大变形问题的基本方程
计算任意变截面梁变形的通用方程
计算任意变截面梁变形的通用方程
梁是结构工程中经常使用的一种结构，其抗压、抗拉力能力极强；但是，当梁受力时也会造成梁的变形。
梁的变形是指梁的变长和变形的程度。
而变截面梁变形就是指梁截面形状发生变化。
那么，如何计算变截面梁变形的问题不容忽视。
变截面梁变形是由梁受力引起的，一般受力是由偏移量和力之间的关系式来决定的。
设梁上点P的横向位移为u，其单位长度变形量为e，则根据应力和应变定律，u和e的关系可以有：
e=ku(1+α)
其中，k是梁的横向变形系数，α是梁受力时的横向偏移系数。
对变截面梁，偏移通常为：
u=εfL
其中，ε是梁的横向应变量，f是梁定义的受力幅值，L是梁的单位长度。
上述公式只是当梁处于线性弹性状态时的变形量，但实际变截面梁变形还可能受其它因素影响。
也就是说，当梁变形增大时还需要考虑材料的弹性极限、屈服点、有效应力和收缩等因素。
总之，计算变截面梁变形的通用方程主要是横向位移通过应力和应变关系式和梁上单位长度变形量之间的关系，另外还要考虑材料的性质等因素，才能找到一个准确精确的通用方程。
连续介质力学中的大变形与断裂研究
连续介质力学中的大变形与断裂研究引言连续介质力学是研究材料在外力作用下的变形和断裂行为的学科，是物理力学的一个重要分支。
在材料科学、工程力学、地球物理学等领域都有广泛的应用。
本文将着重介绍连续介质力学中的大变形与断裂研究。
1. 大变形的介绍大变形是指在外力作用下，材料的形状、体积或内部结构发生明显改变的现象。
当应变达到一定程度时，常规的线弹性理论不能再正确描述材料的变形行为。
因此，理论上需要引入非线性弹性理论来研究大变形现象。
非线性理论根据材料的本构关系和变形描述方程的非线性性质，可以更准确地描述大变形行为。
2. 大变形的数学描述在连续介质力学中，大变形通常通过应变张量的非线性关系来描述。
应变张量是一种描述变形的物理量，用于衡量物体内部相对位移的大小。
在大变形的情况下，应变张量的组分由线性校正项和非线性校正项构成。
3. 大变形与材料性质大变形会显著影响材料的力学性质。
例如，材料的刚度、强度、塑性行为等参数会随着应变增加而发生变化。
另外，在大变形过程中，材料可能会出现局部失稳、产生脆性断裂等现象。
因此，研究大变形对材料性质的影响具有重要的理论和应用价值。
4. 断裂力学的基本原理断裂力学是研究材料在外部载荷作用下发生破裂现象的学科。
断裂是指材料在外力作用下突然失效并发生破碎的过程。
断裂力学的基本原理涉及三个方面：断裂起始准则、裂纹扩展准则和破坏力学。
4.1 断裂起始准则断裂起始准则是研究材料在何时发生破裂的标准。
常用的准则包括拉伸准则、剪切准则和能量准则等，用来描述材料的破裂临界条件。
4.2 裂纹扩展准则裂纹扩展准则是研究裂纹在材料中的扩展行为。
通过研究裂纹的扩展速率和扩展角度等参数，可以确定断裂的发展过程。
4.3 破坏力学破坏力学是研究材料在断裂过程中的破坏机理和破坏能力的学科。
破坏力学通过研究断裂面的断面形态、破碎能量消耗等参数，来描述材料的破坏行为。
5. 大变形与断裂的关系大变形和断裂是紧密相关的。
大变形力学
大变形力学解析
哎，各位朋友些，今天咱们来摆一摆这个大变形力学解析嘞事儿。
说起这个大变形力学啊，可不是啥子简单勒巴子，它涉及到好多高深勒物理和数学知识哟。
你看嘛，在工程里头，好多东西都要遭受到大嘞变形，比如说桥梁啊、高楼大厦啊，还有那些个地下管道，一旦变形大了，那就不得了咯，要出大问题嘞。
所以嘛，这个大变形力学就显得格外重要咯。
它主要是研究物体在受到大力啊、大变形啊这些外力作用勒时候，内部嘞应力啊、应变啊是啷个变化嘞。
要晓得，物体一变形，它嘞形状、尺寸、位置这些都可能发生变化，这样一来，它嘞力学性质也就跟着变咯。
为了解析这个大变形，科学家们可是费了不少心思哦。
他们建立咯好多数学模型，还用了好多复杂嘞计算方法，就想把这个变形过程整得明明白白嘞。
这样一来，工程师们在设计东西嘞时候，就可以根据这些理论来预测和避免可能出现嘞问题咯。
不过嘞，这个大变形力学也不是万能的哦。
毕竟嘛，现实世界里头嘞情况太复杂咯，好多东西都是千变万化嘞。
所以嘛，我们还是要不断学习、不断探索，才能把这个大变形力学嘞奥秘整得更清楚些。
总之嘞，这个大变形力学解析是个非常重要嘞领域，它关系到我们生活嘞方方面面。
希望大家都能好好重视它，一起为科技进步出一份力哦。
高中物理的变形题解题技巧
高中物理的变形题解题技巧高中物理中，变形题是一个常见的题型，要求学生根据给定的条件，通过运用相关的物理公式和概念，解决与物体形状、结构、运动等相关的问题。
本文将从不同角度介绍一些解决变形题的技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、弹性变形题弹性变形是指物体在受力作用下发生的形状改变，当去除外力后，物体能够恢复原状。
在解决弹性变形题时，首先需要明确题目给出的条件和要求，然后根据弹性力学的基本原理进行分析。
例如，有一根弹簧，已知它的弹性系数为k，求当受到外力F时，弹簧的伸长量x。
这个问题可以通过胡克定律来解决，即F=kx。
通过这个公式，我们可以计算出弹簧的伸长量。
除了胡克定律，还有一些常用的解决弹性变形题的公式，如弹性势能公式E=1/2kx²，其中E表示弹簧的弹性势能，k表示弹性系数，x表示伸长量。
这些公式可以帮助我们计算弹簧在受力下的变形情况。
二、杨氏模量题杨氏模量是描述物体抗拉性能的物理量，它是指单位面积内的应力与相应的应变之比。
在解决杨氏模量题时，我们需要根据题目给出的条件，运用杨氏模量的定义进行计算。
例如，有一根长度为L、截面积为A的铜棒，已知它的杨氏模量为Y，求当受到外力F时，铜棒的伸长量x。
这个问题可以通过杨氏模量的定义来解决，即Y=FL/Ax。
通过这个公式，我们可以计算出铜棒的伸长量。
除了杨氏模量的定义，还有一些常用的解决杨氏模量题的公式，如拉伸应变公式ε=F/(AL)，其中ε表示拉伸应变，F表示外力，A表示截面积，L表示长度。
这些公式可以帮助我们计算物体在受力下的变形情况。
三、应力分析题应力是物体内部的分子间相互作用力，它是描述物体受力情况的物理量。
在解决应力分析题时，我们需要根据题目给出的条件，运用应力的定义和相关公式进行计算。
例如，有一根长度为L、截面积为A的金属棒，已知它受到的外力为F，求金属棒上的应力σ。
这个问题可以通过应力的定义来解决，即σ=F/A。
通过这个公式，我们可以计算出金属棒上的应力。
代数变形总结知识点归纳
代数变形总结知识点归纳1. 代数基本概念首先我们需要了解代数基本概念。
在数学中，代数主要研究数与其运算、结构及其运算规则的一门数学分支。
它通常包括整数、有理数、实数和复数等的运算，可以表示为一个数或数字的计算。
代数以字母表示数，并运用字母进行运算。
2. 代数基本运算代数变形的核心是代数基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些基本运算是进行代数变形的基础，需要我们熟练掌握。
3. 代数变形基本原则代数变形的基本原则包括等式变形和不等式变形。
等式变形需要保持等式两边的平衡，并逐步进行变形推导；不等式变形则需要关注不等式号的方向，保持不等式变形的方向一致。
4. 代数变形的运用代数变形广泛运用于数学各个领域，如解方程、化简表达式、证明恒等式等。
在解方程中，我们可以通过代数变形将一个方程式转化为另一个等价的方程式，从而求得方程的解；在化简表达式中，代数变形可以将一个复杂的表达式转化为更简洁的形式，便于计算和分析；在证明恒等式中，代数变形可以帮助我们推导出一个恒等式的证明过程。
5. 代数变形的基本技巧代数变形的基本技巧包括合并同类项、分配律、因式分解、配方法、移项、等价变形等。
这些基本技巧在代数变形中经常被使用到，它们是进行变形的重要手段。
6. 代数变形的应用举例代数变形在数学中有着广泛的应用。
比如在解决实际问题时，我们常常需要建立方程模型，并通过代数变形来解决问题；在微积分中，代数变形是求导和积分的基础；在抽象代数中，代数变形是分析和研究代数结构的重要工具；在线性代数中，代数变形是求解线性方程组和计算矩阵运算的基础。
