第八讲 动态规划与最短路径(2)_727104450
动态规划求最短路径的两种方法
动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。
逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。
例如，当K=4时，状态 它们到F 点需经过中途 点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路 有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。
这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。
运用动态规划模型解决最短路径问题
运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题王嘉俊（盐城师范学院数学科学学院09（1）班）摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。
运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。
传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。
文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。
关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径1 引言物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。
它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。
在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。
物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。
[1]经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。
我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。
遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。
文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。
为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。
动态规划------最短路径问题
动态规划------最短路径问题最短路径问题是动态规划的⼀个实例。
1.最短路径问题的描述2.举个例⼦来说明：求从 S 到 T 的最短路径。
3.思考⽅式4.利⽤动态规划求解问题依次考虑从 C 到 T 的最短距离。
考虑从 B 到 C 的最短距离考虑从 A 到 B 的最短距离考虑从 T 到 A 的最短距离每次都是最短距离。
在整个过程中，我们把我们的⽬标问题转化成了⼀个个的⼦问题，在⼦问题求最⼩值，最后解决了这个问题。
4.⼦问题的界定5.最短路程之间的依赖关系每⼀次计算的时候都是依据前⼀个⼦问题。
不需要⼀个⼀个计算。
每次计算都可以直接利⽤前⼀个问题的解。
6.⼦问题的优化原则6.利⽤动态规划求解是需要条件的，⼀个反例告诉你，动态规划求解的条件分析：假如从S 到 T 经过的节点依次是 A B C ，从C 到 T ，模10，我们选择上⾯的2 . 从 B 到 C，我们的两条路分别是 4 和 7 ，模10，我们选择上⾯的 4 ，那么，从B到T的最短距离就是 6；从 A 到 B ，我们的两条路分别是 6 和 9，模10，我们选择上⾯的路。
从 S 到 A ，两条路分别是 8 和 11，此时，模10，我们选择下⾯的路。
这时，路径就如上图中蓝⾊的路径了。
但是，这是最优的路径吗？显然不是，红⾊的路线才是最优的路径。
因为模10后，得到的结果为0，⽐ 1 ⼩。
为什么是错误的？因为破坏了动态规划的优化原则，它的问题和它的⼦问题的优化函数之间没有依赖关系。
⽐如，我们考虑最后⼀段即 C 到 T的距离，显然， 2是最优解，⽽不是 5 。
因此，破坏了优化原则的问题不能使⽤动态规划。
7.动态规划⼩结可以⽤于求解组合优化问题。
注意动态规划的最优化的原则。
8.代码这个问题的简化版本，编码实现：从矩阵的（0,0）位置到矩阵的（array.length-1,array[0].length-1）的位置的最⼩值。
动态规划实现最短路径问题
动态规划实现最短路径问题⼀、设计最短路径的动态规划算法 <算法导论>中⼀般将设计动态规划算法归纳为下⾯⼏个步骤： 1）分析最优解的结构 2）递归定义最优解的值 3）⾃底向上计算最优解的值 4）从计算的最优解的值上⾯构建出最优解⼆、最短路径的结构 从最优解的结构开始分析(我们假设没有权值为负的路径),对于图G<V,E>的所有结点对最短路径的问题，我们能知道⼀条最短路径的⼦路径都是最短路径。
假设⽤邻接矩阵W=w(ij)来表⽰输⼊带权图,考虑从结点i到结点j的⼀条最短路径p，如果p最多有m(m为有限值)条边。
