摆线的参数方程
人教B版高中数学选修4-4课件 2.4.1 摆线的参数方程课件1
课堂思考探究
所以a＝21kπ.又根据实际情况可知a是圆的半径，故a>0.
课前自主学习
课堂讲练互动
课堂达标测练
课堂思考探究
所以，应有k>0且k∈Z，即k∈N*.
所以，所求摆线的参数方程是
x＝21kπt－sin t y＝21kπ1－cos t
中k∈N*)．
(t为参数其
【反思感悟】 本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成t的值， 代入参数方程中求出x和y的值，再计算a的值；或者在求出cos t＝1时，直接得出t＝0，从而导致答案不全面．
课前自主学习
课堂讲练互动
课堂达标测练
课堂思考探究
那么，根据两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为
|AB|＝
3＋ 6
3π－π22＋3
36－π－12
＝16 13－6 3π2－6π－36 3＋72.
即点A，B之间的距离为
1 6
13－6 3π2－6π－36 3＋72.
【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的 坐标，转化为两点间的距离问题．
∴对应的曲线为y＝x(－ 2|a|≤x≤ 2|a|)，亦即是以第一、三象
限角平分线上的点(－ 2a，－ 2a)，( 2a， 2a)为端点的一段
线段．
课前自主学习
课堂讲练互动
课堂达标测练
课堂思考探究
3．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半径最大时该 摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程．
代入可得，圆的摆线的参数方程是xy＝ ＝1π1πφ1－－csions φφ
(φ为参数)，
圆的渐开线的参数方程是xy＝ ＝1π1πcsionsφφ－＋φφcsoins
《摆线》课件1
y D M A C A B C B r r c o s.
3、摆线的参数方程
M
B
yO A
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xyrr((1csoins)).,(为参数)
O
A
x
由 于 向 量 e 1 ( c o s , s i n ) 是 与 O B 同 方 向 的 单 位 向 量 ，
因 而 向 量 e 2 ( s i n , c o s ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。
所 以 B M (r) e 2 ,即
4、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
人字齿
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
斜齿
曲线齿
准双曲面齿轮
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
从 设 设 开 点 点 O始 M M 的 分 时 D 坐 别 定 标 做 点 为 AA M B ( 在 ， x , 原 x y 轴 ) 点 , 取 的 ， 垂 为 圆 线 滚 参 ， 动 数 垂 了 ， 足 xy根 分 角 据 别 后 rr点 ((是 与 1M C x E满 轴 ， c足 s相 xD oi。 n的 s切 几 于 ))何 点 .,(条 A ， 件 为 圆 ， 参 心 有 在 数 点 )B 。
外摆线的参数方程
外摆线的参数方程
摘要：
一、外摆线的定义
二、外摆线的参数方程
三、外摆线的性质和应用
四、总结
正文：
一、外摆线的定义
外摆线，又称外旋轮线，是一种在平面上运动的物体在固定点处的轨迹。
它是一种特殊的二次曲线，具有一个固定的焦点和两个渐近线。
外摆线可以看作是一个摆线在一个平面内围绕一个固定点旋转而成的。
二、外摆线的参数方程
外摆线的参数方程为：
x = a * (1 - cos(t))
y = b * sin(t)
其中，a 和b 分别表示外摆线的参数，决定了外摆线的大小和形状，t 为参数角，取值范围为[0, 2π]。
三、外摆线的性质和应用
1.性质：
（1）外摆线是一个无限长的曲线，具有一个固定的焦点，焦点到曲线上任意一点的距离等于该点到两个渐近线的距离之和。
（2）外摆线的两个渐近线方程分别为y = ±b / a * x。
（3）外摆线的切线斜率在参数角t 的每个周期内都有两个极值，分别为tan(t) 和-tan(t)。
2.应用：
外摆线在数学、物理和工程领域具有广泛的应用，如在机械设计中，摆线针轮被广泛应用于减速器、增速器等传动装置，以实现大传动比和高效率的传动。
此外，外摆线还与某些生物体的运动轨迹有关，如某些昆虫的行进方式。
四、总结
外摆线是一种具有特殊性质的二次曲线，其参数方程为x = a * (1 - cos(t))，y = b * sin(t)。
参数方程四渐开线与摆线 课件
