山东省郓城一中2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

郓城一中高二年级第一次月考数学试题（时间：120分钟 分数：150分）一. 选择题（共8小题，每题5分）1. 直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是（ ）A. [0,)πB. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭2. 已知点()2,3P -，点Q 是直线l ：3430x y ++=上的动点，则||PQ 的最小值为（ ）A. 2B. 95C. 85D. 753. 斜率为-3，在x 轴上截距为-2的直线的一般式方程是（ ）A. 360x y ++=B. 320x y -+=C. 360x y +-=D. 320x y --=4. 已知空间向量(3,1,3)m =， (1,,1)n λ=--，且而//m n ，则实数λ=（ ）A. 13- B. -3 C. 13 D. 65. 已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则·EC AD 的值为（ ）A. 14B. 14-C. 3D. 3-6. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -，所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D ，E 分别为枝1111A B B C ，的中点，则异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为（ ）A. 710B. 35C. 15D. 357. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC 的顶点()2,0A ，()0,4B ，且AC BC =，则ABC 的欧拉线的方程为（ ）A. 230x y ++=B. 230x y ++=C. 230x y -+=D. 230x y -+=8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 13二. 多选题（共4小题，每题5分，选全得满分，不全得3分，错选0分）9. 下列说法中，正确的有（ ）A. 过点()1,2P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B. 直线32y x =-在y 轴上的截距为-2C. 直线10x +=的倾斜角为60°D. 过点()5,4并且倾斜角为90的直线方程为50x -=10. 已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（ ）A. 2l 始终过定点21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 若12//l l ，则1a =或-3C. 若12l l ⊥，则0a =或2D. 当0a >时，1l 始终不过第三象限11. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//90AD BC BAD ︒∠=，，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. 则（ ）A. CD AN ⊥B. BD PC ⊥C. PB ⊥平面ANMD D .BD 与平面ANMD 所在的角为3012. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，12AB PB ==，，E 是PC 的中点，设棱锥P ABCD -与棱锥E BCD -的体积分别为1V ，2V ，PB ，PC 与平面BDE 所成的角分别为αβ，，则（ ）A. //PA 平面BDEB. PC ⊥平面BDEC. 12:4:1V V =D. sin :sin 1:2αβ=三. 填空题（共4小题，每题5分）13. 已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =，向量(3,2,1)v =-与平面α平行，则z =________.14. 过直线240x y -+=和20x y +-=的交点，且过点()2,1-的直线l 的方程为________.15. 若直线l 过点()1,2P 且与点()()1,23,0A B -，两点距离相等，则直线l 方程为________.16. 如图，四面体ABCD 中，PA PB PC ，，两两垂直，且||||||2PA PB PC ===，则点P 到平面ABC 的距离为________.四. 解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分）17. 三棱柱111ABC A B C -，中，M 、N 分别是1A B 、11B C 上的点，且11122BM A M C N B N ==，. AB a =，AC b =，1AA c =.（I ）试用a ，b ，c 表示向量MN ；（II ）若11190601BAC BAA CAA AB AC AA ︒︒∠=∠=∠====，，，求MN 的长.18. 已知三点()()()0,2,32,1,61,1,5A B C --，，（1）求以AB AC ，为邻边的平行四边形面积（2）求平面ABC 一个法向量（3）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且||3a =求a 的坐标.19，已知直线l 过点()1,2P -.（1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点分别为A 、B ，求AOB 面积最小值.20. 一条光线从点()6,4P 射出，与x 轴相交于点()2,0Q ，经x 轴反射后与y 轴交于点H .（1）求反射光线QH 的方程； （2）求三角形PQH 的面积.21. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E 为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值.22. 如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =EDCF ⊥平面ABCD .（I ）求证：//DF 平面ABE ；（II ）求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值.（III ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.郓城一中高二第一次月考数学试题答案一. 选择题（共8小题）1 【解答】解：直线sin 20x y α++=的斜率为sin k α=-，∵1sin 1α-≤≤， ∴11k -≤≤∴倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：B . 2 【解答】解：点()2,3P -，点Q 是直线l ：3430x y ++=上的动点，||PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离，∴||PQ 的最小值为95916d ==+. 