高等数学经典编辑例题
高等数学试题及答案完整版
高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
高等数学同济第七版经典例题（上册）
高等数学同济第七版经典例题（上册）2017 高等数学I (上) 课本题目第一章函数与极限1.1 理解集合与函数概念掌握函数表示法、几个特性与反函数如课本P5 例6 至例9 P11 例11 P16 第5 题至第10 题P17 第13 题1.2 能够建立应用问题的函数关系、掌握基本初等函数和初等函数如课本P17 第14 题P71 第7 题1.3 理解极限概念、函数左极限与右极限概念及函数极限存在与左极限、右极限关系如课本P23 例3 P26 第5 题至第8 题P30 例6 P33 第1 题至第3 题P71 第2 题P66 第6 题P72 第10 题1.4 理解无穷小量、无穷大量概念掌握无穷小量比较方法会用等价无穷小量求极限如课本P38 第6 题P55 例3 至例5 P55 第5 题P72 第9 题1.5 掌握极限性质及四则运算法则、会利用俩极限存在准则求极限会利用两个重要极限求极限如课本P42 例3 至例8 P45 第1 题至第3 题P48 例1 至例3 P51 例4P52 第1、2、4 题P72 第12 题1.6 理解函数连续性概念(含左连续与右连续) 会利用连续性求极限和判别函数间断点类型如课本P59 例1 至例5 P61 第1 题至第4 题P64 例5 至例8 P66 第3、4 题P71 第3 题第(2) 小题P72 第11 题1.7 理解闭区间上连续函数性质(有界性、最值定理、介值定理、零点定理) 并会应用这些性质如课本P68 例1 P70 第1 题至第5 题P72 第13 题1.8 了解连续函数性质和初等函数连续性第二章导数与微分2.1 掌握定义法求函数导数及左右导数、理解导数定义与几何意义如课本P77—P79 例2 至例7 P83—P84 第5 题至第9 题P123 第3、5、6 题2.2 理解函数可导性与连续性关系掌握判别函数在一点处是否可导或连续方法如课本P81—P82 例9 至例11 P84 第16 题至第19 题P123 第7 题2.3 掌握求平面曲线在一点处切线与法线方程方法了解导数物理意义会用导数描述常见物理量如课本P81 例8、例9 P84 第13 题至第15 题和第20 题2.4 掌握基本初等函数导数公式、四则运算法则、反函数导数、复合函数求导法则和对数求导法如课本P85 定理证明P86—P93 例1 至例15 P92 所有公式P94 第5 题至第11 题P95 第13 题和第14 题P123第8 题P103 例5 和例62.5 会求分段函数的导数掌握复合函数与隐函数及参数方程求导数一阶及二阶导数的方法如课本P101—P103 例1 至例4 P106—P107 例7 至例9 P109 第1 题至第8 题P123 第9 题P124 第11 题至第13 题2.6 了解高阶导数的概念会求简单函数的高阶导数如课本P97—P99 例1 至例8 P100 第1、2、3、10 题2.7 理解微分概念、导数与微分关系会求函数微分了解微分四则运算法则和一阶微分形式不变性如课本P115 例3 至例6 P121 第3、4 题but it requires a very fine nature to sympathize with a friend's success.第三章微分中值定理与导数的应用3.1 掌握用洛必达法则求各种未定式极限的方法如课本P134—P136 例1 至例10 P137 第1 题至第4 题P182 第10 题3.2 掌握函数极值和最值的求法及实际问题最大和最小值的求法、理解函数极值的概念如课本P155—P157 例1 至例4 P160 例7 P161 第1 题至第12 题P183 第14 题3.3 掌握用导数判断函数单调性和曲线凹凸性会求曲线的拐点如课本P145—P150 例1 至例11 P150—P152 第1 题至第6 题第9、10、13、14、15 题P182 第11 题至第13 题3.4 掌握曲线水平渐近线和垂直渐近线的求法如课本P38 第8 题P166 例33.5 理解并会用费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理了解并会用柯西中值定理如课本P129 例子P132 第1 题至第12 题P182 第2 题第(1) 小题和第5、6 题3.6 理解并会用泰勒中值定理和麦克劳林公式知道简单函数的展开式如课本P143 例3 P143 第10 题3.7 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念会计算曲线的曲率和曲率半径如课本P172 例1 P176 第1 题至第4 题第四章不定积分4.1 理解原函数和不定积分的概念如课本P193 第7 题4.2 掌握不定积分基本积分公式、不定积分性质、第一换元积分法、第二换元积分法和分部积分法如课本P185—P191 例1 至例15 P192 第2 题P194—P206 例1 至例26P207 第2 题P209—P212 例1 至例9 P212 习题4—3 P222 总习题四第4 题4.3 会求简单有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分如课本P214—P217 例1 至例8 P218 第1 题至第24 题第五章定积分5.1 理解定积分概念和几何意义掌握可积充分条件、定积分性质及定积分中值定理如课本P236 第3、4 题P228 例1 P271 第4 题5.2 理解积分上限函数和原函数存在定理会求变限积分函数导数如课本P243 例7、例8 P244 第1 题至第7 题P245 第11 题至第16 题P273 第13、14 题5.3 掌握牛顿—莱布尼兹公式和定积分的换元积分和分部积分法如课本P241 例1 至例4 P244 第8 题P247—P253 例1 至例12 P254 第1 题P255 第7 题P272 第11 题5.4 理解无穷限和无界函数广义积分的收敛与发散会计算广义积分如课本P258 例1 至例3 P260 例4 至例7 P262 第1 题和第4 题but it requires a very fine nature to sympathize with a friend's success.