铅垂法求三角形面积

二次函数三角形之面积问题（铅垂法）

专题前请先思考以下问题：

问题1坐标系背景下问题的处理原则是什么？

问题2:坐标系中处理面积问题的思路有哪些？

问题3:具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？

问题4:铅垂法的具体做法是什么？

问题5:如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考：

问题1坐标系背景下问题的处理原则是什么？

答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转问题2:坐标系中处理面积问题的思路有哪些？

答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）

问题3:具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？

答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。

问题4:铅垂法的具体做法是什么？

答：若是固定的三角形，贝冋从任意一点作铅垂；若为变化的图形，贝以动点向另外两点所在的定直线作铅垂。

问题5:如何利用铅垂法表达三角形的面积？

答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。

由T E S思‘=用心血十災-BMP

*用卫眩二㊁（% -勺）*仏就二㊁心-仏）,

专叱（心-©） + #妣包F）二m叱（心_心+心_

也）

例1:如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4, -1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，

4

B C

0 B C

0 (铅垂线在三角形内部)

将d 点坐标(0, 3)代入，可得“ 当vn~3时，APAC 的面积最大 此时点尸的坐标为® --)

二 B(2, 0),C(6? 0) +

如图，过点尸作严创］轴，交M 于点0

•二次函数的解析式为尸"工T 斗

最大值为兰

斗

x 轴分别交于点A , B,抛物线y = -X 2 • bx • c 易得匚匚：尹二—［龙+3 ■■

设点P 的橫坐标为也，贝lj 0 < w

< 6

试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 1 例2：如图，一次函数y = -x * 2与y 轴、

2

过A ，B 两点.Q 为直线AB 下方的抛物线上一点，设点 Q 的横坐标为n , △ QAB 勺面积为 S,求出S 与n 之间的函数关系式并求出S 的最大值

3,解得，a~-

4

点，且位于A, C 两点之间，当△ PAC 的面积最大时，求P 的坐标和A PAC 的最大 面积.

解: -- ■- •・ J

C 两点(点B 在点C 的左侧)，已知A 点坐标为(0,3) •点P 是抛物线上的一个动

解：

;'\r. .■:“

/. c=2.

把点£ （T, 0）代入二次函数表达式.得

一16-肪+2 = 0,

/* b —^―,

2

••二次函数的表达式为y ~ -X1 x+ 2.

£

如图，过点。作F轴的平行线，交直线曲于点U点。与点Q 的横坐标相等.

试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形外部）

总结反思篇:

决胜中考：

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=「lx_?x・2的图象与y轴交于点

2 2

x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）•点P是第二象限内抛物线上的点，的面积为S,设点P的横坐标为m求S与m之间的函数关系式.A,与△ PAC

-（—旳+ 2）—（―2-

1 3

2.如图，已知抛物线y = —x2•E X-2与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C. M为抛

2 2

1

物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得S AC^^S-ABC，求此时点M的坐标•

1

3.如图，已知直线y= —x与抛物线y=ax2+b（a^0）交于A（-4，-2），B（6，3）两点，

2

抛物线与y轴的交点为C.在抛物线上存在点P使得A PAC的面积是厶ABC面积的-，

4 求时点P的坐标•

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