立体几何的综合应用.
空间向量与立体几何(2)——向量法在立体几何中的综合应用
空间向量与立体几何（2）——向量法在立体几何中的综合应用【学习目标】1、能够建立空间直角坐标系；2、掌握平面的法向量的求解方法；4、掌握向量法在一些平行、垂直证明中的应用；3、掌握向量法在线面角和二面角的应用（重难点）.【重点】空间直角坐标系的建立和法向量的求解【难点】掌握法向量．．．在线面角和二面角的应用. 【基础内容】1、法向量：和平面垂直的向量叫做法向量.如果法向量的模长为1，则称为单位法向量.2、平行：①线线平行：a b a b ⇒②线面平行：m 是平面α的法向量，若a m a ⊥⇒平面α③面面平行：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，若mn ⇒平面α || 平面β3、垂直：①线线垂直：a b a b ⊥⇒⊥②线面垂直：m 是平面α的法向量，若a m a ⇒⊥平面α③面面垂直：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，若m n ⊥⇒平面α ⊥平面β4、线面夹角：θ是OP 和平面α的夹角 sin cos ,OP m OP m OP m θ⋅=<>=⋅（根据θ的大小，考虑正负号）思考：为什么sin cos ,OP m θ=<>？5、二面角：θ是平面α和平面β的夹角cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=⋅（根据θ的大小，考虑正负号）思考：为什么cos cos ,m n θ=<>？【前置作业】1、如图，三棱锥O-ABC，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，求平面ABC的法向量坐标.（提示：利用线面垂直的判定定理，若法向量m⊥平面ABC，则m⊥AB，m⊥AC）【研讨探究】向量法基本方法：①建立坐标系（寻找两两垂直的三条线，特别是找到底面的垂直关系）；②求出点坐标（不知道长度的用字母代替或设单位“1”）③求解题目（法向量的应用）探究一：平行、垂直的证明1、如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB，PC的中点，P A=AD=1，AB=2．（1）求证：MN || 平面P AD；（2）求证：MN⊥平面PCD；探究二：线面角、二面角的求解（3）求MN和平面PBC的夹角的正弦值；（4）求二面角A-PB-C的余弦值.【当堂检测】1、已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB || DC，AB=AD=DE=4，DC=8.（1）证明：BD⊥平面BCF；（2）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP //平面BCE？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由.（3）求CE与平面BEF夹角的正弦值Array（4）求二面角F-EB-C的平面角的余弦值；【课后作业】1、（14浙江·文）如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．2、（14浙江·理）如图，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B -AD -E的大小。
立体几何三大公理应用超级全面
立体几何三大公理的应用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，P是B′D′的中点，对角线A′C∩平面AB′D′=Q.求证：A，Q，P三点共线．2.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．4.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．5.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．(1)求证：E,F,B,D四点共面；(2)若AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P,Q,R三点共线．6.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，如图．(1)若A1C交平面EFBD于点R，则P，Q，R三点共线．(2)证明DE、BF、CC1三线共点．7.如图，空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别在AB、BC上，且CFFB =AEEB=13．(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：FG、HE、BD三条直线交于一点．8.已知空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC,CD上的点，且CFCB =CGCD=23．求证：(1)E,F,G,H四点共面；(2)三条直线EF,GH,AC交于一点．9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG︰GC=DH︰HC=1︰2．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：直线EG、FH、AC交于一点．10.正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都为2，D、E、F分别是AB、A1C1、BC的中点，(1)证明：A1、C1、D、F四点共面；(2)求异面直线B1C与DE所成角余弦值；(3)证明：A1D、C1F、B1B三线共点．11.如图，已知平面α，β，且α∩β=l，设梯形ABCD中，AD//BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC=//12AD，BE=//12FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？13.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=1，AD=√3，E，F分别为棱PD，PA的中点．(1)求证：B、C、E、F四点共面；(2)求异面直线PB与AE所成的角．能力提升一、共线问题例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。