第六章定积分的应用6.1 掌握定积分元素法原理和直角坐标系和极坐标系下平面图形面积如课本P276—P279 例1 至例5 P286第1 题至第11 题6.2 掌握曲线弧长的求法、旋转体体积求法和已知横截面面积立体体积的求法如课本P81—P286 例6 至例13 P287—P289 第12 题至第30 题6.3 掌握利用定积分求变力沿直线所作的功和水压力如课本P290—P292 例1 至例4 P293—P294 第1 题至第10 题P296 第11 题至第12 题第七章微分方程(前五节)7.1 掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法如课本P304 例1 P308 第1 题和第2 题P316 例1 P320 第1 题和第2 题7.2 会解齐次微分方程会用简单的变量代换解某些微分方程如课本P309 例1 P314第1 题和第2 题P318 例3 P321 第7 题7.3 会用降阶法求解三类可降阶的高阶微分方程如课本P322 例1 P323 例3 P326 例5 P329 第1 题和第2 题7.4 理解微分方程及其阶、特解、通解及初始条件等相关概念如课本P297 例1 和例2 P301 第1 题至第4 题but it requires a very fine nature to sympathize with a friend's success.。
典型例题与习题
a
2
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) f () (b a)3
a
2
24
9/16
Ex2.复合左矩形求积公式旳求积误差
b a
n1
f ( x)dx h
j0
f (a
h2 jh)
2
n j1
f ( j )
设被积函数在积分区间上旳一阶导数连续,由连续函数
介值定理
1
n
n j 1
N 1
[
n0
f
(
xn
)
4
f
(
xn1/
2
)
f ( xn1 )]
其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N)
13/16
Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:
y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1))
Gm
(h)
4m
Gm
1
(
h 2
)
Gm
1
(h)
4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习：二阶中心差商旳外推公式？
6/16
常微分方程初值问题 1. Euler措施
y f ( x, y) x x0
y(
x0
)
y0
y0 yn1
y( x0 ), yn
xn1 xn h hf ( xn , yn ),(n
16/16
N 1
试证明用Euler公式计算成果为 y(b) f (tn )h
高等数学试题及答案解析
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此，最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。
答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案：极值点为x = 3。
解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。
高等数学典型习题及参考答案
⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。
大学高等数学习题及答案
高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。
)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)
例 利用二重积分的性质，估计积分2222(2)d Dx y x y σ+-⎰⎰ 的值，其中D 为半圆形区域224,0x y y +≤≥．解 我们先求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值．由22220,420,x yf x xy f y x y '⎧=-=⎪⎨'=-=⎪⎩解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=． 在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0．在边界222:4L x y +=(0)y ≥上，242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤由3()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22x x x ==-=，(0)(0,2)8h f ==． 5537()(,)2224h f ±=±=． 综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知222202(2)d 82Dx y x y πσπ⋅≤+-≤⋅⎰⎰，即22220(2)d 16Dx y x y σπ≤+-≤⎰⎰．例 设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 为D 在第一象限的部分，则(cos sin )()Dxy x y dxdy +=⎰⎰．（A ）12cos sin D x y dxdy ⎰⎰ （B ）12D xy dxdy ⎰⎰（C ）14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ （D ）0解 区域D 如图所示，并记0D 为以(1,1),(1,1),(0,0)-为顶点的三角形区域，则0D 关于y 轴对称，且1D 为0D 在y 轴右侧的部分区域，区域0D D -关于x 轴对称．又xy 关于x 和y 均为奇函数；而cos sin x y 关于x 为偶函数．关于y 为奇函数，由二重积分的奇偶对称性得0,0D D D xy dxdy xy dxdy -==⎰⎰⎰⎰，故0Dxy dxdy =⎰⎰；1cos sin 2cos sin ,cos sin 0D D D D x ydxdy x y dxdy x y dxdy -==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故1cos sin 2cos sin DD x y dxdy x y dxdy =⎰⎰⎰⎰．