求二次函数的解析式ppt课件
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二次函数的应用(经典) PPT
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件 衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
第4部分 第26讲 求二次函数解析式
XI ND ONGL I
11．(2019 南充)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1， 0)，B(－3，0)，且 OB＝OC．求抛物线的解析式．抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(－3，0)， ∴设交点式y＝a(x＋1)(x＋3)． ∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴，∴C(0，－3)． 把点C代入抛物线解析式得：3a＝－3，∴a＝－1. ∴抛物线解析式为y＝－(x＋1)(x＋3)＝－x2－4x－3.
故抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
XI ND ONGL I
13．(2019成都)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，5)，与x 轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点．求抛物线的函数表达式．
XI ND ONGL I
4a－2b＋c＝5， a＝1，
解：由题意得：a－b＋c＝0， 解得b＝－2，
求抛物线的解析式．
XI ND ONGL I
解：根据题意得：A(－2，0)，B(6，0)， 在Rt△ AOC中，∵tan∠CAO＝CAOO＝32，且OA＝2，得CO＝3， ∴C(0，3)，将C点坐标代入y＝a(x＋2)(x－6)得：a＝－41， 抛物线解析式为：y＝－14(x＋2)(x－6)＝－41x2＋x＋3.
R
东方心韵
D O N G F A N G X IN Y U N
新/动/力/学/习/小/镇
湖北东方心韵文化传播有限公司
数学
第四部分 函数及其图象
第26讲 求二次函数解析式
XI ND ONGL I
◆ 例1 (2019孝感)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y
＝ax2－2ax－8a与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点
11．(2019 南充)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1， 0)，B(－3，0)，且 OB＝OC．求抛物线的解析式．抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(－3，0)， ∴设交点式y＝a(x＋1)(x＋3)． ∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴，∴C(0，－3)． 把点C代入抛物线解析式得：3a＝－3，∴a＝－1. ∴抛物线解析式为y＝－(x＋1)(x＋3)＝－x2－4x－3.
故抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
XI ND ONGL I
13．(2019成都)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，5)，与x 轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点．求抛物线的函数表达式．
XI ND ONGL I
4a－2b＋c＝5， a＝1，
解：由题意得：a－b＋c＝0， 解得b＝－2，
求抛物线的解析式．
XI ND ONGL I
解：根据题意得：A(－2，0)，B(6，0)， 在Rt△ AOC中，∵tan∠CAO＝CAOO＝32，且OA＝2，得CO＝3， ∴C(0，3)，将C点坐标代入y＝a(x＋2)(x－6)得：a＝－41， 抛物线解析式为：y＝－14(x＋2)(x－6)＝－41x2＋x＋3.
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D O N G F A N G X IN Y U N
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数学
第四部分 函数及其图象
第26讲 求二次函数解析式
XI ND ONGL I
◆ 例1 (2019孝感)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y
＝ax2－2ax－8a与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
用待定系数法求二次函数解析式PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 *第7课时 用待定系数法求二次函数
解析式
提示：点击 进入习题
1 一般式 2 见习题 3 见习题 4 顶点式 5 见习题
6 见习题 7 交点式 8 见习题 9 见习题
答案显示
1．已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出 二次函数的__一__般__式__，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后将三 个点的坐标分别代入解析式，求出待定的系数a，b，c即 可．
2．(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和 (－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对 称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式． 解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式， 得1－2＝3＝9＋4－3b2＋b＋c，c，解得bc＝＝－2，3. 故抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3.
解：如图所示．该曲线 是一条抛物线．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有
两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根 据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系： __A_3_A_4_－__A_1_A_2_＝__1____．
4．若已知顶点坐标或对称轴或函数的最值，用待定系数法 求解析式时，一般设___顶__点__式_____，即y＝a(x－h)2＋k.
课堂导练
11．(2020·吉林)如图是人们常用的插线板。可以用_试__电__笔___ 来判断插孔接的是火线还是零线；当把三线插头插入三 孔插座中时，用电器的金属外壳就会与___大__地___相连， 以防止触电事故的发生。
8．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1， 0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物 线上的一点．
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 *第7课时 用待定系数法求二次函数
解析式
提示：点击 进入习题
1 一般式 2 见习题 3 见习题 4 顶点式 5 见习题
6 见习题 7 交点式 8 见习题 9 见习题
答案显示
1．已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出 二次函数的__一__般__式__，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后将三 个点的坐标分别代入解析式，求出待定的系数a，b，c即 可．
2．(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和 (－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对 称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式． 解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式， 得1－2＝3＝9＋4－3b2＋b＋c，c，解得bc＝＝－2，3. 故抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3.