因此OM ＝OB＋ BM ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点M的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为 A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧 AM 的 长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知 其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开的角度大小．来自又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径， 字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心 的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．
圆的摆线的参数方程 [例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开 始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单 位)为参数)
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端
系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的__渐__开__线___，相应的定圆 叫做__基__圆__．__
摆线——精选推荐
在图二中，设A点是滚动圆上的定点在出发时的位置。
我们选取一个坐标系，使得A点为原点而且滚动圆在x轴上向右滚动。
假设动圆滚动到某位置时，圆心为O，O点至x轴的垂足为I，圆上的定点的位置为P(x,y)，以为始边，为终边的有向角为t弧度，P点至直线OI的垂足为M。
又设滚动圆的半径为a。
因为滚动圆上的定点已由A点移动到P点，而滚动圆与x轴的切点已由A点转移到I点，所以，滚动圆上的弧PI滚过线段，亦即： = 弧PI的长 = at。
于是，可得上面的表示法就是摆线的参数方程式。
请注意：当时，；当时，。
不过，与两式却对所有t值都成立。
我们甚至可让参数t代表任意实数，如此，摆线成为可向两边无限延伸的周期曲线。
x坐标每经历一段长度为的区间，图形就恢复原状。
摆线与底线相交的点都是尖点 (cusp)。
当参数t由 0 增至时，摆线就是图二中由A至C至B的部分，其中，这一部分图形称为摆线的一拱 (arch)。
同理，t由 2π至 4π、由 4π至 6π、……等所对应的图形也都是一拱。
仿照前面的方法，我们也可求次摆线的参数方程式。
假设一定点与滚动圆的圆心的距离为d，底线是x轴，出发时定点的坐标为 (0,a-d)，其中d是滚动圆的半径。
当动圆滚到图二所示的位置时，定点的位置在上且与O点的距离为d。
由此可知其参数方程式为习题：试根据上面参数方程式，说明长摆线 (d>a) 为什么会与本身相交而形成循环在图二中，当圆向前滚动时，P点描绘出摆线，那么P点在直线OI上的垂足M 点会描绘出什么图形呢？1634年，Gilles Persone de Roberval（1602～1675年，法国人）考虑这条曲线，而利用它求出摆线的一拱与其底线间的面积。
所以，后世将这条曲线称为 Roberval 曲线。
图二中的虚线，就是 Roberval 曲线在摆线一拱内的部分，根据前一小节所讨论的结果，不难发现 Roberval 曲线的方程式为。
在图二中，的中点是，而当时，Roberval 曲线上的点对的对称点是。
摆线的参数方程
摆线的参数方程
摆线是一个和实际生活联系十分紧密的数学概念，本视频从实际生活出发，让学生充 分体会数学在实际生活中的其妙应用，引导学生对数学产生浓厚的兴趣。
一. 教学目标：
知识与技能：了解摆线的生成及它的参数
过程与方法：学习用向量知识推到轨迹方程的方法和步骤
情感、态度、价值观：通过观察、探索和发现的创造性过程，培养创新意识和数 学兴
趣。
二. 教学重点：摆线的参数方程
教学难点：用向量知识推到轨迹方程的方法
三. 教学方法：启发诱导，发现教学。
四. 教学过程
1. 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路
上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：
2. 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几
何条件：
线段0A 的长等于MA 勺长，即OA r
我们把点M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3. 根据点M 满足的几何条件，我们取定直线为 X 轴，定点M 滚动时落
在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系 圆的半径为
r
设点M的坐标为（x,y）,取为参数，根据点M满足的几何条件，有
设开始时定点M在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点A,圆心在点B。
从点
M分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C, D。
x OD OA DA OA MC r r sin ,
y DM AC AB CB r r cos .