7. 代数变形的重要性和必要性代数变形是数学中的一个重要概念，它在数学学科中有着广泛的应用。
通过代数变形，我们可以将复杂的数学问题简化，使其更易于处理和理解。
因此，代数变形是数学学习的重要组成部分，也是数学解题的重要方法。
综上所述，代数变形是数学中一个重要的基础概念，它通过数学运算和变形规则，使复杂的数学问题变得更易于处理。
高中代数变形规律总结
高中代数变形规律总结高中代数是数学学科的重要组成部分，掌握代数变形规律对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
本文将总结高中代数中的一些常见变形规律，以帮助学生更好地理解和应用代数知识。
一、等式的性质和变形等式是代数中最重要的概念之一，掌握等式的性质和变形规律是解决代数问题的关键。
等式的性质包括：等式的两边加上或减去同一个数，等式仍成立；等式的两边乘以或除以同一个非零数，等式仍成立。
基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将等式的一边移到另一边，同时改变符号。
例如，从2x + 3 = 5中，我们可以得到2x = 2。
2.合并同类项：将等式中的同类项合并在一起。
例如，从2x + 3x = 5中，我们可以得到5x = 5。
3.提取公因数：从等式中提取公因数，简化表达式。
例如，从2x(x + 3) = 5中，我们可以得到2(x + 3) = 5。
二、不等式的性质和变形不等式是描述两个数之间大小关系的数学符号。
不等式的性质包括：不等式的两边加上或减去同一个数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等式反向。
基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将不等式的一边移到另一边，同时改变不等号的方向。
例如，从2x > 3中，我们可以得到2x - 3 > 0。
2.合并同类项：将不等式中的同类项合并在一起。
例如，从2x > 3x + 1中，我们可以得到-x > 1。
3.提取公因数：从不等式中提取公因数，简化表达式。
例如，从2x(x + 3) >5中，我们可以得到2(x + 3) > 5。
三、指数和幂的变形指数和幂是代数中的重要概念，掌握它们的变形规律对于解决复杂问题具有重要意义。
指数的变形包括：指数的乘法法则、指数的除法法则、指数的乘方法则等。
幂的变形包括：幂的乘法法则、幂的除法法则、幂的乘方法则等。
大变形问题有限元分析
所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大 变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。
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大变形分析中的载荷处理 (1/4)
载荷目前还没有考虑
TL法的载荷项： V uT b uT b dV 0 S uT te tedS0 uT P P
v j xi
旋转率
11
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大变形分析中的本构关系(5/5)
三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
次
弹
性 材
弹性 超弹性 材料 材料
料
实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试才能得以确定。
虚功方程：
t 时刻:
t T St ut T bt dV 0 ut T tt dS0 ut T Pt 0
V
S
e
t t 时刻:
V
S tt T
tt
tt
u
T
tt
b
dV 0
S
u t dS tt T tt
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大变形问题有限元方程的建立 (1/6)
与塑性力学有限元方法的异同
相似：都采用增量方法，都不显含时间。 区别：塑性力学的本构关系随加载变化，而大变形问题的构型随加载变化。
导致分析方法、应力应变描述、本构关系、控制方程的变化。
TL？UL? 本节讨论
构型对应 客观性描述 构型相关，本节讨论 。。。
固体力学大变形基础
面积变 换公式
eijk
xi X l
x j X m
xk X n
dX
m
dX
' n
xi ,l
ni dA
e
lmn
JdX
m
dX
' n
JN l dA0
根据变形梯度张量可逆
N i dA0
eijk
dX
j
dX
' k
xi X l
X l xi
xi ,l
X l ,i ii
1
由此面元变换公式也可表为
面积变
ni dA JX l ,i N l dA0
不为零。也即变形梯度可逆
J xi 0 X j
x1 ,1 x1 ,2 x1 ,3
xi X j
xi , X j
xi , j
Ricci符号
Ricci
J x2 ,1 x3 ,1
x2 ,2 x3 ,2
x , e x , x , x , 2 3
ijk i 1
j2
k
3
1 1231 eijk 1 3 2 1 3
xk X n
dX
l dX
m' dX
"
n
elmn
JdX
l
dX
' m
dX
" n
Je ijk
dX
i
dX
' j
dX
" k
JdV0
体积变换公式
elmn J
eijk xi ,l
x j ,m
xk ,n
eijk
xi X l
x j X m
xk X n
1.4、面积变换公式
大变形运动学与连续介质力学
0
0 1
刚体转动动的变形梯度： Fij ji iˆj eˆi
F x βT X
cos sin 0
F sin cos 0
0
0 1
cos sin 0
F 1 sin cos 0
0
0 1
速度梯度：
刚体旋转的角速度矢量为： ω n 在t 瞬时p 点的速度为： υ ω x n x ， k eklmnl xm
速度梯度：k ,m
k xm
eklmnl
变形率：
dkm
1 (k 2 xm
m xk
)
1 2
(eklm
nl
emlknl )
0
( 1 x1
x1 X I
x2 X J
x3 X K
1 x2
x2 X I
x2 X J
x3 X K
1 x3
x3 X I
x2 X J
x3 ) X K
1 x1
eIJK
x1 X I
x2 X J
x3 X K
det F 1 x1
1 (i 2 x j
j xi
)
1 2
(lij
l ji )
则
l υ d ，w x
lij
i x j
dij
wij
dυ (d w)dx， di (dij wij )dx j
eˆ1 eˆ2 eˆ3 curl υ rot υ
在小变形时通常把变形率分为弹性部分和塑性部分： d d e d p
Green应变率也可分为弹性部分和塑性部分：
代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of the algebradistortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题． （二）换元法的应用1．应用于三角中例[]11 求证x x x xx 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--． 证明 令 t x =tan ，则左边＝()()()2222221421214641211416tt t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+， 右边＝2221421412tt t t t ++=+++＝左边， 所以原恒等式成立2．应用于分式不等式中例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，22220x y z ->的所有实数1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，并求出等号成立的充要条件．