解：如图所示．该曲线 是一条抛物线．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有
两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根 据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系： __A_3_A_4_－__A_1_A_2_＝__1____．
4．若已知顶点坐标或对称轴或函数的最值，用待定系数法 求解析式时，一般设___顶__点__式_____，即y＝a(x－h)2＋k.
课堂导练
11．(2020·吉林)如图是人们常用的插线板。可以用_试__电__笔___ 来判断插孔接的是火线还是零线；当把三线插头插入三 孔插座中时，用电器的金属外壳就会与___大__地___相连， 以防止触电事故的发生。
8．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1， 0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物 线上的一点．
二次函数解析式的确定.ppt2
6、某公园草坪的护拦是由50段形状 相同的抛物线形组成的，为牢固起 见，每段护拦需按间距0.4m加设不 锈钢管做成的立柱（如图）。为了 计算所需不锈钢管立柱的总长度， 设计人员利用如图所示的坐标系进 行计算。
（1）求抛物线的解析式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。
0.5 2 0.4
7、已知抛物线 C1的解析式是 2 y 2 x 4 x 5，抛物线 C2与抛物
1、如图所示：求抛物线的解析式。 由图象得：抛物线过（8，0），（0，4） x 对称轴是直线x = 3，从而可得抛物线又 过（-2，0）。
3 8
解法一：设抛物线的解析式为：y = ax2+bx+c，依题 意得： 1 a 64a+8b+c=0
c=4 解得
b 3 2
4
4a-2b+c=0 c=4 1 2 3 ∴所求的函数解析式为: y 4 x 2 x 4
分析:通常要先建立适当的直角坐标系,再 写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算,放样画图.
猜一 猜
思考： 如果要求二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中的a、b、c，至少需要几个点的坐标？
一般式： y=ax2+bx+c
例 题
选
讲
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
y＝x2＋2x＋1
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0)
特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
想一想
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱 的最大高度为16m，跨度为40m．施工前 要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮 廓线呢?
用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)课件
$ax_3^2+bx_3+c=y_3$
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
THANKS
感谢观看
用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
CATALOGUE
引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
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用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
CATALOGUE
引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》公开课课件
精 ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 讲
精 练
用一般式求二次函数解析式(4分钟)
探 【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
究 求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
归 解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
纳 过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
向下 向下
x b
(
b
4ac b2
,
)
2a 2a 4a
x x1 x2
2
(1)a决定抛物线的形状及开口方向及大小,若|a|相等则形状相同.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,简称：左同右异
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
温故知新(2分钟)
导 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几
九年级数学(上)教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.4(2) 用待定系数法求二次函数的解析式
温故知新
知识讲解
典例解析
当堂训练
课前诵读(3分钟)
解析式
开口方向 对称轴 顶点坐标 a＞0 a＜0
顶点式 y=a(x-h)2+k
向上 向下 x=h (h,k)
一般式 y=ax2+bx+c
向上
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 向上 一般式：y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
纳
可得
精
4a-2b-3=1， a-b-3=0， 解得
a=-1， b=-4，
讲 ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
精 练
用一般式求二次函数解析式(4分钟)
探 【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
究 求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
归 解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
纳 过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
向下 向下
x b
(
b
4ac b2
,
)
2a 2a 4a
x x1 x2
2
(1)a决定抛物线的形状及开口方向及大小,若|a|相等则形状相同.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,简称：左同右异
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
温故知新(2分钟)
导 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几
九年级数学(上)教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.4(2) 用待定系数法求二次函数的解析式
温故知新
知识讲解
典例解析
当堂训练
课前诵读(3分钟)
解析式
开口方向 对称轴 顶点坐标 a＞0 a＜0
顶点式 y=a(x-h)2+k
向上 向下 x=h (h,k)
一般式 y=ax2+bx+c
向上
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 向上 一般式：y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
纳
可得
精
4a-2b-3=1， a-b-3=0， 解得
a=-1， b=-4，
讲 ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
《用待定系数法求二次函数的解析式》PPT课件(甘肃省市级优课)
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
做一做
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，
且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
解：设抛物线的解析式为：
课堂练习
1. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值 y=-1，当x=-2与0.5时，y=0.求这个二次函数 的解析式.