五：总结反思：在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？。
摆线公式等
摆线方程它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）设该点初始坐标为（0，0）,圆心坐标为（0,a)当圆转动φ时，圆心坐标为（aφ, a)该点相对于圆心坐标为（-asinφ，-acosφ）所以该点坐标为（a（φ－sinφ），a（1－cosφ））即x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）在数学中，摆线 (Cycloid) 被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
它是roulette曲线的一个例子。
摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。
历史[编辑]摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa，之后梅森(Marin Mersenne)也有针对摆线的研究。
1599年伽利略为摆线命名。
1634年G.P. de Roberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。
1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。
在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。
[1].由半径为2的圆所生成的摆线过原点半径为r的摆线参数方程为在这里实参数t 是在弧度之下，圆滚动的角度。
对每一个给出的t ，圆心的坐标为(rt, r)。
通过替换解出t 可以求的笛卡尔坐标方程为摆线的第一道拱由参数t 在(0, 2π) 区间内的点组成。
摆线也满足下面的微分方程。
面积[编辑]一条由半径为r 的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：微分，于是可以求得弧长[编辑]弧形的长度可以由下面的式子计算出：其它相关联的曲线[编辑]一些曲线同摆线紧密相关。
当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线(curtate cycloid) 和长摆线(prolate cycloid)，两者合称为次摆线(trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。
内摆线参数方程推导
内摆线参数方程推导内摆线是一种数学曲线，它描述了一个圆在另一个圆内滚动时，内部圆上固定点的轨迹。
这个轨迹非常有趣，因为它看起来像一条心形线。
为了推导内摆线的参数方程，我们需要做一些准备工作。
首先，我们需要知道内圆的半径R和外圆的半径r之间的比率k = R / r。
我们还需要定义一个角度t，表示内圆滚动的角度。
最后，我们需要定义一个常数a，它表示内圆上的固定点到内圆的圆心的距离。
有了这些准备工作之后，我们可以开始推导内摆线的参数方程。
首先，我们可以用三角函数来表示内圆的圆心在外圆上的位置。
具体来说，我们可以用余弦函数来表示内圆圆心的x坐标，用正弦函数来表示内圆圆心的y坐标。
这样我们就可以得到内圆的圆心坐标为：x = (r-kR)cos(t) + a cos((r-kR)t / R)y = (r-kR)sin(t) - a sin((r-kR)t / R)接下来，我们可以用向量的几何性质来表示内圆上固定点的位置。
具体来说，我们可以定义一个向量v，它指向内圆圆心和固定点之间的连线，并且它的长度等于a。
此外，我们可以将这个向量旋转一个角度t，使得它与内圆圆心之间的连线保持垂直。
这样，我们就可以得到内圆上固定点的坐标为：x = (r-kR)cos(t) + a cos((r-kR)t / R) - a sin(t)y = (r-kR)sin(t) - a sin((r-kR)t / R) + a cos(t) 这就是内摆线的参数方程。
如果我们画出这个曲线，就能看到它非常像一个心形线。
此外，这个曲线还有一个很有趣的性质，就是它在t = π时会出现一个尖峰，也就是说，这个曲线会在中心处形成一个锐角。
这个性质使得内摆线成为了一个非常有趣的数学曲线，它在许多领域都有广泛的应用。
短幅内摆线方程
短幅内摆线方程
