铅垂法求三角形面积
三角形水平宽铅垂高面积公式
三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。
今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。
想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。
水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。
”咱们来看个具体的例子。
假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。
首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。
B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。
接下来找铅垂高。
咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。
A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。
这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。
也就是 2×2÷2 = 2。
再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。
同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。
再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。
那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。
同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。
有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。
在实际生活中，这个公式也有大用处。
二次函数之“铅垂法”求三角形面积
二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。
在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。
图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。
计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。
②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。
特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。
我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。
运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。
解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。
设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。
∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面积GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.A 的旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（a，因此2y x=（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y，当x=－1时，y=，因此点C的坐标为（－1）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=－12时，△PAB，此时1,2P⎛-⎝⎭.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
用铅垂高法计算三角形的面积
证明如下 ：
ｈ 。 Ｓ ￣Ｂ ｃ ＝ Ｓ △ ｃ ｓ 。－ １ － 一
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利 用 茎 三 嘉 角 形 面 积 等 于 水 平 宽 与 铅 垂 Ｌ 函
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高乘积的一半的方法去求三角形 的面积会有三种方法 ， 这三种方 法中的铅垂高有一种是在三角形的里面 ， 有两种是在三角形的外
样ｓ “ １
。
此 时 ， 点 Ｅ 坐 标 为（ 一 孚， 孚）
【 小结 】 对 于不规则 四边形 面积的求法 ， 我们常规 的方法是
把它化成规则 的图形去解决。但 是在平面直角坐标系 中求图形 的面积 ， 涉及 到坐标 与线段的转化 ， 是很麻烦的 。如果把四边形 分 割成一个斜三角形和一个 固定 的三角形 ， 斜三角形用“ 铅垂 高 法” 就会很 方便 。 三、 体 会
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水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.DBAOyxPCBAOyxBC铅垂高水平宽ha图1例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，/3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以图-2xCOyABD11(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为例3．（2015江津）如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴∴抛物线解析式为：(2)存在。
铅垂法求三角形面积讲课教案
铅垂法求三角形面积二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC 的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M 使得12ACM ABC S S ∆∆=，求此时点M 的坐标.3.如图，已知直线12y x =与抛物线2(0)y ax b a =+≠交于A （-4，-2），B （6，3）两点，抛物线与y 轴的交点为C ．在抛物线上存在点P 使得△PAC 的面积是△ABC 面积的34，求时点P 的坐标.。