若i=j，则p的权值为0⽽且不包含其他边。
若i ≠ j，可以将i到j的路径转换为i -> k、k->j。
三、⼀个给定的图 1）给定⼀个有向图 2）我们可以给出这个有向图的邻接矩阵四、C++实现1 #include <iostream>2 #include<fstream>3 #include<sstream>4 #include<vector>5 #include<string>6using namespace std;7const int Max_Num = 100;89 typedef struct Point {10int n; //点的个数11double p[Max_Num];12double q[Max_Num];13int root[Max_Num][Max_Num];14double w[Max_Num][Max_Num];15double e[Max_Num][Max_Num];16 }Point;1718 vector<Point> points;19 vector<string> res;20 vector<int> num;2122void file_read();23void createPoint();24void optimalBST();25void printRoot(Point P);26void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite);27 template <class Type>28 Type stringToNum(const string& str) {29 istringstream iss(str);30 Type num;31 iss >> num;32 iss.str("");33return num;34 }3536void file_read() {37string str2, str1 = "", result;38 ifstream fileRead("in.dat");39if (fileRead.is_open()) {40while (getline(fileRead, str2, '\n')) {41if (str2.find("") != -1) {42 str1.append(str2 + "");43 }44else {45 num.push_back(stringToNum<int>(str2));46if (str1 != "") {47 res.push_back(str1);48 }49 str1 = "";50 }51 }52 res.push_back(str1);53 fileRead.close();54 }55 }5657void createPoint() {58string temp;59 Point P;60for (int i = 0; i < res.size(); i++) {61 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字62int n = num[i];63 stringstream input(res[i]);64while (input >> temp) {65 temp_str.push_back(temp);66 }67 P.n = n;68for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);69for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]);70 points.push_back(P);71 }72 }7374//根据书上的伪代码：接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及规模n作为输⼊计算出e和root75void optimalBST(){76 Point P;77for(int i = 0; i<res.size(); i++) {78 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字79int n = num[i];80string temp;81 stringstream input(res[i]);82while (input >> temp) {83 temp_str.push_back(temp);84 }85 P.n = n;8687for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);88for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]); 8990//初始化只包括虚拟键的⼦树91for (int i = 1;i <= P.n + 1;++i){92 P.w[i][i-1] = P.q[i-1];93 P.e[i][i-1] = P.q[i-1];94 }95//由下到上，由左到右逐步计算96for (int len = 1;len <= P.n;++len){97for (int i = 1;i <= P.n - len + 1;++i){98int j = i + len - 1;99 