证明 设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，2222z b y x +=， 所以()()()2122212212211122121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++()22221112221122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=，因此()()()()22222111222121211111288z y x z y x b a abba z z y y x x -+-=+≤≤+≤+-++即()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．3．在方程组中的应用例[]33 已知方程组(1)， 求1000x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=11112004200321200443212004321200421x x x x x x x x x x x x x x x x(1) 解 由第一个方程可知()2004,,2,10 =≠i x i ，设()2003,,2,121 ==i x x x p i i 用i p 去乘第1+i 个方程，两边得()2003.,2,112 ==-i p p i i ， 所以有251+-=i p ， 又因为99910001000p p x =所以5151515111000-++-=或或x ．三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 例[]44 (1) 已知c yz zb x z y a z y x =+=+=+,,，且0≠++z y x ， 求cc b b a a +++++111的值． (2) 已知a b a b a b b a 156523-=-=，求222232654b ab a b ab a +-+-的值． 解 (1) 由已知 zy zy x z y x a +++=++=+11， 所以zy x xa a ++=+1， 同理可得到zy x z c c z y x y b b ++=+++=+1,1， 1111=++++=++++++++=+++++zy x z y x z y x z z y x y z y x x c c b b a a 所以．(2) 由已知条件知0,0≠≠b a ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b ，得：()()1313175307515615251567530157525==+-+-++=-=-=aaa b a b b a b a a b a b a b b a ， 因此b a 3=，所以()()29627332363534222222==+⋅⨯-+⋅⨯-=bb b b b b b b b b 原式． （二）在不等式中的应用例5 设()n i a i ,2,110=<<，且a a a a n =+++ 21 求证：an naa a a a a a n n -≥-++-+-1112211 ()不等式Shopiro ． 证明 因为()n i a a a ii i ,2,11111=--=-， 所以，原不等式变形为an nan a a a a a a a a a n n n -≥--+-+-=-+-+-111111********* ， 即an n a a a n -≥-+-+-221111111 ， 由算术平均≥调和平均，可得下式成立：()()()an n a a a n a a a n n -=-+-+-≥-+-+-221221111111111 ． 所以所求的原不等式成立． （三）在求极限中的应用例[]56 求数列极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．解 先求函数极限211lim 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()1∞型，对数后的极限为：211lim ln 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22ln 1ln lim1x x x x x→∞++-=222lim 11x x x x x →∞+==++， 所以由归结原则可得：211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭211lim 1xx x x →∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭e =． （四）在求导中的应用例7 设 ()()()()1231525424x x y x x +-=++()4x >，求y '．解 先对函数式取对数得y ln ()()()()112ln 5ln 45ln 2ln 432x x x x =++--+-+，再对上式两边分别求导数，得()()()()2151534224y y x x x x '=+--+-++， 整理后得到()()()()()()()()12315254215153422424x x y x x x x x x ⎛⎫+-'=+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭++．四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ()2222b ab a b a +±=±，我们可以进行恒等变形为：(1)()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；(2)()()[]22222241⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+=b a b a b a b a ab ；(3)()()()22222b a b a b a +=-++．上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例[]68 化简()().1263163222+-++-++解 原式()()[]()()[]2212631263--++-++=2824+=．（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证：()()()()()()x z z y y x x z z y y x -⋅-⋅-=-+-++tan tan tan tan tan tan ． 证明 左边()()()()[]x z z y x z z y y x ----+-+-=tan tan 1tan tan()()()()[]x z z y y x y x ------=tan tan 1tan tan ()()()x z z y y x -⋅-⋅-=tan tan tan 右边=（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例[]710 计算1n +阶行列式()()()()1111111111nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 此式不是范德蒙德行列式．将第1n +行，第n 行，，第2行分别向上和相邻行交换n 次，1n -次，，1次，共交换了()12n n +次，得 ()()()()()()nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D -------=---++1111111111211由1n +阶范德蒙德行列式的计算公式得()()()()[]∏≥>≥++++--+--=11211111j i n n n n j a i a D ()j i i i n -=∏≥≥≥+11．五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法． （一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1． 