y x2 3 x 1 2
2. 一个二次函数的图象经过（0,0），（-1， -1），（1,9）三点.求这个二次函数的解析 式.
y 4x2 5x
课堂小结
1. 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的 三元一次方程组
a b c 10, a b c 4, 4a 2b c 7. 解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
∴所求二次函数是y=2x2-3x+5
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析的 基本方法分四步完成：一设、二代、
三解、四还原
y a(x 2)2 k 代入（1, 4），（5, 0）得
a k 4 9a k 0
解得：a=- 1 , k 9
2
2
所以抛物线的解析式为：
y 1 ( x 2)2 9
2
2
2、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、 B(3,0)，与y轴交于点C2，3且BC＝ ，求二
次函数关系式？
解：设抛物线的解析式为： y a(x 3)(x 1) 由题得C点坐标为（0, 3） 代入解析式得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
做一做
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，
且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
解：设抛物线的解析式为：
课堂练习
1. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值 y=-1，当x=-2与0.5时，y=0.求这个二次函数 的解析式.
y x2 3 x 1 2
2. 一个二次函数的图象经过（0,0），（-1， -1），（1,9）三点.求这个二次函数的解析 式.
y 4x2 5x
课堂小结
1. 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的 三元一次方程组
a b c 10, a b c 4, 4a 2b c 7. 解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
∴所求二次函数是y=2x2-3x+5
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析的 基本方法分四步完成：一设、二代、
三解、四还原
y a(x 2)2 k 代入（1, 4），（5, 0）得
a k 4 9a k 0
解得：a=- 1 , k 9
2
2
所以抛物线的解析式为：
y 1 ( x 2)2 9
2
2
2、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、 B(3,0)，与y轴交于点C2，3且BC＝ ，求二
次函数关系式？
解：设抛物线的解析式为： y a(x 3)(x 1) 由题得C点坐标为（0, 3） 代入解析式得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3
二次函数解析式的求法(PPT课件(共24张PPT)
解:∵抛物线的顶点为(2,-1) ∴设解析式为:y=a(x-2)2-1 把点(-1,2)代入
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
二次函数的解析式课件
弹性力学问题
在弹性力学中，二次函数 可以用于描述物体的应力 和应变关系，以及弹性体 的变形和稳定性等问题。
04
二次函数解析式的性质
二次函数的开口方向与a的关系
总结词：a的正负决定二次函数的开口方 向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
a的符号决定了二次函数的开口方向，这 是判断二次函数增减性的关键。
几何问题
二次函数与几何图形密切相关，可以 用于研究平面几何、立体几何中的一 些问题，例如抛物线、椭圆、双曲线 的性质和图像。
在物理问题中的应用
01
02
03
运动学问题
二次函数可以用于描述物 体在重力作用下的运动规 律，例如自由落体运动、 抛体运动等。
波动问题
在波动现象中，例如声波 、光波等，二次函数可以 用于描述波的传播规律和 性质。
参数的取值还影响抛物线 的顶点位置：顶点的x坐标 为-b/2a，y坐标为(4acb^2)/4a。
03
二次函数解析式的应用
在生活中的实际应用
金融领域
二次函数可以用于描述股 票价格、债券收益率等金 融数据的变动规律，帮助 投资者进行风险评估和预
测。
建筑领域
在建筑设计中，二次函数 可以用于计算结构物的受 力分析、稳定性等，以确 保建筑的安全性和稳定性
最小值为c-b^2/4a，此时二次函数开 口向上；最大值为c-b^2/4a，此时二 次函数开口向下。
二次函数的最小值或最大值在对称轴 上取得，即x=-b/2a处。
05
二次函数解析式的求解方法
配方法求解二次函数解析式
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
详细描述
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16 a ( 20 0) ( 20 40) 评价 选用交点式求解， 1 方法灵活巧妙，过 解 得: a 程也较简捷 25
1 所求抛物线解析式为 y : x( x 40) 25 封面 练习
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交 桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现 把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的 解析式．
已知：二次函数的顶点（2，1），且图 象经过点P（1，0）. 求：二次函数的解析式.
