工程力学-第6章习题课说课讲解
工程力学静力学课件第六章
§6-1 工程中的空间力系问题 §6-2 力在空间坐标轴上的投影 §6-3 力对轴之矩 §6-4 空间力系的平衡方程 §6-5 重心
【本章重点内容】
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩 空间力系的平衡方程 重心
§6-1 工程中的空间力系问题
空间力系 ：
作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且 也不能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。
一、空间力系的简化
• 空间力系的简化 • 与平面一般力系的简化方法一样，空间力系也
可以简化为一个合力和一个合力偶。
空间汇交力系的合力FR称为力系的主矢
FR F F
力系的主矢在FR三个坐标轴的投影分别为
FRx FRy
Fx Fy
FR
FRz
Fz
( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
实验法测算重心
出于以下两种原因，需要运用实验的方法来测算物体的重心。 （1）由于实际物体外形非常复杂，应用前述的方法难以求出物体的重 心，需要通过实验测算。 （2）对复杂物体进行初步设计后，由于加工误差，成型产品与设计值 有一定的差别，为了准确获得物体（产品）重心，需要通过实验测算 物体的重心。 实验方法主要有：悬挂法和称重法。
2、分割法—将形状较复杂的物体分成具有简单几何形状的几个部分，每一部 分容易确定，然后，再根据重心坐标求出组合形体的重心（简单几何图形的重 心坐标公式可以查表）。
例题6-4：试求图示截面重心的位置。 解：将图示截面分成图示三部分
A1 40cm2 , x1 10cm, y1 1cm A2 54cm2 , x2 0.75cm, y2 20cm A3 30cm2 , x3 6cm, y3 39cm
工程力学 第六章
度 问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
稳 定 问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
工程背景
稳 定 问
压杆
题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
稳 定 问 题
压杆的弹性稳定性分 压杆的弹性稳定性分 析试验
压杆在实验中 的失稳现象
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
3、小变形问题：在静力平衡求约束力时，变形 、 在静力平衡求约束力时，
体的变形可忽略不计。按刚体静力学分析计算。 体的变形可忽略不计。按刚体静力学分析计算。
弹性体模型的理想化 各向同性与各向异性 微观各向异性，宏观各向同性； 微观各向异性，宏观各向同性； 微观各向异性，宏观各向异性。 微观各向异性，宏观各向异性。 均匀连续问题 微观不连续 ，宏观连续 。
拉杆 桥面
江阴长江大桥缆索
缆索
长度可调的拉杆
防掸护栏
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、 强度— 强度— 不因发生断裂或塑性变形而失 破坏）。 效（破坏）。 刚度— 刚度— 不因发生过大的弹性变形而失 丧失承载功能）。 效（丧失承载功能）。 稳定性— 稳定性— 不因发生由于平衡形式的突然 转变而失效。 转变而失效。
应变
概念和定义
正应变与切应变
线变形与剪切变形，这两种变形 线变形与剪切变形， 正应变” 程度的度量分别称为 “ 正应变” 切应变” ( Normal Strain ) 和 “ 切应变” (Shearing Strain), 分别用 ε 表示。 和 γ 表示。
应变
若干概念和定义
正应变 (Normal Strain)
FP1 y ∆FQy
工程力学最新版教学课件第6章
比例极限p — 对应点a
b a
弹性极限e — 对应点b
e
p
O