短幅内摆线（也称为内摆线或短幅摆线）是一种特殊的曲线，它描述了一个固定点在一个圆内部沿着另一个圆滚动时形成的轨迹。
这个固定点通常位于内部圆上，并且与内部圆的圆心有一定的距离。
假设内部圆的半径为(a)，外部圆的半径为(b)，且(b > a)。
固定点位于内部圆上，距离圆心(a) 的位置。
当内部圆围绕外部圆滚动时，固定点形成的轨迹就是短幅内摆线。
短幅内摆线的参数方程可以表示为：
[
\begin{align*}
x &= (b - a)\cos\theta + a\cos\left(\frac{b}{a}\theta\right) \
y &= (b - a)\sin\theta - a\sin\left(\frac{b}{a}\theta\right)
\end{align*}
]
其中，(\theta) 是参数，表示内部圆相对于外部圆转过的角度。
这个方程描述了短幅内摆线的形状。
当(\theta) 从(0) 变化到(2\pi) 时，固定点会沿着短幅内摆线移动一圈。
如果你想要得到普通方程（即消去参数(\theta)），这将是一个复杂的代数问题，通常涉及到三角函数的和差化积公式和三角恒等式。
然而，这样的方程通常不会有一个简单的形式，因此在实际应用中，参数方程通常更常用。
请注意，这里给出的方程是基于常见的定义和约定。
根据具体的定义和上下文，方程的形式可能会有所不同。
《2.4.1 摆线的参数方程》教学案3
《2.4.1 摆线的参数方程》教学案3教学目标1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．教学过程知识梳理 一、平摆线 1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点____，再滚动半周，点M 到达______，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫32π，2之间的距离为( )． A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．32π－11．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．答案： 一、1．平摆线2．r (α－sin α) r (1－cos α) 3．(πr,2r ) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3.∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－32π2＋ 3－2 2＝10.二、1．相切 渐开线 基圆2．r (cos φ＋φsin φ) r (sin φ－φcos φ)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数) r ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数)． 【做一做2－2】5π2－4π＋82 当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝⎛⎭⎫π2，1.当φ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，∴B (－1，π)．∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋12＋ 1－π 2＝54π2－π＋2＝5π2－4π＋82.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义． 题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程． 分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可． 题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t 的三角函数值，从而求出点的坐标． 反思：解此类题，应明确相应参数的意义． 答案：【例1】解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2， 即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ(φ为参数)．