第一章光学天文望远镜基础

空间望远镜中的定位陀螺仪（作者保留版权）

空间望远镜是上个世纪八十年代的设计，它所采用的是经典的定位陀螺仪。现代陀螺仪主要是指激光光纤陀螺仪和集成电路式的硅片陀螺仪。但是为了更好地了解现代陀螺仪的原理和设计，我们很有必要对经典的陀螺仪的原理和设计作一些简单的介绍，这就是这个系列的主要任务。以后有时间，我还会对现代陀螺仪进行详细介绍。

图１飞行器中的坐标系的关系

在飞行器的运动过程中，飞行器有一个自身的坐标系b b b z y x 。另外在空间还有一个相对的固定坐标系e e e Z Y X 。这两个坐标系的原点是相同的，它就是飞行器本身的位置。在这两个坐标系中e e OY X 平面和飞行器所在的水平面重合，e Z 轴与水平面垂直，指向地心，e X 轴指向当地正北，e e Oy x 平面和飞行器自身的平面重合，e x 轴指向飞行器的正前方，e z 指向和飞行器相垂直的下方。飞行器自身的坐标系和固定坐标系的关系可以用三个欧拉角来描述，它们分别是飞行器的机身的翻滚角 （e X 轴的转角，英文中叫

roll ），飞行器前后的俯仰角θ（e Y 轴的转角，英文中叫pitch ），和飞行器的方位角ψ（e Z 轴的转角，英文中叫yaw ）。从固定坐标系到飞行器坐标系的变换为简单的欧拉变换

]][][[ψθφ。如果飞行器相对于b x ，b y 和b z 轴的角速度分别是P ，Q 和R ，则它们之间的关系为：

θψφ

sin -=P φθψφθ

sin cos cos += Q φθψφθ

cos cos sin += R (1.1)

上面的公式可以用来求解欧拉角的变化率，因此： θφθφφ

tan cos tan sin R Q P ++= φφθ

sin cos R Q -= θ

φθφψcos cos cos sin R Q += (1.2) 上面的三个公式非常重要，通过这三个公式可以求出欧拉角的速率，这时如果它们的初

始值知道，则可以通过积分求出它们的瞬时值。

图２无约束陀螺仪的原理图

经典的陀螺仪一共有两个大类：无约束陀螺仪和约束式的速率陀螺仪，前者又叫做姿态陀螺仪，后者也叫做速率陀螺仪，前者测量角度，后者测量角速度。姿态陀螺仪的基本原理就是角动量守恒，在没有外力矩的情况下，高速旋转的转子的角动量的大小和

方向在惯性空间中保持不变。这就是牛顿第一定律的内容。而速率陀螺仪的基本原理是牛顿第二定律，由于飞行器的速率的变化会在相应的轴上产生力矩，而这个力矩会通过弹簧平衡机构来加以抵消。

经典陀螺仪的基本结构是一个高速旋转的转子和各自分别固定在两个轴承上的两个框架。旋转转子的轴一般处于竖直的位置，所以紧靠转子的内框架是在竖直面上，而另一个框架则位于水平面上。这样的装置的两个框架的轴线全部在水平面上。一般外框架的外轴承固定在飞行器结构上，飞行器的b x 轴线和外框架的轴线相平行，把外框架的轴线记着G X 轴，把内框架的轴线记着G Y 轴，把向下的转子的轴线记着G Z 轴，则可以定义系统的转动惯量：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx

xz xy xx I J J J I J J J I J (1.3)

在陀螺仪中，结构相对于三个轴线是对称的，所以上面式子中所有的ij J 项均为零。如果

用T G G G G R Q P ],,[=Ω来表示系统的角速度，则总的角动量为：

G J H Ω=

(1.4)

角动量矢量对时间的变化率就是相应的力矩矢量： H H T G

⨯Ω+= (1.5) 在姿态陀螺仪中，要求各个轴承的摩擦力很小，所以系统的角动量为： T z zz I H ],0,0[ω= (1.6)

这样在飞行器姿态变化时，它的翻滚角和俯仰角可以在外框架的内外轴承上测量出来。如果要测量方位角的变化，则应该有一个方位陀螺仪。在方位陀螺仪中转子的轴线方向处在水平面之中。如果不使用方位陀螺仪，也可以用一种地磁的的仪器。在这一类陀螺仪中，结构的不平衡，结构重心的偏离和轴承的摩擦力是这种陀螺仪的最主要的误差来源。这些因素引起了一定的力矩，使得陀螺仪的方位产生漂移。另一个问题是从公式(1.2) 引起的，由于θcos 处在分母上，所以这种结构在俯仰角等于 90时，会产生奇点。这几点对速率陀螺仪也是一样的。

从上面的公式(1.5) 出发，如果姿态陀螺仪受到的角速度为：

T G G G G R Q P ],,[=Ω

(1.7)

则所产生的力矩为：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯Ω=z G G

G G H R Q P k j i H T 00

)(G G z jP iQ H T -=

(1.8)

同样，当陀螺仪受到在G X 和G Y 方向上的力矩时，在与其互相垂直的方向上会产生相应的角速度：

z x G H T Q /= z y G H T P /-=

(1.9)

图３运动体中角速度的方向和相应的输入力矩和输出力矩的方向之间的关系

通过这个公式，我们可以计算出当飞行器沿着某一个方向有速度变化时，仪器重心的微小偏差就会在这个方向上产生一个很小的力矩，这样在陀螺仪的一个方向上就会产生一个角速度。而这个速率的变化的积分就是这个姿态陀螺仪的在该方向上的漂移角。在没有补偿的情况下，这个误差值可能会很大，达到几度。这对于空间望远镜的定位是不行的。这个误差值的计算过程比较简单，首先根据转子的设计求出它对G Z 轴的惯性矩，根据转子的速度和惯性矩求出它的的Z H 值。如果仪器的重心偏低ε，则在飞行器在G X 轴方向上加速时，这时在仪器方向上的力矩就等于εx y ma T -=，式中m 是仪器的总的质量。有了这个力矩，就可以计算出这个角速度和最后的角度偏离值。同样也可以求出因为轴承摩擦力所引起的力矩值以及最后的角度偏离值。由于摩擦力是一个随机变量，精确的计算要用到自相关的概念。