所以1(cos sin )cos sin 2cos sin DDDD xy x y dxdy xy dxdy x y dxdy x y dxdy +=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．因此我们选（A ）．例 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则Dσ= ．解 由题意知，D 关于直线y x =对称，由二重积分轮换对称性得DσDσ=12D d σ=⎰⎰ 211()π2π22242D D a b a b a b a b d d σσ+++=+==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰． 因此，我们应填“π2a b+．”例 计算二次积分220sin xydx dy yππ⎰⎰解 积分区域如图，则 原式20sin yydy dx yπ=⎰⎰2200sin sin sin y dy ydy ydy ππππ==+-⎰⎰⎰4=；例设D为椭圆区域22(1)(2)149x y--+≤，计算二重积分()Dx y dxdy+⎰⎰．解令12cos,23sin,x ry r=+⎧⎨=+⎩θθ则D的极坐标表示为01,02r≤≤≤≤θπ，且(,)6(,)x yrrθ∂=∂．由式(10.2.8)，可得2100()6(32cos3sin)Dx y dxdy d r r rdr+=++⎰⎰⎰⎰πθθθ2326(cos sin)1823d=++=⎰πθθθπ．例计算二重积分⎰⎰+Dyxyx dd)(，其中D为.122++≤+yxyx解解法1 D的边界曲线为,2/3212122=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-yx这是一个以⎪⎭⎫⎝⎛21,21为圆心，23为半径的圆域，采用一般的变量代换，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,21,21yvxu即作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,21,21vyux于是D变为.2/3:22≤+'vuD.111),(),(==∂∂=vuyxJ所以，()d d(1)1d dD Dx y x y u v u v'+=++⋅⋅⎰⎰⎰⎰（再用极坐标）.23023d d )cos (sin d d d )1sin cos (d 222/30202/3020ππθθθθθθθππ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r rr r r D解法2 由于积分区域D ：23212122≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 关于21=x （即)021=-x 对称，故⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-D y x x .0d d 21 类似地，由于D 关于⎪⎭⎫⎝⎛=-=02121y y 即对称，故 ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-D y x y .0d d 21 从而.2323d d d d 1d d 21d d 21d d )(2ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅===⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰面积D y x y x y x y y x x y x y x D D D DD例 计算y x e I Dy xd d },max{22⎰⎰=，其中，}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D解 D 由x y =分为D 2，D 2两部分，如图.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤=1,10:,0,10:,21},max{2222y x x D e x y x D e e y x y x x e y y e x y x e y x e I yy xx D y D x d d d d d d d d 01010222212⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=21110d d 2d d 2222x e x xe y e x x x xx ⎰⎰⎰⎰===.1102-==e e x例 利用二重积分计算定积分1(,0)ln b ax x I dx a b x-=>⎰解 因为1ln ln bb a btt aa x x x dt x x x-==⎰所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=+=+===bab aba batta b t dt t dx x dt dx dt x I 11ln )1ln(11)(11例 ],[)(b a x f 为上的连续函数，且0)(>x f ，试利用二重积分证明.)()(1d )(2a b x f x x f baba-≥⎰⎰证 因为x x f y y f x x f x x f b a b a babad )(1d )(d )(1d )(⎰⎰⎰⎰=,d d )()(d d )()(y x y f x f y x x f y f DD⎰⎰⎰⎰≥= 其中 所以},,|),{(b y a b x a y x D ≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=DD bab ay x y f x f y x x f y f x x f x x f d d )()(d d )()(d )(1d )(2 y x y f x f y f x f y x y f x f x f y f DDd d )()()()(d d )()()()(22⎰⎰⎰⎰≥+=,)(2d d 22a b y x D-==⎰⎰亦即.)(d )(1d )(2a b x x f x x f baba-≥⎰⎰例 计算⎰1d )(x x xf ，其中⎰=21d int)(x t tS x f 解 当10,102≤≤≤≤x x 时⎰⎰⎰-===111222,d sin d sin d sin )(x x x y yy y y y t t tx f从而x y y y x x x xf x d d sin d )(101102⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 图y x y yx y y y x x xDd d sin d sin d 1102⎰⎰⎰⎰-=⋅-=，其中D 曲线1,2==y x y ，和0=x 所围成，如图10-8。