P.e[i][j] = Max_Num;100 P.w[i][j] = P.w[i][j-1] + P.p[j] + P.q[j];101//求取最⼩代价的⼦树的根102for (int r = i;r <= j;++r)103 {104double temp = P.e[i][r-1] + P.e[r+1][j] + P.w[i][j];105if (temp < P.e[i][j])106 {107 P.e[i][j] = temp;108 P.root[i][j] = r;109 }110 }111 }112 }113 points.push_back(P);114 }115 }116117void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite){118int root_node = P.root[i][j];//⼦树根节点119if (root_node == P.root[1][P.n]){120//输出整棵树的根121 fileWrite << "k" << root_node << "是根" << endl;122 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);123 printOptimalBST(root_node +1 , j, root_node, P, fileWrite);124return;125 }126127if (j < i - 1){128return;129 }else if (j == i - 1){//遇到虚拟键130if (j < r)131 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl;132else133 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl;134return;135 }136else{//遇到内部结点137if (root_node < r)138 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl; 139else140 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl; 141 }142 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);143 printOptimalBST(root_node + 1, j, root_node, P, fileWrite);144 }145146//输出最优⼆叉查找树所有⼦树的根147void printRoot(Point P){148 cout << "各⼦树的根：" << endl;149for (int i = 1;i <= P.n;++i){150for (int j = 1;j <= P.n;++j){151 cout << P.root[i][j] << "";152 }153 cout << endl;154 }155 cout << endl;156 }157158int main(){159 file_read();160 optimalBST();161 ofstream fileWrite("out.dat");162 Point P ;163for(int i = 0; i<points.size(); i++) {164 P = points[i];165 printRoot(P);166 printOptimalBST(1,P.n,-1, P, fileWrite);167 }168 fileWrite.clear();169return0;170 } 上述代码是将给定的邻接矩阵从⽂件中读取 然后根据输⼊的邻接矩阵求出最短路径。
动态规划在最短路径问题中的应用
动态规划在最短路径问题中的应用动态规划是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解成更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高解决问题的效率。
最短路径问题是在图或者网络中找到从起点到终点的最短路径的问题，可以使用动态规划算法来解决。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用及其算法实现。
一、最短路径问题在最短路径问题中，我们需要在图或网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
最短路径可以通过边的权重来衡量，权重可以表示距离、时间、代价等。
最短路径问题有多种变体，其中最常见的是单源最短路径和全源最短路径。
单源最短路径问题是在给定一个起点的情况下，找到该起点到其他所有节点的最短路径。
最常用的算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
二、动态规划原理动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
它将问题分解成更小的子问题，并使用递推关系来计算子问题的解。
在最短路径问题中，我们可以使用动态规划来计算从起点到每个节点的最短路径。