应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式()2222a ab b a b ±+=±，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．例11 设111x y x y -=+，求y xx y+的值．解 因为111x y x y -=+，所以 1y xx y+=， 又因为5422=⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y xx y y x x y y x x y ， 所以5±=+yxx y ． 2．应用于二次型中例[]812 用配方法将下列二次型化为标准型()31212221321222,,x x x x x x x x x f -++=．解 二次型可化为31212221222x x x x x x f -++=()()2322223212x x x x x x --+-+=，令 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+=323223211x x y x y x x x y ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32322211yy x y x y y x ，则有f 的标准型为2322212y y y f -+=． 3．用配方法证明柯西不等式例[]913 (柯西不等式)设i a ，i b ，()1,2,,i n =，那么()()2222112212n n n a b a b a b a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，当且仅当11b a λ=，12b a λ=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n b a λ=时不等式取等号．证明 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=0，即2120n a a a ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅==时，不等式成立； 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠0时，作二次函数()()()()2222222121122122n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()()()2222222211111120n n n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x b a x b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥当且仅当011=+==+n n b x a b x a 即11,n n b xa b xa =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时等号成立， 因为20ax bx c ++≥()0a >的充要条件是240b ac ∆=-≤， 所以()211222n n a b a b a b ∆=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()222124n a a a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0≤，化简整理得()()()222222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，在前面等式中令x -=λ，当且仅当11a b λ=，22a b λ=，n n a b λ=, 时不等式取等号．（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易． 1．应用于数列求和 例14 计算()11111223341n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+． 解 由()11111n n n n =-++，原式=11111223⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭1111n n n =-=++． 2．应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a x a ++++解 按最后一列拆项得n D 123123123123000x a a a a x a a a a x a a a a x++=+123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a a ++++ 等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出n a 后，第i 列减去最后一列的i a 倍()1,21i n =-，即得10010010010001n n n x x D xD a x-=+11n n n xD a x --=+ ()2121n n n n nx xD a xa x----=++11nn n i i x xa -===+∑．（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例[]1016 在等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，110a b =>，220a b =>，求证：当 3n ≥时，n n a b <．证明 1211n n b b b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭1211n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭121111n a a a a a -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭121111n a a a a -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=--- 21122111211011a a a c a a a c c a n n n >1a ()21111a a n a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=n a ．2．乘“1”例17 设,,a b c R +∈． 证明1⋅+=b a c 12++≥cb a =2ca b c ++， 同理≥2a a b c ++≥2ba b c++， 所以有≥()2a b c a b c ++++=2， 又上述三个不等式中“=”不能同时成立故． 3．应用于计算行列式 例18 计算n 阶行列式211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++解 将行列式加边升阶为2111222221000111111111111n nn n nnx x x D x x x x x x +++=++++++n nnnnnx x x x x x x x x2222212111111111---=nnn nnn x x x x x x x x x222221211111002=n nnn nnx x x x x x x x x2222212111111111----+()112nij i i i j nx x x =≤<≤=-∏∏()()()()()()11111112222211000111111111111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ----------+---()()()()1111211nniji j ji i i j nj i j nx xx x xx =≤<≤=≤<≤=-+---∏∏∏∏()()11121n n j i i j i j n i j x x x x ≤<≤==⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∏∏∏．