【例2】解：∵r ＝10，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10 cos φ＋φsin φ ，y ＝10 sin φ－φcos φ (φ为参数)．【例3】解：由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0， ∴sin t ＝1.∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π2－1，1.1半径为2的圆的渐开线方程是( )． A ．=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨-⎩（）,（）(φ为参数)B ．=2cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)C ．=2sin ,=2cos x y ϕϕϕϕ⎧⎨-⎩(φ为参数)D ．()()2sin cos ,2cos sin x y ϕϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4cos φ，y ＝－4sin φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 φ－sin φ ，y ＝4 1－cos φ (φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 1－sin φ ，y ＝4 φ－cos φ(φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________． 4已知圆C 的参数方程是=16cos ,=26sin x y αα+⎧⎨-+⎩(α为参数)，直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 答案： 1．A2．C 把r ＝4代入平摆线参数方程即可．3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数) S ＝36π，∴r ＝6. ∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．4．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
摆线的弧长公式
摆线的弧长公式摆线是一种特殊的曲线，其形状类似于蜗杆的螺旋线。
摆线的曲线路径是由一个固定点在一个圆上滚动而得到的，这个固定点通常称为摆点。
摆线的性质非常有趣，它具有许多应用，如在机械工程中的齿轮设计、钟表的摆轮以及数学中的曲线研究等。
要描述摆线的形状，我们通常使用极坐标系来表示。
在极坐标系中，摆线的方程可以表示为r = a ± bθ，其中 a 为摆线的距离参数，b 为摆线的形状参数，θ 为角度。
摆线的弧长公式可以用来计算摆线上任意一点到起点的距离，从而帮助我们更好地理解和应用摆线。
摆线的弧长公式是一个非常重要的数学公式，它可以用来计算摆线上任意一点到起点的距离。
这个公式通常是通过积分来推导的，具体的推导过程比较繁琐，需要一定的数学知识。
但是，一旦得到了摆线的弧长公式，我们就可以方便地计算摆线上任意一点的弧长，从而更好地研究和应用摆线。
摆线的弧长公式为L = 2πb ，其中 L 为摆线的弧长，b 为摆线的形状参数。
这个公式告诉我们，摆线的弧长只与形状参数 b 有关，而与距离参数 a 无关。
也就是说，不同的摆线形状参数相同的摆线，其弧长是相等的。
利用摆线的弧长公式，我们可以计算摆线上不同点的弧长，从而更好地理解摆线的形状特性。
同时，我们也可以利用这个公式来设计摆线的应用，如在机械工程中设计齿轮的齿形，或者在钟表制造中设计摆轮的形状等。
总的来说，摆线的弧长公式是摆线研究和应用中的重要工具，它帮助我们更好地理解摆线的形状特性，并且可以应用于不同领域。
通过深入研究摆线的弧长公式，我们可以更好地发挥摆线的特性，为人类的生活和工作带来更多的便利和创新。
希望未来能有更多的研究者和工程师投入到摆线的研究和应用中，共同探索摆线这一奇妙的数学曲线的更多可能性。
摆线的方程
摆线的方程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠摆线这个超有趣的东西。
摆线啊，就像是一个调皮的小滚轮在地上滚出来的轨迹。
它的方程那可是相当有个性呢。
想象一下，一个圆就像一个超级爱滚动的大饼，沿着一条直线欢快地滚着。
如果这个圆的半径是r，我们以圆滚动的起始点为原点。