立体几何在城市规划中有哪些应用
立体几何在城市规划中有哪些应用在当今的城市化进程中，城市规划扮演着至关重要的角色。
它不仅仅是对土地和空间的简单划分，更是一门融合了多学科知识的综合性艺术与科学。
其中，立体几何作为数学的一个重要分支，在城市规划中有着广泛而深入的应用，为创造更高效、美观和可持续的城市空间提供了有力的支持。
一、立体几何在城市建筑布局中的应用城市中的建筑布局是城市规划的核心内容之一。
通过立体几何的原理，规划师可以更好地确定建筑物的位置、高度和形状，以实现最佳的空间利用和视觉效果。
首先，在考虑建筑物的位置时，立体几何可以帮助分析建筑物之间的相互关系和空间距离。
例如，通过计算不同建筑物之间的角度和距离，可以确保建筑物之间有足够的采光和通风，同时避免相互遮挡和视线干扰。
其次，建筑物的高度规划也离不开立体几何。
在有限的土地上，为了容纳更多的人口和功能，高层建筑成为了城市发展的必然选择。
然而，过高的建筑可能会对周边环境产生不利影响，如阴影遮挡、风洞效应等。
利用立体几何知识，可以精确计算建筑物的高度和阴影范围，从而合理安排建筑高度，保障周边区域的日照时间和舒适度。
此外，建筑的形状设计也可以运用立体几何。
例如，圆形、方形、三角形等不同的几何形状在空间中的占据和视觉感受是不同的。
通过对这些形状的组合和变化，可以创造出独特而富有魅力的建筑外观，同时实现内部空间的优化布局。
二、立体几何在交通规划中的应用交通是城市的动脉，顺畅的交通系统对于城市的运转至关重要。
立体几何在交通规划中发挥着关键作用。
在道路设计方面，立体几何可以帮助确定道路的坡度、弯道半径和交叉口的形状。
合适的坡度可以保证车辆行驶的安全和顺畅，过大或过小的坡度都会增加行驶的难度和风险。
弯道半径的合理设计则能够确保车辆在转弯时的稳定性和舒适性。
而交叉口的形状和尺寸，也需要根据交通流量和车辆转向的需求，运用立体几何原理进行精确计算和设计。
高架桥和地下通道的建设是解决交通拥堵的重要手段。
高中数学的归纳立体几何与微积分的综合应用
高中数学的归纳立体几何与微积分的综合应用在高中数学的学习中，归纳、立体几何和微积分是非常重要的内容。
本文将探讨这三个部分是如何相互应用的。
一、归纳的作用归纳是数学中一种非常重要的推理方法，通过观察和总结一系列例子的共同特征，从而提炼出普遍规律。
在立体几何和微积分的学习中，归纳的作用不可小觑。
在立体几何中，归纳可以帮助我们发现不同几何体的性质和特征。
通过观察一系列立体的例子，我们可以总结出它们的面数、棱数、顶点数等基本特征，从而建立起对各种几何体的认识。
例如，通过归纳，我们可以发现所有正方体的六个面都是正方形，边长相等，这是一种普遍规律。
在微积分中，归纳可以帮助我们总结出数列和级数的通项公式。
通过观察数列或级数的前几项，我们可以猜测它们的通项公式，然后利用归纳法证明。
例如，通过归纳，我们可以总结出等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
二、立体几何与微积分的应用在高中数学中，立体几何和微积分是两个独立的学科，但在实际问题中，它们常常需要相互应用。
立体几何中的体积和表面积公式，可以通过微积分的方法来证明。
例如，对于球体的体积公式V=4/3πr^3，我们可以通过用微积分方法计算球体的曲面旋转体积来证明。
同样地，对于圆柱体的侧面积公式S=2πrh，我们可以利用微积分方法计算柱体的曲面积分来证明。
微积分中的求导和积分也可以在立体几何问题中得到应用。
当我们需要求一个曲面的切平面或者切线时，可以利用函数的导数来解决。
当我们需要求一个曲面的面积或者体积时，可以通过函数的积分来解决。
例如，在求解旋转曲面的表面积或者体积时，我们可以利用旋转体的计算公式并运用积分方法。
三、实际问题的综合应用在真实生活中，数学的应用往往是综合性的，需要综合运用归纳、立体几何和微积分的知识来解决问题。
例如，对于一个汽车制造商来说，他们需要设计一个容量为V的汽车油箱。
通过观察一系列汽车的油箱，我们可以发现它们的形状大多是长方体或者圆柱体。
人教A版高中数学必修教案：立体几何全部教案
人教A版高中数学必修教案：立体几何全部教案第一章：绪论1.1 立体几何的概念教学目标：1. 理解立体几何的概念，掌握立体几何的研究对象和基本元素。
2. 掌握空间点、线、面的位置关系，培养空间想象能力。
教学重点：立体几何的概念，空间点、线、面的位置关系。
教学难点：立体几何的概念的理解，空间点、线、面的位置关系的应用。
教学过程：一、导入：引导学生回顾平面几何的基本概念，引出立体几何的概念。
二、新课：讲解立体几何的研究对象和基本元素，通过实物展示和图形绘制，介绍空间点、线、面的位置关系。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
四、小结：总结本节课的主要内容，强调立体几何的概念和空间点、线、面的位置关系的重要性。
第二章：直线与平面2.1 直线与平面的位置关系教学目标：1. 理解直线与平面的位置关系，掌握直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：直线与平面的位置关系，直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
教学难点：直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法的运用。
教学过程：一、导入：通过实例引入直线与平面的位置关系。
二、新课：讲解直线与平面的位置关系，介绍直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
四、小结：总结本节课的主要内容，强调直线与平面的位置关系和判定方法的重要性。
第三章：平面与平面3.1 平面与平面的位置关系教学目标：1. 理解平面与平面的位置关系，掌握平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：平面与平面的位置关系，平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