高职专科高等数学练习题
高职专科高等数学练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) g(x) = x^2 + 4x + 12. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sinx / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)3. 讨论函数f(x) = |x 2|在x = 2处的连续性。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = (3x + 1)^22. 求下列函数的微分：(1) y = ln(x)(2) y = e^x3. 已知f(x) = x^2 + 2x，求f'(x)在x = 1处的值。
三、积分与定积分1. 计算不定积分：(1) ∫(3x^2 + 2x)dx(2) ∫(e^x + sinx)dx2. 计算定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cosx)dx3. 求曲线y = x^2在x = 0到x = 2之间的弧长。
四、多元函数微分学1. 求函数z = x^2 + y^2的偏导数。
2. 计算二重积分：(1) ∬D (x + y)dxdy，其中D为x^2 + y^2 ≤ 1的区域。
(2) ∬D (e^(x+y))dxdy，其中D为0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2的区域。
五、线性代数1. 解下列线性方程组：(1) x + 2y z = 32x y + 3z = 7x + y + 2z = 4(2) 3x + 4y 2z = 12x y + z = 0x + 2y 3z = 52. 计算矩阵A的行列式，其中A为：A = | 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |3. 求矩阵B的逆矩阵，其中B为：B = | 2 1 || 1 3 |六、概率论与数理统计1. 抛掷一枚硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。
2. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，μ = 50，σ = 5，求P(45 < X < 55)。
高等数学经典例题
).,(,),(322y x f y xy xy x f 求设例，则令解v y x u yx ,,1,1vu yvuv x .1)1(),(,)1()1(),(2222yy x y x f v v u v u f 例6求证证1sin )(lim 22220y xy xyx 01sin )(2222y x y x 22221siny xy x22yx,0,当时，22)0()0(0y x 01sin)(2222yxy x原结论成立．多元函数微分法及其应用.)(lim922)0,0(),(xyy x y x求例而解,)()ln(2222y x xy ey x)ln()()ln(22222222y xy xyxxy y xxy )ln()(lim2222)0,0(),(y xy xy x tyx22令t t t ln lim 0ttt 1ln lim 0罗必达法则11lim 20t t t 从而，又122yxxy ,0)ln(lim22)0,0(),(y xxy y x .1)(lim 022)0,0(),(ey x xyy x 故.11lim10)0,0(),(y xxy y x 求例先将函数变形解,11111xy y xxy yxxy ,21111lim)0,0(),(xy y x ,,y xxy 只须考察故所求极限是否存在 A.有时趋于沿当,)0,0(),(x yy x ,02limlimlim20)0,0(),(xxyx xy yx xy xx y x y x ,1)(limlimlim22)0,0(),(2xx xx y xxy yxxy xxxy x y x 又,lim )0,0(),(不存在故yxxy y x .11lim )0,0(),(不存在从而yxxy y x 例4设13323xyxyyx z，求22x z、x y z 2、y x z 2、22y z 及33xz.解x z ,33322y yy x yz ;9223x xyyx 22xz,62xy 22yz;1823xy x33xz,62y xy z 2.19622y y x yx z 2,19622yyx 偏微分.2,),(5222222yfx y y x fx fyx Idt ey x f xy t求设例,22,,222222223222yx yx yx yx e xy e xy y xfxeyf ye xf 解,222322y x eyx yf,2122222y x ey x yx f）（的对称性得出关于变量可由y x y x f ,),(.222yx eI.,22xy zyx z均有在以上二例中问题：混合偏导数都相等吗？B..limdtdv v z dtdu u z tzdtdz t上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdw w z dtdv v z dtdu u z dtdz uv wtz以上公式中的导数称为全导数.dtdz )2(例1设v e zusin ，而xy u，y x v ，求x z 和yz .