首先，我们定义一个一维数组dist[]来保存从起点到每个节点的最短路径长度。
初始化时，dist[]的值为无穷大，表示路径长度未知。
然后，我们从起点开始逐步计算每个节点的最短路径长度。
具体的动态规划算法如下：1. 初始化dist[]为无穷大，起点的dist[]为0。
2. 对于每个节点v，按照拓扑顺序进行如下操作：2.1. 对于节点v的所有邻接节点u，如果dist[v] + weight(v, u) < dist[u]，则更新dist[u]。
2.2. 拓扑顺序可以根据节点的拓扑顺序进行计算或者使用深度优先搜索（DFS）算法。
三、算法实现下面是使用动态规划算法解决最短路径问题的示例代码：```// 定义图的邻接矩阵和节点个数int graph[MAX][MAX];int numNodes;// 定义dist[]数组来保存最短路径长度int dist[MAX];// 定义拓扑排序和DFS算法需要的变量bool visited[MAX];stack<int> s;// 动态规划算法求解最短路径void shortestPath(int startNode) {// 初始化dist[]数组为无穷大for (int i = 0; i < numNodes; i++) {dist[i] = INT_MAX;}dist[startNode] = 0;// 拓扑排序或DFS计算每个节点的最短路径长度 for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (!visited[i]) {DFS(i);}}// 输出最短路径长度for (int i = 0; i < numNodes; i++) {cout << "Node " << i << ": " << dist[i] << endl; }}// 深度优先搜索void DFS(int node) {visited[node] = true;for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (graph[node][i] != 0 && !visited[i]) {DFS(i);}}s.push(node);}```以上示例代码演示了使用动态规划算法求解最短路径问题的基本原理和步骤。
动态规划——所有点对最短路径问题
动态规划——所有点对最短路径问题按照书上所说，d k i ,j 代表了点i 到 j 经过 1or 2or 3or 4......k 的最短路径长度，⽐如d 31,6表⽰点1到点6， 可以经过点1，点2，点3的最短长度。
算法基本思路：引理，点 i 到点 j 的最短路径可能是点 i 到点 j 的直接路径长度，也可能是以某点 k 为中间节点，i, k, j 的路径长度。
采⽤⾃底向上逐步求解的⽅法，设D k i ,j表⽰ 点 i 到 j 以点集[0..k] 为中间节点的最短路径。
k 从0开始枚举各点，则第⼀步先求所有点以可能经过点0为中间节点的最短路径；第⼆步求所有点以可能经过点1为中间节点的最短路径，在此时所有的D[i, j] 已经考虑过0作为中间节点的最短路径，即第⼆步做的是以点集[0..1]作为考虑，满⾜⾃底向上，不难看出，到了最后⼀步，就是以点集[0...n-1]作为考虑，此时求得的D[i, j] 就是最短路径。
如：初始： k = 0298061∞6先代⼊公式 k = 0时，有 D 0[i ,j ]=L [i ,j ]; 所以有 D 0=0298061∞0[][]Processing math: 100%之后计算D1, 按照公式有 D1=min(D0[i,j],D0[i,k]+D0[k,j])所以D1=029 806 130以此类推，当计算到D3时，说明已经是经过整个点集的最短路径以下是python代码实现：n = 3 //n*n的矩阵D = [[0, 2, 9],[8, 0, 6],[1, 9999999, 6]]for k in range(0, 3): //从D_0到D_k进⾏k次运算for i in range(0, 3): //i从0到3for j in range(0, 3): //j从0到3，给每条边赋值D[i][j] = min(D[i][j], D[i][k] + D[k][j])print(D) //打印矩阵[]。
最短路径问题的动态规划算法
最短路径问题的动态规划算法动态规划是一种解决复杂问题的有效算法。
最短路径问题是指在给定的图中找到从起点到终点路径中距离最短的路径。
本文将介绍动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
1. 最短路径问题简介最短路径问题是图论中的经典问题之一，旨在找到从图中一点到另一点的最短路径。
通常使用距离或权重来衡量路径的长度。
最短路径问题有多种算法可以解决，其中动态规划算法是一种常用且高效的方法。
2. 动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是将原问题分解为更小的子问题，并存储已解决子问题的结果，以供后续使用。
通过逐步解决子问题，最终得到原问题的解。
在最短路径问题中，动态规划算法将路径分解为多个子路径，并计算每个子路径的最短距离。
3. 动态规划算法步骤（1）定义状态：将问题转化为一个状态集合，每个状态表示一个子问题。
