广东名校高一数学联考试题

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广东省部分名校2022-2023学年高一下学期3月大联考数学试题(含答案解析)

广东省部分名校2022-2023学年高一下学期3月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．0B ．6．已知曲线1C ：cos 2y =A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的移π24个单位长度，得到曲线B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的移π12个单位长度，得到曲线A．2545,22⎛⎫⎪⎝⎭B二、多选题9．下列说法正确的是（A．平行向量不一定是共线向量B．向量AB 的长度与向量C．ABAB是与非零向量D．若四边形ABCD满足10．已知函数()tanf x=A．π3ϕ=B．()f x的最小正周期为A ．2133DP AB AD=- C ．1AB AD ⋅= 三、填空题13．已知单位向量a ，b ，c满足14．已知sin 3cos 0αα-=，则四、双空题15．已知函数()y f x =是定义在则92f ⎛⎫-=⎪⎝⎭；当(x ∈五、填空题六、解答题参考答案：因为2AB AC ==，2π3A =，所以B ∠=易知23BC =．因为E 为BC 的中点，所以因为2CD DA = ，所以2133BD BA BC =+ ，所以2221443399BD BA BC BA ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()2244π12cos 239969BA BC =⋅+⋅⋅+⋅ ()2244312223239929=⋅+⋅⋅⋅+⋅23=则12cos ,BC BA AE BD AE BD AE BD AE ⎛- ⋅⎝==⋅ ()()22221144662213123BC BA AE BD ⎡⎤⋅-⋅⋅-⎢⎥⎣⎦===⋅⋅。

广东省深圳市名校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

(1)判断 f (x) 的奇偶性，并证明．
(2)利用单调性的定义证明： f (x) 在 (0, ) 上单调递增．
(3)若函数 g(x)
af (x) x
a x2
2x 2 (a 0)在[2, 4] 上是增函数，求 a 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
A． (1,1)
B．{(1,1)}
C． (1, 1)
D．{(1, 1), (1,1)}
4．设 a，b，c 为 ABC 的三条边长，则“ a b ”是“ ABC 为等腰三角形”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数
f
x 的定义域为2,8 ，则函数 y
A．220 元
B．240 元
C．250 元
D．280 元
试卷第 1页，共 4页
二、多选题 9．下列命题中，不正确的有（）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若 x y ，则 x2 y2
C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若 m>2 ，则方程 x2 mx 1 0 有实根 10．图中阴影部分用集合符号可以表示为（）
2．命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（）
A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相
等
C．锐角三角形的三个内角都不相等
D．锐角三角形的三个内角不都相等
3．已知集合 A {(x, y∣) y x}, B {(x, y∣) y 5 4x}，则 A B （）
f
x 2 的定义域为（
x5
）
A． 4,10
B．0, 6
C．4,5 5,10

2024届广东省五粤名校联盟高三第一次联考数学试卷

2024届广东省五粤名校联盟高三第一次联考数学试卷一、单选题1. 在复数范围内，方程的解有（）A．个B．个C．个D．无数个2. 二项式的各项系数之和为（）A．512B．C．2D．3. 抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（）A．6B．7C．8D．94. 现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（）A．事件A，B不相互独立B．C．可能等于D．5. 将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A．B．C．D．6. 令．则的最大值在如下哪个区间中（）A．B．C．D．7. 若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（）A．B．C．D．二、多选题8. 设有正数列，其前项和为．则下列哪一个能使对任意的都有成立（）A．B．C．D．9. 设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）A．恒为1B．随增大而增大C．恒为D．最小值为010. 关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A．是周期函数，最小正周期为B．是周期函数，最小正周期为C．是周期函数，最小正周期为D．是周期函数，最小正周期为11. 设有数列，记，其中．则下列说法正确的有（）A．有零点对任意奇数成立B．若为偶数且，则至少有两个零点C．对任意与，一定存在使当时，恒成立D．若恒为1，则对任意都有唯一正零点，且一定大于三、填空题12. 若，则 ______ ．13. 在的极值点个数为 ______ 个．14. 已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ______ ．四、解答题15. 已知数列与为等差数列，，，前项和为．(1)求出与的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．16. 现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；(2)为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．17. 已知．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且(3)在（2）的条件下，证明：．18. 在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．(1)对于元一次方程，试求其正整数解的个数；(2)对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数；(3)证明：（可不使用组合分析法证明）．注：与可视为二元一次方程的两组不同解．19. 设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在上给出一个非单射的映射；(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．。

广东省五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学试题(解析版)