教学难点：平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法的运用。
教学过程：一、导入：通过实例引入平面与平面的位置关系。
二、新课：讲解平面与平面的位置关系，介绍平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
中考数学平面几何与立体几何的综合应用题分析
中考数学平面几何与立体几何的综合应用题分析中考数学试卷中，综合应用题是考察学生对知识点的综合运用能力的重点部分。
其中，平面几何与立体几何的综合应用题涉及到平面图形的性质、线段的长度、角的大小，以及立体图形的体积、表面积等多个知识点。
本文将就中考数学试卷中平面几何与立体几何的综合应用题进行分析。
一、平面几何的综合应用题平面几何的综合应用题主要考察学生对平面图形性质的理解和运用能力。
例如，题目中给出一个图形，要求求解该图形的面积、周长或者特定线段的长度等。
以解决平面几何的综合应用题为例，为了解决这类问题，我们可以采取如下步骤：1. 仔细阅读题目，理解题目的要求；2. 根据题目给出的条件，分析图形的性质；3. 运用所学的知识，设置适当的数学模型；4. 进行计算，得出最终结果；5. 检查计算结果是否符合题目要求。
解决平面几何的综合应用题需要学生综合运用知识，灵活运用定理和公式来解答问题。
因此，在平时的学习中，学生不仅要掌握平面几何的基本概念和性质，还要注意培养综合运用知识的能力。
二、立体几何的综合应用题立体几何的综合应用题主要考察学生对立体图形的体积、表面积等性质的理解和应用能力。
例如，题目中给出一个立体图形，要求求解该立体图形的体积、表面积或者特定线段的长度等。
解决立体几何的综合应用题的步骤与解决平面几何的综合应用题类似，也是需要学生仔细阅读题目、理解题目的要求，然后根据给出的条件，分析立体图形的性质并设置适当的数学模型，进行计算和检查结果的过程。
在解决立体几何的综合应用题时，需要注意对图形的分析和建模能力。
学生应该能够将问题转化为数学语言，从而运用已经学到的数学公式和定理进行计算。
同时，也要注意对结果的合理性进行判断，确保应用题的解答符合题目的要求。
总结：中考数学试卷中的平面几何与立体几何的综合应用题是一个综合性较强的部分。
解答这类题目需要学生灵活运用所学的知识，理解题目要求，建立适当的数学模型，进行计算并检查结果的合理性。
立体几何在生活中的运用
n 活跃起来了） 这时，一位同学递过来一个黑色的橡皮
n 筋，我把它平放在讲桌上，用一只粉笔竖直穿过橡皮筋 n 的“圆心”，“请注意！见证奇迹的时刻到了。”同学们更
n 是哄堂大笑，我再次强调：“注意！注意！我要用一把锋
立体几何在生活中的运用
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• 立体几何在生活中的应用：
• 金字塔被设计成四棱锥
• 三棱柱可用于光的分解
• 水壶类似于圆柱、圆台的形状
• 用来做篮球足球棒球这些体育用球
用于做轴承的滚珠 用作儿童玩具，比如玩具枪的子弹
用作首饰，比如项链耳环
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• 1 圆在生活中的应用：
• 首先，在占有材料相同的情况下，圆形具有最大的面积 。几何学告诉我们，这时圆的面积比其他任何形状的 面积都来得大，如果有相同数量的材料希望做成容积 最大的东西，当然圆形是最合适的了。自来水管、煤 气管等，就是对这一自然现象的仿造。
而逐渐形成的
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•
2 动物的身长与体重
•
问题描述：四足动物的躯干与其体重之间生猪的身长估计
出它的体重．
• 问题分析与模型建立：同第一个问题，对此问题如果陷入生物学复 杂的生理结构的研究，将会得出太复杂的模型，而失去使用价值．在这 里我们用类比方法借助于弹性力学的结果，建立一个粗略的几何模型． 把四足动物的躯干视为圆柱体，长度为，直径为，底面积为．如图8所 示，将此圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹 性力学的研究结果．
因此，茎的形状，也是植物对自然环境适 应的结果。
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立体几何的综合应用教案
立体几何的综合应用教案一、教学目标本教案旨在帮助学生掌握立体几何的基本概念、基本运算及其在现实生活中的应用。
二、教学内容1. 空间几何体的概念及性质：点、线、面、体的概念和三视图的绘制方法。
2. 空间几何体的参数方程：直线、平面、圆锥、球的参数方程。
3. 空间几何体的运算：点、线、面、体之间的关系和平移、旋转、对称等运算的实现方法。
4. 立体几何的应用：空间图形的表达和计算、工程实例的应用。
三、教学过程1. 概念讲解首先，我们要讲解空间几何体的概念及其性质，包括点、线、面、体的概念和三视图的绘制方法。
通过画图和实例讲解，让学生更好地掌握这些几何体的概念和性质。
2. 参数方程接着，我们要教授空间几何体的参数方程，包括直线、平面、圆锥、球的参数方程。
通过解题和实例讲解，让学生掌握参数方程的计算方法和实际应用。
3. 运算然后，我们要讲解几何体的运算，包括点、线、面、体之间的关系和平移、旋转、对称等运算的实现方法。
通过画图和实例讲解，让学生了解几何体之间的关系以及这些运算的实际应用场景。
4. 应用最后，我们要让学生了解立体几何在现实生活中的应用，包括空间图形的表达和计算、工程实例的应用等。
通过实践任务和案例分析，让学生掌握立体几何在实际工程领域中的应用方法和技巧。
四、教学方法1. 课堂讲授：通过黑板、幻灯片等方式，向学生介绍各种概念、方程和方法。
2. 实践演练：通过解题、画图等实践任务，让学生巩固理论知识，提高实际操作技能。
3. 案例分析：通过分析工程实例，让学生了解立体几何在实际工程中的应用场景和技术要点。
五、教学评估我们将对学生的学习进行多角度、全面性的评估，包括测试、考试、课堂表现、实践任务等多个方面。
评估结果将反馈给学生和家长，及时帮助学生针对自身问题进行学习调整和提高。
六、教学资源1. 课本资料、教学课件等。
2. 工程案例、解题实例等。
3. 计算机软件、绘图工具等。
七、教学反思经过本次教学，我们发现学生在空间几何体的概念理解和应用方向上，还存在着一些薄弱之处。