六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法． （二）应用1．在有理分式分解中的应用例19 对4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解．解 令()4325432249105248x x x x Q x x x x x x -++-=+--+-， 分母54325248x x x x x +--+-可写为几个因式乘积的形式 即：()R x =54325248x x x x x +--+-()()()22221x x x x =-+-+，则部分分式分解的待定形式为：()()()()()012222212A A A Bx CQ x x x x x x +=+++-+-++， 用()R x 乘以上式两边，得一恒等式43224910x x x x -++-()()22021A x x x ≡+-+()()()()()221222121A x x x x A x x x +-+-++--+()()()222Bx C x x ++-+，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++108244948344243312322102121021010C A A A C B A A C B A A A C B A A A B A A 求出它的解：01A =，12A =，21A =-，1B =-，C=1，并代入()1式所以原式的部分分式分解为4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-()()()()2212112212x x x x x x -=+---+-++．2．在求取值范围中的应用例[]1120 已知821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，求证：472576≤-+≤-z y x ．证明 令 ()()()z y x z y x C z y x B z y x A 25722-+=-+++-+-+， 比较两边的对应系数，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=++25272C B A C B A C B A ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒321C B A由于821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，所以有472576≤-+≤-z y x ．3．在数列求和中的应用 例[]1221 求()()211543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n ． 解 设()()21211++++=++n Cn B n A n n n ，比较两边对应项的系数，可得21,1,21=-==C B A ， 故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++2112121211n n n n n n ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2112141322131221121n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=214131123222121121n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++-=21112121n n ．4．在极限中的应用例[]1322 若()843lim =+∞→n n n b a ，()16lim =-∞→n n n b a ，求()n n n b a +∞→3lim ．解 设()()()()n n n n n n n n b B A a B A b a B b a A b a -++=-++=+4636433， 比较系数得⎩⎨⎧=-=+14363B A B A 解得31,31==B A ， 所以 ()()()331386lim 3143lim 313lim =+=-++=+∞→∞→∞→n n n n n n n n n b a b a b a ．代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．结束语本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．致谢本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．参考文献[1]张钟宜．略谈三角恒等变形的技巧和方法[J]．数理化学习（高中版）．[2]陆如龙．戴志祥．证明分式不等式的变形技巧．［Ｊ］．河北理科教学研究．2003（1）．[3]丁胜．应用恒等变形解决数学问题[J]．成都纺织高等专科学校学报．2005（4）．[4]Reston．V．A．National of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics．1998．6．[5]华东师范大学数学系编．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001（2003重印）．[6]申志强．例说代数式的恒等变形[J]．中学数学杂志．2004（1）．[7]仉志余等．线性代数分级讲练教程[M]．北京大学出版社．2006(6)．[8]Rorres C．Anton H．Applications of linear algebra．3rd ed．John wiley & Sons．Inc，1984．[9]罗仁幸．初等数学解题变形技巧漫谈[J]．宝山师专学报．1995（2）[10]袁良佐．“加0”与“乘1”．中学生数学[J]．2002（6）．[11]李亚丽．待定系数法在不等式中的应用[J]．创新篇．解题思想方法．2006（6）．[12]田宝运．高元仁．待定系数法在解题中的应用[J]．数理化学习(高中版)．[13]Loren C．Larson．Problem-Solving Through Problems Springer-Verlag．1983．。
大变形问题有限元分析
解线性方程组
通过求解由刚度矩阵构成的线性方程 组，得到离散解。
后处理
对离散解进行后处理，如误差估计、 收敛性分析等。
04
大变形问题的有限
元分析
有限元模型的建立
确定问题类型
选择单元类型
根据实际问题，确定是弹性问题、塑性问 题还是流体动力学问题等。
根据问题类型和求解精度要求，选择合适 的单元类型，如四边形单元、六面体单元 等。
在大变形问题中，由于物体的位移和变形较大，传统的有限 元分析方法可能无法准确描述物体的变形行为，因此需要采 用更高级的有限元分析方法。
研究意义
大变形问题在工程实践中具有广泛的应用，如桥梁、建筑 、航空航天等领域的结构分析。因此，研究大变形问题的 有限元分析方法具有重要的实际意义。
通过研究大变形问题的有限元分析方法，可以更好地了解 物体的变形行为，提高工程结构的可靠性和安全性。此外 ，该研究还可以为其他复杂工程问题的有限元分析提供理 论支持和方法指导。
求解方程组
利用选定的求解方法，求解建立的方程组， 得到各节点的数值解。
有限元分析的步骤和流程
对计算结果进行可视化、分析和 解释等。
建立方程组、选择求解方法和求 解方程组等。
建立几何模型、划分网格和离散 化处理等。
前处理
求解过程
后处理
05
有限元分析的实例
实例一：简单大变形问题分析
模型描述
考虑一个简单的弹性体，在受到外力作用时 发生的变形。
建立几何模型
划分网格