五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学本试卷分选择题和非选择题两部分.第I 卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用钢笔或黑色墨迹签字笔作答，将答案书写在答题卡规定的位置上，答题卡上不得使用铅笔或涂改液.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复数范围内，方程232i z =+的解有（）A .0个B.1个C.2个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】设i z a b =+(),R a b ∈，根据复数相等得到方程组，消元求出a 的值，即可判断.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈，则()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，又232i z =+，所以22322a b ab ⎧-=⎨=⎩，消元整理得42310a a --=，解得23132a =或231302a =<（舍去）所以a =故在复数范围内，方程232i z =+有两个解.故选：C2.二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为（）A.512B.1512C.2D.12【答案】B 【解析】【分析】令1x =进而求解即得.【详解】令1x =，则二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：B3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则4AF BF +的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知()1,0F ，设:AB l 1x ky =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线AB 与抛物线方程2212444041y xy ky y y x ky ⎧=⇒--=⇒=-⎨=+⎩，所以221212144y y x x =⋅=，而()121241414559AF BF x x x x +=+++=++≥=.当且仅当1212,2x x ==时取得等号.故选：D4.现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（）A.事件A ，B 不相互独立B.()12P A B =C.()P B A 可能等于()P B D.()1130P A B +=【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=⨯≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===，故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故D 正确；故选：C5.将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A.4πB.68π9- C.11π2D.52π9-【答案】B 【解析】【分析】首先分类讨论得出，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，进一步求出底面四边形外接圆圆心1O 坐标、半径，从而得1O 到直线EF 的距离4d ，设出外接球球心到底面的距离1h ，结合OA OB R ==可得()222221314R r h d h d =+=-+，由此可得外接球半径R ，进而即可求解.【详解】若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且不垂直于三角形的边，由题意以D 为原点，以边长为2的等边三角形的AB 边为x 轴，AB 边上的高CD 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系：由题意()()(1,0,1,0,A B C -，不失一般性，设(:CD y kx k =+>（也就是设点D 在不包含端点的线段OA 上），在(:CD y kx k =+>中，令0y =得3x k=-，所以BCD △的面积为113331222BCD k S BD CO k k ⎛⎫+=⋅=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，而点()1,0A -到直线(:CD y kx k =+>的距离为1d =，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2111336BCD V S d =⋅= ACD ⊥面BCD ），所以()()2221222231103412121121133k V k k k k -<==<⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以1306V <<；若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且垂直于三角形的边，此时上述情况中的点D 于原点O 重合，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2211111311332326BCO V S d BO OC AO ⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭（此时面ACO ⊥面BCO ），其中2d 为点A 到OC 的距离，即AO 的长度；将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线不过三角形的任何顶点，如图所示：不失一般性，设该直线分别与,AB BC 交于点,E F ，折叠后的立体图形有外接球，则,,,A E F G 四点共圆，从而πCFE CAE ∠+∠=，又因为ππ,33CFE FEB FBE FEB CAE ∠=∠+∠=∠+∠=，所以π3FEB CAB ∠==∠，所以~FEB CAB ，由题意()()(1,0,1,0,A B C -，设)():,11EF y x a a =--<<，所以)()2213111122122224ABC AEFCa a a a S S ⎡⎤⎤+---⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯⨯-=⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦四边形，过点B 向EF 引垂线，垂足为G，则)312a d BG -==，所以四棱锥B AEFC -体积的最大值为()()()()()()()232331131111333,113888AEFC a a a V S d a a a a a a +--=⋅==--=--+-<<四边形（此时四边形AEFC 与三角形BEF 垂直），从而()()2313618V a a a '=--，()()231233610183V a a a a '=--=⇒=-或2313a =+，当113a -<<-时，()30V a '>，()3V a 单调递增，当23113a -<<时，()30V a '<，()3V a 单调递减，所以当且仅当2313a =-时，有()233max231232323311113383396V V ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎢⎥=-=⨯--⨯--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，综上所述，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，此时我们首先来求四边形AEFC 外接圆圆心1O ，因为AB 中点坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AB所以AB 的垂直平分线方程为331232y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，而AE中垂直线方程为2311323x ⎛-+- ⎝⎭==-，从而解得11,33O ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，所以四边形AEFC外接圆半径为1r O A ===而1O到直线23:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭的距离为413d -=，又满足题意的四棱锥B AEFC -的高为)3112a d BG -===，设满足题意的四棱锥B AEFC -的外接球球心为O ，设球心到平面AEFC 的距离为1h ，则由OA OB R ==可得，()222221314R r h d h d =+=-+，即1164313431299h --=-+，解得211164311743,3999h R --==+=，从而满足题意的外接球表面积为68163π9-.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得出满足题意的直线为:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭，且此时)3112a d BG -===，由此即可顺利得解.6.令()sin 0.5cos1cos 2cos ,N n a n n ︒︒︒︒+=+++∈ ．则n a 的最大值在如下哪个区间中（）A.(0.49,0.495)B.(0.495,0.5)C.(0.5,0.505)D.(0.505,0.51)【答案】B 【解析】【分析】先通过()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦，利用裂项相消法求出n a ，观察得其最大值可取90a ，然后计算其范围即可.【详解】由于()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦()sin 0.5cos1cos 2cos n a n ︒︒︒︒=+++ sin 0.5cos1sin 0.5cos 2sin 0.5cos3sin 0.5cos n ︒︒︒︒︒︒︒︒=++++ ()().50.5.5.5.1sin1sin sin 2sin1sin 3sin 2sin 5.50.50.5sin 2n n ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤=-+-+-+++--⎣⎦ ()0.50.51sin sin 2n ︒︒︒⎡⎤=+-⎣⎦根据三角函数的性质可知，当90360,Z n k k =+⋅∈或89360,Z n k k =+⋅∈时，().in 05s n ︒︒+取最大值，不妨取90n =，则()()0.50.5cos 0.50111sin 90sin sin 44.5452222.52︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤+-=-=<=⎣⎦,又())11sin sin 22cos 0.50.50.5︒︒︒-=，因为当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，sin x x≤ππ0.5si 36n 0s 3in 60︒->-=π360与0.495的大小，即比较2π1360⎛⎫- ⎪⎝⎭与299π200360⎛⎫+ ⎪⎝⎭的大小，222299π9999π122003602003ππ13660000063⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭22222222π100100π32ππ324439210360200360004360360436036049090⨯⎛⎫>---=->---> ⎪⨯⎝⎭π360.9045>-.所以()0.50.110.495sin 90225sin ︒︒︒⎡⎤<+-<⎣⎦.故选：B.证明：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x≤设()sin f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()00f x f ≤=，即当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x ≤.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用sin x x ≤对式子进行放缩，可以将三角运算转化为非三角运算.7.若在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1,4AB BC AA ===．则四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分的体积为（）A.23B.313C.1039D.726【答案】A 【解析】【分析】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，建系，利用空间向量分析可知G 为1A BD 的重心，进而根据体积关系运算求解.【详解】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，以D 为坐标原点，1,,DC DA DD分别为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()1131,0,0,1,3,0,0,0,0,1,,2,1,0,4,0,3,42A B D E A C ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()()1131,0,4,1,3,0,1,,2,1,3,42DA DB DE AC ⎛⎫====- ⎪⎝⎭，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z = ，则14030n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，则4,3y z =-=-，可得()12,4,3n =--，设()1,3,4AG AC λλλλ==-，则()1,3,4DG DA AG λλλ=+=-，因为DG n ⊥uuu r r，则()12112120λλλ---=，解得13λ=，可得24,1,33DG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即23DG DE =uuu r uuu r ，在1A BD 中，结合E 为1A B 的中点，可知G 为1A BD 的重心，则116BEG A BD S S =△△，所以四面体1GEBC 的体积11111111112314618183GEBC A C BD ABCD A B C D V V V -===⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知公共部分，利用空间向量的相关知识确定点G 的位置，即可得结果.8.设有正数列{}n a ，其前k 项和为k S ．则下列哪一个()0f n ≥能使对任意的n +∈N 都有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立（）A.()2f n n =B.2()2n f n =C.()ln f n n =D.1()f n n=【答案】BCD 【解析】【分析】首先当1n =时，要满足()11f ≤，故可排除A ，先证明两个引理，借助引理说明B 选项符合题意；对于CD 而言只需分别证明221ln ,22n n n n ≤≤即可说明CD 符合题意.【详解】首先取1n =，则有()111112f a a a +≤成立，其中10a >（因为数列{}n a 是正数列），从而需要满足()11f ≤，对比选项可知A 不符合题意，接下来我们证明如下引理1：()()()222111,2121ni kn k k ii n =+≤≥++∑，证明：首先当n k =时，左边等于()()()()()()()2222222222111212121212121k k k k k k k k k k k k k k ++++==≤=+++++，其次假设结论已对n 成立，即()()2221112121ni kk i i n =+≤++∑（*），由于()()()()()()()()2222222112322212121212n n n n n n n n n n ++-=≥=++++++++，从而()()()()222111122221n n n n +≤++++（**），（*）与（**）相加有()()12221112122n i kk ii n +=+≤++∑，故结论对1n +也成立，综上所述，引理1成立，我们继续来证明引理2：()()()221212121412,,,,0n n n n a a a n a a a a a a ⎛⎫++++++≥+++> ⎪⎝⎭ ，证明：当1n =时，左边211111a a =⋅=≥=右边，即此时引理1成立，设结论已经对n 成立，即()()2212121412n n n a a a n a a a ⎛⎫++++++≥+++ ⎪⎝⎭ ，记2121214,n nn a a a p q a a a +++=++= ，显然,0p q >，从而()()22121121114n n n n n n a a a a a a a a ++⎛⎫+++++++++⎪ ⎪⎝⎭()()()()2221111111n n n n n n p a q pq pqa n a a ++++⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭(()2211pq n n ≥+++)()221121n n n =+=+++++⎡⎤⎣⎦ ，故结论对1n +也成立，综上，引理2成立，现在我们回到原题，对于B ，也就是2()2n f n =，则()111212()n n k k n kn k f n f n k kS S a a a a a a ==+=+++++++∑∑ ()()()22221121214141212nk n k f n n kk a a a a a a n k =⎛⎫⎛⎫≤+++++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∑()()()2222122112141441141k n nk f n k n a a a n k k a a a n =⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝+⎭∑ ()()()()()2222222111114411121nn n n k i k k i k k kf n k k a a i i n n i i n ====⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑22111242nn k k k kk a k a ==≤⋅=∑∑，故B 符合题意，对于C ，当1n =时，()1ln101f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较2ln ,2n n 的大小，令()2ln ,22x g x x x =-≥，从而()10g x x x '=->，即()g x 单调递增从而()()22ln 20g x g ≥=->，也就是当*2,N n n ≥∈时，2ln 2n n <，结合B 选项分析可知C 选项也符合题意；对于D ，当1n =时，()11111f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较21,2n n 的大小，显然此时22112222n n ≤=≤，结合B 选项分析可知D 选项也符合题意.故选；BCD.【点睛】关键点点睛：关键是先证明上述两个引理，从而当2()2n f n =时，有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设01p ≤≤，随机变量X 的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）X 012P1412p -14p +A.()E X 恒为1B.()E X 随p 增大而增大C.()D X 恒为12D.()D X 最小值为0【答案】AC 【解析】【分析】由概率之和为1求出0p =，再由数学期望和方差的公式求解即可.【详解】因为111+1424p p -++=，解得：0p =，所以随机变量X 的分布列如下图，X 012P141214因为()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=，()E X 恒为1，故A 正确；B 错误；()()()()222111111011121424442D X =-⨯+-⨯+-⨯=+=，故C 正确，D 错误.故选：AC .10.关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A.2sin xB.sin(cos sin )x x +是周期函数，最小正周期为4πC.cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为πD.sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π【答案】CD 【解析】【分析】根据给定条件，利用周期函数的定义，结合正余弦函数的最小正周期逐项判断即得.【详解】对于A ，假设2sin x 是周期函数，则对任意实数x ，存在非零常数T ，使得22si s n(in )x x T =+，即222)s n sin(i 2x Tx T x =++，显然222π,Z Tx T k k +=∈对任意实数x 不恒成立，因此2sin x 不是周期函数，A 错误；对于B ，任意实数x ，sin[cos(2π)sin(2π)]sin(cos sin )x x x x +++=+成立，因此sin(cos sin )x x +是周期函数，2π是其周期，B 错误；对于C ，函数cos ,cos 2,cos3y x y x y x ===的最小正周期依次为2π2π,π,3，显然cos(cos 2(cos 2π2π2πc ))333(os cos 2co 3s3x x x x x x ++≠+，如0x =，左边为14，而右边为1，而cos(cos 2(cos3(cos cos 2(cos3)cos cos )2co ππ)3)s πx x x x x x x x x +==-++-恒成立，因此cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为π，C 正确；对于D ，函数cos 2,sin 3y x y x ==的最小正周期依次为2ππ,3，显然π)sin3sin3sin3([o cos 2(s 2)xx x xx x +-=+≠，而πsin3(2)sin3π)](cos 2)[cos 2(2x x x x +=+恒成立，因此sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π，D 正确.故选：CD11.设有数列{}*,N n a n ∈，记110()nn n n n f x a x a xa --=+++ ，其中0n a ≠．则下列说法正确的有（）A.()n f x 有零点对任意奇数n 成立B.若n 为偶数且00a <，则()n f x 至少有两个零点C.对任意*N n ∈与0M >，一定存在X 使当x X >时，()n f x M >恒成立D.若{}n a 恒为1，则对任意*N ,()2n n f x ∈=都有唯一正零点，且一定大于12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，化简得到01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，根据绝对值不等式得到当0n a x >时，1()0n n f x x ->；当0na x <时，1()0n n f x x -<，据此可判断AC 的正误.结合零点存在定理和导数可判断D 的正误，利用反例可判断B 的正误.【详解】对于A ，若n 为奇数，不失一般性，设0n a >，由110()nn n n n f x a x a x a --=+++ ，其中0n a ≠，可得01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，因为00221111n n n n a a a a x x x x ----⋅++≤⋅++ ，取1M =202max 1,n n a a a -⎧⎫+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当1x M >时，0022201111n n n n n a a a a a a x x x x -----⋅++≤⋅++≤++ ，所以当1x M >时，()20201()n n n n n f x a a a x a a x ----++≤-≤++ ，即201()n n n n f x a x a a x --≤+++ 且()201()n n n n f x a x a a x --≥-++ ，故当1x M <-时，1()20n n f x x -≤-<且1x M >时，1()20n n f x x-≥>，而n 1-为偶数，故x M <-时，()0n f x <且x M >时，()0n f x >，故()n f x 有零点对任意奇数n 成立，故A 成立.对于B 中，例如：函数22()1f x x =--，此时函数2()f x 无零点，所以B 不正确；对于C 中，对任意的0M >，由A 中分析可取X =202max 1,n n a a M a -⎧⎫++++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当x X >时，有01211()12n n n n n n f x a a x a a M x x x ----⎛⎫≥-+⋅++>+ ⎪⎝⎭ ，故1()2n n f x M xM -≥+>，故C 成立.对于D 中，若1()1nn n f x x x -=+++ ，可得12()(1)1n n n f x nx n x --'=+-++ ，当0x >时，()0n f x '>，()n f x 在(0,)+∞上单调递增；由(0)12n f =<且(1)12n f n =+≥，所以()n f x 有唯一的正零点，又由11111()((11()22222nn n n f -=+++=-< ，所以函数的零点大于12，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3xy =，则+=______．【答案】±【解析】【分析】分0,0x y >>和0,0x y <<两种情况分类计算.【详解】当0,0x y >>时，+==，当0,0x y <<时，+==-故答案为：±13.()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为______个．【答案】2【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.【详解】由()3cos cos 22cos cos f x x x x x ==-⇒()()2326sin cos sin 6sin 5sin sin 6sin 5f x x x x x x x x =-+=-=-'，令()0f x '=，则sin 0x =或sin x =，显然当[]0,πx ∈时，sin 0x ≥，则sin 0x =或sin x =，满足sin 0x =的根为0x =或πx =，端点值不能做为极值点，舍去；满足sin x =的根有两个12,x x ，根据正弦函数的性质可知()()120,,πx x x ∈⋃时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，即()f x 在()()120,,,πx x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，所以()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为2个.故答案为：214.已知O 为ABC 的外接圆圆心，且1,1AO BC BC ⋅== ．设实数,λμ满足AO AB λ=AC μ+ ，则221λμ-的取值范围为______．【答案】()3,1--【解析】【分析】以BC 中垂线为y 轴，BC 为x 轴建立直角坐标系，设出圆心坐标及半径，写出外接圆的方程，再分别写出,,A B C 坐标，将题干条件带入，即可得到等式，根据等式得出,λμ的关系及范围，再将关系带入221λμ-中，根据范围即可求得结果。