解xz u z xu v z xv 1cos sin v e y v e uu),cos sin (v vy e uyz uz yu vz yv 1cos sin v e x v e uu).cos sin (v vx e u多元复合函数的求导法则.,),,sin(2 222yx zfyxyefz x求有二阶连续偏导数设例,),(,,sin22vufzyxvyeu x则令解uvxzy图示：,2sin21xfyefxz x,),(,),(,2121vuvuffuvuff记为表达方便起见uvxy21ff，)2sin(212xfyefyyxz xyefyeyfyef xxx cossin)2cos(11211]2cos[22221yfyefx x12112]cossin[2sincos fyxyyefyye xx.cos4122f yefxy x2112ffC.,,),,,(32y x z f xe uy x u f z y求有二阶连续偏导数设例解,21f ef xz y)(212f ef yyx zy232111311)(f xe f ef ef xe f yyyy.1232113112f e f f xe f e f xeyyyyzx uyxy，，21f f .,),()(142y x zf y xy xy f xz 求有二阶连续偏导数设例.,,22偏导数计算的次序来计算混合故可选择容易两者相等连续时与当xy zyx z分析)()(,)(),(),(1),(2x h y y g xyx zy x y y x h xy f x y x g 则记解)()(,)(),(),(1),(2xhy y g x y x z y xy y x h xy f x y x g 则记解))(())((y x y y xy f x).()()(y xyy x xy f y .)()),,(,()(,3,2,1)1,1(,)1,1(),(513)1,1()1,1(x x dxd x x f x f x yf xf f y x f z 求且处可微在点设例则求先求,1)1,1())1,1(,1()1(f f f [分析与求解］),1(3)1()1(3)(213x x dxd).1(归结为求由复合函数求导法：)],,(),())[,(,()),(,()(2121x x f x x f x x f x f x x f x f x )]1,1()1,1())[1,1(,1())1,1(,1()1(2121f f f f f f ,17)32(32.51173)(13x x dxd D..,222xzxyz ez求设例则设解,),,(xyz ez y x F z,,,xy e F xz F yz F zz y xxy eyz xyeyzx z zz得由)4(222)()()()(xy ey z e yz xy ez y xyeyzx xzzx zz x z .)(2232232xy eez y z xy ze y zzz代入化简将xyeyz z zx例7已知02zxyez e，求x z 和y z.解,0)2(zxye ze d ,02)(dze dzxy d ezxy)()2(ydx xdyedze xyzdy e xedx e yedz zxyzxy)2()2(xz,2zxyeye yz .2zxye xe隐函数的求导公式.,0,,,sin ,0),,(),,,(32dxduzf x y z e x z y x f uy求且都有一阶连续偏导数其中设例.导的综合题求导与抽象复合函数求的由方程式确定的隐函数本题实质上已经变成了分析.,,0,sin ,0),,(2的复合函数是从而的函数都是知由x u x z y zx yz e x y，由),,(z y x f uzxuxy图示：,1dxdzz fdx dyy f x f dxdu ,cos x dxdy 而.,,0),,(2的函数都是注意求偏导按隐函数求导法各项对由x z y x z e x dxdz y,0cos 2321dxdz xe xy),cos 2(1213x e x dxdzy).cos 2(1cos 213xe xz f x yf xf dxdu y故E..,,,0),,(),()(),(6dx dzF f z y x F y x xf zx z z x y y求续偏导数和一阶连分别具有一阶连续导数其中所确定的函数是由设例求导得的两端对在解x z y x F y xxf z0),,(),(.0),1()(dxdz F dx dy F F dx dy f x y x f dx dz zyx.)(,zyxy F f x F F f x F f x fdx dz dxdy 得消去:)(),(,),,(7分别由以下两式确定又有一阶连续偏导设例x z z x y y z y x f u ,sin ,20dt tt exyez x xxy.dx du 求,dxdzz f dxdyy f xf dx du 解求导得两边对由x xye xy2,0)()(dx dy x y dx dy x y e xy，xydx dy )7(求导得两边对由x dt tt ez x xsin ),1()()sin(dx dz z x z x ex，)sin()(1z xz x e dxdz x.]sin1[z f z x z x e yf x y xf dxdu x）（）（得将其代入)7(六、设函数)(x u 由方程组),(0),,(),(z x h z y x g y x f u 所确定, 且.,0,0dxduzh yg 求(h g f ,,均可微)七、设),,(t x f y而t 是由方程0),,(t y x F 所确定的y x ,的函数,求.dx dy 八、设),(y x z z由方程),(xz yyx xF =0所确定,证明:xy z yz yxz x.F.例2求曲线6222zy x ，0z y x 在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x 求导并移项，得1dxdz dxdy x dx dzzdx dyy,zyx z dxdy ,zyy x dxdz 看待）(求导时诸变量均平等,,,,(个自由未知量一所以有两个变量函数三个变量这里两个方程注一旦均可取为自变量的对称关系由,,,,z y x 函数求导时的函数另两个变量即为该变量取定自变量,,,).法则求导变量应按复合函数求导由此得切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211z y x 法平面方程为,0)1()2(0)1(z y x 0z x ,0)1,2,1(dx dy ,1)1,2,1(dx dz 多元函数微分学的几何应用解法三用全微分不变性求例3求曲面2132222zyx平行于平面064z y x的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000z y x 切平面方程为)(6)(4)(2000000z z z y yy x xx 依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000z y x .200z y x 因为是曲面上的切点，),,(000z y x ,10x 所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2z y x2164z y x 0)2(12)2(8)1(2z y x 2164z y x 切平面方程(1)切平面方程(2)G.