6.1 材料在拉伸、压缩时的力学性能
② 屈服阶段 bc’
此阶段应变显著增加，但应力基本不 变——屈服现象。（流动） 产生的变形主要是塑性的。
s e
p
c’’ c
bc a
O
屈服
上屈服极限 ——对应点 c’’
极限
下屈服极限
屈服极限 s —— 对应点 c
n
6.1 材料在拉伸、压缩时的力学性能
6.1.2 材料拉伸时的应力-应变曲线
试验条件 （1） 常温: 室内温度； （2） 静载: 以缓慢平稳的方式加载； （3） 标准试件：采用国家标准统一规定的试件。
6.1 材料在拉伸、压缩时的力学性能
试验设备 （1）微机控制电子万能试验机 （2）游标卡尺
6.1 材料在拉伸、压缩时的力学性能
所得结果称为许用应力，用[ ]表示。
[σ] σ0 n
塑性材料
n — 安全因数 ns 取 1.4 ~ 2.2
脆性材料
nb 取 2.5 ~ 5.0
6.2 拉（压）杆的应力与强度计算
6.2.1 拉（压）杆的应力
轴向拉伸
1. 横截面上的应力
1 1 F
2 2 F
F
轴向压缩
1 1 1 1
2 2 2 2
F
1 1
1. 试验观察与分析
当发生纯弯曲时
FS 0 M 常量
0 0
Fa
l
A
C
aF
D
B
F
F
Fs 图
Fa
M图
6.3 平面弯曲梁的应力与强度计算
梁的纯弯曲实验
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第6章 静力学专题
yC
A
ydA A
2 πR2
0R2
y
R2 y2 dy
yC
4R 3π
工程力学（静力学与材料力学）
7
例题 试计算图示环形图形形心C的纵坐标yC。
解：
环形图形大半圆图形小半圆图形
yC
Ao
πRo2 2
,
πRo2 2
4Ro 3π
yC Ao
yCo
4 Ro 3π
πRi2 4Ri
2 3π
yCo Ai yCi
第六章 静力学专题
§1 重 心 §2 形Байду номын сангаас心 §3 桁 架
工程力学（静力学与材料力学）
1
§1 重 心
重心概念
物体各部分所受地心引力，组成一空间平行力系，其 合力即重力，其作用线即重力作用线。
相对地球处于不同方位的同一物体，相应各重力作 用线的汇交点，称为重心。
对于物体的平衡与运动，重心的位置具有重要作用。
以桁架整体为研究对象,确定支座反力;截取多个节点为
研究对象,用平面力系平衡方程求解;设正法画杆件内力。
工程力学（静力学与材料力学）
12
本章结束
工程力学（静力学与材料力学）
13
解：
rz
z h
r
dV
πrz2dz
π
r2 h2
z
2dz
zC
V V
zdV dV
h
0
z3dz
h
0
z
2dz
h4 4
3 h3
3h 4
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 形 心
平面图形的形心
对于几何形体，由匀质物体重心公式 计算所得几何对应点，称为形心。
工程力学第六章概论
代入S1' S1
解得: S3 10 kN, S4
10 kN
X0
S5 S2' 0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN,
恰与 S3相等,计算准确无误。
20
型
12
桁架分类
平面桁架
平面结构， 载荷作用在结构 平面内；
对称结构， 载荷作用在对称 面内。
13
桁架分类
空间桁架
结构是空间的， 载荷是任意的；
结构是平面的， 载荷与结构不共面。
本节我们只研 究平面桁架
14
桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
15
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接； ③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型 ( 基本三角形)
三角形有稳定性
(a)
(b)
(c)
16
工程力学中常见的桁架简化计算模型
杆件 节点
节点
杆件
节点
杆件
17
力学中的桁架模型 ---模型与实际结构的差异
工程中实际的桁架
18
一、节点法
