电网络分析

u(t ) h(q(t ), t )
则称该电容为荷控电容。 若电容电荷可用电容电压的单值函数表示，即：
（1-1-13）
q(t ) f (u(t ), t )
则称该电容为压控电容。
（1-1-14）
一个二端电容元件，如果其元件特性既可以写为（1-1-13）所示的荷控形式，又可以表 示为式（1-1-14）所示的压控形式，且这两个单值函数互为唯一的反函数，则 u q 曲线必 定为严格单调递增（或严格单调递减）的，这种电容称为单调型的。 如果式（1-1-13） 、 （1-1-14）中的函数 f 、 h 不依赖于时间变量 t ，即元件特性方程可以 写为以下方式：
u(t ) Ri (t )
和
（1-1-9）
i(t ) Gu(t )
（1-1-10）
1.1.2 电容元件
如果一个 n 端口元件的端口电压向量 u 和端口电流向量 i 之间为代数成分关系：


f C (u (t ), q (t ), t ) 0
（1-1-11）
则称该元件为电容性 n 端口元件，或 n 端口电容元件。下面侧重研究一端口（二端）电 容元件。
（1-1-19）
（2）荷控型非线性时变电容。元件特性为：
u(t ) h(q(t ), t )
（1-1-20）
u i 关系方程为：
du h(q, t ) h(q, t ) i(t ) dt q t
（3）线性时变电容。 u i 关系方程为： （1-1-21）
i(t ) C (t )
p(t ) u(i)i(t ) ， W (t1 , t 2 ) tt12 u(t )i(t )dt
式中 W (t1 , t2 ) 为在时间 t1 ~ t 2 内网络 （或元件）吸收的电能量。 能量的守恒性是电网络 理论中许多重要推理的立论基础之一。 我们假定任一网络变量信号仅是独立变量时间 t 的函数，而与测点的空间坐标无关。即 认为电磁场的传播是瞬时完成的。换句话讲，对于以光速传播的电磁波而言，线路的长短和 电气装置的大小可以忽略不计。这样，便可以将统一电磁过程的各个方面（电场储能、磁场 储能、电能的损耗等）孤立起来，各自分别存在某一类元件上，而一个电路中各元件的控件 位置关系对电路的行为是毫无影响的。
(t ) L(t )i(t )
（1-1-30）
式中 L(t ) 是线性电感元件于 t 时刻的电感之值。 如果 L(t ) 是不随时间而改变的常数， 即元件 特性方程为：
(t ) Li(t )
（1-1-31）
则该电感元件是线性时不变的。 一般空心线圈的电路模型就是线性时不变的电感元件与电阻 元件相串联的电路。
u(t ) f (i(t ))
和
（1-1-5）
i(t ) f (u(t ))
这种电阻元件称为是不变的，反之则是时变的。
-2-
（1-1-6）
线性电阻是单调电阻中的一种重要类型，其电压、电流关系函数是线性函数。线性电阻 元件的特性方程可写为以下形式：
u(t ) R(t )i(t )
和
（1-1-7）
-5-
i(t ) h( (t ), t )
则称该电感为磁控电感。 若电感磁链可用电感电流的单值函数表示，即：
（1-1-26）
(t ) f (i(t ), t )
则称该电感为流控电感。
（1-1-27）
一个二端电感元件，如果其元件特性既可以写为（1-1-26）所示的磁控形式，又可以表 示为式 （1-1-27）所示的流控形式，且这两个单值函数互为唯一的反函数， 则 i 曲线必定 为严格单调递增（或严格单调递减）的，这种电感称为单调型的。图 1-5 中绘出了一个单调 电感在两个不同时刻的 i 曲线。
电网络分析
1、 网络元件和网络基本性质