最新铅垂法求三角形面积资料
二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值. 解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得12ACM ABCS S∆∆=，求此时点M的坐标.3.如图，已知直线12y x=与抛物线2(0)y ax b a=+≠交于A（-4，-2），B（6，3）两点，抛物线与y轴的交点为C．在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的34，求时点P的坐标.。
用铅垂高法计算三角形的面积
用铅垂高法计算三角形的面积作者：刘学斌来源：《语数外学习·中旬》2014年第06期在计算一些不规则的三角形的面积时，往往很难确定它的底和高。
本文通过把三角形的面积公式作进一步的延伸和拓展，得出了一个新的求三角形的面积方法，对于求这类不规则的三角形的面积有很好的作用。
一、知识引入如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。
我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=■ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
证明如下：S△ABC=S△ABD+S△ACD=■ha1+■ha2=■h（a1+a2）=■ah同样，如图2，左边的两条直线之间的距离也可以叫△ABC的“水平宽”(a)，过点C的直线与BA的延长线之间线段的长度叫△ABC的“铅垂高CD(h)，同样S△ABC=■ah。
证明如下：S△ABC=S△BCD-S△ACD=■ha1-■ha2=■h（a1-a2）=■ah同样，如图3，也可以把右边两条直线之间的距离叫做△ABC的“水平宽(a)，过点B的直线与BA与CA的延长线之间线段的长度叫△ABC的“铅垂高BD(h)，同样S△ABC=■ah。
证明如下：S△ABC=S△BCD-S△ACD=■ha1-■ha2=■h（a1-a2）=■ah综合上述三种情况可以看出，利用三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半的方法去求三角形的面积会有三种方法，这三种方法中的铅垂高有一种是在三角形的里面，有两种是在三角形的外面。
利用这种方法可以很容易的求出一些斜放着的三角形的面积。
二、知识的应用【例1】如图4，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点为C，交x轴于点A)，交y轴于点B，求△ABC的面积。
解：（铅垂高法）由点A(3，0)，B(0，3)可以求出直线AB的解析式，所以点D(1，2)，CD=2S△ABC=■OA·CD=■×3×2=3【小结】通过上面两个例题可以看出计算一些不规则三角形的面积，常规的方法是割补法，这种方法显然是比较麻烦的，计算量大，用铅垂高的方法简单计算方便，不容易出错。
水平宽铅垂高求三角形面积
v1.0 可编辑可修改作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.B铅垂高水平宽ha图1CBAOyxDBAOyxP例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B（，得a，因此2y =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小. 设直线AB 为y =kx +b.所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y =+，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－1）. （4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭ 当x =－12时，△PAB，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：bkx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
中考专题 铅垂法求面积最值问题探究
专题一：铅垂法求面积最值问题探究导例：抛物线y=−13x 2+2√33x +3交x 轴正半轴于点A （3√3，0），交y 轴于点B （0，3），且这个抛物线的顶点为C ．连接AB 、AC 、BC ，则抛物线的对称轴为直线 ，线段CD 的长为 ，△ABC 的面积为 ．如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：12S △ABC ＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S △PAB ＝12·PQ·|x A −x B |，根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化方法点睛专题导入类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1 在平面直角坐标系中，直线y=12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y=12x 2+bx+c 的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接DC ，D B ，设△BCD 的面积为S ，求S 的最大值.【分析】（1）根据题意得到B 、C 两点的坐标，设抛物线的解析式为y=12（x-4）（x-m ），将点C 的坐标代入求得m 的值即可；（2）过点D 作DF ⊥x 轴，交BC 与点F ，设D （x ，12x 2-32x-2），则DF=-12x 2+2x ，然后列出S 与x 的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可． 