二次函数y=abc解析式求法
二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．3.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础;熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证;二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c a ≠0;2、顶点式：y=ax －h 2+k a ≠0,其中点h,k 为顶点,对称轴为x=h;3、交点式：y=ax －x 1x －x 2 a ≠0,其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标;4.对称点式： y=ax －x 1x －x 2+m a ≠0求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式;2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式;3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离,通常可设交点式;4.若已知二次函数图象上的两个对称点x 1、mx 2、m,则设成： y=ax －x 1x －x 2+m a ≠0,再将另一个坐标代入式子中,求出a 的值,再化成一般形式即可;探究问题,典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+bx+c a ≠0;解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c a ≠0 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4;例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式;分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=ax －h 2+k a ≠0,其中点h,k 为顶点;解：依题意,设这个二次函数的解析式为y=ax －42－1 a ≠0又抛物线与y 轴交于点)3,0(;∴a0－42－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41x －42－1,即y=41x 2－2x+3; 例3、如图,已知两点A －8,0,2,0,以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C0、4;求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;分析：A 、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点,所以可设交点式y=ax －x 1x －x a ≠0,其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标;2解：依题意,设这个二次函数的解析式为y=ax+8x －2例4、 已知函数y=x 2+kx －3k>0,图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4 1求实数k 的值；2若P 为上述抛物线上的一个动点除点C 外,求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标;变式练习,创新发现1、已知抛物线过A －2,0、B1,0、C0,2三点;求这条抛物线的解析式;2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(,与y 轴交于点)5,0(,求这条抛物线的解析式;2、已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为1,-92,且经过点－2,0,求该二次函数的函数关系式;3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3,且函数有最大值为2,图象与x 轴的一个交点是-1,0,求这个二次函数的解析式;4、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示,则这个二次函数的关系式是________;5、已知：抛物线在x 轴上所截线段为4,顶点坐标为2,4,求这个函数的关系式6、已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零,求此函数的解析式; 7. 已知某抛物线是由抛物线y=x 2-x-2经过平移而得到的,且该抛物线经过点A1,1,B2,4,求其函数关系式;9、已知四点A1,2,B0,6,C －2,20,D －1,12,试问是否存在一个二次函数,使它的图象同时经过这四个点 如果存在,请求出它的关系式；如果不存在,说明理由;5、。
二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)
二次函数图像和性质，解析式求法二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．知识图谱错题回顾知识精讲一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1 D ． y=x 2+例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x=-+，其中二次函数的个数为（ ）随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质三点剖析题模精讲随堂练习知识精讲a 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2）例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的三点剖析题模精讲随堂练习坐标为（ ）A ． ()3,3-B ．()3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3 C ． ()2,3-- D ． ()2,3-例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5C ． 3D ． 3-例3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>题模二：y=a （x-h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =-- D ． 22(4)33y x =--题模精讲随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象 开口方向对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．知识精讲三点剖析二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．B ． 2C ．D ．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）题模精讲A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ． C． D ．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．随练4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）O y x11随堂练习A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4随练4.4在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式． 题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5-B ． 5C ． 3D ． 3-x =1y xO知识精讲三点剖析题模精讲例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式．例5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．随练5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．随练5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： 随堂练习知识精讲()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<；（2）至少有一个正根．