各点试证曲面可微设例0),(,),(4bz cy az cx F v u F .量处的法线总垂直于常向),,(),,(),,(z y x bz cy az cx F z y x f 则曲面上一点令证处的法向量为),,,(),,(2121F b F a F c F c f f f n z y x ,0),,(2121F cb F ca F bc F ac c b a n ).,,(c b a 于常向量即任一点的法向量垂直例2求函数22),(y xy x y x f 在点（1，1）沿与x 轴方向夹角为的方向射线l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解sin)1,1(cos)1,1()1,1(y x f f lf 由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(x yy xsincos 2方向导数与梯度sincos ),4sin(2故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0..,,,公式然后才可使用方向导数此向量单位化还要将向量不仅要求出给定的方向求方向导数时注例3求函数y x z y x u 2332222在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzu jyu ixu z y x gradu ),,(,6)24()32(k z jyi x故.1225)2,1,1(k jigradu 在)0,21,23(0P 处梯度为0.H.例5 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z 在直线6y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D 内的驻点，xyo6y x D解方程组)4(),(0)4(2),(222yx y xx y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f ,三、设v u ,都是z y x ,,的函数,v u ,的各偏导数都存在且连续,证明:ugradv vgradu uv grad )(四、求222222czbya xu在点),,(000z y x M 处沿点的向径0r 的方向导数,问c b a ,,具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?习题：二、求函数)(12222b y ax z 在点)2,2(b a 处沿曲线12222bya x在这点的内法线方向的方向导数.多元函数的极值及其求法再求),(y x f 在D 边界上的最值，在边界0x和0y 上0),(y x f ,在边界6y x 上，即xy 6于是)2)(6(),(2x x y x f ,由02)6(42xx x f x ,得4,021x x ,2|64x x y,64)2,4(f 比较后可知4)1,2(f 为最大值,64)2,4(f 为最小值.xyo6y xD例7 将正数12分成三个正数z y x ,,之和使得z y x u23为最大.解令)12(),,(23zy x zy x z y x F ,12020323322z yxy x F yz x F z y x F zy x则J.解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu 故最大值为例8在第一卦限内作椭球面1222222cz by ax 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解设),,(000z y x P 为椭球面上一点,令1),,(222222cz by ax z y x F ,则202|ax FPx，202|by F Py，202|cz F Pz 过),,(000z y x P 的切平面方程为)(02x xax )(020y y by 0)(020z z cz ,化简为1202020cz z by y ax x ,该切平面在三个轴上的截距各为02x ax，02y by ，02z c z ,所围四面体的体积00222661z y x cb a xyz V,过),,(000z y x P 的切平面方程为)(020x x ax )(020y y by 0)(020z z cz ,化简为1202020cz z by y a x x ,该切平面在三个轴上的截距各为2x ax，02y by，02z c z ,所围四面体的体积00222661z y x cb a xyz V,在条件1220220220cz by ax 下求V 的最小值,令,ln ln ln 000z y x u由,1,0,0220220220000cy by ax G G G z y x),,(000z y x G 000ln ln ln z y x )1(220220220cz by ax ,最值可简化计算值转化为求此函数的将求四面体体积的最K.。
高数超难数学题可复制
高数超难数学题可复制1.题目：设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可微，且满足条件：1.f(a) = f(b) = 0；2.对于任意 x ∈ (a, b)，均有|f'(x)| ≤ k < 1。
证明：存在至少一个 c ∈ (a, b)，使得|f''(c)| ≥(2k/(b-a))^2。
解析：考虑构造辅助函数g(x) = f(x) * cos(πx / (b-a))。
因为 f(x) 在边界值上均为零，所以 g(a) = g(b) = 0。
根据拉格朗日中值定理，存在至少一个 c ∈ (a, b)，使得 g'(c) = 0。
即：g'(c) = f'(c) * cos(πc / (b-a)) - π/(b-a) * f(c) * sin(πc / (b-a)) = 0。
由题设可知 f(c) = 0，因此得到：f'(c) * cos(πc / (b-a)) = 0。
注意到cos(πc / (b-a)) 在 (a, b) 内不恒为零，故存在 c' ∈(a, b)，使得 f'(c') = 0（因为cos函数在定义域内有无数个零点，至少有一个与f'(x)的零点相交）。