那摆线的参数方程就像一对魔法咒语。
x = r*(t - sin(t))，这里的t就像是这个大饼滚动的时间进度条，随着t的变化，x坐标就像一个小醉汉一样摇摇晃晃地变化着。
sin(t)就像是一个小波浪，在干扰着这个x坐标的变化。
而y = r*(1 - cos(t))呢，这个方程就更有意思啦。
1 - cos(t)就像是一个蹦蹦跳跳的小兔子，在随着t的节奏跳动。
r就像是一个放大器，把这个小兔子的跳动放大成了y坐标的变化。
整个y坐标就像一个在做拉伸运动的弹簧，跟着t和r玩得不亦乐乎。
如果把摆线想象成一个过山车的轨道，那这个方程就像是轨道的设计蓝图。
每一个t值就像是过山车经过的一个个小站点，在不同的站点，过山车的位置(x,y)就由这个方程精准地确定。
你看，摆线方程就像是一个神秘的宝藏地图。
对于那些探索数学世界的冒险家来说，这个方程就是打开摆线这个神秘宝藏的钥匙。
x和y的方程就像两把小钥匙，组合在一起才能打开摆线这个充满奇妙现象的宝箱。
再比如说，摆线方程像一个超级厨师的独家菜谱。
r是基础食材的量，t 就是烹饪的火候和时间。
不同的r和t的组合，就像不同的食材量和火候搭配，能做出千变万化的“数学美食”，也就是不同形状的摆线。
有时候我觉得摆线方程像一个魔法阵。
t是魔法阵启动的咒语参数，当你念动这个咒语（代入不同的t值），这个魔法阵（摆线）就会在坐标平面这个魔法世界里展现出它神奇的形状。
摆线方程还像一个音乐的乐谱。
t是音符的节拍，x和y就是在这个节拍下奏响的旋律。
随着t的跳动，x和y像高低起伏的音符一样在坐标平面上绘出美妙的摆线乐章。
它又像是一个超级英雄的变身密码。
当你输入正确的r和t（就像输入密码一样），摆线就会以它独特的形状出现在数学的舞台上，展现出它那无敌的魅力。
y轴上的摆线方程
y轴上的摆线方程摆线，也称为旋轮曲线或卷轴线，是由一个固定点P和一条连续的不规则曲线组成的。
其中，固定点P被称为摆线的中心点，而连接连接固定点和曲线上任意一点的线段被称为半径。
摆线的特点是它的曲线部分是一个连续的非闭合曲线，而整个曲线是无限延伸的。
为了得到摆线的方程，我们需要通过探究摆线曲线上的关键特点，然后使用数学公式来表达它们。
下面是这些特点的讨论：1. 弧长S：摆线的弧长是指从固定点P到曲线上的某一点所经过的路径长度。
弧长是沿着曲线的路径进行计算的，在极坐标系中，弧长可以用弧度来表示。
2. 曲率R：曲率描述了曲线弯曲的程度。
在摆线上，曲率是变化的，因为半径在不断变化。
当曲率最大时，曲线弯曲最明显，而当曲率最小时，曲线则是相对平直的。
在计算摆线方程时，我们需要考虑曲率的变化。
3. 参数t：参数t是用来描述曲线上的一点在摆线曲线上的位置的。
通过改变t的值，我们可以在摆线上找到不同的点。
通常情况下，t的取值范围是从0到无穷大。
在分析这些特点后，我们可以得到摆线的极坐标方程：r = aθ - bsinθ在这个方程中，r代表极坐标系中的半径，θ代表极坐标系中的角度。
参数a和b是常数，它们决定了曲线的形状。
其中，参数a控制曲线的闭合程度，而参数b控制曲线的振幅。
通过这个方程，我们可以计算摆线上任意一点的坐标。
例如，当θ取特定的角度值时，可以计算出对应的r值，从而得到点的坐标。
然而，需要注意的是，摆线是无限延伸的曲线，因此，在实际应用中，我们通常只关注曲线的一部分。
为了限制曲线的长度，在计算过程中，我们可以设置参数θ的范围。
通过适当选择θ的起始和终止值，我们可以得到满足需求的曲线部分。
总结起来，摆线是由一个固定点和一条连续的不规则曲线组成的。
我们可以使用极坐标方程r = aθ - bsinθ来描述摆线的形状。
通过该方程，我们可以计算摆线上任意一点的坐标。
摆线在数学和物理中具有广泛的应用，例如在工程中用来设计连杆机构和曲线路径的生成，或在天文学中用来描述行星运动等。
三重积分的摆线面积计算问题
三重积分的摆线面积计算问题摆线，也称悬链线，是一个古老而有趣的几何学问题。
在数学中，摆线是一个曲线，其定义是一个固定点在直线上运动时，另一端点所绕的轨迹。
我们现在所要研究的是，通过三重积分来计算摆线所围成的面积。
一、摆线的定义摆线最初是由罗马时期的骑士作为战斗利器而设计的，它是一个弧长非常长的曲线，几何学中的摆线是指一个“重力悬挂”的针尖，悬挂于一根不可弯曲的细线，针尖沿着不同的轨迹向下滑动而形成的曲线。
在数学中，摆线的标准形式为：y = a - b cos(θ)其中，a和b都是常数，θ是角度。
二、摆线面积的计算我们可以通过三重积分，来计算摆线所围成的面积。
让我们首先看一下如何描述摆线的空间曲线。