题模二：二次函数与x 轴交点三点剖析题模精讲例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值．随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．随堂练习自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ．22y x =+ D ． 2122y x x =-作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ） A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ）A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．作业7 在同一直角坐标系中画出二次函数2y x =-，212y x =-，2y x =，212y x =的图像，并简单说明图像之间的规律．课后作业作业8 对于()2232y x =++的图象下列叙述错误的是（ ） A ． 顶点坐标为()3,2-B ． 对称轴为3x =-C ． 当3x <-时y 随x 增大而减小D ． 函数有最大值为2作业9 抛物线()223y x =-+-的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3- C ．()2,3 D ．()2,3--作业10 若二次函数22y x x c =++配方后为2()7y x h =++，则c 、h 的值分别为（ ）A ． 8、－1B ． 8、1C ． 6、－1D ． 6、1作业11 已知二次函数()23y a x b =--和()25y b x a =+-分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．作业12 将抛物线23y x =向_______平移________个单位，再向_______平移________个单位，就能得到抛物线()2335y x =+-．作业13 已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．作业14 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y <<C ． 312y y y <<D ． 132y y y <<作业15 二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求()()231421m m m +-+的值及点B 、点C 的坐标； （2）直接写出当0y >时，x 的取值范围； （3）直接写出当12x -≤≤时，y 的取值范围．作业16 设23y x ax a =++-，（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．作业17 在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y bx a =+的图象可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图作业18 小明从二次函数2y ax bx c =++的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->．你认为其中正确的信息是（ ）A ． ②③④⑤B ． ①②③④C ． ①③④⑤D ． ①②③⑤作业19 已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示．（1）确定a 、b 、c 的符号； （2）求a b c ++的取值范围．作业20 如果抛物线2y ax bx c =++经过点()1,12-，()0,5和()2,3-，则a b c ++的值为（ ）A ． 4-B ． 2-C ． 0D ． 1作业21 已知二次函数图象经过点()1,3A ，()0,2B ，()5,3C 三点，求此二次函数解析式．作业22 把二次函数243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，其结果是（ ） A ． ()221y x =-- B ． ()221y x =+- C ． ()227y x =-+ D ． ()227y x =++作业23 已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0和()5,0-两点，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式．作业24 已知二次函数的图象经过原点及点（-12，-14），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．作业25 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于()2,0、()4,0，顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式．作业26 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图，方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <，则两实根满足（ ）A ． 1213x x <<<B ． 1213x x <<<C ． 1213x x <<<D ． 1201,34x x <<<<作业27 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．作业28 已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为1x a =，2x b = ()a b <，则二次函数2y x mx n =++中，当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ． x a < B ． x b >C ． a x b <<D ． x a <或x b >作业29 已知关于x 的一元二次方程()231230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．yxO 21 3。
二次函数系数abc的应用和解析式
二次函数系数与解析式1、二次函数定义：一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项次数、一次项系数和常数项.定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，已知抛物线上三点或三对x ，y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：)0)(()(21≠--=a a x x x x a y 常数，。
已知抛物线与x 轴交点的横坐标x 1、x 2，通常选用交点式。
3、二次函数c bx ax y ++=2中a ，b ，c 的作用：（1） a 决定_________。
①当________时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x <-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-ab2时，y 随x 的增大而________.②当_________时，图象开口向下，当x =_________时，函数有最___值________； x >-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-ab2时，y 随x 的增大而________. ③当|a |越大，图象开口越_____.（2）a 和b 共同决定________.①b=0时，对称轴为______；②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧.简记为 。
（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置.①当_______时，图象与y 轴正半轴相交； ②当______时，图象与y 轴负半轴相交； ③当______时，图象过原点.例题1【★★】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）2x y = （2）21xy -= （3）122--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y （6）)1)(1()1(2-+--=x x x y例题2【★★】若函数mm x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。