广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭ZZ ∣∣，则A B = （）A ．{}1,1,2,4-B ．{}4,2,1,1---C ．[)(]1,00,4-⋃D ．[)(]4,00,1- 2．给出下列命题，其中是正确命题的是（）A ．两个函数()f x =()g x 表示的是同一函数B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ C ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1D ．命题“[)0,x ∞∀∈+，210x +>”的否定是“(),0x ∃∈-∞，210x +≤”3．近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f （单位时间内心跳的次数）与其自身体重W 满足()130=≠k f k W的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg 、脉搏率为205次1min -⋅，若经测量一匹马的脉搏率为41次1min -⋅，则这匹马的体重为（）A ．350kgB ．450kgC ．500kgD ．250kg4．已知R a b c ∈,,，那么下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b >C ．若0a >，0b >，则22b a a ba b+≥+D ．若22a b >且0ab >，则11a b<5．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列说法正确的个数是（）个.①0a <；②关于x 的不等式0bx c +>的解集为(),6-∞-；③0a b c ++>；④关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为11,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数，在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()()110x f x +-≥的解集为（）A ．(][],11,3-∞-B ．[]{}1,31-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．[]13,-7．已知()g x 是定义域为R 的函数，()22g x ax =+，若对任意的1212x x <<<，都有()()12123g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭8．若对于定义域内的每一个x ，都有()()f kx kf x =，则称函数()f x 为“双k 倍函数”.已知函数()f x 是定义在[]1,4上的“双2倍函数”，且当[)1,2x ∈时，()24127f x x x =-+-，若函数()y f f x a ⎡⎤=-⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,2B ．[]1,4C ．()(]1,22,4 D ．(]1,4二、多选题9．已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（）A ．1a a--=B ．2214a a -+=C ．1122a a -+=D ．3322a a -+=10．已知0,0x y >>，且21x y +=，则下列正确的有（）A ．xy的最大值是18B ．24x y +的最小值是C ．12x y+的最大值是9D 11．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下列条件：（1）()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）当1x >时，()0f x >，则（）A ．()10f =B ．当01x <<时，()0f x <C ．()()22f x f x ≥D ．()f x 在()1,+∞上单调递增三、填空题12．4130320.064(πe)9-+-⨯=⎝⎭.13．已知幂函数()f x过点⎛ ⎝⎭，若()(32)1a f f a <+-，则实数a 的取值范围是.14．定义区间(a ,b )，[a ,b )，(a ,b ]，[a ,b ]的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2) [3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }=x -[x ]，其中x R ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x g x <解集区间的长度为5，则k 的值为．四、解答题15．已知集合12324x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22440,R B x x x m m =-+-≤∈.(1)若3m =，求A B ⋂；(2)若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.16．设()212y mx m x m =+-+-．(1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121R +-+-<-∈mx m x m m m ．17．学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC 卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万元，且()24,0105300,10a x x R x b x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．18．双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x x x -+=(1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -=②22cosh 2cosh sinh x x x=+(2)请证明双曲正弦函数sinh x 在R 上是增函数；(3)求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域．19．已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0-∞上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0-∞上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．。

广东省部分学校2024年高一下学期联考数学试题

2023—2024学年第二学期联合教学质量检测高一数学满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z 满足()1i 2i z −=+，则复数z 的虚部为（） A ．32 B ．32− C ．3i 2 D ．3i 2− 2．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）①频率分布直方图中a 的值为0.005②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78④估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④3．若向量(2,3)a = ，(1,1)b − ，则b 在a 上的投影向量的坐标是（）A ．23,1313 −B ．23,1313C ．23,1313 −D ．23,1313 −−4．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，30A =°，8a =，b =ABC 的面积为（）A ．B ．C ．或D ．5．如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A ．BC ．D 6．苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A ，B （A 为东塔塔底，B 为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点C ，并测得22AB =米.在点C 测得东塔顶的仰角为45 ，在点C 测得西塔顶的仰角为()tan 1.5αα=，且cos 0.75ACB ∠=，则苏州双塔的高度为（）A ．30米B ．33米C ．36米D ．44米7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（）A ．910B ．310C ．18D ．1108．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2222sin −+=b c B c a ，且2a =，则tan tan tan A B C的最大值为（）A2− B ．3C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数132i z =−，()21i 13i z +⋅=−，则（）A ．212i z =−−B ．122z z −在复平面内对应的点位于第一象限C ．1222z z z +=D ．12z z ⋅为纯虚数10．已知事件,A B ，且()0.7P A =，()0.2P B =，则下列说法正确的是（）A ．若B A ⊆，则()0.7P AB = B ．若A 与B 互斥，则()0.9P A B ∪=C ．若A 与B 相互独立，则()0.06P AB =D ．若A 与B 相互独立，则()0.9P A B ∪=11．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱11A D ，11A B 的中点，点P 是棱1AA 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得PC ⊥平面AEFB ．二面角A EFC −−C ．三棱锥1A AEF −的内切球的体积为π6D ．PBE 的周长的最小值为6+三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，7c =，π3C =，则ABC 的面积为．13．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为．14．如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为32，则该拟柱体的表面积为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.(1)求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.(3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.16.（本小题15分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 0a C C b c −−=.(1)求A ；(2)若a =ABC 的面积为ABC 的周长17.（本小题15分）如图，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，AD CD ⊥，2BC =，3AD =，CD =AD 上一点E 满足1DE =，现将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使得1AC =(1)求证：平面1A BE ⊥平面BCDE ；(2)求二面角1A BC D −−的余弦值.18.（本小题17分）平面四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，πABC ADC ∠+∠=，π3BCD ∠=． (1)求BD ；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围；(3)若E 为边BD 上一点，且满足CE BE =，2BCE CDE S S =△△，求BCD △的面积．19.（本小题17分）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为12，乙每次投篮命中的概率为13，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．。

