立体几何的综合应用.

立体几何的综合应用

一、 知识梳理： 线面平行的证法，线线角、线面角、二面角、点到平面的距离等的求法，用类比、转化、 归、构造等方法解题。 二、 训练反馈 1如图，以长方体 ABCD-A i B i CD 的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是 （注：只写出其中一个， A — ABC 等

2、在平面几何中有: 并在图中画出相应的四面体）

Rt △ ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为

P — ABC 中，PA PB PC 两两互相垂直，且 2 一结论，在三棱锥 2 2 2 —ABC 的高为 h ,则结论为 _1/a +1/b +1/c = 1/ h 3、如图一，在△ ABC 中，AB 丄AC ADL BC, D 是垂足，则 AB 2

题：三棱锥 A — BCD （图二）中，ADL 平面 ABC AC L 平面 BCD S ABC S BCO S BCD ， 上述命题是 （A ） A.真命题 B.假命题

C •增加“ ABL AC 的条件才是真命题

D.增加“三棱锥A — BCD 是正三棱锥”

丄 b 2 PA=a PB=b, PC=C 此三棱锥 P h ，则丄 a 丄。类比这 h 2 BD BC （射影定理）。类似有命 O 为垂足，且 0在厶BCD 内，贝U 的条件才是真命题

图

4、下列四个正方体图形中， AB// MNP 的图形的序号疋

D

P 分别为其所在棱的中点，能得出 图一

A 、

B 为正方体的两个顶点， ①③（写出所有符合要求的图形序号） ① ②

③ ④

5、如图，在正方体 ABCD-A i B i GD 中，EF 是异面直线 AC 与 A i D 的公垂线,

则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线(A )

中点，AC>AD设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为二面角P—BC-A的平

面角为，则、

、

的大小关系是(A )

A. < <

B. < <

C.< <

D. < <

三、典型例题

例1.如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1G的侧棱BB上一点，PM L BB交AA于点M, PN^ BB 交CC 于点N.

(1)求证：CC丄MN

(2)在任意△ DEF中有余弦定理：DE=DF+EF —2DF- EF COS DFE.

拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

(1)证：••• CC//BB 1 CC丄PM CC丄PN 二CC平面PMN CC丄MN

⑵解：在斜三棱柱ABC-ABG中，有S ABB1A1 s Bg S ACC1A1 2S BC"S AC^COS其中为平面CCB1B与平面CCAA

所组成的二面角.

•••CC丄平面PMN •••上述的二面角为/ MNP在厶PMN K

PM=PN+MN— 2PN- MN3OS / MNP

PhMcc2=PN2Cc2+MrNcc2 —2 ( PN- CC) • ( MN- CC) COS / MNP

A.有且仅有一条

B.有二条

6、如图，在三棱锥P—ABC中，PA!平面ABC /

C.有四条

AB的

由于 S BCC 1

B

1

PN CC

1, S ACC 1A 1

MN CC 1,

S ABB 1A 1

PM BB 1，•有 S A B B 1A 1 2 2 S BCC 1B 1 S ACC 1A 1 2S BCC 1B 1 S ACC 1A 1 COS 2S , 中，侧面AABB 丄底面ABC 侧棱AA 与底面ABC 成 60°的角,

1 AA=

2 .底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为 G 点。E 是线段BC 上一点，且BE —BC .

3 例2、如图，在斜三棱柱 ABC- ABC i

(1) 求证：GE //侧面 AAB i B ; (2) 求平面 BGE 与底面ABC 所成锐二面角的大小 解：(1)延长BE 交BC 于F,

1 1

• -BF= — B 1C 1= B 2 2 •••G 为AAEC 的重心，「.A 、G 、F 三点共线，且 FE 1 ——=—,• GE// AB ,

FB 1

3 又 GE 侧面 AABB, • GE//侧面 AABB (2)在侧面 AABB 内，过 B 作B 1H 丄AB ，垂足为H,：•侧面 • B 1H 丄底面 ABC 又侧棱 AA 与底面ABC 成 60°的角，AA F 2 , •••△ BiEO ^A FEB, BE = C,从而F 为EC 的中点. AA i B i B 丄底面 ABO

•••/ B 1 BH=60 °,BH=1, BH= ,3 .

在底面 ABC 内,过H 作HT 丄AF ，垂足为T,连 B 1T.由三垂线定理有 B T 丄AF,

又平面BGE 与底面ABC 的交线为AF,「./ B TH 为所求二面角的平面角. •••AH = AB + BH=3,/HAT=30

°, •HT = AH si n30 0 =

3

,

2

在 RtA B HT 中，tan/ B 1 TH= B 1H = , HT 3 从而平面BGE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为 arctan 乙3

3 例 3、如图，在矩形 ABCDK AB= 丁3 , BC= a ,又 PA!平面 ABCD PA= 4. (1) 若在边BC 上存在一点 Q 使PQL QD 求a 的取值范围; (2)当BC 上存在唯一点 Q 使PQL QD 寸， 求异面直线 AQ 与 PD 所成角的大小；

⑶ 若a = 4,且PQL QD 求二面角 A - PD-Q 的大小.

A B