矩阵特征值问题计算
现讨论求λ1及x1旳措施.
上页 下页
幂法旳基本思想是: 任取非零旳初始向量v0 , 由矩 阵A构造历来量序列{vk}
v1 Av0 , .v.2.......A..v..1......A...2v0 , vk1 Avk Ak1v0 , .........................
(2.2)
(2.5)
即为矩阵A旳相应特征值1 旳一种近似特征向量.
因为 vk1 Avk 1k1a1 x1 1vk , (2.6)
用(vk)i 表达vk旳第i个分量，则当k充分大时，有
vk1 i
vk
i
1.
(2.7)
即为A旳主特征值1旳近似值.
这种由已知非零向量v0及矩阵A旳乘幂Ak构造向
量序列{vk}以计算A旳主特征值1(2.7)及相应特征向量
当A为实矩阵，假如限制用正交相同变换，因为
A有复旳特征值， A不能用正交相同变换约化为上三
角阵. 用正交相同变换能约化到什么程度呢？
上页 下页
定理10 (实Schur分解) 设A∈Rn×n，则存在正 交矩阵Q使
R11
QT
AQ
R12 R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶 Rii是A旳实特征值，每个二阶对角块Rii旳两个特征值 是 A旳两个共轭复特征值.
上页 下页
8.2.1 幂法（又称乘幂法）
设实矩阵A=(aij)有一种完全旳特征向量组，即 A有n个线性无关旳特征向量，设矩阵A旳特征值为 λ1,λ2,,λn, 相应旳特征向量为x1,x2,,xn. 已知A旳主 特征值λ1是实根，且满足条件
| 1 || 2 | | n |,
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
线性代数课件特征值和特征向量
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
特征值特征向量定义.ppt
例设
A 3 2， 1 0
则有
X1
1 1
O，使得
AX1
3 1
2 0
1 1
1 1
1X1
，
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 .
有
X2
2 1
O，使得
AX 2
3 1
2 0
2 1
4 2
2
2 1
2X2
，
所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
对于 1.
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义
定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。
特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
得基础解系
0
，
A对应于
1＝2
1 的全部特征向量为：
c
0 0,c
0
1
将 2＝1 代入方程组 (I A)X O,整理得
x2
x3
2 x1 , x1
1
取 x1 1 得基础解系
2
,
1
A对应于 2＝1 的全部特征向量为：
1 c 2
,c 0
1
此二重特征值 1对应了一个线性无关的特征向量。
性质2
X ,Y 是A 属于同一特征值 0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。
证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0( X Y )
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
矩阵特征值ppt课件
为方 A 的 特阵 征多项式 .
.
3
4 .设 n 阶方 A a ij阵 的特1,征 2, , 值
n ,则有
( 1 )1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ;n
(2 ) 12 nA .
.
4
例1 求A 3 1的特征值和特.征向量 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3)21
3edet思考题思考题解答相似矩阵一相似矩阵与相似变换的概念二相似矩阵与相似变换的性质三利用相似变换将方阵对角化一相似矩阵与相似变换的概念对称性传递性利用上述结论可以很方便地计算矩阵a定理证明与对角矩阵相似的情形只证明adiagapapapapapap说明如果阶矩阵与对角阵相似
矩阵的特征值及特征向量
类推之，有 1 k x 1 p 1 k 2 x 2 p 2 k m x m p m 0 .
k 1 ,2 , ,m 1
.
15
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1p1,x2p2,,xmpm1
2
m 210 ,0 , ,0
1 m m m1
上式等号左端第阵二的个行矩列式为范列德蒙
A 1 x x , A 2 x x
1x2x
1 2 x 0 ,
由 1于 20 ,则x0, 与定义矛盾.
.
18
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 n阶方阵，其特征多项式为 f A E A n a n 1 n 1 a 1 a 0
求AT的特征多项. 式
解 fA TE A T
.
7
3 A2E4
1 1
0 0~1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解 A的特征多项式为
3 1 (3)21
1 3 8 6 2 ( 4 )2 ()
所A 的 以特征 12,值 24.为
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 xΒιβλιοθήκη 0.5即
x1x20, x1x20.
解x1 得 x2,所以对应的特征 取向 为 p1量 11可 .
为 A的 特征方程 .
记 fA E,它是 的n次多项 ,称其式
为方 A 的 特阵 征多项式 .
.
3
4 .设 n 阶方 A a ij阵 的特1,征 2, , 值
n ,则有
( 1 ) 1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ;n
( 2 ) 12 n A .
.
4
例1 求A 3 1的特征值和特.征向量 1 3
.