广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题

广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合}{N 3N A x x =∈-∈，则集合A 的子集个数为（） A ．2B ．4C ．8D ．162．设0ab >，则“a b <”是“11a b>”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．下列各组中的两个函数是同一函数的是（） ①()()1353x x y x +-=+，25yx =-；②()f x x =，()g x ③()h x x =，()m x ④()21f x =，()225f x x =-．A ．①②B ．②③C ．③D ．③④4．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（）人． A ．3B ．9C ．19D ．145．下列命题中正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+<+ D ．若15a -<<,23b <<，则43a b -<-<6．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]7．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，下列结论错误的是（） A ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈>B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈< C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤D ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<或}9m >8．若两个正实数x ，y 满足42x y xy +=，且不等式24yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A ．{12}mm -<<∣ B ．{1mm <-∣或2}m > C ．{21}mm -<<∣ D ．{2mm <-∣或1}m >二、多选题9．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（） A ．若,a b c d >>则a d b c ->-. B ．若,a b c d >>则ac bd >. C ．若,0a b c d >>>，则a bd c> D ．若0,0ab bc ad >->，则c d a b> 10．下列说法正确的是（）A ．命题“2R 10,x x "?<”的否定是“R x ∃∈，使得210x +<”B ．若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，则14a =C ．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集()2,3-，则不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．“2,2a b >>”是“4ab >”的充分不必要条件11．设矩形()ABCD AB BC >的周长为定值2a ，把ABC V 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，如图，则下列说法正确的是（）A ．矩形ABCD 的面积有最大值B ．APD △的周长为定值C ．APD △的面积有最大值D ．线段PC 有最小值三、填空题12．函数()12f x x-的定义域为. 13．若2{1,,}{0,,}b a a a b a=+，则20232023a b +=14．若函数y =f x 在区间[],a b 上同时满足：①()f x 在区间[],a b 上是单调函数，②当[],x a b ∈，函数()f x 的值域为[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()212f x x x m =-+存在“保值”区间，求实数m 的取值范围．四、解答题15．已知集合{}{}{}3,17,1A x x B x x C x x a =≥=≤≤=≥-. (1)求,A B A B I U (2)()(),A B A B ⋃⋂R R 痧；(3)若C A A =U ，求实数a 的取值范围.16．已知命题p ：“x ∃∈R ，210x ax -+=”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A . (1)求集合A ；(2)设集合{}121B x m x m =+<<+，若t A ∈是t B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 17．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.18．函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，函数的解析式为23()1x f x x +=+. (1)求(2)f -的值；(2)用定义证明()f x 在(0,)+∞上是减函数； (3)当0x <时，求函数的解析式.19．若函数G 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ，最小值记为min y ，且满足max min 1y y =-，则称函数G 是在m x n ≤≤上的“美好函数”．(1)函数①1y x =+；②|2|y x =；③2y x =，其中函数是在12x ≤≤上的“美好函数”；（填序号）(2)已知函数2:23(0)G y ax ax a a =--≠．①函数G 是在12x ≤≤上的“美好函数”，求a 的值；②当1a =时，函数G 是在1t x t ≤≤+上的“美好函数”，请直接写出t 的值；(3)已知函数2:23(0)G y ax ax a a =-->，若函数G 是在221m x m +≤≤+（m 为整数）上的“美好函数”，且存在整数k ，使得maxminy k y =，求a 的值．。

2023-2024学年广东省部分名校高一上学期期末教学质量检测联考数学检测试卷(有解析)

x
1
1
x
0
，
-3-
因为函数
y
1
x
1
1
在
0,
上单调递减，函数
y
lnx
是增函数，
所以 f x在0, 上单调递减，且 f x 0 .
若函数满足 f x y f x f y，下证 f x为增函数.
令 x1 x2 0 ，
则 f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 0 ，
f
x
1 x
,
x
0
13．已知函数
x3, x 0 ，则 f ( f (1))
．
sin( π)
14．已知
P(m,
2m)(m
0)
是角
终边上一点，则
sin
π 2
.
15．已知实数 a，b 满足 a2 b2 ab 4 ，则 a b 的最大值为
.
16．已知函数
f
(x)
2
cos
2 x
π 3
对于 C 中，由 f (π) sin π 1 1 不是函数 f x的最值，所以 f x的图象不关于 x π 轴对
称，所以 C 错误；
对于 D 中，由 1 sin x 1 ，可得 0 sin x 1 2 ，所以函数 f x的值域为[0,2] ，所以 D
正确. 故选：AD. 10．BD
【分析】根据条件确定 a,b 的范围，利用 y ax 与 y logb x 的单调性分析即得.
要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则
，
t
e4
1
即
2 ，解得 t 4 ln 2 2.76 .

2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题(含答案)

2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x|x2+x−6<0}，B={x|x+2x−3≤0}，则A∩B等于( )A. (−3,3)B. (−2,2)C. [−2,2)D. [−2,3)2.若复数z满足z(1−i)=i，则z的虚部为( )A. i2B. −i2C. 12D. −123.边长为2的正三角形的直观图的面积是( )A. 64B. 23 C. 332D. 264.已知向量a，b不共线，满足|a+b|=|a−b|，则a−b在b方向上的投影向量为( )A. aB. bC. −12b D. −b5.已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π6,c=6，若▵ABC有两解，则b的取值范围是( )A. (3,6)B. (33,63)C. (33,6)D. (3,63)6.若古典概型的样本空间Ω={1,2,3,4}，事件A={1,2}，甲：事件B=Ω，乙：事件A,B相互独立，则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2)−1为奇函数.若f(1)=0，则∑26k=1f(k)= ( )A. 23B. 24C. 25D. 268.已知O为▵ABC的外心，A为锐角且sin A=223，若AO=αAB+βAC，则α+β的最大值为( )A. 13B. 12C. 23D. 34二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知一组样本数据x1，x2，⋯，x n(x1<x2<⋯<x n)，现有一组新的数据x1+x22，x2+x32，⋯，x n−1+x n2，x n+x12，则与原样本数据相比，新的样本数据( )A. 平均数不变B. 中位数不变C. 极差变小D. 方差变小10.吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换，如表为不同玻璃材料的透光率：算公式为T=110A玻璃材料材料1材料2材料3T0.60.70.8设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为A1､A2､A3，则( )A. A1>2A2B. A2+A3>A1C. A1+A3>2A2D. A1A3<A2211.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，M为边BC的中点，将▵ABM沿直线AM翻折成▵A B1M，连接B1 D，N为线段B1D的中点，则在翻折过程中，( )A. 异面直线CN与AB1所成的角为定值B. 存在某个位置使得AM⊥B1DC. 点C始终在三棱锥B1−AMD外接球的外部D. 当二面角B1−AM−D为60 ∘时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积为14π3三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

广东省东莞市高中名校2025届高三数学试题第一次联考试题

广东省东莞市高中名校2025届高三数学试题第一次联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()3sin2cos2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n +C ．21n -D ．121n ++3．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．1x <是12x x+<-的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i7．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（） A ．平行 B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．45-B ．45C ．35D ．359．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”10．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．3212．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省名校联盟2024-2025学年高一上学期期中联合质量检测数学试题