类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线y ＝a x 2＋b x －3与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，且其对称轴L 为直线x ＝－1，点P 是抛物线上B ，C 之间的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)． (1)直接写出抛物线的解析式；(2)探究:当动点N 在对称轴L 上时，j 是否存在PB ⊥NB ，且PB ＝NB 的关系，若存在，请求出此时点P 的坐标，若不不存，请说明理由；(3)是否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC 面积的最大值，若不存在，请说明理由．典例精讲【分析】（1）由对称轴可求得B 点坐标，结合A 、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q ．可证明△BPM ≌△NBQ ，则可求得PM=BQ ，可求得P 点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P 点坐标；（3）连接AC ，设出P 点坐标，则可表示出四边形PBAC 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴交点分别为A （﹣1，0），B （3，0），C （0，2），作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，设点P 的横坐标为t （0＜t ＜3），求△ABP 的面积S 与t 的函数关系式．2.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于点C . (1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标； (3)如图②，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别相交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF专题过关的面积最大，求点H的坐标及最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m 的值．备用图4.如图，在平面直角坐标系中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我），点M是抛物线C2：y=mx2们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣32﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A,B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．5．已知直线y=12x+2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，抛物线y=12x 2+mx ﹣2经过点A ，和x 轴的另一个交点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D 是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD 面积的最大值；（3）如图2，经过点M （﹣4，1）的直线交抛物线于点P ，Q ，连接CP ，CQ 分别交y 轴于点E ，F ，求OE•OF 的值．专题一：二次函数中的三角形面积最值问题 答案 例1 （1）把x=0代y=12x ﹣2得y=﹣2，∴C （0，﹣2）．把y=0代y=12x ﹣2得x=4，∴B （4，0）．设抛物线的解析式为y=12（x ﹣4）（x ﹣m ），将C （0，﹣2）代入，得2m=﹣2． 解得m=﹣1．∴A （﹣1，0）．∴抛物线的解析式y=12（x ﹣4）（x+1），即y=12x 2﹣32x ﹣2．（2）如图所示：过点D 作DF ⊥x 轴，交BC 与点F ．例2.(1)y ＝x 2＋2x －3；∵A (1，0)，对称轴L 为直线x ＝－1， ∴B (－3，0)，将AB 两点坐标代入得，∴{a +b −3=0，9a −3b −3=0.，解得{a =1，b =2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接BP ，过点B 作BN ⊥PB 交直线L 于点N ， 设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ，第6题解图①∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°，∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°.∴∠BPM ＝∠NBQ .又∵PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ .∴PM ＝BQ .由(1)得y ＝x 2＋2x －3，∴Q (－1，0)，B (－3，0) ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点，且点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3，解得x 1＝－1－√2，x 2＝－1＋√2 (不合题意，舍去) ．∴点P 的坐标为(－1－√2，－2)； (3)存在．如解图②，连接AC ，BC ，CP ，PB ，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，图②∵A (1，0)，B (－3，0)，C (0，－3)，∴S △ABC ＝12×3×4＝6． 直线BC 的解析式为y ＝－x －3.。
铅锤高定理公式
铅锤高定理公式
解析
铅垂线定理公式是三角形面积=铅锤高×水平宽的一半三角形面积。
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线（用圆锥形铅垂测得）。
多用于建筑测量。
用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线。
铅垂线地球重力场中的重力方向线。
它与水准面正交，是野外观测的基准线。
悬挂重物而自由下垂时的方向，即为此线方向，包含它的平面则称铅垂面。
判断物体是否与地面垂直，可用铅垂线法，即一根线加上一个重物。
此重物称为铅锤，铅锤受重力作用，即受万有引力的一个分力作用，让线与地面垂直，成90度角度。
三角形外部铅垂高面积问题
三角形外部铅垂高面积问题
三角形外部铅垂高面积问题是一个求解三角形外接圆半径的问题。
在三角形ABC中，假设D为BC边上的一点，垂直于
AB边，并且距离AB边的垂直距离为h。
现在需要求解的是，当点D在BC边上变动时，三角形ABC外接圆的半径r与h
的关系。
根据三角形的性质，在直角三角形ABD中，有