15
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1p1,x2p2,,xmpm11 m 2
m m 2m 11 0 ,0 , ,0
上式等号左端第阵二的个行矩列式为范列德蒙
式,当各 i不相等,该 时行列式不0,从 等而 于该矩阵
可逆 .于是有 x 1 p 1 , x 2 p 2 , , x m p m 0 , 0 , , 0 ,
.
11
当 2 3 2 时 , 解 A 2 E 方 x 0 . 由 程
4 A2E 0
1 0
1 0~04
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对 2应 3于 2的全部特:征向
k2p 2k3p 3 (k2,k3不同 0 ).时为
矩阵的特征值及特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
.
1
一、特征值与特征向量的概念
定义 1 设A是n阶矩,阵 如果数 和n维非零列向 x 量
使关系式
Axx
成立,那末,这样的数 称为方A阵 的特征,非 值零向
量x称为A的对应于特征 的值 特征向. 量
.
12
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1)m 是 A m 的特 m 是 征任 值 .意常
(2)当 A可逆 ,1是 时 A1的特. 征值
证明 1 A x x
A A A x x A x x A 2x2x
再继续施行上述步骤 m2次，就得 Amxmx
则 A x 1 p 1 x 2 p 2 x m p m 0 ,即
1 x 1 p 1 2 x 2 p 2 m x m p m 0 ,
类推之，有 1 k x 1 p 1 k 2 x 2 p 2 k m x m p m 0 . k 1 , 2 , ,m 1
.
17
因,如 为果 x同设 时 A的 是 属于 1,特 2的征 12的特征 ,即向 有量
A 1 x x , A 2 x x
1x2x
故 m 是A 矩 m 的阵 特 ,且 x 是 征 A m 对 值 应 m 的于 特
征.向量
.
13
2当 A 可,逆 0 ,时
由 Ax x可得
A 1 A A x 1 x A 1 x
A 1x 1x 故 1 是A 矩 1 的 阵 特 ,且 x 是 征 A 1 对 值 应 1
的特 . 征向量
.
14
二、特征值和特征向量的性质
定1理 设 1,2,,m是方 A的 阵 m个特,征 p1,p2值 ,
,pm依次是与之 向 对 .如 量 应 果 1,的 2,特 ,m 征
各不,则 相 p1,等 p2,,pm线性.无关 证明 设有 x 1 ,x 2 , 常 ,x m 使 数
x 1 p 1 x 2 p 2 x m p m 0 .
当 24时 ,由
34 1 x1 0 ,即 11 x1 0 , 1 34x2 0 11x2 0
解得x1x2,所以对应的特征取 向为 量可
1
p2
1
.
.
6
例２
求矩A阵14
1 3
00的特征值和特. 征
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 0 AE 4 3 0 (2)(1)2,
1 0 2
所 A 的 以特 1 征 2 ,2 值 31 .为
令 ( 1 ) 2 2 0
得 A 的特 1 征 1 ,2值 32 为 .
.
10
当 1 1 时 , 解 A E 方 x 0 . 由 程
1 AE 0
1 3
1 0~1 0
0 1
1 0,
4 1 4 0 0 0
1
得基础解系p1
0,
1
故对应 1 于 1的全体特征向量为
kp1 (k0).
说明 1.特征向 x量 0,特征值问题是言 对的 . 方
2.n阶方A阵 的特征,就 值是使齐次线性方
AEx0有非零解 值 的,即满足方 A程 E
0的都是矩A的 阵特征. 值
.
2
3.AE0
a11 a12
a21
a22
a1n a2n 0
an1
an2 ann
称以 为未知数n次 的方 一A程 元 E0
当 1 2 时 ,解 ( A 方 2 E ) x 0 程 . 由
.
7
3 A2E4
1 1
0 0~1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
p10,
所k以 p1(k0)是对 1 应 12 的于 全部 . 特 当 2 3 1 时 ,解 ( A 方 E ) x 0 . 由 程
2 AE4
1 2
0 0~1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
.
8
1 得基础解系p22,
1
所 kp 以 2(k0 )是对 2应 31 的 于全.部
.
9
2 例３ 设A 0
1 2
10 ,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
AE 0 2 0
4 1 3
( 1 ) 2 2,
即 x jp j 0 j 1 ,2 , ,m .但pj 0,故 x j 0 j 1 ,2 , ,m .
所以 p 1 ,p 2 向 , ,p m 线 量性 .组无关
.
16
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
3 1 (3)21
1 3 8 6 2 ( 4 )2 ()
所A 的 以特征 12,值 24.为
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 xΒιβλιοθήκη 0.5即
x1x20, x1x20.
解x1 得 x2,所以对应的特征 取向 为 p1量 11可 .
为 A的 特征方程 .
记 fA E,它是 的n次多项 ,称其式
为方 A 的 特阵 征多项式 .