广东省名校联盟2024-2025学年高一上学期期中联合质量检测数学试题一、单选题1．下列函数既是奇函数又是增函数的是A ．21y x =+B ．1y x =+C ．12y x =D ．3y x =2．命题“0x ∀>，2320x x -->”的否定是（）A ．0x ∀>，2320x x --≤B ．0x ∀≤，2320x x --≤C ．0x ∃>，2320x x --≤D ．0x ∃≤，2320x x --≤3．已知集合{25},{2126}A xx B x a x a =-<<=-<<+∣∣，若{35}A B x x ⋂=<<∣，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数()25f x x ax =+-在()1,-+∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞5．已知 1.20.90.9, 1.1,1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a<<D ．b a c<<6．甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()14f x x -的定义域为（）A ．[)0,4B ．4,+∞C ．[)()0,44,+∞ D ．()(),44,-∞⋃+∞8．若1x <-，则2261x x x -++有（）A ．最小值4B ．最小值2C ．最大值8-D ．最大值10-二、多选题9．设0a b c >>>，则（）A ．ac bc>B ．c a c b-<-C ．2ab c >D ．11a c b c -->10．函数()12y a x a =-+与(0,1)x y a a a =>≠的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．如果函数op 在[],a b 上是增函数，对于任意的[]()1212,,x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（）A ．()()1212f x f x x x ->-B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤D ．()()12f x f x >三、填空题12．计算：122124-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭.13．已知某商品的原价为a 元，由于市场原因，先降价()%0100p p <<出售，一段时间后，再提价%p 出售，则该商品提价后的售价该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”）14．已知函数()(),0,32,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩是上的减函数，则a 的取值范围是.四、解答题15．已知集合{}35A x x =-<<，{}2127B x a x a =+<≤+.(1)当1a =时，求A B ，A B ⋂；(2)若A B =∅ ，求a 的取值范围.16．已知幂函数()()2133m f x m m x -=--是奇函数.(1)求()f x 的解析式；(2)若不等式()()11233m m a a a ---<-成立，求a 的取值范围.17．（1）已知0x >，0y >，2x y +=，求41x y+的最小值；（2）已知104x <<，求y =.18．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用定义证明；(3)解关于t 的不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19．已知()f x 是定义在D 上的函数，对任意的x D ∈，存在常数0M >，使得()f x M ≤恒成立，则称()f x 是D 上的受限函数，其中M 称为()f x 的限定值.(1)若函数()225f x x x =-+在(]0,m 上是限定值为8的受限函数，求m 的最大值；(2)若函数()2f x =，判断()f x 是否是限定值为4的受限函数，请说明理由；(3)若函数()124x xf x a +=⋅-在[]0,1上是限定值为9的受限函数，求a 的取值范围.。

广东省部分学校2024-2025学年高一10月联考数学试题答案

2024-2025 学年度第一学期 10月联考高一数学试卷参考答案一、选择题（单选）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBABCBA二、选择题（多选）题号 9 1011 答案CDABCAD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.1− 13. (0,10] 14. 2−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【答案】（1）{5x x ≥−且}7x ≠(或[-5,7)∪(7,+∞))；（2）174，10746；（3）()f a =，1(1)8f a a −=+−. 解：（1x 的集合是{}5x x ≥−，---2分使分式17x −有意义的实数x 的集合是{}7x x≠，---4分 ∴函数定义域为{5x x ≥−且}7x ≠(或[-5,7)∪(7,+∞))；---6分（2）117(11)444f =+=，---7分 51107544674f =+=−；---9分（3）因为0a >，所以(),(1)f a f a −有意义，---10分1()7f a a =−，---11分 11(1)178f a a a −=+=+−−−.---13分 16. 【答案】（1）{}|32A Bx x =−<≤ ；（2）[0,1]∪[2,+∞)(或{a |01a ≤≤或2a ≥}).解：（1）当1a =−时，AA ={xx |−3<xx <0}，---2分又{}12B xx =−≤≤∣，所以{}|32A Bx x =−<≤ .---4分（2）因为“x B ∈”是“x A ∈”成立的必要条件，所以A B ⊆，---6分当A =∅时，211a a −≥+，---8分解得2a ≥；---9分当A ≠∅时，2a <，因为A B ⊆，所以2121,21a a a <−≤− ≥+---12分解得01a ≤≤；---13分综上，实数a 的取值范围为[0,1]∪[2,+∞)(或{a |01a ≤≤或2a ≥}).---15分 17. 【答案】（1）()() ,22,−∞−+∞ ；（2）()()13,2,2,22−∞−−+∞. 解：（1）对于命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根所以2Δ40m =−>，---2分解得2m <−或2m >，因p 为真，故实数m 的取值范围为()(),22,−∞−+∞ ；---4分（2）对于命题q ，因关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根，所以()2Δ42160m =−−<，---6分解得1322m −<<．因q 为真，故实数m 的取值范围为13,22−．---8分 p 、q 有且仅有一个为真命题，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，221322m m m m <−>≤−≥或或，---10分解得2m <−或2m >；---11分当p 假q 真时，221322m m −≤≤−<<，---13分解得1322m −<<．---14分综上所述：实数m 取值范围为()()13,2,2,22−∞−−+∞．---15分 18. 【答案】（1）yy =150xx +240000xx,0<x ≤50；（2）当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为2w kx =，当30x =时，900450k =，---2分解得0.5k =．---3分从甲地到乙地所用的时间为300x小时，则从甲地到乙地的运输成本23003000.5800y x x x=⋅+⋅．---6分故所求的函数为yy =150xx +240000xx ,0<x ≤50．（不写x 的范围扣一分）---8分（2）由（1）得：yy =150xx +240000xx=1600)160015015012000y x x=+≥×，---12分当且仅当1600x x=，即40x =时取等号．---15分故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．---17分19. 【答案】（1）5a =−，25b =−；（2）当03a <<时，不等式的解集为3x x a>或}1x <；当3a =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3x x a <或}1x >．解：（1）根据题意，2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，的则1，b 是方程2320ax x ++=的解，且a<0，---2分则有2320320a ab b ++=++= ，---4分 (或则有�1+bb =−3aa 1∙bb =2aa ，---4分) 解得：5a =−，25b =−（1b =不合，舍去）；---6分（2）根据题意，2321ax x ax −+>−，则有aaxx 2−(3+aa )xx +3>0,即()()310ax x −−>，∵0a >，所以(xx −3aa )(xx −1)>0 ---8分①当03a <<时，3aa >1，∴xx >3aa 或xx <1，---10分 ②当3a =时，3aa =1，∴xx ≠1，---12分③当3a >时，3aa <1，∴xx <3aa 或xx >1，---14分综上得：当03a <<时，不等式的解集为3x x a>或}1x <；当3a =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3x x a <或}1x >．---17分。

广东省名校2023届新高考高一数学下学期期末联考试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，面积为S，若222,44b ac S=+-=，则ABC外接圆的半径为（）A．2B．22C．2D．42．已知直线2y x m=+与圆C相切于点()2,1--，且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（）A．22(2)17x y-+=B．22(2)13x y+-=C．22(2)5x y++=D．22(2)1x y++=3．若圆22:4C x y+=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b-+=>的距离为1，1:420l x y-+=,则l与1l间的距离为（）A．1 B．2 C．2D．34．如图，某人在点B处测得某塔在南偏西60︒的方向上，塔顶A仰角为45︒，此人沿正南方向前进30米到达C处，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为（）A．20米B．15米C．12米D．10米5．不等式组2,1,y xy xy-+⎧⎪-⎨⎪⎩所表示的平面区域的面积为（）A．1 B．12C．13D．146．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．2B ．3C ．32+ D ．17．当α为第二象限角时，sin cos sin cos αααα-的值是（）． A ．1B ．0C ．2D ．2-8．已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，l αβ=，在下列说法中，①若m n ⊥，则m l ⊥；②若m l ⊥，则m β⊥；③若m β⊥，则m n ⊥. 正确结论的序号为（） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③9．点(3,4)关于直线60x y -+=的对称点的坐标为（） A ．(4,3)B ．(2,9)-C ．(4,3)--D ．(2,9)-10．已知1cos(75)3α+=，则sin(15)α-值为A ．13-B ．13C ．3D ．3-11．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，,a b 的夹角为30°，则a b •等于( )A ．2B C ．D ．1212．要得到函数()cos f x x =的图象，只需将函数()1cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移13个单位 D ．向右平移13个单位二、填空题：本题共4小题13．在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______. 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 成等比数列，且()1cos cos 2A CB -=+，则cos B =________.15．已知tan α=2παπ<<，那么cos sin αα-的值是________．16．点(1,2)P 关于直线0x y -=的对称点的坐标为_____．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2024-2025学年广东省清远市九校联考高一(上)期中数学试卷+答案解析