[例] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？ 解：①研究整体，求支座反力
X 0, mA(F) 0,
本组成单位都是由
三杆通过铰链连接
而成的三角形，称
为基本三角形。在
这个基本单位上再
增加一个节点，相
应增加两根不在同
工程力学教程篇(第二版)习题第6章答案
第6章 刚体的基本运动习题6-1 在输送散粒的摆动式运输机中，m r AM B O A O 2.021====，AB O O =21,如曲柄绕1O 轴按)(15rad t πϕ=的规律转动，求当s t 5.0=时，AB 槽点M 的速度和加速度。
解：槽AB 作平动，其上点M 的速度和加速度大小和方向与点A 的相同。
杆O 1A 绕O 1作定轴转动，转动方程为：)(15rad t πϕ=对时间求导，杆O 1A 的角速度：s rad /15πϕω== 再对时间求导，杆O 1A 的角加速度：0=α 点A 的切向加速度、法向加速度、速度分别为： 01=⨯=ατA O a 2221/1.444)15(2.0s m A O a n =⨯=⨯=πωs m A O A /42.9152.01=⨯=⨯=πωυ所以点M 的速度和加速度：s m M /42.9=υ 2/1.444s m a M = 6-2 砂轮的直径mm d 200=，匀速转动min /900r n =，求砂轮轮缘上任一点的速度和加速度。
解：砂轮绕O 作定轴转动，转动角速度： s r a d n/303090030πππω=⨯==轮缘上任一点的速度：s m dR /42.91.0302=⨯=⨯==πωωυ 轮缘上任一点只有法向加速度：222/8881.0)30(2s m da n =⨯=⨯=πω6-3 从静止开始作匀变速转动的飞轮，直径m D 2.1=，角加速度s rad /3=α 求此飞轮边缘上一点M ，在第s 10末的速度，法向加速度和切向加速度。
解：从静止开始作匀变速转动的飞轮，在第s 10末的角速度： s r a d s r a d t /30/103=⨯==αω 在第s 10末边缘上一点M 的速度：s m s m DR /18/3022.122=⨯===ωωυ在第s 10末边缘上一点M 的法向加速度：222/540306.0s m R a n =⨯==ω 在第s 10末边缘上一点M 的切向加速度：2/8.136.0s m R a =⨯==ατ。
工程力学课件第6章(静力学专题)
空间问题的平衡方程
03
根据平衡条件，可以建立空间问题的平衡方程，通过求解平衡
方程可以得到物体的平衡位置。
静力学的进一步研究
静力学的应用领域
静力学在工程领域中有着广泛的应用，如建筑、机械、航空航天 等。
静力学的理论体系
静力学作为力学的一个分支，有着完整的理论体系，包括基本概念、 原理、定理和公式等。
析力的作用效果等。
运动状态的分析
利用平衡方程可以分析物体的运动 状态，如确定物体的位移、速度和 加速度等。
实际问题的应用
平衡方程在实际问题中有着广泛的 应用，如工程设计、机械制造、航 空航天等领域都需要用到平衡方程 来解决实际问题。
03
力矩与力矩平衡
力矩的概念
力矩
力对物体产生转动作用的 物理量，用M表示，单位 是牛顿·米（N·m）。
几何方程
描述了物体在受力后产生的应变与位移的关系。
本构方程
描述了物体内部的应力与应变之间的关系，涉及到材料的弹性模量 等物理性质。
06
静力学专题研究
平面问题的平衡
1 2
平面问题概述
平面问题是指物体在平面内的受力情况，其平衡 是指物体在平面内受到的合力为零。
平面问题的平衡条件
平面问题的平衡条件是所有外力的矢量和为零， 即∑FX=0和∑FY=0。
受力分析的步骤
受力分析的步骤包括标出主动力、分析约束反力、画受力图等。主动力 是使物体运动的力，约束反力是约束物体运动的力，画受力图是将物体 受到的力在图上表示出来。
平衡方程的建立
平衡方程的定义
平衡方程的应用
平衡方程是描述物体在力作用下处于 平衡状态的方程，其形式为∑F=0和 ∑M=0。∑F=0表示合力为零，∑M=0 表示合力矩为零。
工程力学第6章 扭转
T 2 A0