.
3
4 .设 n 阶方 A a ij阵 的特1,征 2, , 值
n ,则有
( 1 ) 1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ;n
( 2 ) 12 n A .
.
4
例1 求A 3 1的特征值和特.征向量 1 3
.
15
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1p1,x2p2,,xmpm11 m 2
m m 2m 11 0 ,0 , ,0
上式等号左端第阵二的个行矩列式为范列德蒙
式,当各 i不相等,该 时行列式不0,从 等而 于该矩阵
可逆 .于是有 x 1 p 1 , x 2 p 2 , , x m p m 0 , 0 , , 0 ,
.
11
当 2 3 2 时 , 解 A 2 E 方 x 0 . 由 程
4 A2E 0
1 0
1 0~04
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对 2应 3于 2的全部特:征向
k2p 2k3p 3 (k2,k3不同 0 ).时为
矩阵的特征值及特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
.
1
一、特征值与特征向量的概念
定义 1 设A是n阶矩,阵 如果数 和n维非零列向 x 量
使关系式
Axx
成立,那末,这样的数 称为方A阵 的特征,非 值零向
量x称为A的对应于特征 的值 特征向. 量
.
12
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1)m 是 A m 的特 m 是 征任 值 .意常
(2)当 A可逆 ,1是 时 A1的特. 征值
证明 1 A x x
A A A x x A x x A 2x2x
再继续施行上述步骤 m2次，就得 Amxmx
则 A x 1 p 1 x 2 p 2 x m p m 0 ,即
1 x 1 p 1 2 x 2 p 2 m x m p m 0 ,
类推之，有 1 k x 1 p 1 k 2 x 2 p 2 k m x m p m 0 . k 1 , 2 , ,m 1
.
17
因,如 为果 x同设 时 A的 是 属于 1,特 2的征 12的特征 ,即向 有量
A 1 x x , A 2 x x
1x2x
故 m 是A 矩 m 的阵 特 ,且 x 是 征 A m 对 值 应 m 的于 特
征.向量
.
13
2当 A 可,逆 0 ,时
由 Ax x可得
A 1 A A x 1 x A 1 x
A 1x 1x 故 1 是A 矩 1 的 阵 特 ,且 x 是 征 A 1 对 值 应 1
的特 . 征向量
.
14
二、特征值和特征向量的性质
定1理 设 1,2,,m是方 A的 阵 m个特,征 p1,p2值 ,
,pm依次是与之 向 对 .如 量 应 果 1,的 2,特 ,m 征
各不,则 相 p1,等 p2,,pm线性.无关 证明 设有 x 1 ,x 2 , 常 ,x m 使 数
x 1 p 1 x 2 p 2 x m p m 0 .
当 24时 ,由
34 1 x1 0 ,即 11 x1 0 , 1 34x2 0 11x2 0
解得x1x2,所以对应的特征取 向为 量可
1
p2
1
.
.
6
例２
求矩A阵14
1 3
00的特征值和特. 征
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 0 AE 4 3 0 (2)(1)2,
1 0 2
所 A 的 以特 1 征 2 ,2 值 31 .为
令 ( 1 ) 2 2 0
得 A 的特 1 征 1 ,2值 32 为 .
.
10
当 1 1 时 , 解 A E 方 x 0 . 由 程
1 AE 0
1 3
1 0~1 0
0 1
1 0,
4 1 4 0 0 0
1
得基础解系p1
0,
1
故对应 1 于 1的全体特征向量为
kp1 (k0).
说明 1.特征向 x量 0,特征值问题是言 对的 . 方
2.n阶方A阵 的特征,就 值是使齐次线性方
AEx0有非零解 值 的,即满足方 A程 E
0的都是矩A的 阵特征. 值
.
2
3.AE0
a11 a12
a21
a22
a1n a2n 0
an1
an2 ann
称以 为未知数n次 的方 一A程 元 E0
当 1 2 时 ,解 ( A 方 2 E ) x 0 程 . 由
.
7
3 A2E4
1 1
0 0~1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
p10,
所k以 p1(k0)是对 1 应 12 的于 全部 . 特 当 2 3 1 时 ,解 ( A 方 E ) x 0 . 由 程
2 AE4
1 2
0 0~1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
.
8
1 得基础解系p22,
1
所 kp 以 2(k0 )是对 2应 31 的 于全.部
.
9
2 例３ 设A 0
1 2
10 ,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
AE 0 2 0
4 1 3
( 1 ) 2 2,
即 x jp j 0 j 1 ,2 , ,m .但pj 0,故 x j 0 j 1 ,2 , ,m .
所以 p 1 ,p 2 向 , ,p m 线 量性 .组无关
.
16
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．