矩阵特征值PPT课件
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则 A x 1 p 1 x 2 p 2 x m p m 0 ,即
1 x 1 p 1 2 x 2 p 2 m x m p m 0 ,
类推之，有 1 k x 1 p 1 k 2 x 2 p 2 k m x m p m 0 . k 1 , 2 , ,m 1
故 m 是A 矩 m 的阵 特 ,且 x 是 征 A m 对 值 应 m 的于 特
征.向量
.
13
2当 A 可,逆 0 ,时
由 Ax x可得
A 1 A A x 1 x A 1 x
A 1x 1x 故 1 是A 矩 1 的 阵 特 ,且 x 是 征 A 1 对 值 应 1
.
12
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1)m 是 A m 的特 m 是 征任 值 .意常
(2)当 A可逆 ,1是 时 A1的特. 征值
证明 1 A x x
A A A x x A x x A 2x2x
再继续施行上述步骤 m2次，就得 Amxmx
的特 . 征向量
.
14
二、特征值和特征向量的性质
定1理 设 1,2,,m是方 A的 阵 m个特,征 p1,p2值 ,
,pm依次是与之 向 对 .如 量 应 果 1,的 2,特 ,m 征
各不,则 相 p1,等 p2,,pm线性.无关 证明 设有 x 1 ,x 2 , 常 ,x m 使 数
x 1 p 1 x 2 p 2 x m p m 0 .
.
11
当 2 3 2 时 , 解 A 2 E 方 x 0 . 由 程
4 A2E 0
1 0
1 0~04
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对 2应 3于 2的全部特:征向
k2p 2k3p 3 (k2,k3不同 0 ).时为
2 AE4
1 2
0 0~1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
.
8
1 得基础解系p22,
1
所 kp 以 2(k0 )是对 2应 31 的 于全.部
.
9
2 例３ 设A 0
1 2
10 ,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
AE 0 2 0
4 1 3
( 1 ) 2 2,
当 1 2 时 ,解 ( A 方 2 E ) x 0 程 . 由
.
7
3 A2E4
1 1
0 0~1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
p10,
所k以 p1(k0)是对 1 应 12 的于 全部 . 特 当 2 3 1 时 ,解 ( A 方 E ) x 0 . 由 程
当 24时 ,由
34 1 x1 0 ,即 11 x1 0 , 1 34x2 0 11x2 0
解得x1x2,所以对应的特征取 向为 量可
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
p2
1
.
.
6
例２
求矩A阵14
1 3
00的特征值和特. 征
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 0 AE 4 3 0 (2)(1)2,
1 0 2
所 A 的 以特 1 征 2 ,2 值 31 .为
矩阵的特征值及特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
.
1
一、特征值与特征向量的概念
定义 1 设A是n阶矩,阵 如果数 和n维非零列向 x 量
使关系式
Axx
成立,那末,这样的数 称为方A阵 的特征,非 值零向
量x称为A的对应于特征 的值 特征向. 量
令 ( 1 ) 2 2 0
得 A 的特 1 征 1 ,2值 32 为 .
.
10
当 1 1 时 , 解 A E 方 x 0 . 由 程
1 AE 0
1 3
1 0~1 0
0 1
1 0,
4 1 4 0 0 0
1
得基础解系p1
0,
1
故对应 1 于 1的全体特征向量为
kp1 (k0).
即 x jp j 0 j 1 ,2 , ,m .但pj 0,故 x j 0 j 1 ,2 , ,m .
所以 p 1 ,p 2 向 , ,p m 线 量性 .组无关
.
16
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
解 A的特征多项式为
3 1 (3)21
1 3 8 6 2 ( 4 )2 ()
所A 的 以特征 12,值 24.为
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
.
5
即
x1x20, x1x20.
解x1 得 x2,所以对应的特征 取向 为 p1量 11可 .
为 A的 特征方程 .
记 fA E,它是 的n次多项 ,称其式
为方 A 的 特阵 征多项式 .
.
3
4 .设 n 阶方 A a ij阵 的特1,征 2, , 值
n ,则有
( 1 ) 1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ;n
( 2 ) 12 n A .
.
4
例1 求A 3 1的特征值和特.征向量 1 3
说明 1.特征向 x量 0,特征值问题是言 对的 . 方
2.n阶方A阵 的特征,就 值是使齐次线性方
AEx0有非零解 值 的,即满足方 A程 E
0的都是矩A的 阵特征. 值
.
2
3.AE0
a11 a12
a21
a22
a1n a2n 0
an1
an2 ann
称以 为未知数n次 的方 一A程 元 E0
.
15
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1p1,x2p2,,xmpm11 m 2
m m 2m 11 0 ,0 , ,0
上式等号左端第阵二的个行矩列式为范列德蒙
式,当各 i不相等,该 时行列式不0,从 等而 于该矩阵
可逆 .于是有 x 1 p 1 , x 2 p 2 , , x m p m 0 , 0 , , 0 ,
.