根据实际问题，建立相应的几何模型，包 括形状、尺寸和边界条件等。
将几何模型划分为有限个小的单元，每个 单元由节点和边组成。
有限元模型的求解
离散化处理
大变形问题有限元分析
uK
,J
1 2
uK
,I
uK ,J
eIJ IJ
二者之间满足张
线性部分 非线性部分
量变换关系！
现时（Updated）Green应变增量：
* ij
1
ui
2 x j
u
j
xi
1 2
uk xi
uk x j
*eij *ij
IJ
xm X I
xn X J
* mn
非线性部分
2020/4/5
线性部分
4
kl
1 2
uk,l ul,k um,kum,l
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。
大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
2020/4/5
3
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大变形问题的应变描述(3/4)
应变增量：
Green应变增量：
IJ
1 2
KJ
uK,J
uK ,I KI uK ,I
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9
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大变形分析中的本构关系(3/5)
超弹性材料
假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构
关系，这类材料称为超弹性材料。
Case-1 W W KL
例如
W
1 20
IJ AIJKL KL
(不限于这种形式）
增量形式 …
SIJ
0
W KL IJ
初始构型时材料 的密度－常数
弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
（大变形分析中）
ij Aijkl kl
Aijkl 为常数
大变形理论
国内外研究现状
国内外研究现状
理论 方面
SR—RS理论（Finger-Truesdell）： 该理论的核心是以乘积分解定理为基 础的。 S—R理论（Stokes）：1845年时 Stokes提出局部转动和压力场无关的 原理并提出将其推广到固体的位移场。 钱伟长采用双参数摄动研究了悬臂梁 大挠度问题；陈至达改进Stokes的对 称--反对称分解原则为对称--正交分解
拖带坐标 系 在一个可变形体中嵌入了坐标线，其随着变形体变 形而拖带伸展、缩短并引起坐标线曲率的改变，这种嵌 在可变形体中的坐标线组成的参考系便称为拖带坐标系。
课题意义及简介
拖带坐标系的优势 1）利用拖带坐标值在变形过程中不变的特点，可对离散了 的单元在任意位形中进行插值，通过适当的数学变换，可以 推导出等参元理论中的局部坐标。也可以认为，在拖带坐标 法有限元中，使用了固定坐标、拖带坐标和单元局部坐标三 种坐标系，其变换关系为：X= Qk x= Qk QQξ中，Qk表示运 动变换；QQ表示几何变换；X为定系坐标；x为拖带坐标； ξ 为单元局部坐标。
国内外研究现状
实验 方面
华南理工大学的万海的分析。 北工大周宏宇等采用两点对称加载的 简支梁做了梁正截面极限承载力试验， 记录了相应挠度变化等。 国外一些机构对梁构件的变形性能进 行了相关研究，但不适用于我国情况， 因为材料性能不同且构造措施不同。
课题意义及简介
拖带坐标系的优势 2）在变形过程中，外载随位形的变化得到修正，克服了TL 法和UL法“死载荷”之不足。 3）可将节点位移在实时拖带坐标系中的分量作为基本插值 量，对于大变形、大转动问题，这样做可使计算求解过程简 化，并可增大增量步。
课题意义及简介
具体 目标
在现有和分解有限变形理论基础上推 导大变形情况下梁的位形变换计算公 式，并依据实验数据进行修正。
大变形问题的有限元分析课件
05
大变形问题的实例分析
总结词
弹性大变形问题是指物体在外力作用下产生的形变，形变程度超过弹性极限，导致材料内部应力散布产生变化的问题。
建立大变形问题的有限元模型需要选择合适的单元类型和材料模型。单元类型应能够准确地描述物体的变形行为，而材料模型则应能够反应物体的物理性质和行为。
在建立有限元模型时，还需要考虑边界条件、载荷和束缚条件等因素，以确保模型的准确性和有效性。
收敛性是评估有限元方法求解大变形问题的有效性的关键因素之一。收敛性分析涉及检查随着离散化程度的增加，解的近似值是否趋近于真实解。
方法是一种数值分析方法，通过将复杂的连续问题离散化为有限个简单的问题，从而求解复杂的数学模型。
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁场等领域。
有限元方法的基本思想是将连续的求解区域离散化为有限个小的单元，并在每个单元上定义节点，通过节点之间的相互关系建立方程组，求解该方程组得到原问题的近似解。
总结词
大变形问题通常涉及到物体在外力或内力作用下的变形，这种变形可能是弹性变形、塑性变形、粘性变形等。根据变形的性质和程度，大变形问题可以分为不同的类型，每种类型都有其特定的数学模型和求解方法。
详细描述
大变形问题的基本方程包括运动方程、几何方程和本构方程。这些方程描述了物体的运动状态、变形几何和材料属性之间的关系。
详细描述
弹性大变形问题通常涉及到复杂的应力散布和应变状态，需要考虑材料的弹塑性行为和应变局部化现象。有限元分析在解决这类问题中发挥了重要作用，可以模拟材料的弹塑性行为和应力应变散布，为工程设计和优化提供根据。
deform本构方程
deform本构方程
在材料力学中，deform本构方程是一种描述材料行为的方程，它用于描述物体在受力作用下的变形。
deform本构方程是应
力与应变之间的关系，通常可以由试验数据或理论模型来确定。
一般来说，deform本构方程可以分为线性本构方程和非线性
本构方程。
线性本构方程是指应力与应变之间成线性关系的本构方程。
最简单的线性本构方程是胡克定律，即应力与应变之间成比例关系。
胡克定律可以写为σ = Eε，其中σ表示应力，ε表示应变，E表示杨氏模量。
此外，还有一些复杂的线性本构方程，如线
弹性模型、线粘弹性模型等。
非线性本构方程是指应力与应变之间呈非线性关系的本构方程。
非线性本构方程通常用于描述材料在大变形、高应力下的行为。
常见的非线性本构方程包括塑性本构方程、粘弹性本构方程、弹塑性本构方程等。
塑性本构方程描述了塑性材料的行为，粘弹性本构方程描述了粘弹性材料的行为，弹塑性本构方程描述了同时考虑弹性和塑性行为的材料。
总而言之，deform本构方程是一种用于描述材料行为的方程，它是应力与应变之间的关系，可以是线性的或非线性的。
不同材料的deform本构方程是根据其特性和行为确定的。
ME7001《应用固体力学》课程教学大纲-上海交通大学机械与
ME7001《应用固体力学》课程教学大纲课程名称：应用固体力学课程代码：ME7001学分/学时：3学分/48学时开课学期：春季学期适用专业：机械工程及自动化先修课程：理论力学，弹性力学，有限元开课单位：机械与动力工程学院一、课程性质和教学目标课程介绍：固体力学是开展机械工程相关科学基础研究和工程技术应用需要掌握的重要理论基础，对于提高机械工程专业博士研究生的力学理论基础及其工程应用能力具有重要作用。
本课程面向机械工程博士研究生在科学研究中的固体力学分析需求，讲授连续介质力学基本理论，包括张量分析基础、弹塑性理论、非线性有限元方法，及其在结构和工艺分析中的应用。
教学目标：学生通过学习本课程，可以掌握固体力学的一些基本概念，了解机械工程问题中数学和力学建模、求解的一般原理，初步具备对机械工程中结构和工艺问题进行建模和计算的应用能力，从而为从事机械工程科研工作奠定基础。
具体目标包括：（1）掌握材张量分析理论的基本概念、技术术语。
（2）掌握连续介质力学的基本概念和基本原理。
（3）培养应用固体力学原理解决工程问题和设计满足要求的构件或系统的能力。
二、课程教学内容及学时分配1.固体力学及应用概论（1学时）主要讲述固体力学涉及的理论内容概述，固体力学在机械工程领域科研和工程实践中的应用基本情况。
