第二章连续时间控制系统的数学模型
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信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
基本要求-控制系统数学模型
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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电气系统三元件（知识补充）
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2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
第二章-1-建模基本概念-电路-传递函数-方块图
2
1 RCs RC 1
电路及组成
例2：电阻电感电容（RLC）串联电路
1 LDi Ri ie CD
uR
L 1 DuR uR e R RCD
d 2uc (t ) duc (t ) T1T2 T2 uc (t ) e 2 dt dt
• 上述方程是线性定常微分方程。由这种方程描述的系统又称为 线性时不变（ linear time-invariant, LTI ）系统。由二阶微 分方程描述的系统称为二阶系统。
的方块图。
U
ei
i
R
U
o
I
1
Cs
e0
1 U0 I , Cs
U
i
Ui Uo I R
I
1 Cs
1 R
U
o
传递函数
U o (s) 1 U i(s) RCs 1
电路及组成
一阶系统的阶跃响应
考察标号为***的方程（ 称为一阶微分方程 ）
de0 T e0 ei dt
控制轨迹
***
19
电路及组成
一阶系统的阶跃响应
y x
A KA 0.632KA
de0 T e0 ei d dt
***
y (t ) KA(1 e
T1 T2
t
T
)
t 时域响应分析： 当 t=0, y(0)=0, 当 t=T, , 当
t
dy dt
t
t 0
KA T dy dt 0
y (T ) KA(1 e 1 ) 0.632 KA
图 2.1
va
LD R LD
vb
16
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第2章连续控制系统的数学模型
第2章连续控制系统的数学模型2.1 控制系统数学模型的概念控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。
所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。
一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
2.1.1 数学模型的类型数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同的类型。
下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。
静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。
动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。
静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。
连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。
离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。
自动控制原理第2章
传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
第二章-5-信号流图
H 3 (s)
H 5 (s)
y
H4
22
信号流图
梅逊增益公式：例子
例1
u 1 1
H 1 (s)
H 3 (s) H 2 (s)
H6
H 5 (s)
y
H4
步骤 1：确定回路增益（-- 图中紫色所示）
回路 1: H1 ( s ) H 3 ( s )
回路 2 : H1 ( s ) H 2 ( s ) H 4 ( s )
传输增益可以通过线性代数处理方法获得。 传输增益可以通过线性代数处理方法获得 我们也可以直接根据 SFG 进行分析获得相同的结果。 对于由大量线性方程描述的系统，我们可以通过“观察” 对于由大量线性方程描述的系统 我们可以通过“观察” SFG 求得
系统输出信号，在这种情况下，信号流图分析方法将有很大的优势。
y
H4
步骤 3：确定与通道 1 不接触的回路——无 步骤 4：确定与通道 2 不接触的回路——无 步骤 5：分别计算通道 1 和 2 的余子式
i ( s ) 1 与通道 i 不接触的回路增益
所有2个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积 所有3个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积