本节讨论电气网络（即电路）的基本元件以及网络元件的基本性质。实际的电路由电气 装置、器件连接而成。在电网络理论中研究的电路是实际电路的数学模型，它的基本构造单 元是电路元件， 每一个电路元件集中地表征电气装置电磁过程某一方面的性能， 用反映这一 性能的各变量间关系的方程表示。 电网络的基本变量是电流 i 、电压 u 、电荷 q 和磁通 （或磁通链 ） ，它们分别对应于 电磁场的表征量磁场强度 H ， 电场强度 E ， 电位移 D 和磁感应强度 B 。 用场的观点来考察， 实际电路问题可视为在特定的有限局部空间中的电磁场为题， 电路与电磁场的表征量是一一 对应且通过下列方程相互联系的：
-1-
1.1、 网络元件
1.1.1 电阻元件
如果一个 n 端口元件的端口电压向量 u 和端口电流向量 i 之间为代数成分关系：


f R (u (t ), i (t ), t ) 0
件。
（1-1-1）
则称该元件为电阻性 n 端口元件，或 n 端口电阻元件。下面侧重研究一端口（二端）电阻元
感元件。
（1-1-24）
则称该元件为电感性 n 端口元件，或 n 端口电感元件。下面侧重研究一端口（二端）电
+ i(t)
(t)
-
u(t)
图 1-4 对于图 1-4 所示的二端电感元件，其端电流与磁链之间存在代数成分关系：
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f L (i(t ), (t ), t ) 0
（1-1-25）
这就表明，在指定时刻 t ，电感元件的特性可以用 i 平面上的一条曲线表示，i 与 这一 对动态无关的网络变量之间的代数成分关系方程式 （1-1-25） 称为二端电感元件的特性方程。 若电感电流可用电感磁链的单值函数表示，即：
u(t ) f (i(t ), t )
则称该电阻为流控电阻。 若电阻电流可用电阻电压的单值函数表示，即：
（1-1-3）
i(t ) f (u(t ), t )
则称该电阻为压控电阻。
（1-1-4）
一般而言，单调电阻的元件特性方程可写为 u f (i, t ) 和 i g (u, t ) 两种形式，这两种 关系均为单值函数关系，且两者互为唯一的反函数。 如果式（1-1-3） 、 （1-1-4）中的函数 f 、 g 不依赖于时间变量 t ，即元件特性方程为：
i l H dl ， u l E dl ， q s D ds ， s B ds
上述电网络的四个基本变量各具有其重要的性质， 即电流的连续性、 在位场情况下电位 的单值性、电荷的守恒性、磁通的连续性。这些性质是电网络理论中一些列重要结论和推论 的理论基础。 除了电流、电压、电荷、磁通四个基本变量之外，电网络理论中还有两个重要的变量， 电功率 p 和电能量 W ， 可称为基本复合变量， 他们由电网络的基本变量按以下关系式确定：
（4）线性时不变电感。 u i 关系方程为：
u (t ) L
di(t ) dt
（1-1-37）
1.1.4 忆阻元件
忆阻元件是在 20 世纪 70 年代才引入电路理论的一种新元件，他是继电阻、电感、电容 元件之后的第四类基本网络元件。 在电路理论中的前三种基本元件都是由实际电网络中的电 阻器、电感器和电容器抽象而得的理想化模型，他们是用 (u, i ) 、 (i, ) 、 (u, q) 三对动态无 关的网络变量的代数成分关系定义。 而忆阻元件的提出， 则是根据另一对动态无关的网络变 量 ( , q) 的代数成分关系定义，从而实现了电网络理论中基本元件组的完备性。然而，在实
du (t ) dC (t ) u (t ) dt dt
（1-1-22）
（4）线性时不变电容。 u i 关系方程为：
i(t ) C
du (t ) dt
（1-1-23）
1.1.3 电感元件
如果一个 n 端口元件的端口电流向量 i 和磁链向量 之间为代数成分关系：


f L (i (t ), (t ), t ) 0
q(t ) C (t )u(t )
（1-1-15）
式中 C (t ) 是线性电容元件于 t 时刻的电容之值。如果 C (t ) 是不随时间而改变的常数，即电 容元件特性方程为：
q(t ) Cu(t )
（1-1-16）