初中数学-二次函数的解析式
∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
专题05 二次函数的三种表示方式-2021年初升高数学无忧衔接(原卷版)
初高中天衣无缝衔接教程专题05二次函数的三种表示方式本专题在初中、高中扮演的角色二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【能力提升】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线.（1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积. 高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )． 典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标． 典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x ＝－2，此时抛物线与x 轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x 轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【能力提升】已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3．（1）求该二次函数与x 轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y ＜0时，x 的取值范围．专题验收测试题1．如图，二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠与一次函数：y =mx +n (m ≠0)的图象交于A ，B 两点，则一元二次方程2ax bx c mx n ++=+的解为( )A ．121x x ==-B ．11x =，22x =C ．11x =-，22x =D ．122x x ==2．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝（x +1）（x ﹣3）与x 轴相交于A 、B 两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C 1、C 2、C 3，使得△ABC 1、△ABC 2、△ABC 3的面积都等于m ，则m 的值是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．163．若抛物线y ＝kx 2﹣2x ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围为( )A ．k ＞﹣1B ．k ≥﹣1C ．k ＞﹣1且k ≠0D ．k ≥﹣1且k ≠04．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为( )A ．x 1＝－3，x 2＝0B ．x 1＝3，x 2＝－1C ．x ＝－3D ．x 1＝－3，x 2＝15．二次函数y ＝x 2﹣6x +m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当8＜x ＜9时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ）A ．27B ．9C ．﹣7D ．﹣166．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则方程220ax bx c ++-=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的正实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．没有实数根7．已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5，第三边长是抛物线y ＝x 2﹣10x +21与x 轴交点间的距离，则a 的值为（ ）A ．3B 41C ．341D ．不能确定8．己知抛物线2y ax bx c =++(0)b a >>与x 轴最多有一个交点，现有以下三个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴右侧；②关于x 的方程210ax bx c +++=无实数根；③420a b c ++>；其中，正确结论的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．函数y ＝mx 2+2x ﹣3m （m 为常数）的图象与x 轴的交点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个 10．已知函数()()()()22113{513x x y x x --≤=--＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．311．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜112．若二次函数21y ax bx =+-的最小值为2-，则方程212ax bx +-=的不相同实数根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．513．关于x 的方程（x ﹣3）（x ﹣5）=m （m ＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ） A ．3＜α＜β＜5 B ．3＜α＜5＜β C ．α＜2＜β＜5 D ．α＜3且β＞514．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．②④⑤15．已知抛物线2y ax bx c =++中，40a b -=，0a b c -+>，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（ ）．A ．0abc <B ．0c >C ．4a c >D ．0a b c ++>16．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤17．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+2m 2（m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上一个动点（点C 与点A ，B 不重合），D 是OC 的中点，连结BD 并延长，交AC 于点E ，则CE AE 的值是_____________．18．已知直线y=b （b 为实数）与函数 y=243x x -+的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围.19．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y =ax 2+bx +c（a ≠0）与x 轴交于C 、D 两点，点C 在点D 左侧，当顶点在线段AB 上移动时，点C 横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a -b +c 的最小值是____．20．如图，二次函数()22y x m =++的图象与y 轴交于点C ,与x 轴的一个交点为()1, 0A -,点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y kx b =+的图象经过,A B 两点,根据图象,则满足不等式()22x m kx b ++≤+的x 的取值范围是_____________21．将函数223y x x =+-的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的是新函数223y x x =+-的图象.若该新函数图象与直线12y x b =-+有两个交点，则b 的取值范围为___________． 22．如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于A B 、两点，对称轴与x 轴交于点C ，点()0,2D -，点()06，-E ，点P 是平面内一动点，且满足=90,∠︒DPE M 是线段PB 的中点，连结CM ．则线段CM 的最大值是________________．23．已知y 关于x 的二次函数212y ax x =+和一次函数2y x a =-，若函数1y 的图象始终在函数2y 的图象的一侧，则常数a 的取值范围是__________．24．