24
信号流图
梅逊增益公式：例子
在此例中，所有回路均与前向通道接触，因此有 1 2 1
步骤 6：计算系统的流图特征式
( s ) 1 所有单回路增益 所有两两互不接触回路增益之积
所有三个互不接触回路增益之积
(s) 1 H 1H 3 H 1 H 2 H 4
信号流图
自动控制 自动控制理论
第二章 连续时间控制系统的数学模型
H 5 (s)
y
H4
22
信号流图
梅逊增益公式：例子
例1
u 1 1
H 1 (s)
H 3 (s) H 2 (s)
H6
H 5 (s)
y
H4
步骤 1：确定回路增益（-- 图中紫色所示）
回路 1: H1 ( s ) H 3 ( s )
回路 2 : H1 ( s ) H 2 ( s ) H 4 ( s )
传输增益可以通过线性代数处理方法获得。 传输增益可以通过线性代数处理方法获得 我们也可以直接根据 SFG 进行分析获得相同的结果。 对于由大量线性方程描述的系统，我们可以通过“观察” 对于由大量线性方程描述的系统 我们可以通过“观察” SFG 求得
系统输出信号，在这种情况下，信号流图分析方法将有很大的优势。
y
H4
步骤 3：确定与通道 1 不接触的回路——无 步骤 4：确定与通道 2 不接触的回路——无 步骤 5：分别计算通道 1 和 2 的余子式
i ( s ) 1 与通道 i 不接触的回路增益
所有2个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积 所有3个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积
24
信号流图
梅逊增益公式：例子
在此例中，所有回路均与前向通道接触，因此有 1 2 1
步骤 6：计算系统的流图特征式
( s ) 1 所有单回路增益 所有两两互不接触回路增益之积
所有三个互不接触回路增益之积
(s) 1 H 1H 3 H 1 H 2 H 4
信号流图
自动控制 自动控制理论
第二章 连续时间控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来 得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析 法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型： 经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统） 、传递函数、系 统方框图和信号流图； 现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则 无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性
第2章 连续系统的数学模型
1 j f (t ) L F ( s) F ( s)e st ds , t 0 j 2j
1
L－1为拉氏反变换的符号。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所
27
第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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27
第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
2第二章、连续时间系统的时域分析
1 4p
2
H2(
p)
2
p3
1 3p2
4
p
2
H1(
p)
2
2 p2 p3 3p2
p
1 4p
2
H2(
p)
2 p3
1 3p2
4
p
2
讨论：
1、在电路中有三个独立的储能元件，为一个三阶系 统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式 的最高次数应为三次。
2、所以这类题目也可直接求解，最后通过核对电路 的阶数来确定是否能消去分子分母中的公共因子。
1 C1 r(0)
n
C2
r(0)
n2 C3 r(0)
nn1 Cn r(n1) (0)
C1 1
C2
1
C3 12
Cn 1n1
1
2 2 2
n1 2
1
3 32
n1 3
1
1
r(0)
n
r(0)
n2 r(0)
nn1 r(n1) (0)
一、特征根为异（实）根 算子方程写为： ( p 1)( p 2 ) ( p n )r 0
由前面的讨论可写出解的一般形式：
r(t) C1e1t C2e2t Cnent
若给定系统的n个初始条件：r(0), r(0), r(n1) (0)
我们就可以确定其中的待定常数C1，C2，…Cn。
)i1
1 p
i2
e
1 p
i1
(2 p
1
1 p
)i2
0
( p2
p
1)
1 p
i1
1 p
i2
e
1 p
i1
第2章控制系统的数学模型
自动控制理论