再次应用拉格朗日中值定理于函数 h(x) = f'(x)，存在 c ∈ (a, b)，使得： h'(c) = f''(c) = (f'(c') - f'(c))/(c'-c)。
由于|f'(x)| ≤ k < 1，我们可以得到： |f''(c)| = |(f'(c') - f'(c))/(c'-c)| ≥ |2k| / (b-a)。
取绝对值并利用三角不等式，我们有：|f''(c)| ≥ 2k / (b-a) ≥ (2k / (b-a))^2。
简单高数题
简单高数题一、函数与极限部分（6题）1. 求极限 lim_{x to 1}(x^2 - 1)/(x - 1)- 解析：- 首先对分子进行因式分解，x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)。
- 则原式可化为lim_{x to 1}((x + 1)(x - 1))/(x - 1)。
- 当xto1时，x≠1，可以约去x - 1，得到lim_{x to 1}(x + 1)。
- 把x = 1代入x+1，得到极限值为2。
2. 设函数f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x+1, & x<0 0, & x = 0 x - 1, &x>0end{array}right.，求lim_{x to 0}f(x)- 解析：- 当xto0^-（即x从左边趋近于0）时，f(x)=x + 1，则lim_{x to 0^-}f(x)=lim_{x to 0^-}(x + 1)=1。
- 当xto0^+（即x从右边趋近于0）时，f(x)=x - 1，则lim_{x to0^+}f(x)=lim_{x to 0^+}(x - 1)= - 1。
- 因为lim_{x to 0^-}f(x)≠lim_{x to 0^+}f(x)，所以lim_{x to 0}f(x)不存在。
3. 求函数y=√(x^2 - 4)+(1)/(x - 3)的定义域。
- 解析：- 对于根式部分，要使√(x^2 - 4)有意义，则x^2-4≥slant0。
- 解不等式x^2 - 4≥slant0，即(x + 2)(x - 2)≥slant0，得到x≤slant - 2或x≥slant2。
- 对于分式部分，要使(1)/(x - 3)有意义，则x - 3≠0，即x≠3。
- 综合起来，函数的定义域为(-∞,-2]∪[2,3)∪(3,+∞)。
4. 已知函数f(x)=ln(x + 1)，求f^′(0)。
- 解析：- 首先对f(x)=ln(x + 1)求导，根据求导公式(ln(u))^′=(1)/(u)u^′，这里u=x + 1，u^′ = 1。
大学高等数学 第三章典型例题及小结
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
证明 e x (ax 2 bx c ) 0 至多有三个实根 证 记
f ( x ) e x (ax2 bx c )
直接证明有困难，采用反证法
设 f ( x ) 0 有四个实根 x1 x2 x3 x4
记 f ( x ) e (ax bx c ) 连续、可导 对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
例4. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
x
lim
x2 x
2
x 1
lim
x
1 1 1 1 2
思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
例3. 求
《高等数学》例题解析-第二十讲 二阶线性微分方程
一、单项选择题
1．以 y c1e2x c2e3x 为通解的二阶线性常
系数齐次微分方程为
()
A． y y 6 y 0
B． y y 6 y 0
C． y y 6 y 0
D． y y 6 y 0
解： r1 2, r2 3
r 2r 3 0, r2 r 6 0.
y0 1, 1 9 2c2 , c2 4 特解: y e3x 3cos 2x 4 sin 2x
16．已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程
的根为 r1,2 1 2i ,求此微分方程.
解：(1)特征方程:
r 1 2ir 1 2i 0 r 12 2i2 0 , r 12 4i2 0
11． y 2 y 2 y ex 2x 的待定特解 y 解：(1) r2 2r 2 0
r1,2
2
48 2
1 i
r1,2 10
100 4 34 2
5 6 i 5 3i 2
通解 y e5x Acos 3x B sin 3x
9． y 6 y 9 y xe3x 的待定特解 y 解：(1) r2 6r 9 0 .
Ax3 Bx2 Cx y 3Ax2 2Bx c1 y 6Ax 2B 代入原方程:
i2 1 , r2 2r 1 4 0
r2 2r 5 0 (2)微分方程: y 2 y 5y 0
17．求 y 3y 9x2 的通解. 解：(1) r2 3r 0 ， r1 3, r2 0
y x c1 c2e3x
(2) 0 是特征单根.
y x Ax2 Bx C
A． Ax2 Bx c B． x Ax2 Bx c
C． Ax2 B
D． x Ax2 B
大一上高数知识点例题
大一上高数知识点例题一、极限与连续1.求以下函数的极限：（a）lim(x→2)2x+1（b）lim(x→−1)(x^2+3x+2)/(x+1)解答：（a）对于函数f(x)=2x+1，当x趋近于2时，f(x)趋近于多少？因为当x接近2时，2x+1接近的数值也趋近于多少。
即可求得该极限为5。
（b）对于函数f(x)=(x^2+3x+2)/(x+1)，当x趋近于-1时，f(x)趋近于多少？因为当x接近-1时，(x^2+3x+2)/(x+1)接近的数值也趋近于多少。
通过化简该式，可得：(x^2+3x+2)/(x+1) = (x+1)(x+2)/(x+1) = x+2因此，当x趋近于-1时，f(x)趋近于1。
2.已知函数f(x)=sqrt(x)，求以下极限：（a）lim(x→4)f(x)（b）lim(x→∞)f(x)解答：（a）对于函数f(x)=sqrt(x)，当x趋近于4时，f(x)趋近于多少？因为sqrt(x)表示x的平方根，当x接近4时，sqrt(x)接近的数值也趋近于多少。
即可求得该极限为2。