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(4,0)-，对称轴为直线1x =-，下列结论：①0abc >；②20a b -=；③一元二次方程20ax bx c ++=的解是14x =-，21x =；④当0y >时，42x -<<，其中正确的结论有__________．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x 6x 5=-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．()1求点P ，C 的坐标；()2直线l 上是否存在点Q ，使PBQ 的面积等于PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22441y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧） （1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；（2）求线段AB 的长；（3）抛物线与y 轴交于点C （点C 不与原点O 重合），若OAC 的面积始终小于ABC 的面积，求m 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2-2mx+2（m≠0）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）点C ，D 在x 轴上（点C 在点D 的左侧），且与点B 的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．28．已知二次函数2(1)1y mx m x =---．（1）求证这个二次函数的图像一定与x 轴有交点；（2）若这个二次函数有最大值0，求m 的值；（3）我们定义：若二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴正半轴的两个交点的横坐标()1212,x x x x >，满足2＜12x x ＜3，则称这个二次函数与x 轴有两个“黄金交点”．如果二次函数2(1)1y mx m x =---与x 轴有两个“黄金交点”，求m 的取值范围．29．二次函数2y x px q =++的顶点M 是直线12y x =-和直线y x m =+的交点．(1)用含m 的代数式表示顶点M 的坐标．(2)①当2x ≥时，2y x px q =++的值均随x 的增大而增大，求m 的取值范围．②若6m =，且x 满足13t x t -≤≤+时，二次函数的最小值为2，求t 的取值范围．(3)试证明：无论m 取任何值，二次函数2y x px q =++的图象与直线y x m =+总有两个不同的交点．30．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A B 、(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C ．()1求点、、A B C 的坐标；()2若点E 是抛物线在第二象限部分上的一动点，其横坐标为,a 求a 为何值时，图中阴影部分面积最小，并写出此时点E 的坐标．。
二次函数解析式求法和图象与系数关系举例
二次函数解析式求法及图象与系数关系举例1.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中自变量x 和函数y 的部分对应值如下表求该二次函数的解析式；[解1]：观察所给的表格此函数图象关于x=12-对称，它的顶点坐标是（12-，94-）所以不妨设二次函数解析式为219()24y a x =+-又因为当x=0时 y=-2所以有 2192(0)24a -=+-a=1所以此二次函数的解析式为219()24y x =+-[解2]设此二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠当x=0时，y=-2; 当x=-1时，y=-2; 当x=1时，y=0;可以列出如下方程：2222(1)(1)011200a b ca b ca b c ⎧-=⨯-+⨯-+⎪=⨯+⨯+⎨⎪-=⨯+⨯+⎩解之得：a=1,b=1,c=-2 所以此二次函数的解析式为 22y x x =+-;2.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为 -2，且抛物线与y 轴交于点（0,1），求这个二次函数的解析式；[解1]：因为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为 -1，可知此抛物线的顶点坐标是（1，-2） 所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2y a x =--； 又抛物线与y 轴交于（0，1） 所以有 21(01)2a =-- a=3所以抛物线的解析式为：23(1)2y x =--[解2] 依题意有：12ba-= ①2424ac b a -=- ② 2001a b c ⨯+⨯+=③ 联立①②③ 解之得 a=3 b=-6 c=1 所以此抛物线的解析式是：2361y x x =-+3.已知当x=1时，二次函数的最大值为2，且过点（2，-3），求此二次函数的解析式； [解1]：依题意设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠当x=1时 2112y a b c =⨯+⨯+= ①2424b aca-=② 2322a b c -=⨯+⨯+③ 解之得 a=-5 b=10 c=-3所以抛物线的解析式是：25103y x x =-+- [解2] 依题意抛物线的顶点坐标是（1,2） 所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2y a x =-+ 有抛物线过（2，-3）所以 23(21)2a -=⨯-+ 解之得 a=-5 所以抛物线的解析式为25(1)2y x =--+4.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，求抛物线的解析式 [解1]从抛物线图象可知:图象关于x=1 对称，与x 轴相交于两点（1x ，0），（3,0这两点也关于x=1对称；所以有：1312x += 1x =-1 所以可以设抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-而点（0,3）在抛物线上，所以 3(01)(03)a =+- a=-1因此，抛物线的解析式是(1)(3)y x x =-+-223y x x =-++ 即223y x x =-++x[解2]：从抛物线图象可知 12(1)b-=⨯-① 2300b c =-+⨯+②解之得 b=2,c=3因此，抛物线的解析式是:223y x x =-++5．二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，求m 的值并写出抛物线的解析式；[解1]：根据二次函数的对称性可以知道：m=-1;函数对应图象的对称轴为x=1， 且当x=1时，y=-2;所以不妨设二次函数的解析式为： 2(1)2y a x =-- 当x=0时，y=-1;即 21(01)2a -=-- a=1 所以此二次函数为2(1)2y x =--[解2]：因为当x=-1,0,1时，y=2，-1，-2；所以把相应值代入得到一个三元一次方程组，解之得a=1, b=-2, c=-1;6. 抛物线y=-x 2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，求所得图象的解析式。
中考难点二次函数知识点及例题最强解析
中考难点二次函数例题解析二次函数可谓是初中数学考试中的常客，月考，期中考试，期末考试，模拟考试都会有它的身影，中考每年都会有一道关于二次函数的压轴题。
中考二次函数主要以综合题的形式考察，通过对近几年中考二次函数考察情况的分析，二次函数综合题得分率不高，难度系数在0.45-0.55之间，属于中考压轴题之一。
所以掌握二次函数的考点至关重要。
下面我们通过习题，引出知识点总结归纳，二次函数将不再茫然！基础知识一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2a≠）的函数，叫做二次函数。
y ax bx c=++（a b c，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：（上加下减）y ax c3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y有最【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型第二部分 考察重点1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式及二次函数的应用2014.6.8一、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二、二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