6.2.2 切应力互等定理
从薄壁圆筒中包括横截 面取出一个单元体
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
根据力偶平衡理论
y
(dydz )dx ( dxdz)dy
dy
dz
在相互垂直的两个平面 上，切应力必成对出现， 两切应力的数值相等， 方向均垂直于该平面的 x 交线，且同时指向或背 离其交线。
对于各向同性材料，在弹性变形范围内，切变 模量G 、弹性模量E 和泊松比之间有下列关系：
G
E （1 ） 2
6-3 实心圆轴扭转时的应力和强度条件
6.3.1 、 扭转剪应力在横截面上的分布规律
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
例题 3
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。
10 kN
30 kN 50 kN
10 kN
20 kN
50 kN 30 kN
20 kN
30 kN
6.2.3 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
6-1 概述
1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一 特点： 圆截面轴（实心、空心）
高职高专《工程力学(第2版)》课件工程力学第六章
６．３ 挤压强度计算 上面讨论了联接螺栓的剪切强度计算。另一方面，在螺栓联接紧压着，若压力过 大，则它们的接触面可能产生挤压破坏。钢板孔的受压面将被压溃，不再保持为 圆形，或者螺栓被压扁，如图６．５所示。这将会导致联接松动，影响构件的正 常工作。所以，挤压破坏在工程中也是不允许的，还必须对联接件进行挤压强度 计算。
６．２ 剪切强度计算
设两块钢板用螺栓联接，如图６．４（ａ）所示。当两钢板受拉时，螺栓的受力
简图如图６．４（ｂ）所示。如果螺栓上作用的力 过大，螺栓可能沿两力间的
截面
被剪断，这个截面就是剪切面。假想地将螺栓［图６．４（ｃ）］。任取一部分作为研究对象， 截面上的内
力 与剪切面相切，称为剪力。由平衡条件易得
６．４ 计算实例 工程中，构件间的联接方式虽然很多，但其强度计算方法都可采用前二节中的有 关公式。现通过实例介绍联接件的剪切强度计算和挤压强度计算，并介绍剪切破 坏的计算方法。
６．１ 概 述 在工程实际中，可以见到很多承受剪切的构件。例如，图６．１所示联接两块钢 板用的铆钉；图６．２所示联轴器中的联接螺栓等。这些构件的受力和变形情况 可以简化为图６．３所示的计算模型。其受力特点是：构件两侧作用有垂直于轴 线的横向外力，外力作用线相距很近。其变形特点是：外力作用线间的各截面产 生相对错动。构件的这种变形称为剪切变形。产生相对错动的截面称为剪切面。
工程力学第四版第六章ppt
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三、质点运动微分方程 及其应用
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设质量为m的质点M，在合力F的作用下，以加
速度a运动，如图所示。根据动力学基本方程有
ma＝F
（6-1）
它在直角坐标系的投影方程为
m
d2x dt 2
Fx
d2 y m dt 2 Fy
m
d2z dt 2
Fz
（6-4）
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工程中，有时采用动力学基本方程在自然坐 标系上的投影较为方便。在点作平面曲线运动时， 它在自然坐标系的质点运动的微分方程为
可见，质点的运动轨迹是以ａ、ｂ为半轴的椭圆。对 运动方程求二阶导数，即
将上式代入式（６-４），得Ｆ在坐标轴上的投影
可见，力Ｆ和点Ｍ的位置矢径ｒ方位相同、指向相 反，Ｆ始终指向中心，其大小与ｒ的大小成正比，称之 为有心力。
２）质点动力学第二类问题———已知作用于质点上 的力，求质点的运动。