（b）对于函数f(x)=sqrt(x)，当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于多少？因为sqrt(x)表示x的平方根，当x趋近于无穷大时，sqrt(x)趋近于无穷大的平方根。
即可求得该极限为无穷大。
二、导数与微分1.对函数f(x)=3x^2+2x-1，求其导数f'(x)。
对于函数f(x)=3x^2+2x-1，使用导数的定义，求其导函数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x)表示f(x)在某一点的斜率，可以通过求极限的方式求得。
根据导数的定义，导数可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(h→0)(f(x+h) - f(x))/h将f(x)=3x^2+2x-1代入公式，得到：f'(x) = lim(h→0)((3(x+h)^2+2(x+h)-1) - (3x^2+2x-1))/h= lim(h→0)(3x^2 + 6xh + 3h^2 + 2x + 2h - 1 - 3x^2 - 2x + 1)/h= lim(h→0)(6xh + 3h^2 + 2h)/h= lim(h→0)(6x + 3h + 2)= 6x + 2因此，函数f(x)=3x^2+2x-1的导数为f'(x) = 6x + 2。
《高等数学基础》典型例题
《高等数学基础》典型例题例1 计算极限32)1sin(lim21-+-→x x x x ．解 利用重要极限1sin lim 0=→xxx ，及极限的运算法则得)1)(3()1sin(lim32)1sin(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x)1()1sin()3(1lim1--⋅+=→x x x x)1()1sin(lim)3(lim 111--⋅+=→→x x x x x41141=⋅=例2 计算极限1276lim223+---→x x x x x ．解：利用极限的运算法则得5)4(lim )2(lim )4)(3()2)(3(lim1276lim333223-=-+=--+-=+---→→→→x x x x x x x x x x x x x x例3 设xx x y sin ln 3-=，求y '．解：利用导数的运算法则得xx x x x x x xx x y 2333sin))(sin ln (sin )ln ()sin ln ('--'-='-='xxx x x x x 233s i n c o s )ln (sin ])(ln )[(--'-'=xxx x x xx 232s i n c o s )ln (sin )13(---=例4 设2sin ln x y =，求y '． 解法1：设2sin x u =，2x v =得u y ln = v u s i n = 2x v =利用复合函数求导法则，得x v u x v u y x y '⋅'⋅'='=')sin (ln 2x v u x v u )()(s i n)(l n 2'''= x v u2c o s 1⋅⋅=222t a n 2s i n c o s 2x x xx x ==解法2：利用微分的定义和一阶微分形式不变性得 )(sin d sin 1)sin (ln d d 222x xx y ==)(d cos sin 1222x x x=x x x x x x xd tan 2d 2cos sin 1222==因为x y y d d '=，所以 2t a n 2x x y ='例5 设y y x =()是由方程4e ln y y x +=确定的函数，求d y ．解法1：利用导数运算法则和复合函数求导法则，等式两端分别对x 求导得 左：y yy y y y x '='⋅'='1)(ln )(ln右：y y y y y x x x xx x'⋅'+='+'='+)(e )()e ()e (444y y x '⋅+=34e 由此得y y y yx'⋅+='34e 1整理得441eyy y x -='由微分定义得x yy y x d 41ed 4-=解法2：利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，等式两端分别求微分得 左：y y y d 1)(ln d =右：)(d )e (d )e (d 44y y x x +=+ y y x x d 4d e 3+= 由此得y y x y yxd 4de d 13+=整理得x yy y x d 41ed 4-=例6 计算⎰x xx d e 21．解：利用换元积分法得⎰⎰⎰-=--=)1d(e d e 1d e 11221xx xx xx x xc u u xuu+-=-=⎰e d e 1c x +-=1e练习：⎰x xxd e，⎰x xxd eln ，⎰x xxd 1sin2，⎰x xxd sin，⎰x xx d ln sin ．例7 计算⎰x x x d ln α． 解：利用分部积分法得⎰⎰⎰+-+=+=+++)(ln d 1ln 1)1(d lnd ln 111x xx xxx x x xααααααα⎰+++-+=x xxx xd 111ln 111αααα⎰+-+=+x x x xd 11ln 11ααααc xx x++-+=++)1(ln 111αααα练习：⎰x x d ln ，⎰x x x d ln ，⎰x x x d ln 2，⎰x x x d ln ，⎰x xx d ln 2．例8 求曲线x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短． 解：曲线x y 22=上的点到点)0,2(A 的距离公式为22)2(yx d +-=d 与2d 在同一点取到最小值，为计算方便求2d 的最小值点，将x y22=代入得x x d2)2(22+-=令 2)2(2)(2+-='x d令0)(2='d 得1=x ．可以验证1=x 是2d 的最小值点，并由此解出2±=y ，即曲线x y22=上的点)2,1(和点)2,1(-到点)0,2(A 的距离最短．例9 某制罐厂要生产一种体积为V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为rh r S π2π2+=因为V h r =2π 2πrV h =所以rV r S 2π2+= 22π2rV r S -='由0='S ，得唯一驻点3πV r =，此时3πV h =，由实际问题可知，当底半径3πV r =和高3πV h =时可使用料最省．。