故选：B. 3 【解答】解：在x 轴上的截距为2的直线经过点()2,0-，又斜率为-3，点斜式可得直线的方程为：03(2)y x -=-+，即360x y ++=， 故选：A .4 【解答】解：∵//m n ， ∴可设km n =，∴1313k k k λ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩， 解得13k λ==-. 故选：A .5 【解答】解：如图所示， 正四面体ABCD 的棱长是a ，E 是AB 的中点；∴111()11cos6011cos60224EC AD EA AC AD AB AD AC AD ︒︒⋅=+⋅=-⋅+⋅=-⨯⨯⨯+⨯⨯=； 故选：A .6 【解答】解：取AC 中点F ，连接DE ，EF ，∵D ，E 分别为棱11A B ，11B C ，的中点， ∴11////DE A C AC ，111122DE AC AC ==. ∴//DE AF 且DE AF =，则四边形ADEF 为平行四边形，则//AD EF .∴异面直线AD 与BE 所成角为FEB ∠，连接BF .设三棱柱各棱长为2，则5EF BE ==3BF =在三角形BEF 中，由余弦定理可得7cos 10255FEB ∠==⨯⨯，即异面直线AD 与BE所成角的余弦值为710. 故选：A .7 【解答】解：段AB 的中点为M （1，2），2AB k =-，∴线段AB 的垂直平分线为：12(1)2y x -=-，即230x y -+=. ∵AC BC =，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线的方程为：230x y -+=. 故选：C . 8 【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，(0,0,0)D ，1(1,0,1)DA =，(1,1,0)DB =，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则100n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =，设平面1A BD 与平面ABCD 夹角为α， 则||3cos ||||3m n m n α⋅===⋅∴236sin 13θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. ∴平面1A BD 与平面ABCD 夹角的正弦值为6. 故选：C.二. 多选题（共4小题）9 【解答】解：∵过点()1,2P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=，或者2y x =，故A 错误； ∵直线32y x =-在y 轴上的截距为-2，故B 正确；由于直线310x +=330，故C 错误； ∵过点()5,4并且倾斜角为90的直线方程为50x -=，故D 正确，故选：BD.10 【解答】解：2l ：(2)310a x y y -+-=过点21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 正确； 当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确；1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确. 故选：ACD11 【解答】解：A 显然错误；若BD PC ⊥，由BD PA ⊥，则BD ⊥平面PAC ，则BD AC ⊥，显然不成立；C 、PB AN ⊥，又PB NM ⊥，可得到C 成立；D 、连接DN ，因为PB ⊥平面ADMN ，所以BDN ∠是BD 与平面ADMN 所成的角在Rt BDN 中，1sin 2BN BDN BD ∠==， 所以BD 与平面ADMN 所成的角为30成立；故选：CD .12 【解答】解：连接AC BD ，，设AC BD O ⋂=，则O 为AC 的中点，连接OE ，∴E 为PC 的中点，则OE 为PAC 的中位线，得//PA OE ，∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE ，故A 正确；若PC ⊥平面BDE ，则PC OE ⊥，又//PA OE ，∴PC PA ⊥，可得222PA PC AC +=，而2PA PC ==，222AC AB BC =+=222PA PC AC +=，∴PC ⊥平面BDE 错误，故B 错误； 由已知求得22214222PO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭11141411326V =⨯⨯⨯=， 21114141132424V =⨯⨯⨯⨯=， ∴12:4:1V V =，故C 正确； 以O 为坐标原点，分别以OA OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0O ，20,,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，214,0,44E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，140,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,0,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 214,0,44OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，20,,02OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2140,,22PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，214,0,22PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面BDE 的一个法向量为(,,)n x y z =.由214044202n OE x z n OB y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取7x =，得(7,0,1)n =.则14||72sin ||||222n PB n PB α⋅===⋅⋅，||147sin ||||222n PC n PC β⋅===⋅⋅. ∴sin :sin 1:2αβ=，故D 正确.故选：ACD .三. 填空题（共4小题）13 【解答】解：直线l 与平面α垂直，∵直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =，向量(3,2,1)v =-与平面α平行，∴360v z μ⋅=-+=，解得3z =.