立体几何在现实生活中的应用
立体几何在现实生活中的应用立体几何是数学的一个分支，研究物体的三维空间形态和位置关系。
立体几何在现实生活中有广泛的应用，下面是一些例子：
1.建筑设计：建筑师在设计建筑物时，会使用立体几何的知识来确定建筑物的外形和内部空间的布局。
2.装配工程：在装配工程中，工程师会使用立体几何的知识来确定零件之间的连接方式和位置关系。
3.装卸货物：在装卸货物时，工人会使用立体几何的知识来确定货物的体积和体积与重量的比值，以便更有效地装卸货物。
4.航空工程：在航空工程中，工程师会使用立体几何的知识来设计飞机的外形和内部结构。
5.摄影技术：摄影师在拍摄照片时，会使用立体几何的知识来调整相机的焦距、景深和构图等。
这些例子只是立体几何在现实生活中的应用的一小部分，实际上立体几何在许多领域都有广泛的应用。
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立体几何的应用--以牛奶的包装为例
立体几何的应用 --以牛奶的包装为例摘要：本节课在信息技术的支持下，通过“某产品的包装”为案例，呈现了师生之间通过数学建模活动来完成立体几何的应用学习。
在信息技术以及实际操作的双重辅助下，学生自主进行问题研所，完成任务探究，从而建立数学模型来解决实际生活当中的问题，感知数学建模的核心素养，提升学生的思维能力和创新能力，为学生的综合素养的促进奠定基础。
关键词：数学建模；立体几何；教学实践1.教学内容“立体几何的应用——以某产品的包装为例”是高中人教A版的知识点，对于高中阶段的学生来说，正是从数学知识的掌握理解到自主完成数学建模的一个过程。
本节课是学生在学习了空间几何的基础上，通过建立立体几何在实际生活应用问题，师生共同完成选题、开题、做题、结题全过程。
通过本节课的学习，学生进一步加深对立体几何的实际应用，熟悉数学建模活动的流程，为以后的自主学习提供方法和思路。
1.教学目标1.能通过以实际问题对抽象的立体几何知识进行探究，构建适当的数学模型，借助信息技术来求解模型，最终可以结合知识解决生活化数学知识。
2.经历数学建模活动的过程，掌握数学建模解决实际问题的策略方法，体会到数学知识与生活的关联程度，在探究数学知识过程中促进综合能力发展。
1.学生学情分析本节课面对的对象是高中阶段的学生，他们的思维比较活跃，并且有独立思考的能力，可以通过实践操作来进行知识探索，并且具有丰富的数学知识经验。
“立体几何的应用——以某产品的包装为例”的内容是从学生生活角度开展的，便于学生深入了解立体几何的相关知识，学生已经学习了空间立体几何的相关知识，掌握了空间几何体的三视图、空间几何体的表面积与体积等知识点，具备了从观察几何图形到建立数量关系的逻辑推理能力，这都为本节课数学建模解决生活化问题提供知识保障。
1.教学策略分析1.通过数学建模的知识内容，在活动当中设计值得思考的问题，引导学生利用掌握的空间几何知识来在生活化角度开展建模活动，从而归纳出数学建模的构建方法，使学生能够全面的理解该方面内容。
函数与立体几何的综合应用
函数与立体几何的综合应用在数学领域中，函数与立体几何是两个重要的概念。
函数是一种特殊的关系，用以描述变量之间的依赖关系；而立体几何则关注于三维空间中物体的形状和性质。
本文将探讨函数与立体几何的综合应用，并分析它们在实际问题中的应用。
一、函数与立体几何的基本概念首先，我们回顾一下函数与立体几何的基本概念。
函数是一种关联每个自变量和唯一的因变量的数学规则。
在数学中，我们用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
函数可以用来描述一条曲线或曲面上的所有点。
立体几何则研究在三维空间中的物体形态和特征，例如体积、表面积和边长等。
立体几何的基本要素包括点、线和面，通过它们的组合我们可以构建出各种复杂的几何体。
二、函数与立体几何的应用领域函数与立体几何的应用广泛存在于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
下面我们将分别介绍它们在这些领域的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，函数与立体几何常常一起应用于描述和分析物体的运动和变形。
以机械运动为例，运动物体的轨迹可以用函数来描述，例如匀速直线运动的位移函数s(t)=vt，其中s表示位移，v表示速度，t 表示时间。
另外，函数还可以用来描述力的作用关系，例如胡克定律F=kx，其中F表示力的大小，k为弹性系数，x表示弹簧的伸长量。
而立体几何则可以用来分析物体的形态和结构，例如在力学中研究物体的内部应力分布和变形情况等。
2. 工程学中的应用在工程学中，函数与立体几何经常被应用于建筑设计、结构力学和流体力学等方面。
例如，在建筑设计中，我们可以利用函数来描述建筑物的形状和内部布局，从而进行结构分析和优化设计。
而在结构力学中，函数可以用来描述材料的应力-应变关系，从而研究材料的强度和稳定性。
此外，流体力学中的函数与立体几何可以用来描述液体和气体的流动形态和速度分布等。
3. 计算机图形学中的应用在计算机图形学中，函数与立体几何是实现三维图像建模和渲染的基础。
例如，通过使用函数来描述曲面，可以生成真实感的三维模型。
立体几何最全教案
立体几何最全教案doc教案章节一：立体几何的基本概念教学目标：1. 了解立体几何的研究对象和基本概念；2. 掌握空间点的表示方法；3. 理解空间直线、平面和立体图形的性质。
教学内容：1. 立体几何的研究对象和基本概念；2. 空间点的表示方法；3. 空间直线、平面和立体图形的性质。
教学活动：1. 引入立体几何的研究对象和基本概念；2. 讲解空间点的表示方法，举例说明；3. 通过实物展示和几何画板演示，引导学生理解空间直线、平面和立体图形的性质；4. 练习题巩固所学知识。
教学评价：1. 学生能准确描述立体几何的研究对象和基本概念；2. 学生能正确表示空间点；3. 学生能理解空间直线、平面和立体图形的性质，并能够运用到实际问题中。
教案章节二：立体图形的面积和体积教学目标：1. 掌握立体图形的面积和体积的计算方法；2. 能够运用面积和体积的概念解决实际问题。
教学内容：1. 立体图形的面积和体积的定义；2. 常见立体图形的面积和体积计算方法；3. 面积和体积的应用。