假设点P在空间曲线L上，则点P可以被参数化为：P = (x(θ), y(θ), z(θ))其中，θ是沿着曲线L的特定路径的参数，x(θ)、y(θ)和z(θ)都是点P的三个坐标分量。
因此，我们可以用下面的公式来计算L 的长度：L = ∫√(dx/dθ)² + (dy/dθ)² + (dz/dθ)² dθ类似的，我们可以计算摆线所围成的面积。
假设曲线L的截面是一个单位宽度的平面，那么它的面积可以表示为：S = ∫y(x) √(1 + y'(x)²) dx其中y(x)是摆线的方程式，y'(x)是导数。
这个式子并不能直接用于三维积分，因为表面不是一个平面。
因此，我们需要找到描述曲面的方程。
假设摆线在xy平面上的参数方程为：x = a(θ - sin θ)y = a(1 - cos θ)那么，曲面可以由以下参数方程给出：x = a(θ - sin θ)y = a(1 - cos θ)z = y sin φ其中，φ是类似于θ的参数，不过这个角度控制着曲面绕y轴旋转的程度。
要计算曲面的面积，我们需要用到以下的公式：A = ∫√(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dxdy其中∂z/∂x和∂z/∂y可以通过求解偏导数得到：∂z/∂x = y cos φ∂z/∂y = sin φ因此，可以得出曲面的面积为：A = ∫[1 + y² cos² φ]^½ dx dy这个积分是相当棘手的，但是可以通过三重积分来解决这个问题。
内旋轮线参数方程推导
内旋轮线参数方程推导
旋轮线顾名思义就是一个旋转的轮子上某点画出的轨迹，又叫做摆线。
它的图像与参数方程如下图所示：
在这里，a是轮子的半径。
请注意，这个轮子是只滚动不打滑的，物理上叫做“无滑滚动”。
而且，这个滚动是匀速的，不像有的人骑自行车，是忽快忽慢的。
角度theta当然就是转动角了，很明显，当theta从0开始变360度的时候，整个曲线就会重复。
那么，怎么样才能写出这个曲线方程呢？
我们可以把运动分解为两部分，x方向与y方向，我们用参数方程把这两部分写出来就可以了。
x方向是均匀直线运动再叠加上一个旋转运动在x方向的投影。
旋转运动在x方向的投影其实是一个简谐振动，我们把时间t用角度theta来表出——因为旋转是均匀的，所以时间t 与转动角theta成正比，比例系数是角速度。
这样，我们就得到了x方程的运动方程。
y方向其实就很简单了，它是旋转运动在y方向的投影，所以它是一个简谐振动。
因此，我们把y方向的运动方程也能写出来。
这样，我们就得到了x与y方向的运动方程了。
旋轮线方程就是上面的方程组。
你可以把角度theta消除，就可以得到x与y的关系。
当然了，这个事情不好干，不如写成参数方程的样子就好了。
人们发旋轮线具有如下非常有趣的性质：1．它的长度等于旋转圆直径的4 倍。
而且它的长度是一个有理数，与圆周率无关。
2．在旋轮线弧线下的面积，刚好是旋转圆面积的三倍。
旋轮线质心计算公式
旋轮线质心计算公式旋轮线质心计算公式1. 什么是旋轮线质心旋轮线是一种数学曲线，出现在各种自然现象和物理现象中，例如火花在空气中的轨迹、水槽中流体的涡旋等。
旋轮线质心是指旋轮线上各个点的重心位置。
2. 旋轮线质心的计算公式旋轮线质心的计算公式可以根据旋轮线的参数方程推导出来。
常见的旋轮线有心脏线、摆线等，下面分别列举它们的计算公式。
心脏线质心计算公式心脏线是指一个点在固定圆上以一定速度绕着另一个圆转动时所形成的曲线。
心脏线的参数方程为：x = a(2cos(t) - cos(2t))y = a(2sin(t) - sin(2t))其中，a为固定圆的半径，t为参数。
心脏线的质心可以通过以下公式计算：x_c = (1/(16π)) ∫[0,2π] [(2a cos(t) - a cos(2t))^2] dty_c = (1/(16π)) ∫[0,2π] [(2a sin(t) - a sin(2t))^2] dt摆线质心计算公式摆线是一种由曲柄和连杆组成的机构在转动时，绳索上一个固定点形成的曲线。
摆线的参数方程为：x = a(t - sin(t))y = a(1 - cos(t))其中，a为曲柄的长度，t为参数。
摆线的质心可以通过以下公式计算：x_c = (1/(2π)) ∫[0,2π] (a(t - sin(t))^2 dty_c = (1/(2π)) ∫[0,2π] (a(1 - cos(t))^2 dt3. 举例说明心脏线质心计算举例假设有一个心脏线的固定圆半径为5，要求计算心脏线质心的坐标。