2、顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0，k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象。
怎样求二次函数的解析式
怎样求二次函数的解析式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点，往往会综合其他函数和几何而作为压轴题，有一定的难度。
这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点，因此学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的第一关。
一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y = ax 2 +bx +c . 解题策略：通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此类问题是中考中最常见的一类。
例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,由已知可得043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ ，解之得1,2,3.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故所求二次函数解析式为y=x 2+2x-3.例2 （2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． 求该抛物线的解析式； 解：由题意知：A （0，6），C （6，0）， 设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,则：⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==c b a c b a c63603906解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=6131c b a∴该抛物线的解析式为6312++-=x x y例3 （2010 山东省德州）已知二次函数c bx ax y ++=2A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)． 求此函数的解析式及图象的对称轴； 解：∵二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点C (0，-3)，∴c =-3．x将点A (3，0)，B (2，-3)代入c bx ax y ++=2得⎩⎨⎧-+=--+=.32433390b a b a ，解得：a =1，b =-2． ∴322--=x x y ．配方得：412--=）（x y ，所以对称轴为=1． 例4 （2010 山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .求此抛物线的解析式；解：∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得343323a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . 例5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．解：（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：xyOA BCP Q MN020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． 二、顶点型若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标，则可以用顶点式y =a (x-h )2+k . 解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此法比较简单。
几何图形中函数解析式的求法(学法指导)
几何图形中函数解析式的求法(学法指导)几何图形中函数解析式的求法函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。
求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。
而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。
如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。
但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。
同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。
我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。
下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。
一、 用图形的面积公式确立等量关系例1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，有一点P 在BC 上运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y （1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。
分析：本题所给的变量y 是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式B CADP图1即222)2(y y x =-+ 整理得1412+=x y在Rt ΔABC 中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=2 ， ∴BC=332 ，∴0<x <332。
于是1412+=x y (0<x <332)为所求的函数解析式。
(2)略二、 用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系例4、如图4，在ΔABC 中，AB=8，AC=6，⊙O 是ΔABC 的外接圆，且BC 是直径，⊙O 与⊙O ’内切于点A ，与边AB 、AC 分别交于点D 、E 。
二次 函数表达式的三种求法
二次函数表达式的三种求法（一）知识内容：顶点式2y a x h k=-+(0()a)≠若已知图像的顶点坐标。
最值。
或对称中方程及顶点坐标的某些性质时用顶点式较简单.例题1若二次函数的顶点坐标（-1，-2），且过点（1,10）求解析式习题，已知二次函数的图像的最高点坐标（6,12）且图像经过点（8,0）求解析式例题2已知函数的顶点坐标(3,-2)且函数的图像与x轴的两交点距离为4，求次函数的解析式。
例题3已知二次函数的图像的与轴的交点A(-2，0) B(3,0)两点，且函数有最大值2，求次函数的解析式。
及顶点p和三角形APB的面积。
习题；1，二次函数当x=-2时，Y有最大值3，其图像过点（0，-1）求次函数的解析式。
2，已知二次函数的图像过点（-1,5），和（2，5）,并且最大值14，求次函数的解析式。
3，已知二次函数过点（-1,0），（3，0）且顶点到X 轴的距离为2，求次函数的解析式。
（二） 交点式，知识内容12()()y a x x x x =--(0≠a ) X1,X2分别是抛物线与X 轴两个交点的横坐标，已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标求次函数的解析式时。
用交点式。
例题1已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标-2和1且过点（2,8）求次函数的解析式。
例题2已知函数的顶点坐标(3,-2)且函数的图像与x 轴的两交点距离为4，求次函数的解析式。
习题1，已知函数的最小值是-3,并且图像与X 轴两交点坐标的横坐标分别是2和3，求次函数的解析式。
2，图像与x 轴交于点（2，0）(-1.0)且过点（0，-2）求次函数的解析式。
3已知抛物线与X 轴交于A （-1,0）B （1,0）并且经过点M （0,1）求次函数的解析式。
4已知抛物线经过(-2,0)（1，0）（2,8）三点，求次函数的解析式。
(三)，二次函数的一般式（三）一般式:2=++(0y ax bx ca)确定图像上三个点坐标代入，得到关于，≠a,b,c的方程。