例６ - ４ 液压减振器工作时，活塞在液压缸内作直线 运动。若液体对活塞的阻力正比于活塞的速度ｖ，即Ｆ Ｒ ＝μｖ，其中μ为比例常数。设初始速度为ｖ０，试求 活塞相对于液压缸的运动规律，并确定液压缸的长度。
故
例６-２ 卷扬小车连同 起吊重物一起沿横梁以匀速 ｖ０向右运动。此时，钢索 中的拉力等于重力Ｇ。当卷 扬小车突然制动时，重物将 向右摆动，如图所示。求此 时钢索中的拉力，设钢索长 为ｌ。
解 取自然坐标系如图所示。重物在摆动过程中，其上作用有重 力、钢索拉力。应用自然坐标形式的质点运动微分方程式（6-5）， 得
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第一节 质点动力学基本方程
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一、质点动力学基本方程
由经验可知，要改变一个物体的运动状态（即 产生加速度），都必须对物体施加力。用同样大的 力来推质量不同的物体，则质量大的物体产生的加 速度小，质量小的物体产生的加速度就大。它们的 这样关系可用牛顿第二定律阐述如下：质点受力作 用时所获得加速度的大小，与作用力的大小成正比， 与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相 同。
工程力学第六章zj
3 纤维增强效应
（1）复合材料的名义应力与纤维和基体中的实际应力 （2）增强效应
图 6-15
图 6-16
4 高分子材料概述
高分子材料是指以高分子化合物为基础的材料。高分子材料是由相 对分子质量较高的化合物构成的材料，包括橡胶、塑料、纤维、涂 料、胶粘剂和高分子基复合材料。高分子材料按来源分为天然、半 合成和合成高分子材料。 高分子材料按特性分为橡胶、纤维、塑料、高分子胶粘剂、高分子
合材料(laminated composite)。
图 6-12
2 单层纤维复合材料的弹性13
（2）平行于纤维方向的弹性模量
图 6-14
例6-1 某种复合材料由1kg的长玻璃纤维单方向嵌入5kg 的环氧树脂内复合而成。已知玻璃纤维的弹性模量为 85GPa，密度为2500kg/m3；环氧树脂的弹性模量为5GPa， 密度为1200kg/m3。试求这种复合材料垂直于纤维和平
图 6-11
第四节 新材料的材料力学概述
1
所谓复合材料（composite materials），通常是指两种 或两种以上互不相溶(熔)的材料通过一定的方式组合 成的一种新型的材料。这种材料工程上并不少见。
如果只采用一个方向纤维增强复 合材料（称为单层纤维复合材料） 是不能满足这一要求的，必须采 用一种叠层结构，其中每一层的 纤维都是按一定要求的方向铺设 的，如图6-12所示，称为叠层复
图 6-17
第六章 工程力学的进一步问题
第一节 第二节 第三节 第四节
低周疲劳 工程断裂问题 极限设计 新材料的材料力学概述
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第一节 低周疲劳
图 6-1
图 6-2
图 6-3
第二节 工程断裂问题
名师讲义【赵堔】工程力学第6章杆件的内力
求：4，5，6杆的内力。
解：①研究整体求支反力
Fx 0
XA 0
MB 0
Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
Fy 0 YA S5 sin P0
S5 0
Fx 0
S6 S5 cos S4 X A 0
+
T
T
3、内力图（扭矩图）： 表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
扭矩图作法：同轴力图：
[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 N1=500kW，从 动轮输出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
m2 m3 m1
m4
FAY
x
m
A
Fs
C
FAY
Fs
M
C
F B
FBY
M F
Fy 0, FAY Fs 0. F(l a) Fs FAY l
mC 0, M FAY x 0.