（2）确定状态转移方程：通过递推或计算得到子问题之间的关系，得到状态转移方程。
（3）确定初始状态：设置与最小子问题相关的初始状态。
（4）递推求解：根据状态转移方程，逐步计算中间状态，直到得到最终解。
（5）回溯路径：根据存储的中间状态，找到最短路径。
4. 动态规划算法示例以经典的Dijkstra算法为例，演示动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
假设有带权重的有向图G，其中节点数为n，边数为m。
算法步骤如下：（1）定义状态：对于图G中的每个节点v，定义状态d[v]代表从起点到节点v的最短距离。
（2）确定状态转移方程：d[v] = min(d[u]+w[u,v])，其中u为节点v 的直接前驱节点，w[u,v]为边(u,v)的权重。
（3）确定初始状态：设置起点s的最短距离d[s]为0，其他节点的最短距离d[v]为无穷大。
（4）递推求解：根据状态转移方程逐步计算中间状态d[v]，更新最短距离。
（5）回溯路径：根据存储的前驱节点，从终点t开始回溯，得到最短路径。
5. 动态规划算法的优缺点优点：（1）求解速度快，适用于大规模问题。
基于动态规划的最短路径算法设计与优化
基于动态规划的最短路径算法设计与优化一、绪论最短路径问题是一个经典的计算机科学问题，在众多领域中都有着广泛的应用，如网络路由、物流配送、地图导航等。
本文将讨论如何运用动态规划方法来求解最短路径问题，并从算法设计和算法优化两个方面入手，提高算法的效率和性能。
二、最短路径问题的动态规划解法1. 最短路径的定义在一张有向带权图中，从起点s到终点t的一条路径，如果它的边权之和最小，那么我们称这条路径是最短路径。
2. 最短路径问题的动态规划解法基本原理我们可以将最短路径问题转化为子问题，定义d[v]表示从起点s到顶点v的最短距离，那么d[t]就是问题的解。
记G=(V,E)为一张有向带权图，我们要求的就是d[t]。
在进行最短路径的动态规划时，我们主要运用的是最优子结构和重复计算问题。
最优子结构的原理如下：一条最短路径可以被拆分为多个“次优解”，每个“次优解”都可以用更小的“次优解”组合而成，直到组合到最短路径为止。
重复计算问题的原理如下：在计算d[v]时，需要先计算出所有以v为终点的边的起点u的最短路径，这些最短路径构成了一个集合P。
如果直接使用暴力算法，则有可能会重复计算P中的某些路径。
运用动态规划，我们可以将已经计算出的最短路径结果保存起来，每次需要计算时可以直接调用，避免了重复计算的问题。
3. 最短路径问题的动态规划解法步骤定义数组d[V]，其中d[s]=0，d[v]=+ɛ(v≠s)。
按拓扑排序的顺序遍历有向带权图，对于每个顶点v，更新所有以v为终点的边的起点u的最短路径，即：d[v]=min(d[u]+w[u,v])，其中w[u,v]表示边(u,v)的权值。
4. 最短路径问题的动态规划算法实现算法实现的代码如下：void dp_shortest_path(Graph *G, int s, int *d) {int t, i, v, u, p;for (i = 0; i < G->vexnum; ++i) d[i] = INF;d[s] = 0;for (t = 1; t < G->vexnum; ++t) {for (v = 0; v < G->vexnum; ++v) {for (p = G->v[v].first; p != -1; p = G->arc[p].next) {u = G->arc[p].adjvex;if (d[u] + G->arc[p].weight < d[v]) {d[v] = d[u] + G->arc[p].weight;}}}}}三、最短路径算法的优化1. Dijkstra算法优化Dijkstra算法是一种贪心算法，它适用于有权图的最短路径问题，算法的基本思路是：每次找到离起点最近的尚未确定最短路径的顶点v，更新v的所有邻接点的距离，直到找到终点或路径无法更新为止。
最短路径问题的动态规划算法
最短路径问题的动态规划算法最短路径问题的动态规划算法是一种常用的解决路径优化的方法。
动态规划算法的核心思想是将原问题拆分成若干个子问题，通过递推关系找到最优解。
在最短路径问题中，我们通常希望找到从起点到终点的最短路径。
首先，我们需要定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到达坐标(i, j)的最短路径长度。
初始化dp数组，将起点的值设为0，其他位置的值设为无穷大（即表示不可达）。
接下来，我们需要确定动态规划的状态转移方程。
对于任意一个坐标(i, j)，它可以从上方的坐标(i-1, j)、左方的坐标(i, j-1)、右方的坐标(i, j+1)、下方的坐标(i+1, j)四个位置中的某一个到达。
因此，可以得到状态转移方程如下：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1], dp[i+1][j]) + 1
其中，min表示取其中的最小值。
通过以上状态转移方程，我们可以逐步更新dp数组，直到最终得到终点的最短路径长度。
需要注意的是，动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)，其中n 表示问题规模。