2.张量分析基础（6学时）主要讲述欧式空间中的矢量和张量、张量和矩阵的几种记法、矢量和张量分析、张量函数的导数、坐标变换、二阶张量及其不变量、Cayley-Hamilton定理、各向同性张量等内容。
3.线弹性问题（6学时）主要讲述各向同性线弹性材料的应力-应变关系、各向异性弹性固体材料的应力-应变关系、弹性刚度张量的对称性、线弹性理论中的变分方法、不变原理和最小势能原理、有限元方法理论、单元插值函数、单元应变、应力、刚度矩阵、边界加载、位移边界条件的引入等。
4.大变形问题基本方程（6学时）主要讲述无限小应变的适用性、物体的变形分析、物体的运动分析、物体的应变度量、物体的应力度量、静力平衡与能量原理、大变形弹性本构方程等。
Gibson土体非线性大变形固结方程的解析解
Ａｎ ｌ ｔｃ ｌＳ ｌ ｔ ｎ ｆＧｉ ｓ ｎ ａ ｙ ｉａ ｏ ｕ ｉ ｓｏ ｂ ｏ ￣Ｆｉ ｉｅ Ｎｏ —ｌ ｅ ｒ Ｃｏ ｓ ｌ ａ ｉ ｎ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｏ ｏ ｌ ｏ ｎ ｔ ｎ ｉ ａ ｎ ｏ ｉ ｔｏ ｕ ｔ ｆＳ ｉ ｎ ｄ ｏ
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ｓ ｏ ｈ ｔ ｈ ｎ ｙ ｉａ ｏｕ ｉｎ ｆｔ ｉ ｐ ｐ ｒｉ ａ ｕ ｂ ｅ ｆｒｔ ｅ ｖ ｒ ｃ ｔ ｎ ｏ ｎ ｔ ｅ ｕ ｒ ａ ｏｕ ｉｎ ｏ ｔｅ ｈ ｗｓｔ ａ ｅ ａ ａ ｔ ｌ ｓ ｌ ｔ ｓｏ ｓ ａ ｅ ｓｖ ｌ ａ ｌ ｈ ｅ ｆ ａｉ ｆｍａ ｙ ｏｈ ｒｎ ｍｅ ｉ ｌｓ ｌ ｔ ｓｔ ｈ ｔ ｌ ｃ ｏ ｈ ｏ ｉ ｉ ｏ ｃ ｏ
ｃ ｎ ｏｉ ａ ｉｎ ｏ ｏｌｉ ａ ａｙ ｅ ｙ ｔ ｅ ａ ａｙ ｉａ ｏｕ ｉ ｎ ．ａ ｄ ｔｅ ｓ ｌ ｔ ｎ ｆｔ ｅ １ ｉ ｉ ｏ ｏ ｓ ｌ ｔ ｆｓ ｉ ｓ ｎ ｚ ｄ ｂ ｈ ｎ ｌｔ ｌ ｓ ｌ ｔ ｓ ｎ ｈ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｎ ｎ—ｌ ｅ ｒｃ ｎ ｏ ｉａ ｉｎ ｄ ｏ ｌ ｃ ｏ ｏ ｈ Ｄ ｎｅ ｉ ａ ｏ ｓｌ ｔ ｎ ｄ ｏ ｔ ｅ ｒ ｒ ｏ ａ ｅ ｔ ｈ ｏｕ ｉｎ ｆ ｈ ｅｚ ｇ ｉ ｍａｌｓ ａ ｎ ｃ ｎ ｏｉ ａｉｎ ｔ ｅ ｒ ．Ｔ ｅｒ ｓ ａ ｃ ｆｔｉ ａ ｅ ｈ ｏ ｙ ａ ｅ ｃ ｍｐ ｒ ｄ ｗｉ ｔ ｅｓ ｌｔ ｓｏ ｅ Ｔ ｒａ ｈ ￣１ ｓ ｌ ｔ ｉ ｏ ｓ ｌ ｔ ｈ ｏ ｙ ｈ ｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｓｐ ｐ ｒ ｈ ｏ ｔ Ｄ ｒ ｄ ｏ ｈ
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第五章：大变形问题的有限单元法
1. 弹性大变形问题的有限元法
2. 弹性分支点稳定问题有限元分析
3. 物质描述大变形增量问题的T.L 、 U.L法
大变形时平衡方程和虚位移原理
变形体初始和现时位形 如图所示，以欧拉应力表 述平衡时
V : ij , x j Fi 0 S : i ij n j
e Ve 0
1. 弹性大变形问题的有限元法
弹性大变形问题，需要考虑变形的非线性项 和变形对平衡的影响。 若以初始自然平衡状态作初始位形，则物质 描述的格林应变为 ui uk uk 1 u j L E ij ( ) ij ij 2 X i X j X i X j 式中 ui 1 u j 1 uk uk L ij ( ) ij 2 X i X j 2 X i X j 线性部分 非线性部分
x i ui ij X j X j
x i V: ( S kj ) Fi 0 0 X j X k
对比小变形情况，可见大变形时变形对平衡的 影响，是通过变形或位移梯度表现出来的。
ui V: [ S kj ( ik )] Fi 0 0 X j X k
为便于计算机编程，将张量转换为矩阵： 格林应变矩阵和张量的分量间有如下关系 T E E11 E22 E33 2E12 2E23 2E31 T 11 22 33 2 12 2 23 2 31
2 2 2 对应的克希荷夫应力矩阵和张量分量间关系为 T S S11 S22 S33 S12 S23 S31 引入两个算子矩阵 T d,X1 0 0 d,X 2 0 d,X 3 A 0 d,X 2 0 d,X1 d,X 3 0 0 0 d,X 3 0 d,X 2 d,X1
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第五章 大变形问题的基本方程和Lagrangion 表示法（列式法）§5-1物体的运动分析和应变度量严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。
但在小变形情况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满足工程要求。
而研究大变形物体的变形过程，，必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。
研究方法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步内建立它的增量运动方程——即变形体内质点的运动规律。
要选取某一坐标系：初始（initial ）坐标系; 相邻（adjacent, neighboring ）坐标系; 瞬时（current ）坐标系.1． 物体运动方程：物体构形（configuration ）内一点P 的增量运动方程。
选择两个固定坐标系,以t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系a i , 以+t t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系x i研究（t t t →+）具有普遍意义.t 时刻 ()i P a ； t t + 时刻 '()i P x △t 增量步内，P 的变形i i i u x a =- （1）研究t 时间步内物体内一点P 的变形。
最简便的办法是将两个坐标系重合在一起。
2． 应变度量研究P 点附近线素变形 在 t t t →+ 时间步内 ''PQ P Q →线素变形 i i i du dx da =- （1）’将i du 在i a 坐标系中，在P 点处作一阶泰勒展开并考虑到()=i P du O 得ii j ju du da a ∂=∂ 代入(1)’ 式得 ()ii ij j ju dx da a δ∂=+∂ (2) 同理将i du 在x i 坐标系中，在P ’点处作一阶泰勒展开,并考虑到()'=i P du O 得ii j ju du dx x ∂=∂代入(1)’ 式 ()ii ij j ju da dx x δ∂=-∂ (2)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 附：若位移i du 是坐标i a 的单值连续函数，则可在i a 空间中p 点处展成泰勒级数. 