F(l a) M FAY x l x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Fy 0, Fs F FBY 0. mC 0,
Fa RB
M1 Fs1 RB 2F
Fs1 M1 RB 0.3a Fa (2F) 0.3a Fa 0.4Fa
F
M2
C D
Fs 2
2--2截面取右侧考虑：
Fs2 F M 2 F 0.5a 0.5Fa
0.8kN
《工程力学(第2版)》电子教案 第六章
K点(即单元体)也应该是平衡的。根据剪切概念可以知道， 单元体右侧面和左侧面上的切应力是相等的，因而都用τ来
表示。 这两个面上的切应力的合力形成了一个力偶，故上、下两侧
面上必定存在方向相反的切应力τ´存在(图6-8)并形成又一 力偶，使正六面体维持平衡。由ΣM=0得
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6.3 剪切虎克定律 切应力互等定律
(τdy·dz)·dx= (τ´dy·dx)·dz
得
τ=τ´
(6.6)
为了明确切应力的作用方向，对其作如下号规定：使单元体 产生顺时针方向转动趋势的切应力为正，反之为负。则式 (6.6)应改写为
τ=-τ´
(6.7)
式(6.7)表明，单元体互相垂直两个平面上的切应力必定是同 时成对存在，且大小相等，方向都垂直指向或背离两个平面 的交线。这一关系称为切应力互等定理。
成正比(图6-7)。这就是材料的剪切胡克定律
τ=Gγ
(6.5)
式(6.5)中，比例常数G与材料有关，称为材料的切变模量，是 表示材料抵抗剪切变形能力的物理量，它的单位与应力的单 位相同，常用GPa，其数值可由实验测得。一般钢材的G约为 80GPa，铸铁约为45GPa。
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6.3 剪切虎克定律 切应力互等定律
下面以铆钉联接(图6-3a)为例进行分析。钢板受外力F作用后
又将力传递到铆钉上，而使铆钉的右上侧面和左下侧面受力
(图6-3b)。这时，铆钉的上、下两半部分将沿着m—n截面发
生相对错动(图6-3c)。当外力足够大时，将会使铆钉剪断。
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6.1 剪切与挤压概念
由铆钉受剪的实例分析可以看出剪切变形的受力特点是：作 用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相反、作用 线平行且相距很近。其变形特点是：介于两作用力之间的截 面，发生相对错动。这种变形称为剪切变形。
工程力学课后习题答案第六章 杆类构件的内力分析
第六章 杆类构件的内力分析6.1。
（a ）（b ）题6.1图解：（a ）应用截面法：对题的图取截面2-2以下部分为研究对象，受力图如图一所示：BM图一图二由平衡条件得：0,AM=∑6320N F ⨯-⨯=解得： N F =9KN CD 杆的变形属于拉伸变形。
应用截面法，取题所示截面1-1以右及2-2以下部分作为研究对象，其受力图如图二所示，由平衡条件有：0,OM=∑6210N F M ⨯-⨯-=（1）0,yF=∑60N S F F --=（2）将N F =9KN 代入（1）-（2）式，得： M =3 kN·m S F =3 KN AB 杆属于弯曲变形。
（b ）应用截面法 ，取1-1以上部分作为研究对象，受力图如图三所示，由平衡条件有：0,Fx =∑20NF-=图三MNF =2KN0,DM=∑210M -⨯= M =2KNAB 杆属于弯曲变形 6.2题6.2图解：首先根据刚体系的平衡条件，求出AB 杆的内力。
刚体1的受力图如图一所示D2m图一图二平衡条件为：0,CM=∑104840D N F F ⨯-⨯-⨯=（1） 刚体2受力图如图二所示，平衡条件为：0,EM=∑240N D F F ⨯-⨯= （2）解以上两式有AB 杆内的轴力为：N F =5KN6.3（a ）（c ）题6.3图解：（a ） 如图所示，解除约束，代之以约束反力，做受力图，如图1a 所示。
利用静力平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在图1a 中，作杆左端面的外法线n ，将受力图中各力标以正负号，轴力图是平行于杆轴线的直线，轴力图线在有轴向力作用处要发生突变，突变量等于该处总用力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，轴力图如2a 所示，截面1和截面2上的轴力分别为1N F =-2KN 2N F =-8KN ，n （b 2 （面N F题6.4图解（a ）如图所示，分别沿1-1，2-2截面将杆截开，受力图如1a 所示，用右手螺旋法则，并用平衡条件可分别求得：1T =16 kN·m 2T =-20 kN·m ，根据杆各段扭矩值做出扭矩图如2a 所示。