教学活动：1. 引入立体图形的面积和体积的概念；2. 讲解常见立体图形的面积和体积计算方法，举例说明；3. 运用面积和体积的概念解决实际问题；4. 练习题巩固所学知识。
教学评价：1. 学生能准确计算常见立体图形的面积和体积；2. 学生能运用面积和体积的概念解决实际问题。
教案章节三：立体图形的对称性教学目标：1. 理解对称性的概念；2. 掌握立体图形的对称性质；3. 能够运用对称性解决实际问题。
教学内容：1. 对称性的定义和分类；2. 立体图形的对称性质；3. 对称性在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引入对称性的概念；2. 讲解立体图形的对称性质，举例说明；3. 运用对称性解决实际问题；4. 练习题巩固所学知识。
教学评价：1. 学生能理解对称性的概念和分类；2. 学生能掌握立体图形的对称性质；3. 学生能运用对称性解决实际问题。
教案章节四：立体图形的公理和定理教学目标：1. 理解立体图形的公理和定理的概念；2. 掌握立体图形的公理和定理的证明方法；3. 能够运用公理和定理解决实际问题。
立体几何在生活中的运用
解：很多同学认为相等或互补，C正确。其实这是错误的 。应该是D 对：既不相等也不互补。为了讲通该题我让同 桌相互配合，每人拿一本书，打开就得到了两个平面且摆 成如图的模型。由于&⊥β而& 绕L'可来回转动。但两个面 始终保持垂直。所以这两个二面角不会相等也不会互补， 并且学生也易于理解了。
总结
总结
• 我总结说，我们应该多关注生活、热爱生活，从中我们会得到更大的乐趣， 下去之后我们再思考一下，其他情况。
变式训练二： 若一个二面角所在的两个半平面，分别和另外一个二面角
的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小关系（ ）。 A .相等 B.互补 C.相等或互补 D .既不相等也不互补
• 1 圆在生活中的应用：
• 首先，在占有材料相同的情况下，圆形具有最 大的面积。几何学告诉我们，这时圆的面积比 其他任何形状的面积都来得大，如果有相同数 量的材料希望做成容积最大的东西，当然圆形 是最合适的了。自来水管、煤气管等，就是对 这一自然现象的仿造。
• 其次，圆柱形具有 最大的支撑力。
• 布鲁纳说：“最好的学习动机是学生对 所学材料有内在兴趣。”如果我们在平 时教学或处理习题时都能通过实际生活 调动学生的学习兴趣，能使学生透过现 象看到问题的本质，使学生养成钻研探 索的学习习惯，在变中求进、在变中求 新，对于培养创新型人才具有十分重要 的意义。
Bye Bye
•
2 动物的身长与体重
•
问题描述：四足动物的躯干与其体重之间有什么关系？此问题有
一定的实际意义．比如在生猪收购站，工作人员希望能从生猪的身长
估计出它的体重．
• 问题分析与模型建立：同第一个问题，对此问题如果陷入
生物学复杂的生理结构的研究，将会得出太复杂的模型，而失
六年级数学教案立体几何的应用
六年级数学教案立体几何的应用六年级数学教案教学目标：1. 理解立体几何的基本概念和特点；2. 掌握几何体的命名、分类和性质；3. 能够运用立体几何的知识解决实际问题。
教学重点：1. 立体几何的基本概念和特点；2. 几何体的命名、分类和性质。
教学难点：应用立体几何的知识解决实际问题。
教学准备：1. 教学工具：课件、投影仪、模型等；2. 教学资源：相关数学教材、试题、作业等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示一张图片，让学生观察并总结图片中的几何体特点；2. 学生回答后，教师引出立体几何的概念，简要介绍立体几何的基本内容。
二、讲解与示范（15分钟）1. 教师以幻灯片形式展示不同的几何体图像，包括立方体、圆柱体、圆锥体、球体等；2. 教师讲解每个几何体的命名规则和基本性质，提供实例帮助学生理解。
三、巩固与拓展（25分钟）1. 学生分小组进行讨论，讨论以下问题：a. 目前你所了解到的几何体有哪些？b. 请你试着写出几个几何体的名字，并列出它们的性质。
2. 学生展示自己的讨论结果，教师进行点评和引导。
四、练习与运用（30分钟）1. 学生进行练习题，巩固立体几何的基本内容；2. 学生在小组内分工合作，设计一个能够运用立体几何知识解决实际问题的情境，并进行展示。
五、总结与延伸（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调学生的学习成果；2. 教师提供相关延伸学习资料，鼓励学生继续探索立体几何的应用领域。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的课后作业，要求学生巩固立体几何的知识；2. 教师提醒学生预习下节课内容，做好充分准备。
以上为六年级数学教案的简要描述，通过合理的内容安排和教学方式，可以提高学生对立体几何知识的理解和应用能力。
教师在教学过程中要注重学生的互动参与，激发学生的学习兴趣，提高课堂效果。
同时，根据学生的实际情况进行差异化教学，确保每个学生都能够获得有效的学习收获。
立体几何大题15种归类专题
立体几何大题15种归类专题立体几何作为数学的一个重要分支，主要研究三维空间中图形的性质、变换和度量。
在高考或中考等数学考试中，立体几何大题往往占据一定的分值，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力。
以下是对立体几何大题进行的15种归类专题简述，包括内容分析和特点：1. 平行与垂直关系内容分析：涉及直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判定和性质。
特点：需要熟练掌握平行与垂直的判定定理和性质定理，能够灵活运用。
2. 空间角内容分析：包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角。
特点：空间角的计算通常需要构造辅助线或面，将空间问题转化为平面问题来解决。
3. 空间距离内容分析：涉及点到直线、点到平面、直线到平面的距离计算。
特点：空间距离的计算通常依赖于空间角和三角形的性质。
4. 三视图与直观图内容分析：根据物体的三视图或直观图，推断物体的形状或计算相关尺寸。
特点：要求考生具备良好的空间想象能力和图形识别能力。
5. 柱体、锥体、台体的表面积与体积内容分析：涉及基本几何体的表面积和体积的计算。
特点：需要熟练掌握各类几何体的表面积和体积公式，能够正确应用。