2024-2025学年广东省清远市九校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则()A.B. C. D.2.Q 是有理数集，R 是实数集，命题p ：，，则()A.p 是真命题，：，B.p 是真命题，：，C.p 是假命题，：，D.p 是假命题，：，3.“方程有实根”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的定义域是()A. B.C. D.5.函数在上的最小值为()A.2B.C.D.36.设，，，则() A. B.C.D.7.若在上是减函数，则()A.B.C.D.8.已知正实数a ，b 满足，则的最小值为()A.B. C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分不必要条件的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.下列与函数有关的命题中，正确的是()A.若，则B.若幂函数的图象经过点，则C.若奇函数在有最小值4，则在有最大值D.若偶函数在是减函数，则在是增函数11.下列求最值的运算中，运算方法错误的有()A.当时，，当且仅当取等，解得或1，又由，所以，故时，的最大值是B.当时，，当且仅当取取等，解得或2，又由，所以，故时，的最小值为C.由于，当且仅当取等，故的最小值是D.当x，，且时，由于，，又，当且仅当，取等，故当x，，且时，的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数，则______.13.函数的单调递增区间为______.14.表示与中的较大者，设，则函数的最小值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分集合，是实数集，若，求；若，求实数a的取值范围.16.本小题15分已知函数用定义法证明函数在区间上是增函数；函数的定义域为若，求实数m的取值范围.17.本小题15分幂函数的定义域是全体实数.求的解析式；若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围.18.本小题17分如图，是以OA为斜边的等腰直角三角形，且动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为求的解析式；设，证明：是奇函数.19.本小题17分已知函数是R上的奇函数，求实数a，b的值；求函数的值域.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，，由，得，，所以故选：根据条件，知两集合中的元素是点，进而求出公共点，再利用集合的运算，即可求解．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：命题p：，，则命题p的否定为：，，由，，则命题p为假命题．故选：根据特值可判断命题p的真假，再结合命题的否定的概念可得本题主要考查命题的否定，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，若二次方程有实数根，故，解得或，即“方程有实根”的充要条件是“”，又由故“方程有实根”是“”的必要不充分条件．故选：由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案．本题考查充分必要条件的判断，涉及二次方程的性质，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意得，解得且且故选：根据函数特征得到不等式，求出定义域．本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为在上单调递减，所以当时取最小值为故选：先判断函数的单调性，然后结合单调性即可求解函数的最值．本题主要考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为在上单调递增，又，所以，因为是减函数，所以，又是增函数，所以，则故选：利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解．本题考查指数幂大小的比较，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，若在上是减函数，则有，解可得故选：根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为正实数a，b满足，则，当且仅当且，即，时，取等号，此时取得最小值故选：由已知结合乘1法，利用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的应用，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若，当时，推不出，所以A错误；对于B，由，得到，又，所以，即，所以可以推出，由选项A知推不出，所以p是q的充分不必要条件，故B正确；对于C，易知可以推出，取，，显然满足，但不满足，即推不出，所以p是q的充分不必要条件，故C正确；对于D，由C的结论，推不出，所以D错误．故选：利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解．本题考查充分必要条件的判断，涉及命题真假的判断，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：A选项：，设，则，，即，A选项错误；B选项：设，则，解得，所以，则，B选项错误；C选项：由为奇函数，则，在有最小值4，即，，则时，，即，即在有最大值，C选项正确；D选项：由已知为偶函数，又在是减函数，任取，，，则，故，故，即在是增函数，D选项正确．故选：利用换元法和待定系数法分别求得AB选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可判断CD选项．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，还考查了函数解析式的求解，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】A选项：满足基本不等式的应用条件，正确；B选项：不满足基本不等式的应用条件中的定值，错误；正确的为：当时，，当且仅当时取等，解得或舍，故当时，的最小值为；C选项：不满足基本不等式的应用条件中的取等，错误；正确的为：设，则，又函数在上单调递增，所以当即时，y取最小值为，即的最小值为；D选项：选项中运用两次基本不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误；正确的为：当x，，且时，，当且仅当，即，时等号成立．故选：根据基本不等式的应用条件“一正，二定，三取等”分别判断各选项．本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．12.【答案】【解析】解：函数，由已知，则，所以，且，所以故答案为：根据分段函数的定义直接计算函数值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：由题意，，解得，即函数的定义域为，令，函数图象开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为故答案为：根据复合函数的单调即可求解．本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：表示与中的较大者，设，令，解得或，令，解得或，画出的图象，如下：显然的最小值为故答案为：画出的图象，数形结合得到的最小值．本题考查了函数最值的计算，属于中档题．15.【答案】解：当时，，所以或，又因为，所以或，所以或；由，得到，又，当时，，所以，解得，当时，，满足，所以满足题意，当时，，所以，解得，综上，实数a的取值范围为【解析】根据条件，先求出集合A，B，进而求得，，利用集合的运算，即可求解；根据条件得，再利用一元二次不等式的解法，对a进行分类讨论，求出集合A，再利用集合间的关系，即可求解．本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于中档题．16.【答案】解：证明：根据题意，设，则，又，，则，，所以，，故，所以函数在区间上是增函数．根据题意，函数的定义域为且在区间上是增函数，由，则有，解得或，故实数m的取值范围为或【解析】根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；根据条件和结果，得到不等式组，即可求解．本题考查函数单调性的判断和应用，涉及函数的定义域，属于基础题．17.【答案】解：因为幂函数，所以，解得或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去；当时，，满足题意；因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，当时，恒成立，满足要求，当时，变形为在恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立，所以，解得，实数k的取值范围是【解析】根据幂函数定义得到系数为1，故；在区间上恒成立，当时，恒成立，当时，参变分离，得到在恒成立，由基本不等式求出，从而得到，得到答案．本题考查幂函数的定义，函数的恒成立问题，属于基础题．18.【答案】解：因为是以OA为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以，当时，，当时，，当时，，所以证明：因为，由知，所以，当时，，则，当时，，，当时，，则，所以，故，又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数．【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式；由中结果，结合条件得，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果．本题考查函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：依题意，，又，则，所以，经检验满足题意，故实数，由知，任取，，，则，因为，，，则，，得到，所以，即，所以在区间上单调递减，所以时，，令，由，得到，对称轴为，当时，在区间上单调递减，此时，，当时，在区间上单调递增，此时，，当时，，①时，，②时，，综上，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为【解析】根据奇函数的性质，可得，再利用条件，可求得，即可求解；利用函数单调性的定义得到在区间上单调递减，从而得到，令本题考查函数的奇偶性以及函数的值域，考查运算求解能力，属于中档题．。