工程力学第六章
MA １
1
MC
M x1
M x1 １ 取左段研究： M 0
1 MB
Mx1 MA 0 Mx1 MA
6.3 杆件扭转时旳内力计算及扭矩图 截面2-2上旳内力：
MA １ １ MB
２ Mx2
２
２
MC
Mx2
２
取右段研究：
M 0 Mx2 MC 0 Mx2 MC
6.3 杆件扭转时旳内力计算及扭矩图 扭矩图：扭矩随构件横截面在轴线方向上旳位置变化旳图线。
假如微元旳一对面上存在剪应力，与此剪应力作用线相互垂直旳另一 对面上必然存在大小相等、方向相对或者相反旳剪应力，以使微元保持平 衡。
6.3 杆件扭转时旳内力计算及扭矩图
6.3 杆件扭转时旳内力计算及扭矩图
MA １
２
MC 已知圆轴受外力偶矩作
用，匀速转动。则
１ MB
２
用截面法求截面1-1上内力：
MB MA MC
MA １
２
MC
１ MB
２
Mx1 MA
（+）
（-）
扭矩图
Mx2 MC
6.3 杆件扭转时旳内力计算及扭矩图
例题6-1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴旳转速 n=300r/min，求作该轴旳内力？绘制扭矩图？
A
B
C
D
I
II
III
I
II
III
dx
6.4.2 变形协调方程
同理，对于任意半径为ρ旳圆柱（如下图），能够得到：
() d 此式即为变形协调方程
dx ()
式中 d 表达扭转角
沿轴长旳d变x化率称为单位
国防《工程力学》教学资料包 课后习题答案 第六章
习 题 66-1 解 以汽车为研究对象，汽车行驶速度为36km/h 10m/s v ==向心力 212.24kN v F m ρ==动力方程为 212.24kN v G N m ρ-==计算得压力为 47.8kN N =6-2 解 竖直方向动力方程为2215105kN d y dt =-= 积分得 d 5d y t C t =+，当0t =时d 0d y t=，0C =故 再次积分得 255d 2y t t t ==⎰ 水平方向运动方程为 22d 3kN d x t= 积分得 d 3d x t C t '=+，当0t =时d 0d x t=，0C '=故 再次积分 233d 2x t t t ==⎰ 故气球的运动方程为25.1t x =，25.2t y =两式联立得轨迹方程为5.25.1y x =6-3 解 以磨轮C 为研究对象，临界状态时，磨壁上的反力为0。
)(sin 常量θωl v = 按照动力方程ρ2v m F n =，设筒底部的反力为T ，则有 θωθθωθsin sin )sin (sin 22l gP gl l P T == 又有P T =θcos ，代入上式可以得到θωcos 2l g =所以θωcos l g =时满足题意。
6-4 解 根据22002,0,0.66m/s v v as v v =+==可以得到21.28m/s a = 由动力方程有 28.18.93000001.0300006.22⨯+⨯=P 求得 2186.8N cm P =6-5 解 根据εZ i J F m =∑)(0可列方程为0cos20m P R J ε-+=代入数据求得 29.51m s ε=6-6 解 在货箱重心C 上加上惯性力ma ，要求货箱不倒，必须要求其稳定力矩大于或等于倾倒力矩。
即22h ma b mg ≥ 求得 23.92m/s α≤6-7 解 对于A 、B 分别取脱离体列平衡方程为g m a m T B B =+a m g m T A A +=求得 23.27m/s α= 133N T =取O 轴列平衡方程为0=∑x F0=O X 0=∑yF266N O Y = 6-8 解 由动能定理22121)0(21λk v m =- 求得 6.67cm λ= 即弹簧最大变形6.67cm ，小车所受的最大压力为6000N F k λ==。
新编工程力学教程[杨庆生等编著]d6
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攻丝
搅拌轴
F
丝锥
F
4
6.1.1圆轴扭转概念与实例
本章只研究圆轴的扭转
5
6.1.1圆轴扭转概念与实例
m
m
只讨论圆截面杆的扭转
受力特点： 在直杆的两端，垂直于轴线的平面内作用着力偶 矩大小相等方向相反的两个力偶。
变形特点： 任意两个横截面绕轴线产生相对转动，相对转 过的角度为相对扭转角。（扭转角）
实际中的轴类零件产生扭转变形的同时，还往往伴有其他变 形，在轴的初步设计时，暂时不考虑其他变形。
1800Nm
解： 1200Nm
A
B
C （1）画扭矩图
MT 1
右
1200
+1800 =3000Nm
750
MT 3000Nm
500
1200Nm
MT
2
右