同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统 也可以有相同形式的数学模型。
相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1
与例2-3为力－－电荷相似系统。
1/15/2020
自动控制理论
思考题：给出双RC电路的微分方程
i1 ui
R1 ic
C1
R2 i2 u C2
1
C
i1dt R1(i1 i2 ) 0
R1
ui
i2
R2
uO
R2i2 uO
进行拉氏变换
1/15/2020
R1I1 (s) (R1 R2 )I2 (s) Ui (s)
(1 Cs
R1 )I1 (s)
R1I 2 (s)
0
R2 I2 (s) UO (s)
自动控制理论
dt
L[ d 2 f (t) ] s2 F (s) sf (0) f （0） dt 2
L
d
nf dt
(t
n
)
snF (s)
n k 1
s nk
f
(k 1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
1/15/2020
L[ f (t)(dt)n自]动控F制s(理ns)论
第2章 控制系统的数学模型
主要内容:
数学模型基础 控制系统的微分方程 控制系统的传递函数 控制系统的结构图 信号流图与梅逊公式
1/15/2020
自动控制理论
2.1 数学模型基础
1.数学模型：用数学的方法和形式表示并描述系统中各
自动控制原理(王万良)第二章
惯性环节: 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要经过一段
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
ห้องสมุดไป่ตู้
±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
ห้องสมุดไป่ตู้
±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
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6
方块图：串联
U(s) =U1(s)
H1(s)
Y1(s) = U2 (s)
H 2 (s)
Y (s) = Y2(s)
Y (s) = Y2 (s) = H2 (s)U2 (s) = H2 (s)Y1(s) = H2 (s)H1(s)U (s)
G(s)
=
Y (s) U(s)
=
H2(s)H1(s)
N个方块串联
R(s)
⊕
－
Gc (s)
Uu((ts))
cC((ts))
Gv (s)
Gp (s)
H (s)
11
基本概念（2）
¾ 控制系统的关注点
– 系统结构和参数已知时， 典型输入信号下被控变量 变化的全过程
¾ 控制系统的基本要求
–稳定性 –快速性 –准确性
–高级控制系统：
鲁棒性 安全性 智能性 ……
– 例：弹簧-质量-阻尼系统和电阻-电感-电容电路都可以由二阶线性微分方 程描述
¾ 控制系统性能分析与设计的效果取决于系统特性数学模型 的优劣
13
基本概念（4）vs动态(Dynamic)模型
– 静态数学模型——描述控制系统变量之间关系的代数方程(Algebraic equation) ，可理解为系统处于静止状态时各变量间的关系
过渡过程的概念
12
基本概念（3）
¾ 数学模型
– 描述控制系统变量之间关系的数学表达式
¾ 数学模型是实际物理系统的抽象与近似，是对实际物理系 统作简化假设的结果。
¾ 同一个物理系统可以由若干不同的模型描述，这些模型对 应着不同的、待研究的系统特性。
– 例：晶体管分别具有高频模型和低频模型
¾ 同一个模型可以对应不同的实际物理系统
Φ(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 − G(s)H (s)
Φ(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 + G(s)H (s)
正反馈
N注ot意e!!
负反馈
9
方块图：反馈
U(s)
U1(s)
±
Y2(s)
H1(s)
Y1(s) Y (s)
U2(s)
H 2 (s)
U(s)
H1(s)
Y(s)
1m H1(s)H2(s)
Y (s) = H1(s)U1(s) = H1(s)[U (s) ± Y2 (s)] = H1(s)[U (s) ± H2 (s)Y (s)] Y (s)[1m H1(s)H2 (s)] = H1(s)U (s)
Φ(s) = Y (s) = H1(s) U (s) 1m H1(s)H2(s)
2
第二章 主要内容
9 概述 9 列写动态系统的微分方程 9 状态及状态空间模型 9 传递函数 9 特殊环节的建模及处理 9 控制系统中其他环节的数学模型 9 系统总传递函数及方块图 9 信号流图与梅逊公式 9 各种数学模型间的关系
3
第二章关键词
¾ 数学模型， 建模 ¾ 动态系统（单元） ¾ 微分方程模型，状态空间模型 ¾ 传递函数(Transfer Function ) ¾ 开环传递函数，闭环传递函数 ¾ 方块图（Block Diagram)，仿真（模拟）图 ¾ 信号流图（ Signal Flow Graph, SFG） ¾ 梅逊增益公式