二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)
例1.1.3若 是二次函数，则 的值是__________．
例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．2
D．5
随练1.1已知函数① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中二次函数的个数为（）
随练1.2已知函数 ，当 _________时，它是二次函数．
4.已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．
一．考点：二次函数解析式的求法．
二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
随练5.1已知一个二次函数过 ， ， 三点，求二次函数的解析式．
随练5.2将二次函数 化为 的形式，结果为（）
A．
B．
C．
D．
随练5.3已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．
随练5.4已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．
2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点．
一．考点： 的图象和性质．
二．重难点： 的图象和性质，参数对图像的影响．
三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．
题模一：y=a^2+bx+c的图象和性质
例4.1.1已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）
5、二次函数各系数之间的关系及解析式的求解
第四讲二次函数解析式的求解【知识梳理】1．二次函数解析式的求法：(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：_____ ___(a≠0)．(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：_____ ___（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h．(3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：____ ___(a ≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．1、二次项系数a：①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。
②a的绝对值越大，开口越小;a的绝对值越小，开口越大。
2、一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴，“左同右异”。
3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置4、抛物线的特殊位置与系数的关系：（1）顶点在x轴上：b²-4ac=0；（2）顶点在y轴上：b=0；（3）顶点在原点：b=c=0；（4）抛物线经过原点：c=0.例1.已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：a____0 , b___0, c___0 , a+b+c____0，a-b+c__0, 2a-b____0 b2-4ac___0,4a+2b+c 0例2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，现有下列结论：①b2－4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c ＞0；⑤9a＋3b＋c＜0，⑥8a+c>0；⑦3a+c<0。
则其中结论正确的是( )(例2) (例3)例3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个x变式练习1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示，给出以下结论：①②当x=1时，函数有最大值。
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c >0；④b2-4ac>0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、abc＞0；B、b2-4ac>0；C、2a+b＞0；D、4a+2b+c＜04、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（）①a+b+c<0；②a-b+c>0；③abc>0；④b=2aA、4B、3C、2D、15、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3，则该二次函数图象的对称轴是直线．6、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象经过象限。
二次函数中考专题一：二次函数解析式的求法
二次函数中考专题专题一：二次函数解析式的求法待定系数法：（1）已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求出a、b、c；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（h，k）对称轴为直线x=h；（3）若已知抛物线与x轴的交点的横坐标，则可采用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中与x轴的交点坐标为（x1，0）（x2，0）.例题：一、已知三点求解析式1．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（-1，-22），（0，-8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点.2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（-1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.4．已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的解析式.5．已知抛物线C：y＝-x2＋bx＋c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标.6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．求抛物线的解析式．7．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx-4a经过点A（-1，0），C（0，4）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标.二、已知顶点或对称轴求解析式1．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0），求该二次函数的解析式.2．已知抛物线y＝x2＋kx＋k＋3，若抛物线的顶点在y轴上，求此抛物线的解析式。
3．已知某二次函数，当x=3时，函数有最小值-2，且函数图象与y轴交于，求此二次函数的解析式。
二次函数 图像的性质 求解析式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
1.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）AA．①②B．①④C．①②③D．①③⑤2.当b<0时，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）B3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) B 123A.4个B.3个C.2个D.1个4.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= cx(a<c)图象可能是图所示的( )AA B C D5.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（） C 134A．1B．2C．3D．46．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）DA．①②B．②③C．②③④D．①②④7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）23 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型八、函数解析式的求法用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