则该电容元件称为时不变的，反之则是时变的。如不特别声明，一般电容器的电路模型就是 线性时不变电容。 对于电网络的四个基本变量 i 、 u 、 q 、 ，在网络分析与综合以及工程实践中经常使 用的是电压与电流这两个便于检测的变量， 可称为常用网络变量。 由于电容元件的特性不是 由常用网络变量 i 、 u 关系来定义的，故有必要研究电容元件于电压电流之间的关系。为了 根据电容元件的 u q 特性得到 u i 关系方程，应用关系式：
(t ) f (i(t ), t )
则 u i 关系方程为：
（1-1-33）
u (t )
d f (i, t ) di f (i, t ) f (i(t ), t ) dt i dt t
（1-1-34）
（2）磁控型非线性时变电感。元件特性为：
i(t ) h( (t ), t )
-6-
由于电感元件的 i 特性不是由常用网络变量 i 、u 关系来定义的， 故以下将进一步研 究电感元件的 u i 关系。 为了根据电感元件的 i 特性得到 u i 关系方程，应用关系式：
u (t )
于下列几种 i 特性的情形：
d (t ) dt
（1-1-32）
（1）流控性非线性时变电感。元件特性为：
u
o
图 1-5
i
如果式（1-1-26） 、 （1-1-27）中的函数 f 、 h 不显含时间变量 t ，即：
i(t ) h( (t ))
（1-1-28） （1-1-29）
(t ) f (i(t ))
这种电感元件称为时不变的。反之，则称为时变的。
如果式（1-1-13） 、 （1-1-14）中的函数 f 、 h 是线性函数，其元件特性方程可以写为以 下方式：
i(t ) G(t )u(t )
（1-1-8）
式中 R(t ) 和 G (t ) 分别是线性电阻元件于 t 时刻的电阻和电导之值。图 1-2 中的三条过 坐标原点的直线宝石一个线性时变电阻于三个指定时刻的特性。
u
R ( t
3
R
( t R
2
) ( t
1
)
)
i
图 1-2 最常见的一类线性电阻是线性时不变电阻，即式（1-1-7）和（1-1-8）所示元件特性方程 中的 R(t ) 和 G (t ) 是不随时间 t 改变的常数，其 u i 方程为：
+ i(t) u(t)
图 1-1 电阻元件
-
对于图 1-1 所示的二端电阻元件，其端电压与电流之间存在代数成分关系：
f R (u(t ), i(t ), t ) 0
（1-1-2）
这就表明，在指定时刻 t ，电阻元件的特性可以用 i u 平面上的一条曲线表示， u 与 i 这一 对动态无关的网络变量之间的代数成分关系方程式 （1-1-2） 称为二端电阻元件的特性方程。 若电阻电压可用电阻电流的单值函数表示，即：
i(t )
得到下列几种 u q 特性的情形：
dq(t ) dt
（1-1-17）
（1）压控性非线性时变电容。元件特性为：
q(t ) f (u(t ), t )
-4-
（1-1-18）
则 u i 关系方程为：
i(t )
d f (u, t ) du f (u, t ) f (u (t ), t ) dt u dt t
（1-1-34）
u i 关系方程为：
di(t ) h( , t ) h( , t ) u (t ) dt t
（3）线性时变电感。 u i 关系方程为： （1-1-35）
u (t ) L(t )
di(t ) dL(t ) i(t ) dt dt
（1-1-36）
+ i(t)
q(t)
u(t)
图 1-3
-3-
对于图 1-3 所示的二端电容元件，其端电压与电荷之间存在代数成分关系：
f C (u(t ), q(t ), t ) 0
（1-1-12）
这就表明， 在指定时刻 t ， 电容元件的特性可以用 u q 平面上的一条曲线表示，u 与 q 这一 对动态无关的网络变量之间的代数成分关系方程式 （1-1-12） 称为二端电容元件的特性方程。 若电容电压可用电容电荷的单值函数表示，即：