4
方块图
¾ 物理元件的方块图表示，我们已经在前面接触过。对于图中的 每个方块，还可以利用传递函数来表征相应元件（方块）的输 入与输出之间的动态数学关系（包括反馈）。
¾ 对于由多个元件组成的控制系统，可以将描述各元件的传递函 数放到方块中，构成以传递函数及方块表示的方块图。
U(s)
Y(s)＝G(s)U(s)
N个方块并联
8
方块图：反馈
⊕ R(s) U1(s)
-
Y2(s)
G(s)
Y1(s) C(s)
H (s) U2(s)
C(s) = G(s)U1(s) = G(s)[R(s) + Y2(s)] = G(s)[R(s) + H (s)C(s)] C(s)[1 − G(s)H (s)] = G(s)R(s)
其中， “+” 表示正反馈；“－” 表示负反馈
10
基本概念（1）
¾ 控制系统作用的本质
–被控对象具有其自身的系统特性 –加入控制系统(环节)后形成的系统(闭环反馈控制系统)的系统
特性发生变化，变化内容取决于加入的控制系统（环节） –根据被控对象(开环系统)原有的系统特性和闭环反馈控制系统
所需要达到的系统特性，设计出满足要求的控制系统（环节）
G(s)
方块图
¾ 输入输出关系也可用增益 H (D) 表示，可以简化为
u
H ( D)
y
5
方块图的基本构成
¾ 方块图是控制系统或对象中每个环节（元件）的功能和 信号流向的图解表示。每一个方块填写环节（元件）的传 递函数，指向方块的箭头表示该环节的输入信号，离开方 块的箭头表示该环节的输出信号，它是输入信号与方块内 的传递函数运算后的结果。注意箭头方还标明了相应的信 号符号（有时“＋”会省略）。 ¾ 根据方块图与传递函数的定义，可以直接由系统各个环 节之间的关系用图解的方式描述系统的信息传递－－也是 一种建模方法。
自动控制理论
第二章 连续时间控制系统的数学模型
Chapter 2 Writing System Equations for Continuous -time Control Systems----Modeling
浙江大学控制科学与工程学系
第一章回顾
控制、负反馈控制 开环控制系统、闭环控制系统 自动控制系统中常用术语 控制系统分类 控制系统的基本组成及方块图表示
– 动态数学模型——描述控制系统变量各阶导数之间关系的微分方程 (Differential equation) ，可反映系统处于动态情况下的特性
– 静态数学模型是动态数学模型的特例
¾ 线性(Linear)模型vs非线性(Nonlinear)模型
– 线性数学模型——各变量间关系均为线性关系 – 非线性数学模型——只要有一对变量间关系为非线性关系 – 现实世界中变量间多为非线性关系，线性模型是对现实世界的近似
7
方块图：并联
U1(s)
U(s)
H1(s)
U2(s) H 2 (s)
Y1(s)
Y (s)
⊕
Y2(s)
G(s)
=
Y (s) U(s)
=
H1(s)
+
H2
(s)
Y (s) = Y1(s) + Y2 (s) = H1(s)U1(s) + H2 (s)U2 (s) = (H1(s) + H2 (s))U (s)
方块图：串联
U(s) =U1(s)
H1(s)
Y1(s) = U2 (s)
H 2 (s)
Y (s) = Y2(s)
Y (s) = Y2 (s) = H2 (s)U2 (s) = H2 (s)Y1(s) = H2 (s)H1(s)U (s)
G(s)
=
Y (s) U(s)
=
H2(s)H1(s)
N个方块串联
R(s)
⊕
－
Gc (s)
Uu((ts))
cC((ts))
Gv (s)
Gp (s)
H (s)
11
基本概念（2）
¾ 控制系统的关注点
– 系统结构和参数已知时， 典型输入信号下被控变量 变化的全过程
¾ 控制系统的基本要求
–稳定性 –快速性 –准确性
–高级控制系统：
鲁棒性 安全性 智能性 ……
– 例：弹簧-质量-阻尼系统和电阻-电感-电容电路都可以由二阶线性微分方 程描述
¾ 控制系统性能分析与设计的效果取决于系统特性数学模型 的优劣
13
基本概念（4）vs动态(Dynamic)模型
– 静态数学模型——描述控制系统变量之间关系的代数方程(Algebraic equation) ，可理解为系统处于静止状态时各变量间的关系
过渡过程的概念
12
基本概念（3）
¾ 数学模型
– 描述控制系统变量之间关系的数学表达式
¾ 数学模型是实际物理系统的抽象与近似，是对实际物理系 统作简化假设的结果。
¾ 同一个物理系统可以由若干不同的模型描述，这些模型对 应着不同的、待研究的系统特性。
– 例：晶体管分别具有高频模型和低频模型
¾ 同一个模型可以对应不同的实际物理系统
Φ(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 − G(s)H (s)
Φ(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 + G(s)H (s)
正反馈
N注ot意e!!