123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭i i i i i i p j ju u uu du du da da da da a a a x i.e 111111231232222212312333333123123()()()p p p u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a ⎧⎫⎛∂∂∂=+++⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎪⎭⎪⎫⎛∂∂∂⎪=+++⎪⎨ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎫⎛∂∂∂⎪=+++⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎩代入（1）式 i i i dx da du =+写成张量形式： ii ij j j udx da a δ⎛⎫∂=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭(2) 同理若将位移i du 在i x 坐标系中p ’点处展成泰勒级数并取一阶项：123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭i i ii i i p j u u u u du du dx dx dx x x x x 代入（1）得ii ij j j uda dx x δ⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂⎝⎭(2)’ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 上两式中 i i j j u du da a ∂=∂ i i j judu dx x ∂=∂ 其中i j u a ∂∂和i jux ∂∂ 可分别记为,i j u 和,i j u ，可称为相对位移张量（不对称张量），而且可将,i j u 分解成对称部分和反对称部分。
i.e. ,ii j ij ij ju u a εω∂==+∂ (3)其中 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u a a u u a a εω∂⎫∂=+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪=-⎪∂∂⎭(4)同理 ,ii j ij ij ju u x εω∂==+∂ (3)’ 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u x x u u x x εω∂⎫∂=+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪=-⎪∂∂⎭(4)’将（3）（4）和 (3)’ (4)’代入（2）(2)’得变形前线素 ()i ij ij ij i dx da δεω=++ (5) 变形后线素 ()i ij ij ij i da dx δεω=-- (5)’为了定义应变要讨论t ∆时间步内线素的长度变化PQt 时刻变形前线素长度 ： PQ 长度ds 0 ()20i i ds da da = (6) t+t ∆时刻变形前长度 ： ''P Q 长度ds ()2i i ds dx dx = (6)’ 定义应变为: ()()2202iji ids ds E da da -=和 ()()2202iji ids ds e dx dx -=(7)和(7)’--------------------------------------------------------------------------------------------------- 附录：1. 说明：平衡方程和变形有关，否则无法求解或求解错误。
由两杆三铰结构，且三铰位于同一条直线上。
从小变形的观点，平衡方程始终相对于初始坐标建立。
所以，外力P 无法抵挡，成为结构力学中瞬变机构。
而实际上，平衡状态是客观存在的，如图平衡状态和变形有关。
当铰2有了一定的微小法向位移δ之后，杆中的轴力，有一部分可以抵抗外力P ，而平衡与变形δ有关。
平衡方程应相对于变形后的构型为参考的坐标系来建立。
2. 说明：用线性理论求解会得到错误的结果。
物体作平面转动的刚体运动。
角速度为3ω，t 时间内转动量为t 3ω。
按小变形理论，x向线素dx ，经转动后成为'dx ，则1cos cos '3311-=-⋅=-==t dxdx t dx dx dx dx dx du ωωε 当t 3ω较大的时候011≠ε，这显然是不真实的错误解。
只有当03→t ω时，011=ε。
因此，线性应变理论不适用于大变形状态。
3、关于相对位移张量和不对称性在i a 坐标系下，表示位移i du ，则j j i j j i i da u da a u du ,=∂∂=，其中ji j i a uu ∂∂=,称相对位移张量，即⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321332313322212312111321da da da a u a u a u a u a u a u a u a u a u du du du 相对位移张量是非对称张量，因为ijj i a u a u ∂∂≠∂∂。
例如对于平面内变形： 1221a u a u ∂∂≠∂∂ )(2112213a u a u ∂∂-∂∂=ω 12211221a u a u ∂∂+∂∂==γγ 122112212121ωεωγ+=+=∂∂a u 其中21γ是工程应变，21ε是应变张量分量。
这样可以将相对位移张量分解成对称部分和反对称部分ij ij j i jiu a u ωε+==∂∂, (3) 其中)(21i j j i ij a u a u ∂∂+∂∂=ε为对称部分称为应变张量；)(21i jj i ij a u a u ∂∂-∂∂=ω为非对称部分称为刚体转动12a∂122γ1a分量表示⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211333231232221131211212121212121εεεεεεεεεεγγγεγγγεεij ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=00323123211312ωωωωωωωij 同理ij ij j i jiu x u ωε+==∂∂, (3)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 为了求)(ij ij e E ，将（2）代入（5）ii jk i k i j j i i i jki k i j j i i i i ji ij i j i ij ii i i da da a u a u a u a u da da a u a u a u a u da da da a uda a u da da dx dx dS dS )()11()()()()(202∂∂∂∂+∂∂+∂∂=-∂∂∂∂+∂∂+∂∂+=-∂∂+∂∂+=-=-δδ (8) 上面的展开推导过程中，采用了张量运算法则：1) 当1i j k ===时，1==kl ij ij ij δδδδ 2) jij i ija u a u ∂∂=∂∂δ 3)jki k j i j i a u a u a u a u ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 同理，将 (2)’ 代入 (5)’220()()()∂∂∂∂-=-=++∂∂∂∂j i k ki i i i i i j i i ju u u u dS dS dx dx da da dx dx x x x x (8)’ 将 (8) 和 (8)’ 代入 (5) 和 (5)’，得)(21jk i k i j j i ij a u a u a u a u E ∂∂∂∂+∂∂+∂∂=(9))(21jki k i j j i ij x u x u x u x u e ∂∂∂∂+∂∂+∂∂= (9)’统一表示为：)(21)(,,,,j k i k i j j i ij ij u u u u e or E ++=(10) (10) 式恰好反映了t ∆增量步内，线素PQ （P 点）的应变量，ij E 是以t 时刻的物体构形为参考构形建立的坐标系来描述的，而ij e 是以t +t ∆时的坐标描述的。
前者称为Green 应变，取相对坐标系。
后者称为Almansi 应变，取即时坐标系。
讨论：如果将初始构形i a 和变形后的构形i x 看作是同一构形，即变形比较小，且位移的一阶导数项j i a u ∂∂（j i x u∂∂）也比较小，则可认为平方项（i k a u ∂∂jk a u ∂∂）趋近于零，那么 (9) 式和 (9)’ 式就完全相同。