AB^2 = BD^2 + AD^2
又根据三角形面积的性质，有
Area(ABD) = (AB * h) / 2
根据外接圆的定义，有
OD = r
由于OD是AB的垂直平分线，所以ADB和ADC都是直角三
角形。
接下来，我们可以利用这些关系来求解r和h之间的关系。
根据勾股定理，有
AB^2 = AD^2 + BD^2
BD = BC - CD = BC - r
将这个关系代入到Area(ABD)的计算中，有
Area(ABD) = (AB * h) / 2
= (AB * (BC - BD))/ 2
= (AB * (BC - (BC - r)))/ 2
= (AB * r)/ 2
再利用三角形面积的性质，有
Area(ABD) = (AB * r)/ 2
= (AB * OD)/ 2
= (AB * r)/ 2
所以，通过以上计算，我们可以得到结论：
Area(ABD) = (AB * r)/ 2
这就是三角形外部铅垂高面积问题的解答。
通过这个关系，我们可以得到当点D在BC边上变动时，r和h之间的关系。
初中数学铅垂法求面积
初中数学铅垂法求面积
铅垂法是初中数学中常用的一种求解三角形面积的方法。
使用铅垂法求解三角形面积需要先求出三角形的底和高，然后用底乘以高再除以2的公式来计算面积。
铅垂法的基本原理是：将一个三角形的一条边延长到另一条边上，并垂直于这条边，这条垂线就是这个三角形的高。
根据勾股定理，可以求出垂线的长度，从而求出三角形的面积。
使用铅垂法求解三角形面积的步骤如下：
1. 先画出三角形，并标出三条边的长度。
2. 选择一个顶点作为底，将这条边延长到另一条边上，并画出
垂线。
3. 根据勾股定理求出垂线的长度。
4. 用底乘以高再除以2的公式计算出三角形的面积。
需要注意的是，使用铅垂法求解面积时，必须要选择一个顶点作为底，否则会出现无法求解的情况。
同时，需要注意计算角度和单位的转换。
总之，在初中数学中，铅垂法是一种非常实用的求解三角形面积的方法，学生们需要熟练掌握。
- 1 -。
铅垂线法求解抛物线中三角形面积
新教师教学课例研究引题•如图，平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，-3）.（1）求直线BC 的解析式；（2）平移直线BC ，使它经过点A ，与y 轴相交于点D ，求平移后的直线AD 的解析式；（3）若抛物线经过A 、B 、C 三点，与直线AD 相交于点E.求抛物线的解析式及△BCE 的面积；解法：（1）将B （3，0）C （0，-3）代入到中，得到一个二元一次方程组解得，（2）根据BC ∥AD ，即k 相等，∴，将A （-1，0）代入可得m=1，将A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）代入到中，得到即，通过计算（3）中△EBC 的面积巩固学生对平行线间距离处处相等这一性质应用即同底等高：.通过引题目的复习巩固平行线的2个基本性质：直线平行即k 相等；平行线间距离处处相等（同底等高求面积）。
问题2：若P 为抛物线第四象限上一动点，当△BCP 面积最大时，求点P 的坐标。
解法一：在△BCP 中，BC 要使△BCP 的面积最大即BC ，作与BC 平行的直线PF ，当直线PF 与抛物线有且PF BC三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。
（歪：如图1，过△ABC 的三，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）法：。
坐标系中，三角形出现在抛物线中，们只要确定a ，h 的值代入公式求解即可2.归纳结论：一般地，直线BC ：与抛物线交于点C （x C ，y C ），B （x B ，y B ），如果我们把抛物线与直线围成的区域称之为“弓形”，点”的抛物线上的一个动点，则当点P 的横坐标，当△BCP 的面积最大，即点P 的横坐标是点C ，点，“弓形”中的内接三角形的面积最大。
结论证明：要使△CBP 的面积最大，作与y=kx+m 平行且与抛物线y=ax 2+bx+c 相切的直线，切点为P ，此时△CBP 的面积最大，设此直线为y=kx+n ，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=kx+n 有且只有一个解，即ax 2+（b-k ）x +（c-n ）有一解，∴，∴由求根公式.又∵C ，B 的横坐标是方程的两个解，∴问题。
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （，得a =图1因此2y x=+（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩解得，因此直线AB为y x=+x=－1时，y=，因此点C的坐标为（－1）. （4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()213212PAB PAD PBD D P B AS S S y y x xx∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⎫=+⎪⎝⎭当x=－12时，△PAB，此时1,2P⎛-⎝⎭.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS∆；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S △CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=xay把A（3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=xxxy设直线AB的解析式为：bkxy+=2由3221++-=xxy求得B点的坐标为)3,0(xCOyABD11把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
初二铅垂法求面积练习题
初二铅垂法求面积练习题面积是几何学中重要的概念之一，对于数学学习来说，求解各种形状的面积是必不可少的基本技能之一。
初二学生通常学习到了铅垂法求解面积的方法，本文将提供一些铅垂法求解面积的练习题，帮助学生巩固和提升他们的数学能力。
1. 三角形面积求解第一个练习题是求解一个给定三角形的面积，通过铅垂法可以简化计算。
题目：已知三角形ABC，其中AB = 5cm，BC = 7cm，CA = 4cm。
请计算三角形ABC的面积。
解答：首先，我们需要标记出三角形ABC的三边，并使用垂直线段将其中一个角分成两个直角。
[插入三角形ABC的图示]接下来，连接垂直线段的顶点与原三角形的另外两个顶点，形成三个小三角形ADC、CBE和EBA。