负反馈
9
方块图：反馈
U(s)
U1(s)
±
Y2(s)
H1(s)
Y1(s) Y (s)
U2(s)
H 2 (s)
U(s)
H1(s)
Y(s)
1m H1(s)H2(s)
Y (s) = H1(s)U1(s) = H1(s)[U (s) ± Y2 (s)] = H1(s)[U (s) ± H2 (s)Y (s)] Y (s)[1m H1(s)H2 (s)] = H1(s)U (s)
Φ(s) = Y (s) = H1(s) U (s) 1m H1(s)H2(s)
2
第二章 主要内容
9 概述 9 列写动态系统的微分方程 9 状态及状态空间模型 9 传递函数 9 特殊环节的建模及处理 9 控制系统中其他环节的数学模型 9 系统总传递函数及方块图 9 信号流图与梅逊公式 9 各种数学模型间的关系
3
第二章关键词
¾ 数学模型， 建模 ¾ 动态系统（单元） ¾ 微分方程模型，状态空间模型 ¾ 传递函数(Transfer Function ) ¾ 开环传递函数，闭环传递函数 ¾ 方块图（Block Diagram)，仿真（模拟）图 ¾ 信号流图（ Signal Flow Graph, SFG） ¾ 梅逊增益公式
4
方块图
¾ 物理元件的方块图表示，我们已经在前面接触过。对于图中的 每个方块，还可以利用传递函数来表征相应元件（方块）的输 入与输出之间的动态数学关系（包括反馈）。
¾ 对于由多个元件组成的控制系统，可以将描述各元件的传递函 数放到方块中，构成以传递函数及方块表示的方块图。
U(s)
Y(s)＝G(s)U(s)
N个方块并联
8
方块图：反馈
⊕ R(s) U1(s)
-
Y2(s)
G(s)
Y1(s) C(s)
H (s) U2(s)
C(s) = G(s)U1(s) = G(s)[R(s) + Y2(s)] = G(s)[R(s) + H (s)C(s)] C(s)[1 − G(s)H (s)] = G(s)R(s)
其中， “+” 表示正反馈；“－” 表示负反馈
10
基本概念（1）
¾ 控制系统作用的本质
–被控对象具有其自身的系统特性 –加入控制系统(环节)后形成的系统(闭环反馈控制系统)的系统
特性发生变化，变化内容取决于加入的控制系统（环节） –根据被控对象(开环系统)原有的系统特性和闭环反馈控制系统
所需要达到的系统特性，设计出满足要求的控制系统（环节）
G(s)
方块图
¾ 输入输出关系也可用增益 H (D) 表示，可以简化为
u
H ( D)
y
5
方块图的基本构成
¾ 方块图是控制系统或对象中每个环节（元件）的功能和 信号流向的图解表示。每一个方块填写环节（元件）的传 递函数，指向方块的箭头表示该环节的输入信号，离开方 块的箭头表示该环节的输出信号，它是输入信号与方块内 的传递函数运算后的结果。注意箭头方还标明了相应的信 号符号（有时“＋”会省略）。 ¾ 根据方块图与传递函数的定义，可以直接由系统各个环 节之间的关系用图解的方式描述系统的信息传递－－也是 一种建模方法。
自动控制理论
第二章 连续时间控制系统的数学模型
Chapter 2 Writing System Equations for Continuous -time Control Systems----Modeling
浙江大学控制科学与工程学系
第一章回顾
控制、负反馈控制 开环控制系统、闭环控制系统 自动控制系统中常用术语 控制系统分类 控制系统的基本组成及方块图表示
– 动态数学模型——描述控制系统变量各阶导数之间关系的微分方程 (Differential equation) ，可反映系统处于动态情况下的特性
– 静态数学模型是动态数学模型的特例
¾ 线性(Linear)模型vs非线性(Nonlinear)模型
– 线性数学模型——各变量间关系均为线性关系 – 非线性数学模型——只要有一对变量间关系为非线性关系 – 现实世界中变量间多为非线性关系，线性模型是对现实世界的近似
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方块图：并联
U1(s)
U(s)
H1(s)
U2(s) H 2 (s)
Y1(s)
Y (s)
⊕
Y2(s)
G(s)
=
Y (s) U(s)
=
H1(s)
+
H2
(s)
Y (s) = Y1(s) + Y2 (s) = H1(s)U1(s) + H2 (s)U2 (s) = (H1(s) + H2 (s))U (s)