根据心脏线的参数方程和计算公式，可以得到：x_c = (1/(16π)) ∫[0,2π] [(2(5) cos(t) - 5 cos(2t))^ 2] dty_c = (1/(16π)) ∫[0,2π] [(2(5) sin(t) - 5 sin(2t))^2] dt 通过数值计算或数值积分的方法，可以得到质心的坐标。
摆线轨道方程
摆线轨道方程一、引言摆线，又称旋轮线或圆滚线，是一种特殊的平面曲线。
当一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线。
摆线因其独特的几何特性和在实际应用中的广泛存在，成为了数学、物理和工程学等多个领域的研究对象。
本文将详细探讨摆线的定义、性质、轨道方程及其推导过程，并通过实例分析摆线在现实生活中的应用。
二、摆线的定义与性质摆线是一种由圆的滚动产生的曲线。
具体来说，当一个圆在一条定直线上无滑动地滚动时，圆周上一个固定点所描绘出的轨迹即为摆线。
摆线具有许多独特的性质，如等时性、等距性等。
这些性质使得摆线在计时器、钟表和某些机械装置的设计中具有重要应用价值。
三、摆线轨道方程及其推导为了描述摆线的形状和特性，我们需要推导出其轨道方程。
设圆的半径为r，定直线为x轴，圆心初始位置在原点。
当圆滚动θ角度时，圆周上的定点P的坐标可以用参数方程表示为：x = r(θ - sinθ)y = r(1 - cosθ)这两个方程分别表示了P点在x轴和y轴上的投影。
通过这两个方程，我们可以描绘出摆线的完整形状。
推导过程如下：当圆滚动θ角度时，圆心从原点移动到(rθ, 0)位置。
此时，定点P相对于圆心的位置为(r sinθ, -r cosθ)。
将圆心坐标和P点相对于圆心的坐标相加，得到P点在绝对坐标系中的坐标：x = rθ - r sinθ, y = -r cosθ + r。
为了方便分析，我们通常将y坐标的表达式改写为y = r(1 - cosθ)。
这样，我们就得到了摆线的参数方程。
通过改变参数θ的值，我们可以描绘出摆线的不同部分。
四、摆线的应用实例摆线在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些典型实例：钟表设计：摆线的等时性使得它在钟表设计中具有重要地位。
钟表的摆轮通常设计成摆线形状，以保证摆动的周期性稳定，从而提高钟表的精确度。
齿轮传动：在机械传动中，摆线齿轮具有传动平稳、噪音小、承载能力强等优点。
摆线齿轮的齿廓形状为摆线，能够有效降低齿轮传动过程中的冲击和振动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摆线的参数方程
摆线是一个和实际生活联系十分紧密的数学概念，本视频从实际生活出发，让学生充分体会数学在实际生活中的其妙应用，引导学生对数学产生浓厚的兴趣。
一． 教学目标：
知识与技能：了解摆线的生成及它的参数
过程与方法：学习用向量知识推到轨迹方程的方法和步骤
情感、态度、价值观：通过观察、探索和发现的创造性过程，培养创新意识和数学兴趣。
二． 教学重点：摆线的参数方程
教学难点：用向量知识推到轨迹方程的方法
三． 教学方法：启发诱导，发现教学。
四． 教学过程
1. 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路
上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
2. 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何
条件:
我们把点M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3. 根据点M 满足的几何条件，我们取定直线为X 轴，定点M 滚动时落
在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系 圆的半径为r
OA MA OA r ϕ=线段的长等于的长，即。
(,),M x y M ϕ设点的坐标为取为参数，根据点满足的几何条件，有
M x A B ϕ设开始时定点在原点，圆滚动了角后与轴相切于点，圆心在点。
M AB x C D 从点分别做，轴的垂线，垂足分别是，。
sin ,
x OD OA DA OA MC r r ϕϕ==-=-=-cos .y DM AC AB CB r r ϕ===-=-
五:总结反思: 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么?。