1200Nm
（2）计算最大切应力
AB段最大切应力
x
AB ,max
MT1 WP1
3000 103 753
36.2MPa
16
BC段最大切应力
BC,max
MT在截面内
横截面上的点错动方向⊥半径
τ⊥半径， 沿壁厚均布
很小 各点τ相等
横截面有相对错动，即剪切变形。 横截面各点的内力为剪力。
对应的应力为切应力τ，τ ⊥半径
横截面边缘各点错动程度相同
13
6.2.1薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力：各点大小相
等，沿壁厚均布，方向垂直半径。
切应力分布图
试求最大切应力和最大相对
扭转角。
1200Nm （3）计算最大相对扭转角
x
BA
M T1l1 GI P1
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2020/4/7
第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
2020/4/7
• 6-6 图示结构中BC 和AC 都是圆截面直杆 ，直径均为d=20mm，材料都是Q235 钢， 其许用应力[σ]=157 MPa。试求该结构的 许用载荷。
2020/4/7
第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
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第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
2020/4/7
第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算 • 6-7 图示的杆件结构中1、2 杆为木制，3、4 杆为
钢制。已知1、2 杆的横截面面积A1=A2=4000 mm2，3、4 杆的横截面面积A3=A4=800 mm2；1 、2 杆的许用应力[σW ] =20MPa， 3、4 杆的许用 应力[σs] =120 MPa。试求结构的许用载荷[F P] 。
2020/4/7
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第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
2020/4/7
第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算 • 6-4 螺旋压紧装置如图所示。现已知工件所受的压
紧力为F=4 kN。装置中旋紧螺栓螺纹的内径 d1=13.8 mm；固定螺栓内径d2=17.3 mm。两根螺栓 材料相同，其许用应力[σ]=53.0 MPa。试校核各螺 栓的强度是否安全。
2020/4/7
• 6-1 图示之等截面直杆 由钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处粘接而成。直杆 各部分的直径均为d=36 mm，受力如图所示。 若不考虑杆的自重，试 求AC 段和AD 段杆的轴 向变形量 ΔlAC和ΔlAD
2020/4/7
• 6-2 长度 l＝1.2 m、横截面面积 为1.10×l0-3 m2 的铝制圆筒放 置在固定的刚性块上；直径 d=15.0 mrn 的钢杆BC 悬挂在 铝筒顶端的刚性板上；铝制圆 筒的轴线与钢杆的轴线重合。 若在钢杆的C 端施加轴向拉力 FP，且已知钢和铝的弹性模量 分别为Es=200GPa，Ea=70 GPa；轴向载荷FP=60 kN，试 求钢杆C 端向下移动的距离。
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第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
2020/4/7
第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
• 6-5现场施工所用起重机吊环由 两根侧臂组成。每一侧臂AB 和 BC 都由两根矩形截面杆所组成 ，A、B、C 三处均为铰链连接 ，如图所示。已知起重载荷 FP=1200 kN，每根矩形杆截面 尺寸比例b/h=0.3，材料的许用 应力[σ]=78.5 MPa。试设计矩形 杆的截面尺寸b和h。
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第6章 拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
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