解:设所求二次函数为y=a(x-h)2+k. 由已知，函数 图象的顶点坐标是（2，1），且经过点（1，0） 得： 0 a(1 2)2
1
解这个方程，得a= -1.
因此，所求二次函数是y= -(x-2)2+1.
用待定系数法求二次函数的解析式（二）
y
课
堂
复 热
习 身
x
课 堂 课 堂 课 堂
例 选 小 一 结 测
课 堂
课堂复习
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0) (a≠0)
• 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
封面
课堂热身
练习
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交 桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现 把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的 解析式．
设抛物线为y=a(x-h)2＋k 解： 由题意可知:抛物线的顶点为(20,16), 且经过点(0，0).
0 a ( 0 20 ) 16 1 评价 利用条件中的顶 即: a 点和过原点选用 25
数形结合 ——基础
o
x
课堂例选
一般式： y=ax2+bx+c 顶点式： y=a(x-h)2+k 交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
封面
例2、已知二次函数抛物线的对称轴为： 直线x=-2，顶点到x轴的距离为，且经过 原点。求：二次函数的解析式。
敏锐观察 ——前提 数形结合 ——基础
课堂例选
封面
课堂一测
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴 分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于C， 若OA=4，OB=1，∠ACB=90°. （1）求： A、B两点的坐标； （2）画出抛物线的草图； （3）求：二次函数解析式。
封面 小结
课堂一测
已知抛物线的顶点为C,对称轴为直线x=4,与x轴交 于A、B两点，且SRt△ABC=4。 （1）求A、B两点的坐标； （2）画出示意图； （3）求抛物线的解析式。
2
∴ 所求抛物线解析式为
1 2 y ( x 20) 16 25
顶点式求解，方 法比较灵活.
封面 练习
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交 桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现 把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的 解析式．
解： 设抛物线为y=a(x-x1)(x-x2） 由题意可知:抛物线交x轴于点(0,0), (40,0),且经过点(20，16).
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交 桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现 把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的 解析式．
解： 设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c， 由题意可知：抛物线经过(0，0)， (20，16)和(40，0)三点 得：0 c 评价 利用给定的条件列出a、
封面
课堂例选
一般式： y=ax2+bx+c
解:如图设抛物线交于x轴的横坐 标分别为x1，x2.设所求二次函数 为y=a(x-h)2+k.由已知，函数图象 顶点式： 顶点为（1，-2），x2,x1间的距离 x1 o x2 x y=a(x-h)2+k 为4. y a( x 1)2 2 1 y0 解得 : a 交点式： 得： 2 代数法较繁 y=a(x-x1)(x-x2) x2 x1 4 1 y ( x 1)2 2 因此，所求二次函数是 2 封面
1 5 解 得: a , b , c 0 25 8
a 16 400 20b c 0 1600 40b c a
b、c的三元一次方程组， 求出a、b、c的值，从 而确定函数的解析 式．过程较繁杂。
1 2 8 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 x x :y 25 5 封面
封面 小结
例1、已知二次函数的顶点为（1，-2）， 图象与x轴的交点间的距离为4。 求：二次函数的解析式。 y
课堂例选
一般式： y=ax2+bx+c 顶点式： y=a(x-h)2+k 交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
封面
例1、已知二次函数的顶点为（1，-2）， 图象与x轴的交点间的距离为4。 求：二次函数的解析式。 y
封面
课堂热身
已知：二次函数的顶点（2，1），且图 象经过点P（1，0）. 求：二次函数的解析式.
解:设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2). 由已知，函 数图象交于x轴于（1，0）,（3，0），且经过（2， 1），得：
1 a( 2 1)(2 3)
解这个方程，得a= -1.
因此，所求二次函数是y= -(x-1)(x-3).
敏锐观察 ——前提 数形结合 ——基础 细心运算 ——关键 条理书写 ——任务
封面 练习
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点坐标或三对对应值， 通常选择一般式 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值） 通常选择顶点式 已知图象交于x轴的两点坐标， 通常选择交点式 求解二次函数的解析式时，应该根据条件 的特点，选用恰当的一种函数解析式。