二次函数解析式的求法
函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后解三元方程组求解；1. 已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2. 已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式()k h x a y +-=2求解。
3. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，该二次函数的解析式为。
三、（选学）已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式))((21x x x x a y --=。
5. 的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
B6. 已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。
7. 抛物线c bx x y ++=22与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。
8. 若抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为（1，3），且与22x y =的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。
9. 抛物线c bx x y ++=22与x 轴交于（－1，0）、（3，0），则b ＝，c ＝.10. 若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y 轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。
C11. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。
练习1、二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。
2、 已知抛物线c bx ax y ++=2开口向下，并且经过A （0，1）和M （2，－3）两点。
二次函数解析式求法(待定系数法)
二次函数解析式求法------待定系数法1．二次函数的三种常用形式一般式：()20y ax bx ca =++≠； 顶点式：()()20y a x h k a =−+≠；交点式：()()()120y a x x x x a =−−≠． 2．求二次函数解析式的一般方法已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式()20y ax bx c a =++≠；已知图象上顶点坐标（或对称轴和最值），通常选择顶点式()()20y a x h k a =−+≠；已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2，通常选择交点式()()()120y a x x x x a =−−≠．3．待定系数法求二次函数解析式的一般步骤用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设：指先设出恰当的二次函数解析式；二代：指根据题中所给条件，代入二次函数解析式，得到关于a 、b 、c （或h ，k ）的方程组；三解：指解方程或方程组；四还原：指将求出的a 、b 、c （或h ，k ）代回原解析式中．例题1、已知一个二次函数的图象经过（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点．（1）求出抛物线解析式；（2）判断点（﹣2，﹣40）是否在该抛物线上？说明理由．3、.已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），且过点（0，32）．（1）求此抛物线所对应的函数表达式；（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在此抛物线上．4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A−，，且过点(30)B，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.变式练习1、已知一抛物线与x轴的交点是)0,2A，B（1，0），且经过点(−C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.2、已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．4.已知抛物线2=++的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为y ax bx c4，则抛物线的解析式为___ _____．5.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．。
二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉与面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。
一、三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。
分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。
故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c.二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。
将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即 y=x x 23212 .三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。
分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212++x即y=-.27212+-x x由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x 2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。
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第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法
一、学习目标：
1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式．
二、课前基本练习
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．
3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的
解析式为____________________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－1
2x
2相同，顶点在（1，－2），则抛物线
的解
析式为________________________________．
三、例题分析
例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
四、归纳
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
五、实际问题中求二次函数解析式
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为
3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
六、课堂训练
1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次
函数的解析式．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．
七、目标检测
1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．
Q
P C B A。