17
因,如 为果 x同设 时 A的 是 属于 1,特 2的征 12的特征 ,即向 有量
A 1 x x , A 2 x x
1x2x
1 x 1 p 1 2 x 2 p 2 m x m p m 0 ,
类推之，有 1 k x 1 p 1 k 2 x 2 p 2 k m x m p m 0 . k 1 , 2 , ,m 1
故 m 是A 矩 m 的阵 特 ,且 x 是 征 A m 对 值 应 m 的于 特
征.向量
.
13
2当 A 可,逆 0 ,时
由 Ax x可得
A 1 A A x 1 x A 1 x
A 1x 1x 故 1 是A 矩 1 的 阵 特 ,且 x 是 征 A 1 对 值 应 1
.
12
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1)m 是 A m 的特 m 是 征任 值 .意常
(2)当 A可逆 ,1是 时 A1的特. 征值
证明 1 A x x
A A A x x A x x A 2x2x
再继续施行上述步骤 m2次，就得 Amxmx
的特 . 征向量
.
14
二、特征值和特征向量的性质
定1理 设 1,2,,m是方 A的 阵 m个特,征 p1,p2值 ,
,pm依次是与之 向 对 .如 量 应 果 1,的 2,特 ,m 征
各不,则 相 p1,等 p2,,pm线性.无关 证明 设有 x 1 ,x 2 , 常 ,x m 使 数
x 1 p 1 x 2 p 2 x m p m 0 .
.
11
当 2 3 2 时 , 解 A 2 E 方 x 0 . 由 程
4 A2E 0
1 0
1 0~04
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对 2应 3于 2的全部特:征向
k2p 2k3p 3 (k2,k3不同 0 ).时为
2 AE4
1 2
0 0~1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
.
8
1 得基础解系p22,
1
所 kp 以 2(k0 )是对 2应 31 的 于全.部
.
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2 例３ 设A 0
1 2
10 ,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
AE 0 2 0
4 1 3
( 1 ) 2 2,
当 1 2 时 ,解 ( A 方 2 E ) x 0 程 . 由
.
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3 A2E4
1 1
0 0~1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
p10,
所k以 p1(k0)是对 1 应 12 的于 全部 . 特 当 2 3 1 时 ,解 ( A 方 E ) x 0 . 由 程
当 24时 ,由
34 1 x1 0 ,即 11 x1 0 , 1 34x2 0 11x2 0
解得x1x2,所以对应的特征取 向为 量可
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
p2
1
.
.
6
例２
求矩A阵14
1 3
00的特征值和特. 征
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 0 AE 4 3 0 (2)(1)2,
1 0 2
所 A 的 以特 1 征 2 ,2 值 31 .为
矩阵的特征值及特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
.
1
一、特征值与特征向量的概念
定义 1 设A是n阶矩,阵 如果数 和n维非零列向 x 量
使关系式
Axx
成立,那末,这样的数 称为方A阵 的特征,非 值零向
量x称为A的对应于特征 的值 特征向. 量
令 ( 1 ) 2 2 0
得 A 的特 1 征 1 ,2值 32 为 .
.
10
当 1 1 时 , 解 A E 方 x 0 . 由 程
1 AE 0
1 3
1 0~1 0
0 1
1 0,
4 1 4 0 0 0
1
得基础解系p1
0,
1
故对应 1 于 1的全体特征向量为
kp1 (k0).
即 x jp j 0 j 1 ,2 , ,m .但pj 0,故 x j 0 j 1 ,2 , ,m .
所以 p 1 ,p 2 向 , ,p m 线 量性 .组无关
.
16
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
解 A的特征多项式为
3 1 (3)21
1 3 8 6 2 ( 4 )2 ()
所A 的 以特征 12,值 24.为
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
.
5
即
x1x20, x1x20.
解x1 得 x2,所以对应的特征 取向 为 p1量 11可 .
为 A的 特征方程 .
记 fA E,它是 的n次多项 ,称其式
为方 A 的 特阵 征多项式 .
.
3
4 .设 n 阶方 A a ij阵 的特1,征 2, , 值
n ,则有
( 1 ) 1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ;n
( 2 ) 12 n A .
.
4
例1 求A 3 1的特征值和特.征向量 1 3
说明 1.特征向 x量 0,特征值问题是言 对的 . 方
2.n阶方A阵 的特征,就 值是使齐次线性方
AEx0有非零解 值 的,即满足方 A程 E
0的都是矩A的 阵特征. 值
.
2
3.AE0
a11 a12
a21
a22
a1n a2n 0
an1
an2 ann
称以 为未知数n次 的方 一A程 元 E0
.
15
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1p1,x2p2,,xmpm11 m 2
m m 2m 11 0 ,0 , ,0
上式等号左端第阵二的个行矩列式为范列德蒙
式,当各 i不相等,该 时行列式不0,从 等而 于该矩阵
可逆 .于是有 x 1 p 1 , x 2 p 2 , , x m p m 0 , 0 , , 0 ,
.
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因,如 为果 x同设 时 A的 是 属于 1,特 2的征 12的特征 ,即向 有量
A 1 x x , A 2 x x
1x2x