故答案为：3.14 【解答】解：联立方程24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线240x y -+=和20x y +-=的交点坐标为()0,2，所以直线l 的斜率为21322+=--， 故直线l 的方程为：322y x =-+，即3240x y +-=， 故答案为：3240x y +-=.15 【解答】解：根据题意，符合题意的直线l 有2种情况①直线l 与直线AB 平行，0213(1)2AB k -==---，则直线l 的斜率12k =-，此时直线l 的方程为12(1)2y x -=--，变形可得250x y +-=， ②直线l 经过AB 的中点，点()()1,23,0A B -，，则AB 的中点坐标为()1,1，直线l 又经过点()1,2P ，此时直线l 的方程为1x =；故直线l 的方程为1x =，250x y +-=；故答案为：1x =，250x y +-=16 【解答】解：∵四面体ABCD 中，PA PB PC ，，两两垂直，且||||||2PA PB PC ===，∴以P 为原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PC 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)P ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，(2,0,0)AP =-，(2,2,0)AB =-，(2,0,2)AC =-， 设平面ABC 的法向量(,,)m x y z =，则220220n AB x y n AC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =，∴点P 到平面ABC的距离为||||3AP n dn ⋅===. .四. 解答题（共6小题）17 【解答】解：（I ）由图形知11111111111111()()3333333MN MA A B B N BA AB B C c a a b a a b c =++=++=-++-=++. （II ）由题设条件∵222211()2221110211211522a b c a b c a b b c a c ++=+++⋅+⋅+⋅=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， ∴||5a b c ++=，15||||33MN a b c =++=. 18 【解答】解：（1）(2,1,3)AB =--，(1,3,2)AC =-，1cos , 2||14AB AC AB AC AB AC ⋅<>===‖， ||sin ,142ABCD S AB AC AB AC =〈〉==平行四边形‖ （2）设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得230320x y z x y z --+=⎧⎨-+=⎩， 取(1,1,1)n =.（3）∵a AB ⊥，a AC ⊥，∴//a n ，设(1,1,1)a λ=，∵||3a =，解得1λ=±，∴(1,1,1)a =±.19 【解答】解：（1）直线l 过点()1,2P -，若直线l 在两坐标轴上截距和为零，设直线l 的方程为2(1)y k x -=+，即20kx y k -++=.则它在两坐标轴上截距分别为21k --和2k +， 由题意，2120k k--++=， ∴2k =-或1k =， 直线l 的方程为20x y +=或30x y -+=.（2）设直线l 的斜率0k >，则直线l ：20kx y k -+-=与两坐标轴交点分别为21,0A k -⎛⎫- ⎪⎝⎭、(0,2)B k +，求AOB 面积为212(2)221|2|22242222k k k S k k k k k-+=-⋅+==++≥⋅+=， 当且仅当2k =时，等号成立，故AOB 面积最小值为4.20 【解答】解：（1）如图所示，作点()6,4P 关于轴的对称点的坐标()6,4P -，则反射光线所在的直线过点P '和Q ，所以40162P Q k '--==--， 所以直线P Q '的直线方程为(2)y x =--.所以反射光线的QH 的直线方程为2y x =-+，其中(,2]x ∈-∞.（2）由（1）得知()0,2H ，1PQ QH k k ⋅=-，所以PQ QH ⊥，所以22||(20)(02)22QH =-+-=22||(62)(40)42PQ =-+-=，所以11||2242822PQH S PQ QH ∆=⨯=⨯⨯=‖. 21 【解答】解：（1）证明：取PD 的中点N ，连接MN AN 、，∵M 为PC 的中点， ∴//MN CD ，122MN CD ==. ∵23//AE EB AB AB CD ==，，， ∴//2AE CD AE =，.∴//MN AE MN AE =，，∴四边AEMN 平行四边形，∴//EM AN ，∵EM ⊂/平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，∴//EM 平面PAD .（2）取CD 的中点F ，连接AF ，∴AC CD =，∴AF CD ⊥，∵AB //CD ，∴AF AB ⊥.∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AB PA AF ⊥⊥，，即AP AB AF 、、两两垂直.以A 为原点，AF AB AP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()5(0,0,0)(5,2,0)(0,2,4)0,0,42A C E P M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，∴52AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(5,2,4)PC =-，(0,2,4)PE =-.设平面PCE 的法向量为(,,)m x y z =，则00m PC m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240240y z y z +-=-=⎪⎩， 令2y =，则01x z ==，，∴(0,2,1)m =.设直线AM 与平面PCE 所成角为θ，则2sin |cos |25||51AM m AM m AM m θ⋅=<>===⋅+，∣故直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为25. 22 【解答】解：（I ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示；则(1,0,0)(1,2,0)(1,(1,2,3) (0,2,0)A B E F BE AB -=--=，，，，，， 设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =，∴2020x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩， 不妨设(3,0,1)n =， 又(1,DF =-，∴300DF n ⋅=-++=，∴DF n ⊥；又∵DF ⊂/平面ABE ，∴//DF 平面ABE ；（II ）∵(1,BE =--，(BF =-，设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z =，∴2020x y x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，则(23,4)m =，∴cos ||||||231m n m n θ⋅===⨯⨯ ∴平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值是31； （III ）设(1,(,2)DP DF λλλλ==-=-，[0,1]λ∈；∴(,2)P λλ-，(1,2)BP λλ=---，又平面ABE的法向量为(3,0,1)n =，∴sin |cos |4||||(BP n BP n BP n θλ⋅=<>===⨯-， 化简得28610λλ-+=，解得12λ=或14λ=； 当12λ=时，3,2BP ⎛=-- ⎝⎭，∴||2BP =； 当14λ=时，53,,424BP ⎛=-- ⎝⎭，∴||2BP =； 综上，||2BP =.。