广东省五所名校2022-2023学年高一下学期期末考试数学

2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()323241i3i 4i z +=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}3tan ,cos ,sin ,sin ,sin 3446A B y y x ππππ⎧⎫===⎨⎩⎭∣，则A B ⋂=（）A.1,,222⎫⎪-⎬⎪⎭B.1,,222⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭ C.21,22⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ D.21,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭3.已知sin 325,3,2,log sin ,sin 2a b c απαπαα⎛⎫∈===⎪⎝⎭，则（）A.a c b>> B.a b c >>C.b c a >> D.c a b >>4.在ABCD 中，15,,56BE BC DF DC M == 是线段EF 的中点，则AM = （）A.1325AB AD + B.1223AB AD + C.112123AB AD + D.113125AB AD + 5.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式.以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之，为实.一为从隅开方得积.如果把以上这段文字写成公式，就是：S =在ABC 中，已知角A B C ､､所对边长分别为,,a b c ，其中a 为棱长为的正方体的体对角线的长度，b 为复数34i +的模，c 为向量(4,-的模，则ABC 的面积为（）A. C. D.6.把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为1S ，内切球的表面积为2S ，外接球的表面积为3S ，则123::S S S 为（）A.1:2:2B.1:1:1C.3:2:4D.2:3:37.为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（）A.若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8B.若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4C.若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4D.若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为108.巴普士（约公元34~世纪），古希腊亚历山大学派著名几何学家.生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，V Sl =（V 表示平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S 表示闭合图形的面积，l 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知在四边形ABCD 中，CE AD ⊥于点,,3,24E AB CE AE DE AB CE ====∥，利用上述定理可求得四边形ABCD 的重心G 到点A 的距离为（）A.9B.5C.15D.15二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.我国经济结构处于转型升级阶段，当前的汽车保有量仍处于较低水平，未来增量市场发展空间依旧广阔.根据公安部数据统计，截至2022年末，我国汽车保有量达到3.19亿辆.因此，无论是从增量维度还是存量维度，我国消费者需求足以推动着市场继续发展.下图为2015-2022年全国汽车保有量及增长率情况，则（）A.2015-2022年全国汽车保有量的极差大于一亿辆B.2016-2022年全国汽车保有量的中位数大于2.5亿辆C.2016-2022年全国汽车保有量的增长率平均值低于7.00%D.2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，一定能说明每年买汽车的人越来越少10.下列命题为真命题的是（）A.ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，若()sin sin A B A +>，则c a>B.若角,,A B C 是锐角ABC 的三个内角，则()()tan 2tan A B C A C ++=+C.若幂函数()f x 的图象过点()16,2A ，则()14f x x =D.若2x >，则12x x +-的最小值为211.已知O 为坐标原点，点()()()12cos ,sin ,cos ,sin 22P P ππααπβπβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()()()34cos ,sin ,cos ,sin P P αβαβαβαβ++--，则（）A.12OP OP =B.34cos2OP OP α⋅=C.若13OP OP∥，则cos 0β=D.若24OP OP ⊥，则cos 0α=12.在正方体1111ABCD A B C D -中，点G E ､分别是棱111A B BB ､的中点，点F 是棱BC 上的动点，则（）A.直线1D G 与直线CE 交于一点B.点F 满足13BF BC =时，异面直线AG 与EF 所成的角的余弦值为6565C.点F 满足12BF BC = 时，1BC ⊥平面DEF D.当点F 满足13BF BC = 时，直线GF 与平面11A B CD所成角的正弦值为7三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某染发剂生产厂家生产了一种新型植物染发剂，现在有35000名女性，21000名男性用了此染发剂.销售科为了了解使用过的顾客对此染发剂的评价，决定按性别比例抽取80名顾客做调查，则应抽取女性__________名.14.已知函数()()32log 1,12sin ,18x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪⎩，若复数()22i z m m =-+是纯虚数，则()()f f m =__________.15.如图，有一底面边长为6m ，高为6m 的正六棱柱形粮仓，侧面11CDD C 的中心点为P ，此时一只蚂蚁正在A 处，它要沿棱柱侧面到达P 所经过的最短路程是__________m.16.已知,a e 均是单位向量，若不等式2a e a te ++ 对任意实数t 都成立，则a 与e的夹角的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量,a b 满足()()24,6,23,8a b a b -=-+= .（1）求sin ,a b ；（2）若()0a c c ≠ ∥，求b c + 的最小值.18.（本小题满分12分）如图，底面边长为6的正三棱锥S ABC -的表面积为36+,,E F G 分别满足211,,355BE BC AG AS BF BS === ，平面EFG 交AC 于点M .（1）判断点M 的位置，并证明；（2）求三棱锥E BGM -的体积.19.（本小题满分12分）在①分别以,,a b c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知13234S S S +-=；②()33ABC AC CB CB S +⋅= ；③4sin sin 03b C c B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足__________.（1）求角B ；（2）已知4a =，当29b c+取最小值时，求ABC 内切圆的半径.20.（本小题满分12分）深州蜜桃，又称“贡桃”，是河北省深州市的特产，中国国家地理标志产品，因其个头硕大，果型秀美，色泽鲜艳，皮薄肉细，汁甜如蜜，深受老百姓的喜欢.深州市某蜜桃种植村从该村某种植户的蜜桃树上随机摘下了200个蜜桃进行测重，测得其质量（单位：克）均分布在区间[100,700]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图，利用样本估计总体的思想，同一组中的数据用该组区间中点值作代表.（1）求出直方图中a 的值，估计该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数和第75百分位数（第75百分位数精确到0.01）；（2）已知该种植户的蜜桃树上大约还有10000个蜜桃待出售，现有甲､乙两个收购商要与该种植户签订合同：甲收购商：所有蜜桃均以40元/千克收购；乙收购商：质量低于200克的蜜桃不收购，质量落在区间[)200,300内的以8元/个的价格收购，质量落在区间[)300,400内的以14元/个的价格收购，质量落在区间[)400,500内的以24元/个的价格收购，质量落在区间[)500,600内的以36元/个的价格收购，质量高于或等于600克的以50元/个的价格收购.请你通过计算，帮助该种植户确定应与哪个收购商签订合同.21.（本小题满分12分）如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点E F ､分别是AB BC ､上的点，2BE BF ==，将,AED DCF 分别沿,DE DF 折起，使点,A C 重合于点M .（1）求证：平面MEF ⊥平面MBD ；（2）求二面角B DF M --的正弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos 666f x x x x πππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()()()12f x f x f x 时，12x x -的最小值为2π.（1）求函数()f x 的对称轴；（2）当0ω>时，将函数的()f x 图象向右平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若存在[]1,1a ∈-，使不等式()()113lg 212a g x k -⎛⎫++- ⎪⎝⎭ 对,12x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数k 的取值范围.2022-2023学年高一下学期期末联考数学参考答案及解析1.D 解析：由题意得()1i 43i z -=-，所以()()()()43i 1i 43i 7171i,i 1i 1i 1i 2222z z -+-===+=---+，对应的点为71,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选D.2.B 解析：由题意得3tan ,cos ,sin 344A πππ⎧=⎨⎩，{}{}221sin ,,,sin 116222B y y x y y π⎫⎪⎫=-===-⎬⎬⎭⎪⎭∣∣ ，所以1,,222A B ⎧⎫⎪⎪⋂=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭.故选B.3.A 解析：因为5,32παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0sin 1α<<，所以sin 3221,log sin 0,0sin 1a b c ααα=>=<<=<，所以a c b >>.故选A.4.D 解析：因为15,56AE AB BE AB AD AF AD DF AD AB =+=+=+=+ ，所以()11132125AM AE AF AB AD =+=+ .故选D.5.C 解析：由题意3,5,6a b c ===，所以ABC S == 故选C.6.C 解析：设圆柱的母线长为l ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，则其轴截面如图所示，则2l r =，R =，所以22222123226,4,48S rl r r S r S R r ππππππ=+====，所以123::3:2:4S S S =.故选C.7.B 解析：设甲组数据的平均数为1x ，方差为21s ，乙组数据的平均数为2x ，方差为22s ，混合后的新数据的平均数为x ，方差为2s ，则2118,4s x ==，对于A ，新的一组数据平均数6868866x ⨯+⨯==+，故A 正确；对于B ，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式()()()2222221122266664(8)412121212s x x s x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-++-=+-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知无法确定新的一组数据方差，故B 错误；对于C ，因为乙组数据的平均数为8，方差为4，即2228,4x s ==，所以6868866x ⨯+⨯==+，所以()22211612s s x x ⎡⎤=+-+⎣⎦()()22222611401222s x x ⎡⎤+-=⨯++⨯⎣⎦()2404+=，故C 正确；对于D ，因为乙组数据的平均数为4，方差为8，即2224,8x s ==，所以666x =⨯+684666+⨯=+，所以()22211612s s x x ⎡⎤=+-+⎣⎦()()()222261144841222s x x ⎡⎤+-=⨯++⨯+=⎣⎦10，故D 正确.故选B.8.C 解析：由题意得四边形ABCE 为上底边长为2，下底边长为4，高为3的梯形，CDE 为两个直角边长分别为3和4的直角三角形，所以四边形ABCD 的面积为243431522+⨯⨯+=，四边形ABCD 绕AD 旋转一周所得几何体的体积()1113416243164433V πππ=⨯⨯⨯++⨯+⨯⨯=，设重心G 到AD 的距离为1d ，则144152d ππ=⨯，解得12215d =；四边形ABCD 绕AB 旋转一周所得几何体的体积()211493636927833V πππ=⨯⨯++⨯-⨯⨯=，设重心G 到AB 的距离为2d ，则278152d ππ=⨯，所以2135d =，所以200515AG ==.故选C.