[插入三个小三角形的图示]根据垂直线段的性质，可以得出ADC和EBA两个小三角形的面积相等。
因此，只需计算一个小三角形的面积即可。
小三角形ADC的底边AD等于原三角形的高，即4cm，而ADC的高AC等于原三角形的底边BC，即7cm。
根据三角形的面积公式S = 底边 ×高 ÷ 2，我们可以得出小三角形ADC的面积为：S = 4cm × 7cm ÷ 2 = 14cm²因为ADC和EBA两个小三角形面积相等，所以三角形ABC的面积为14cm²。
2. 梯形面积求解第二个练习题是求解一个给定梯形的面积，同样地，我们可以利用铅垂法来简化计算过程。
题目：设有一个梯形ABCD，其中AB || CD，AB = 8cm，CD = 12cm，高EF = 5cm。
请计算梯形ABCD的面积。
解答：首先，我们将梯形ABCD及其高EF画出来。
[插入梯形ABCD的图示]接下来，我们通过连接高EF的两个端点与梯形的非平行边BC、AD，将梯形分解为三个小三角形ADE、BCF和矩形BEFC。
[插入分解后的三个小图示]根据铅垂法和矩形的性质，可以得出矩形BEFC的面积等于梯形ABCD的面积。
数学类铅高乘以水宽
数学类铅高乘以水宽
铅垂线定理公式是三角形面积=铅锤高×水平宽的一半三角形面积。
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线（用圆锥形铅垂测得）。
多用于建筑测量。
用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线。
铅垂线地球重力场中的重力方向线。
它与水准面正交，是野外观测的基准线。
悬挂重物而自由下垂时的方向，即为此线方向，包含它的平面则称铅垂面。
判断物体是否与地面垂直，可用铅垂线法，即一根线加上一个重物。
此重物称为铅锤，铅锤受重力作用，即受万有引力的一个分力作用，让线与地面垂直，成90度角度。
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二次函数三角形之面积问题（铅垂法）
专题前请先思考以下问题：
问题1坐标系背景下问题的处理原则是什么？
问题2:坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
问题3:具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
问题4:铅垂法的具体做法是什么？
问题5:如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考：
问题1坐标系背景下问题的处理原则是什么？
答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转问题2:坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）
问题3:具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4:铅垂法的具体做法是什么？
答：若是固定的三角形，贝冋从任意一点作铅垂；若为变化的图形，贝以动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5:如何利用铅垂法表达三角形的面积？
答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
由T E S思‘=用心血十災-BMP
*用卫眩二㊁（% -勺）*仏就二㊁心-仏）,
专叱（心-©） + #妣包F）二m叱（心_心+心_
也）
例1:如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4, -1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，
4
B C
0 B C
0 (铅垂线在三角形内部)
将d 点坐标(0, 3)代入，可得“ 当vn~3时，APAC 的面积最大 此时点尸的坐标为® --)
二 B(2, 0),C(6? 0) +
如图，过点尸作严创］轴，交M 于点0
•二次函数的解析式为尸"工T 斗
最大值为兰
斗
x 轴分别交于点A , B,抛物线y = -X 2 • bx • c 易得匚匚：尹二—［龙+3 ■■
设点P 的橫坐标为也，贝lj 0 < w
< 6
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 1 例2：如图，一次函数y = -x * 2与y 轴、
2
过A ，B 两点.Q 为直线AB 下方的抛物线上一点，设点 Q 的横坐标为n , △ QAB 勺面积为 S,求出S 与n 之间的函数关系式并求出S 的最大值
3,解得，a~-
4
点，且位于A, C 两点之间，当△ PAC 的面积最大时，求P 的坐标和A PAC 的最大 面积.
解: -- ■- •・ J
C 两点(点B 在点C 的左侧)，已知A 点坐标为(0,3) •点P 是抛物线上的一个动
解：
;'\r. .■:“
/. c=2.
把点£ （T, 0）代入二次函数表达式.得
一16-肪+2 = 0,
/* b —^―,
2
••二次函数的表达式为y ~ -X1 x+ 2.
£
如图，过点。
作F轴的平行线，交直线曲于点U点。
与点Q 的横坐标相等.
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形外部）
总结反思篇:
决胜中考：
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=「lx_?x・2的图象与y轴交于点
2 2
x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）•点P是第二象限内抛物线上的点，的面积为S,设点P的横坐标为m求S与m之间的函数关系式.A,与△ PAC
-（—旳+ 2）—（―2-
1 3
2.如图，已知抛物线y = —x2•E X-2与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C. M为抛
2 2
1
物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得S AC^^S-ABC，求此时点M的坐标•
1
3.如图，已知直线y= —x与抛物线y=ax2+b（a^0）交于A（-4，-2），B（6，3）两点，
2
抛物线与y轴的交点为C.在抛物线上存在点P使得A PAC的面积是厶ABC面积的-，
4 求时点P的坐标•
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