6. 球的表面积与体积内容分析：考查球的表面积和体积的计算，以及与其他几何体的结合问题。
特点：球的表面积和体积计算通常需要与其他几何体相结合，考查综合应用能力。
7. 空间向量的应用内容分析：利用空间向量解决立体几何问题，如求空间角、空间距离等。
特点：空间向量的引入为立体几何问题提供了新的解决工具，使问题更加简洁明了。
8. 组合体的分析与计算内容分析：涉及由多个基本几何体组成的组合体的分析和计算。
特点：需要综合运用所学的几何知识，对组合体进行分解和组合，考查分析问题和解决问题的能力。
9. 立体几何中的最值问题内容分析：涉及立体几何中的最值问题，如距离的最大值、体积的最小值等。
特点：最值问题通常需要运用不等式、函数等数学知识进行求解，考查综合运用能力。
高考数学立体几何备考复习教案
高考数学立体几何备考复习教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高空间想象能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生掌握立体几何的解题方法，提高解题能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习立体几何的兴趣，培养学生的创新意识。
二、教学内容1. 立体几何的基本概念：点、线、面的位置关系，空间向量。
2. 立体几何的性质：平行公理，空间向量的运算律。
3. 立体几何的定理：平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。
4. 立体几何的计算：体积、表面积、角、距离的计算。
5. 立体几何的综合应用：空间几何体的结构特征，几何体的运动变化。
三、教学重点与难点1. 教学重点：立体几何的基本概念、性质和定理，立体几何的计算方法。
2. 教学难点：立体几何的综合应用，空间想象能力的培养。
四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论、探索相结合的方法，引导学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理。
2. 通过案例分析、几何画板演示等手段，培养学生的空间想象能力。
3. 组织学生进行合作学习，提高学生的解题能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习与作业：检查学生完成的练习和作业，评估学生的掌握程度。
3. 考试成绩：定期进行立体几何的测试，分析学生的成绩，了解学生的学习效果。
教案第一课时：立体几何的基本概念1. 教师讲解立体几何的基本概念，如点、线、面的位置关系，空间向量。
2. 学生通过案例分析，理解并掌握基本概念。
第二课时：立体几何的性质1. 教师讲解立体几何的性质，如平行公理，空间向量的运算律。
2. 学生通过几何画板演示，直观地理解立体几何的性质。
第三课时：立体几何的定理1. 教师讲解立体几何的定理，如平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。
2. 学生通过案例分析，掌握立体几何的定理。
立体几何应用题
立体几何应用题在日常生活中，我们很少直接接触到几何学的概念，然而立体几何作为数学中的一个重要分支却广泛应用在我们的生活之中。
从建筑设计到工程制图，从艺术造型到家具制作，立体几何无处不在，为我们的生活和工作提供了无限便利。
首先，立体几何在建筑设计中起着至关重要的作用。
在设计一座建筑物时，建筑师需要考虑到空间的利用、结构的稳定等诸多因素。
通过立体几何的知识，建筑师可以精确计算出建筑物的体积、表面积，从而更好地进行布局和设计。
此外，借助立体几何的原理，建筑师可以设计出各种形态独特、风格各异的建筑作品，为城市增添了色彩和活力。
其次，立体几何在工程制图中也有着广泛的应用。
在工程设计中，准确的立体几何知识可以帮助工程师们绘制出精准的工程制图，指导施工人员进行施工。
例如，在设计一座桥梁时，工程师需要精确计算桥梁的几何参数，确保其结构稳定。
通过立体几何的应用，工程师们可以有效地解决各种工程难题，保证工程质量。
另外，立体几何在艺术造型领域也有着独特的地位。
许多雕塑家、画家都会运用立体几何的原理进行作品创作。
通过立体几何的几何分析和形体构图，艺术家可以更好地捕捉形体的结构和比例，使作品更加生动和具有张力。
在雕塑艺术中，立体几何的应用更是不可或缺，许多著名的雕塑作品都是基于几何学原理进行构思和制作的。
此外，立体几何还广泛应用于家具制作和家居设计领域。
在设计一款家具时，设计师需要考虑到家具的结构强度、美观度和实用性。
通过立体几何的知识，设计师可以设计出符合人体工学原理的家具，使人们在使用过程中更加舒适和方便。
同时，立体几何的应用还可以为家居设计带来更多的创意和可能，使家居空间更加美观和舒适。
综上所述，立体几何作为数学中的一个重要概念，在我们的日常生活和工作中有着广泛的应用。
无论是建筑设计、工程制图、艺术造型还是家具制作，立体几何都扮演着不可或缺的角色，为我们的生活带来了便利和美好。
因此，我们应该更加重视立体几何的学习和应用，发挥其在各个领域的作用，推动社会的发展和进步。
2023年上海版数学立体几何应用题及答案
2023年上海版数学立体几何应用题及答案一、题目描述在2023年上海版数学试卷中，立体几何应用题是一个重要的考点。
本文将为大家介绍2023年上海版数学试卷中出现的一道典型立体几何应用题，同时附上详细的解题答案。
二、题目分析2023年上海版数学试卷中的立体几何应用题主要考察学生对几何形体的认识和应用能力。
该题目可能涉及到体积、表面积、相似性等知识点。
解答该题需要学生综合运用几何知识进行分析和推理。
三、题目示例在这里，我们给出一道典型的立体几何应用题，供大家进行思考和解答。
题目：某建筑设计师需要设计一个具有特殊形状的池塘。
这个池塘的形状是一个四棱锥，底面是一个边长为4米的正方形，高度为8米。
现在，设计师需要在池塘的表面整体粘贴特殊颜料，每平方米需要用12升颜料。
问设计师需要准备多少升颜料才能完成整个粘贴过程？四、解题过程为了解答这道立体几何应用题，我们需要计算该四棱锥的表面积，并结合题目给出的颜料使用量计算所需颜料的总量。
下面是详细的解题过程：解题步骤一：计算底面的面积该题目中的四棱锥的底面是一个边长为4米的正方形，因此底面的面积为4米 × 4米 = 16平方米。