二､多选题9.AB 解析：2015-2022年全国汽车保有量最多为2022年，超过3亿辆，最少为2015年，大约1.7亿辆，极差大于一亿辆，故A 正确；2016-2022年全国汽车保有量的中位数为2019年的汽车保有量，由图知大于2.5亿辆，故B 正确；2016-2022年全国汽车保有量的增长率前三个数据大于10.00%，两个大于或等于8.00%，一个在()7.00%,8.00%，一个在(5%,6%)，故平均数大于7.00%，故C 错误；虽然2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，但汽车保有量是逐年增加的，另外还有每年报废一部分的汽车，所以不一定能说明每年买汽车的人越来越少，故D 错误.故选AB.10.AC 解析：对于A ，因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=，所以sin sin C A >，根据正弦定理得c a >，故A 正确；对于B ，()()()()tan 2tan tan ,tan tan tan A B C B B A C B B ππ++=+=+=-=-，故B 错误；对于C ，设()f x x α=，则216α=，得14α=，所以()14f x x =，故C 正确；对于D ，11222422x x x x +=-++=-- ，当且仅当122x x -=-时，即3x =时等号成立，故D 错误.故选AC.11.ACD 解析：()()()()123sin ,cos ,(cos ,sin ),cos ,sin P P P ααββαβαβ--++ ，()()()41cos ,sin ,(sin P OP αβαβα--∴=- ，()()23cos ),cos ,sin ,(cos OP OP αββαβ=-=+ ，()()()()4sin ),cos ,sin OP αβαβαβ+=-- ，因为121,1OP OP === ，所以12O OP = ，故A 正确；因为()()()34cos ,sin OP OP αβαβ⋅=++ .()()()()()()()cos ,sin cos cos sin sin cos2αβαβαβαβαβαββ--=+-++-=，故B 错误；若13OP OP ∥，则()()sin sin cos cos ααβααβ-+=+，即()()cos cos sin sin 0ααβααβ+++=，所以cos 0β=，故C 正确；若24OP OP ⊥ ，则()()cos cos sin sin 0βαββαβ--+-=，即cos 0α=，故D 正确.故选AC D.12.ABD 解析：对于A ，连接11,,D C GE A B ，由于点,G E 分别是棱111,A B BB 的中点，故1GE A B ∥，在正方体中，11A B D C ∥，故1GE D C ∥，且GE =112D C ，故四边形1D GEC 为梯形，故直线1D G 与直线CE 交于一点，故A 正确；对于B ，取棱AB 的中点M ，连结1B M ，则11,B M AG B M AG =∥，又取MB 的中点N ，连接,EN FN ，则111,2EN B M EN B M =∥，所以NEF ∠（或补角）为异面直线AG 与EF 所成的角，设正方体的棱长为6，则222222355,,1322EN BE BN NF BN BF EF BE BF =+==+=+由余弦定理得65cos 65NEF ∠=，故B 正确；对于C ，连接111,,B C A E A D ，则111,2EF B C EF B C =∥，又11A D B C ∥，所以1A D EF ∥，故平面DEF 与平面1A DFE 为同一个平面，11111,,,B C BC BC CD CD B C C BC ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面11A B CD ，若1BC ⊥平面1A DFE ，则平面11A B CD ∥平面1A DFE ，这与平面1A DFE ⋂平面111A B CD A D =矛盾，故C 错误；由选项C 的证明知，1BC ⊥平面11A B CD ，设正方体的棱长为6，则162BC =B 到平面11A B CD 的距离为11322BC =所以点F 到平面11A B CD 的距离为22AB 的中点Q ，连接,,GQ GF QF ，则GQ ⊥平面ABCD ，所以2226237GF =++，所以直线GF 与11A B CD 所成的角的正弦值为227，故D 正确.故选ABD.三､填空题13.50解析：3500080503500021000⨯=+，故为50名.故答案为50.214.12-解析：若复数()22i z m m =-+是纯虚数，则2m =，所以()32log 31f ==，所以()()()22212sin 1cos 1842f f f ππ===-=-.故答案为212-15.326解析：如图，将此棱柱沿1AA 剪开，其展开图为一个长为36m ，宽为6m 的矩形，侧面11CDD C 的中心P 在AF 上的投影为M ，所以若要最短，应沿着侧面1111,ABB A BCC B 走直线到P 处，由图可知，15,3AM PM ==，所以AP ==.故答案为.16.3π解析：不等式2a e a te ++ 对任意实数t 都成立，即22()4()a e a te ++ 对任意实数t 都成立，即222222448a a e e a e t a et +⋅+++⋅对任意实数t 都成立，因为,a e 均是单位向量，所以上式可整理为22410t a et a e +⋅+-⋅ 对任意实数t 都成立，所以()216()810a e a e ⋅--⋅ ，即22()10a e a e ⋅+⋅-，所以()()2110a e a e ⋅-⋅+ ，得112a e -⋅ ，所以11cos ,2a e - ，得,,3a e a ππ 与e 的夹角的最小值为3π.故答案为3π.四､解答题17.解：由()24,6a b -=- ，得()248,12a b -=- ，同()23,8a b += 相减得，()1,4b =- ，代入()24,6a b -=- 中，得()2,2a = .（1）所以334cos ,34a b a b a b⋅=== ，所以sin ,34a b = .（2）因为a c ∥，所以()()2,20c λλλ=≠ ，所以()21,24b c λλ+=-+===当34λ=-时，b c + 取最小值2.18.解：（1）23AM AC = ；证明如下：11,,,55AG AS BF BS GF AB ==∴ ∥又AB ⊂ 平面,ABC GF ⊄平面ABC ，GF ∴∥平面ABC ，又GF ⊂ 平面EFGM ，平面EFGM ⋂平面ABC ME =，2,,,3GF ME ME AB BE BC AM ∴∴=∴= ∥∥23AC （2）取BC 的中点H ，连结,SH AH ，则SH BC ⊥，令SH a =，此三棱锥的表面积为34⨯13636362a +⨯⨯⨯=+，得4a =，因为三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以S 在底面的投影为ABC 的中心O ，连接SO ，所以13OH =⨯62⨯=，所以SO ==111553E BGM G BEM S BEM V V V ---===215915BEM ABC S S =⨯= 19.解：（1）选①依题意22121sin60,24S a a S === 2222311sin60,sin60,2424b b Sc === 22213233334444S S S ac b +-==+- 即222ac a c b =+-，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=1,2=()0,,3B B ππ∈∴= .选②由题意()233ABC AC CB CB +⋅= ，得AB .233ABC CB S = ，即233ABC BA BC S ⋅= ，1sincos sin ,tan 32cos B ac B ac B B B∴=∴==()0,,3B B ππ∈∴=.选③4sin sin 03b C c B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，由正弦定理得4sin sin sin sin 03B C C B π⎛⎫++=⎪⎝⎭，sin 0C ≠ ，4sin sin 03B B π⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，1sin cos 022B B ∴-=，可得tan B =，因为()0,B π∈，所以3B π=.（2）因为4,3a B π==，所以2222cos b a c ac B =+-=2164c c +-，所以292544b c c c +=+-- 6=，当且仅当25c c=，即5c =时等号成立，此时2216421b c c =+-=，所以b =，113sin222ABC S ac B ac ==⨯= 设ABC 内切圆的半径为r ，则()12ABC S a b c r =++ ，所以r =23372ABC S a b c =++所以ABC 内切圆的半径为2.20.解：（1）由100(0.00050.00250.004a ⨯++++0.0010.0005)1+=，得0.0015a =.由题中频率分布直方图可知，蜜桃质量在区间[)100,200的频率为1000.00050.05⨯=，同理，蜜桃质量在区间[)[)200,300,300,400，[)[)[]400,500,500,600,600,700的频率依次为0.25,0.4,0.15,0.1,0.05，所以平均数为150x =⨯0.052500.253500.44500.15550+⨯+⨯+⨯+⨯0.16500.05365+⨯=因为0.050.250.40.70.75,0.050.25++=<++0.40.150.850.75+=>所以第75百分位数在第4组，设第75百分位数为n ，则()0.050.250.40.00154000.75n +++-=，解得100400433.333n =+≈，所以该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数为365，第75百分位数为433.33.（2）若按甲收购商的方案收购：由（1）可知每个蜜桃的平均质量为365克，所以这10000个蜜桃大约重3650千克，于是总收益为403650146000⨯=（元）.若按乙收购商的方案收购：由题意知各区间的蜜桃个数依次为500,2500,4000,1500,1000,500，所以总收益为2500840001415002410003650050173000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.因为173000146000>，所以应与乙收购商签订合同.21.解：（1）,,,MD MF MD ME MF ME M MF ⊥⊥⋂= ，ME ⊂平面,MEF MD ∴⊥平面MEF ，又MD ⊂ 平面,MBD ∴平面MEF ⊥平面MBD .（2）设BD 与EF 交于点O ，连接MO ，在平面MDB 内作MN BD ⊥于点N ，在平面MDF 内作MG DF ⊥于点G ，连结NG ，2,,BE BF EF BD MD ==∴⊥⊥ 平面,MEF EF ⊂平面MEF ，,,MD EF MD BD ∴⊥⊂ 平面,MBD MD BD ⋂=,D EF ∴⊥平面,MBD MN ⊂ 平面,MBD EF ∴⊥,,,MN EF BD O EF BD ⋂=⊂ 平面,DEF MN ∴⊥平面DEF ，又DF ⊂ 平面,DEF MN DF ∴⊥，又,,,DF MG MG MN M MG MN ⊥⋂=⊂ 平面,MNG DF ∴⊥平面MNG ，又NG ⊂ 平面MNG ，,DF NG MGN ∠∴⊥∴为二面角B DF M --的平面角，8,6,,10,MD MF MD MF DF MG ==⊥∴=∴= 245MD MF DF ⋅=，MD ⊥ 平面,MEF MD MO ∴⊥，22234,2EF MO MF MO ⎛⎫=-=∴= ⎪⎝⎭ 22298,OD MD MO OD ∴=+=∴=，817,sin 7MD MO MN MN MGN OD MG ∠⋅∴==∴==51721，即二面角B DF M --的正弦值为21.22.解：（1）()2sin cos 666f x x x x πππωωω⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫=+-+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦22sin cos (sin 26663x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭22cos 1]sin 22633x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin2xω=由当()()()12f x f x f x 时，12min 2x x π-=，得T π=，所以22T ππω==，解得1ω=±，当1ω=时，则()2sin2f x x =，令2,2x k k ππ=+∈Z ，解得,24k x k ππ=+∈Z ，当1ω=-时，则()()2sin 22sin2f x x x =-=-，令2,2x k k ππ=+∈Z ，解得,24k x k ππ=+∈Z ，所以对称轴方程为,24k x k ππ=+∈Z .（2）由（1）知()2sin2f x x =，将函数的()f x 图象向右平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当,12x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()[]3,1g x ∈-；当[]1,1a ∈-时，[]111,42a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为不等式()()113lg 212a g x k -⎛⎫++- ⎪⎝⎭对x ∈,12ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恒成立，所以1min 1()32a g x -⎛⎫++ ⎪⎝⎭()lg 21k -，所以()110lg 212a k -⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，又存在[]1,1a ∈-，使得()110lg 212a k -⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，所以()lg 211k -- ，得102110k <-，解得k ∈111,220⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以k 的取值范围为111,220⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

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