数值分析论文 (8)

牛顿迭代法及其应用

[摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。最后给出了离散牛顿法的具体做法。

[关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。

1.牛顿法及其收敛性

求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即

，ξ在x与之间

忽略余项，则得方程的近似

右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即

(2.4.1)

称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与

x轴交点为,作为的新近似，如图1所示

图1

关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理.

定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且

(2.4.2)

证明由式(2.4.1)知迭代函数,，

,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕.

定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论.

例1用牛顿法求方程的根.

,牛顿迭代为

取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.

例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得

(2.4.3)

这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当

时有

即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且

所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3)中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛.

在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到

=1.732 051,具有7位有效数字.

求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。方程为

此切线与x轴交点记作，它就是(2,4,1)给出的牛顿迭代法，由图2-3

看到牛顿法求根就是用切线近似曲线，切线与x轴交点xk+1作为方程f(x)=0

根x*的新近似。

根据定理2.3可以证明牛顿法是二阶收敛的，这就是定理4.1给出的结果，牛顿法由于收敛快，它是方程求根最常用和最重要的方法，在计算机上用牛顿法解方程的计算步骤：

算法如下：（牛顿法）

步0：

给初始近似,计算精度最大迭代步数N,0→k.

步1：计算f(x)→f,若，转步4，否则做

步2：计算，若y=0,转步4，否则

步3：若，步4，否则，若，转步4，否则转

步1

步4：打印x,f,y,k计算停止。

此算法给出了4个停止准则，保证计算在有限步结束，其中y=0及均属非正常结束，，说明用牛顿法求根得不到结果，步2中y=0实际使用时可改为

（可取）。计算例子见例2.6及例2.7，例2.7得到的计算的牛顿法程序（2.4.3）是计算机中计算开方的最有效算法，它对任意初值都能使序列

收敛于，且为平方收敛，一般只要迭代3－5次就可达到7－9位有效数字，因此计算量很省。

2.重根情形

当,则为方程(2.1.1)的重根，此时,

牛顿法的迭代函数,，故牛顿法仍收敛，但只是线性收敛.

若迭代函数改为，则，故迭代法

(2.4.5)

具有二阶收敛.

对重根还可构造另一种迭代法，令若是的m重根，则

所以是的单根，对它用牛顿法，迭代函数为

从而可构造迭代法

(2.4.6)

它也是二阶收敛的.

例3方程的根是二重根，试用牛顿法及(2.4.5)、(2.4.6)三种迭代法各计算3步.

解

方法(1)：牛顿迭代，

方法(2)：迭代法(2.4.5)，

方法(3)：迭代法(2.4.6)，

三种方法均取=1.5计算结果如下：

方法（1）方法（2）方法（3）

1.458 333

333

1.436 607 143

1.425 497 619 1.416 666 667

1.414 215 686

1.414 213 562

1.411 764 706

1.414 211 438

1.414 213 562

方法(2)与方法(3)均达到精确度，而方法(1)只有线性收敛，要达到相同精度需迭代30次.

当x*是f(x)=0的重根时，用牛顿法计算，只有线性收敛，如果已知x*是m 重根则使用迭代法（2.4.5），否则可使用（2.4.6），见例4

3.离散牛顿法

求解方程的牛顿法(2.4.1)要计算,如果导数计算不方便，通常可用计算函数差商近似，即

将它代入式(2.4.1)则得离散牛顿法：

(2.4.7)

这种迭代法与式(2.2.2)不同，它要给出两个初始近似，才能逐次计算出.因此称为多点(两点)迭代，迭代(2.4.7)称为割线法，其几何意义是，

用曲线上两点的割线与x轴交点作为=0根的新近似，即

的根x，记作，它就是方程(2.1.1)根的新近似，如图2所示.