角函数讲义适用于高三第一轮复习

角函数讲义适用于高三

第一轮复习

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

三

角恒等

变换

知识点睛

1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααα

α

tan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3．两角和与差的公式

4．倍角公式αααcos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα

5．降幂公式22cos 1sin 2αα-=

22cos 1cos 2αα+=ααα2sin 2

1

cos sin = 6．幅角公式x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中a b

=ϕtan

7．和差化积、积化和差公式（此系列公式知道怎么推导就行，无需特别记忆） 8．补充公式ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±，2

cos

2

sin

sin 1α

α

α±=±

例题精讲

解析：（1）由题意，5sin 1cos 2-=--=αα，4cos tan -==αα

（2）由题意，125cos sin tan -==

ααα且1cos sin 22=+αα，解得135sin -=α，13

12

cos =

α （3）∵0cos <α，∴α是第二或第三象限角 当α是第二象限角时，1715cos 1sin 2=

-=αα，815

cos sin tan -==ααα 当α是第三象限角时，1715cos 1sin 2-

=--=αα，8

15

cos sin tan ==

ααα 点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负

符号的确定

解析：（1）

5

464tan 3cos 4sin 3=+=+=+ααα

（2）5

2

1tan tan cos sin cos sin cos sin 2

22=+=+=

αααααααα （3）

11

tan 21

tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122222=++=++=+αααααααααα 点评：如果根据αtan 的值求αsin 、αcos 的值，则需考虑α的象限，这里把1写成

αα22cos sin +构

造关于αsin 、αcos 的齐次式，解法干净利索

解析：（1）233sin )3sin(34sin

-=-=+=ππππ，2

3

6cos )64cos(625cos ==+=ππππ 14

tan )4tan(45tan

==+=π

πππ∴431232345tan 625cos 34sin -=⋅⋅-=⋅⋅πππ （2）∵21cos )cos(-=-=+ααπ∴21cos =α故2

1

cos )2sin(==+ααπ

（3）∵k ==-

80cos )80cos(∴k k 2180tan -=

故k

k 2180tan 100tan --=-=

点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值

解析：（1）由题意，5cos -=α，13

sin -=β

∴65

33

)1312(54)135)(53(sin sin cos cos )cos(

-=-+--=+=-βαβαβα （2）由题意，54cos =

α，4

3

tan -=α，∴1027sin 22cos 22)4sin(=-=-αααπ

1027sin 22cos 22)4cos(=-=+αααπ，74

tan

tan 14tan

tan )4

tan(-=+-=

-π

απ

απα

（3）由题意，

4tan -

=α，24

tan 22tan 2-==αα 解析：（1）由题意，1tan tan 1tan tan )tan(=-+=

+β

αβ

αβα，即βαβαtan tan 1tan tan -=+

∴=++)tan 1)(tan 1(βα=+++βαβαtan tan tan tan 111+2=

（2）由题意，33tan 2

tan

2tan 12tan

2tan

)2tan(==-+=

+πB A B A B A ∴2tan 2tan 32tan 2tan B A B A ++32

tan 2tan 3)2tan 2tan 1(3=+-=B

A B A

点评：正切的和差角公式把)tan(βα±、βαtan tan ±、βαtan tan 联系到一块，任一项都能

由另两

项表示，如)tan tan )(tan(tan tan βαβαβα-+=+1

α

αααα2cos 2sin 12cos 2sin 2cos 1+=+=222

(cos sin )cos sin 1tan 2008cos sin cos sin 1tan ααααα

ααααα+++====--- （2）由题意，2518cos sin 21)cos (sin 2=-=-αααα，∴25

7

cos sin 2=αα （3）∵4

0πα<

<∴ααcos sin <又∵2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα

∴22cos sin -

=-αα，即3sin cos sin cos tan 1tan 1=-+=-+α

αα

ααα 点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个

数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