解题步骤二：计算侧面的面积该题目中的四棱锥的高度为8米，因此计算侧面的面积需要计算四棱锥的四个侧面的面积。
由于四棱锥的形状为正方形的四个等腰直角三角形，我们可以通过计算一个等腰直角三角形的面积，再乘以4来得到侧面的面积。
首先，计算一个等腰直角三角形的面积。
由于该三角形的底边长为4米，高为8米，可使用三角形面积公式：面积 = 底边 ×高 ÷ 2。
计算结果为 4米 × 8米 ÷ 2 = 16平方米。
然后，计算侧面的面积。
侧面的面积 = 16平方米 × 4 = 64平方米。
解题步骤三：计算总面积该题目中的四棱锥的总面积等于底面的面积加上侧面的面积，即总面积 = 16平方米 + 64平方米 = 80平方米。
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立体几何的综合应用一、 知识梳理： 线面平行的证法，线线角、线面角、二面角、点到平面的距离等的求法，用类比、转化、 归、构造等方法解题。
二、 训练反馈 1如图，以长方体 ABCD-A i B i CD 的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是 （注：只写出其中一个， A — ABC 等2、在平面几何中有: 并在图中画出相应的四面体）Rt △ ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为P — ABC 中，PA PB PC 两两互相垂直，且 2 一结论，在三棱锥 2 2 2 —ABC 的高为 h ,则结论为 _1/a +1/b +1/c = 1/ h 3、如图一，在△ ABC 中，AB 丄AC ADL BC, D 是垂足，则 AB 2题：三棱锥 A — BCD （图二）中，ADL 平面 ABC AC L 平面 BCD S ABC S BCO S BCD ， 上述命题是 （A ） A.真命题 B.假命题C •增加“ ABL AC 的条件才是真命题D.增加“三棱锥A — BCD 是正三棱锥”丄 b 2 PA=a PB=b, PC=C 此三棱锥 P h ，则丄 a 丄。
类比这 h 2 BD BC （射影定理）。
类似有命 O 为垂足，且 0在厶BCD 内，贝U 的条件才是真命题图4、下列四个正方体图形中， AB// MNP 的图形的序号疋DP 分别为其所在棱的中点，能得出 图一A 、B 为正方体的两个顶点， ①③（写出所有符合要求的图形序号） ① ②③ ④5、如图，在正方体 ABCD-A i B i GD 中，EF 是异面直线 AC 与 A i D 的公垂线,则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线(A )中点，AC>AD设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为二面角P—BC-A的平面角为，则、、的大小关系是(A )A. < <B. < <C.< <D. < <三、典型例题例1.如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1G的侧棱BB上一点，PM L BB交AA于点M, PN^ BB 交CC 于点N.(1)求证：CC丄MN(2)在任意△ DEF中有余弦定理：DE=DF+EF —2DF- EF COS DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.(1)证：••• CC//BB 1 CC丄PM CC丄PN 二CC平面PMN CC丄MN⑵解：在斜三棱柱ABC-ABG中，有S ABB1A1 s Bg S ACC1A1 2S BC"S AC^COS其中为平面CCB1B与平面CCAA所组成的二面角.•••CC丄平面PMN •••上述的二面角为/ MNP在厶PMN KPM=PN+MN— 2PN- MN3OS / MNPPhMcc2=PN2Cc2+MrNcc2 —2 ( PN- CC) • ( MN- CC) COS / MNPA.有且仅有一条B.有二条6、如图，在三棱锥P—ABC中，PA!平面ABC /C.有四条AB的由于 S BCC 1B1PN CC1, S ACC 1A 1MN CC 1,S ABB 1A 1PM BB 1，•有 S A B B 1A 1 2 2 S BCC 1B 1 S ACC 1A 1 2S BCC 1B 1 S ACC 1A 1 COS 2S , 中，侧面AABB 丄底面ABC 侧棱AA 与底面ABC 成 60°的角,1 AA=2 .底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为 G 点。
E 是线段BC 上一点，且BE —BC .3 例2、如图，在斜三棱柱 ABC- ABC i(1) 求证：GE //侧面 AAB i B ; (2) 求平面 BGE 与底面ABC 所成锐二面角的大小 解：(1)延长BE 交BC 于F,1 1• -BF= — B 1C 1= B 2 2 •••G 为AAEC 的重心，「.A 、G 、F 三点共线，且 FE 1 ——=—,• GE// AB ,FB 13 又 GE 侧面 AABB, • GE//侧面 AABB (2)在侧面 AABB 内，过 B 作B 1H 丄AB ，垂足为H,：•侧面 • B 1H 丄底面 ABC 又侧棱 AA 与底面ABC 成 60°的角，AA F 2 , •••△ BiEO ^A FEB, BE = C,从而F 为EC 的中点. AA i B i B 丄底面 ABO•••/ B 1 BH=60 °,BH=1, BH= ,3 .在底面 ABC 内,过H 作HT 丄AF ，垂足为T,连 B 1T.由三垂线定理有 B T 丄AF,又平面BGE 与底面ABC 的交线为AF,「./ B TH 为所求二面角的平面角. •••AH = AB + BH=3,/HAT=30°, •HT = AH si n30 0 =3,2在 RtA B HT 中，tan/ B 1 TH= B 1H = , HT 3 从而平面BGE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为 arctan 乙33 例 3、如图，在矩形 ABCDK AB= 丁3 , BC= a ,又 PA!平面 ABCD PA= 4. (1) 若在边BC 上存在一点 Q 使PQL QD 求a 的取值范围; (2)当BC 上存在唯一点 Q 使PQL QD 寸， 求异面直线 AQ 与 PD 所成角的大小；⑶ 若a = 4,且PQL QD 求二面角 A - PD-Q 的大小.A B方法一(1)解：以 DA 、AB 、AP 为 x 、y 、 巳0, ,3 , 0) , C ( — a , 设Qt ,戎，z 轴建立空间直角坐标系，则 、3 ,0),0)，则D — a , 0 , PQ = (t , ,3 , — 4) , DQ = (t + a , ■. 3 , 0) 0) , P (0 , 0, 4)•/ PQL QD •- PQ a 》2 ■. 3 .⑵解：••• BC 上存在唯一点AQ = ( — ■ ；3 , ■. 3 ,DQt(t0),AQ PDa) 3 = 0PQ 丄QD •△= PD = ( — 2 .3 , 0 , •- cos AQ , PD|AQ ||PD |故异面直线AQ 与PD 所成角为arccos22t + at + 3 = 0①•- △= a — 12》0a 2— 12= 0 a = 2 3 , t =— .3—4)6 ■ 42 6 2,714、4214 .QML AD Mt , 0 , 0) (3)解：过 Q 作 QM CD 交 AD 于 M 贝U•/ PAL 平面 ABCD •- PAL QM 又 QML AD •- QML 平面 PAD 过M 作MN L PD 于 N,连结NQ 由三垂线定理知 QN L PD •••/ MN 健二面角 A — PD- Q 的平面角设 N (m 0 , n ),则 NM = (t — m 0 ,—n ) , NQ = (t — m ,3 , — n )ND = ( — 4— m , 0, — n )PD 共线，• NM •/ MNL PD, ND PD cos MN , NQ NM NQ| NM || NQ | 0 ,PD2n 22ND 得：m + n — t = 0 , n — n = 4 ②2n 2 i2n 2 3由①得：t =— 1或t = — 3,由②得:当t =— 1时, cos NM ,ND 二面角 A- PD- Q 的大小为arccos,15----------- 当 t =— 3 时，cos NM ,ND 5J5卡 、门或 arccos —57方法二(1) 解：设 BQ= t ,贝U PQ = 19 +12, QD = 3 + (a — t )2, PD = 16+ a 22 2 2 2由 PQL QD 得：19+1 + 3+ (a — t ) = 16+ a ,即 t — at + 3 = 0 a 》2 .3 . (2) 解：••• BC 上存在唯一点 Q 使 PQLQD •△= a 2—12= 0 是BC 中点 取 AD 中点 R, PA 中点 S ,连 RS RC 贝U RS// PD RC/ AQ 成角 2a — 12>a = 2、3 , t = .. 3 ,故 QRSC 就是异面直线AQ 与 PD 所RS -PD 2-.7 , RC AQ 、6 , SC 、SA 2 AC 2 •、192 2 2RS 2 RC 2 SC 2 2RS RC⑶ 解：同方法一得/ MN 健二面角A — PD- Q 的平面角•- cos RSC也故异面直线 14 AQ 与 PD 所成角为arccos 丄丝.14在Rt △ PAD中,MNPANQ DQPQ PDNQMB 4 tMN -------- 在Rt△ PQD中,PD . 219 t2 3 (4 t)2cos MNQ 仝NQ42_ j4(4 _t)19 t2 3 (4 t)2由①得t =1或t =3当t = 1时, 当t = 3时, cos MNQ7 15•••二面角A- PD- Q的大小为arccos7.7或arccos——5 7四、巩固练习1、在下列关于直线A .若I 卩C.若I丄卩m与平面丄卩,则l丄卩,则I2、如图，在棱长为2丄// a.的命题中，真命题是（B）B.若I丄卩且 //D .若A 3 =m K I卩,则I丄a.// m 则I //的正方体ABCD A^B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是C®、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于A. .J05D.F平移至点O，则点2.B （提示：将D1F中的点D1移至C1D1的中点，记为点G，由正方体棱长为2，可求得D1F OG OE \ 2，则cos3 .155 )3、如图，定点A和B都在平面PC AC。
那么，动点C在平面A. 一条线段，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点内，定点P内的轨迹是B.D.PB , C 是（）一个圆，但要去掉两个点半圆，但要去掉两个点内异于A和B的动点，且B （提示：由三垂线定理的逆定理可知AC BC，故C在以AB为直径的园上，但除去A、B两点）设P是60的二面角丨内一点，PA 平面,PB 平面，A, B为垂足，PA 4,PB 2,则AB的长为()A. 2 3B. 2、.5C. 2 . 7D. 4.24. C （提示：由二面角知识可得APB 1200，根据余弦定理解得AB 2、. 7.）5、由图（1）有面积关系：S PABS PABPA PB则由PA PB '图(1)（2）有体积关系：V P ABC图⑵5P PA誌（提示：类比即得6、如图,的角为在正三棱柱，贝U =ABCAB i C 中,(A. B.6.D （提示：由正三棱柱特点,的平行线交平面DGsinAD已知AB=1,C.D在棱BB上，且B[=1,若AD与平面AACQ所成.<10arcs in4 D.•晶arcsin —44取AC中点AC i于点G，则必有DGBE 32 -，即AD 2 4E ,连接BE ,可得BE 平面AC i，再过点D作BE平面AC1，连AG ,则DAG为，在Rt ADG中,v 6arcsin .)47、在棱长为4点P在棱CC上，且CC=4CP.（I ）求直线AP与平面BCCB1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（II ）设O点在平面DAP上的射影是H,求证：（川）求点P到平面ABD的距离.的正方体ABCD-ABCD中,0是正方形A B i CD的中心,DH丄APCP解：⑴连接BP , AB 平面BCC& , AP与平面BCG 所成的角就是APB 。