因此，在处理大规模最短路径问题时，需要考虑算法的效率，可能需要进行剪枝等优化操作。
总的来说，最短路径问题的动态规划算法在路径优化领域有着重要的应用价值，通过合理定义状态转移方程和优化算法效率，可以找到从起点到终点的最短路径长度，为路径规划提供有效的解决方案。
浅谈最短线路及其动态规划
浅谈最短线路及其动态规划最短路问题是一个组合优化问题，它不但可以被直接用于解决生产生活中的很多实际问题，而且常常被作为一种有效工具，用于解决其他优化问题.本文将最短路问题及其动态规划谈一些自己粗浅的认识。
标签：最短路；描述；动态规划最短路问题是最基本的组合优化问题之一，随着我国经济水平的迅猛发展和城市化过程的加快，城市交通线路已进入飞速发展时期，最短路算法在人们的日常生活中显得越来越重要.比如，每天开车去上班，应该选择哪条路线才能使自己到单位的费用最低、时间最少，这是最短路的问题；在电网架设、城市规划以及交通旅游中如何使其耗费的资金最少，这也是最短路问题；管道设计问题，给出一个网络图，从A点铺设一条煤气管道到E点，必须经过三个中间站，如何选择路线使得铺设的管道费用最少，这还是最短路问题.目前，最短路问题及其算法在实际生活的各个领域中应用广泛.计算机C语言，运筹学以及图论中的某些重要思想都在涉及最短路问题及其算法问题，并且被普遍应用于农业，军事以及重型工业和交通等等.由此可见研究最短路问题是非常有意义的.很多参考文献对最短路问题及其算法进行了讨论，文献[1-3]讨论了最短初等链法，给出了最短初等链法是最短路问题的通用算法的结果，文献[4-6]介绍了最短路问题的动态规划算法，给出了算法的基本思想与解题步骤，文献[7-9]介绍了伏特算法，给出了算法的具体步骤与适用的问题类型，文献[10-11]介绍了最短路问题的狄克斯特拉算法，通过对算法基本步骤的了解，为提高其搜索速度提出了一种新的算法，文献[12-13]介绍了狄克斯特拉算法的局限性，给出此算法不适于具有负弧长的情形.一、最短路程问题描述在图论中关于最短路问题的提法是：设图G=（V，E）为连通图，对G的每一条边，相应的有一个数（简记作）称为边的权（表示到无关联边），图G连同在它边上的权称为赋权图.设H是赋权图G的子图，H的权是它的每一条边的权的和.在赋权图中，一条边的权也可说成是它的长.若在赋权图中任取两点和，所谓最短道路就是求出一条路μ，它表示的是从到的全部路中总权最小的路[2]，即最短路问题在图论中的应用比较广泛，它包含许多生活中的实际问题，如各种管道的铺设、线路的安排、输送网络最少费用等问题，通过建立最短路问题模型都可以进行求解.二、最短路程問题的动态规划动态规划处理的问题是一个多阶段的决策问题，一般从初始状态开始，经过对中间阶段的决策选择，最终达到结束状态.这些决策形成一个决策序列，同时也确定了一条整个过程的活动路线.动态规划的设计有一定的模式，通常要经历以下几个步骤：初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策n│→结束状态.利用动态规划解题的基本思路：将一个多阶段的决策问题转化成依次求解多个单阶段的决策问题，进而简化计算的过程，这种方法的实现就是从终点反向递推，即采用逆序算法.若赋权图1以A为起点，以D为终点，如何求出以A为起点，以D为终点的最短路？应用动态规划算法求解上述问题的基本思想是：（1）把以A为起点的全部链的终点按链的长度进行分类.如图1所示，以A 为起点的全部链的终点根据链的长度被分为4部分，可用集合分别表为：每一部分称为一个状态，相邻的两个状态以及由它们间的有向线段构成的有向边记做一个阶段，任一条边都含有一个权值，图1是赋权三阶段有向图.图1 赋权三阶段有向图（2）利用逆序递推的方法进行求解，从最后一阶段一直到第一阶段分别逐步求出每点到终点的最短路，最后再求起点A到终点D的最短路.利用动态规划描述多阶段决策问题的基本概念[7]有：阶段与阶段变量k，决策与决策变量，策略与最优策略，指标函数与最优指标函数，状态与状态变量，状态的转移方程，阶段指标（阶段效益）等.从第k阶段状态起至第n阶段终止状态过程中的策略，指标函数及最优值函数可分别用式（1）～式（4）表示.（1）（2）（3）（4）动态规划的基本方程：在动态规划中有2种算法：顺序递推和逆序递推.顺序递推就是从始点向终点逐段的递推，而逆序递推则是从终点向始点逐段的递推[3].若一个多阶段的决策问题有一个固定的过程始点和一个固定的过程终点，那么2种递推方法所得到的最优结果是相同的.参考文献[1]刘道建.最短路问题的通用算法--最短初等链法[J].湘潭师范学院学报，2003，25（2）：11-13.[2]郭锐.最优化算法中的最短路问题讨论[J].大庆师范学院学报，2008，28（2）：75-78.。
利用动态规划算法求解最短路径
态规 划方法 解决 。
动态 规划 是 一 种 思 维 方 法 ， 以从 多 方 面 去 考 可
不同 的方面对 动态 规划 有 不 同 的表 述 。动 态 规划 化问题［ 。所谓最短 路径问题就是指给 定起 点及终点 ， 察 ， １ 并 知道 由起点 到终点的各种可能 的路 径 ， 问题 是要找一 可分 为正 向 思维 法 和 逆 向 思 维法 。逆 向思维 法 是 指 条 由起点 到终 点的最短 的路 ， 即长度最 短的路 。需要指 从 问题 目标 状 态 出发倒 推 回初 始 状 态 或边 界状 态 的
ｂ 要具有 可分 离性 ， ． 并可满 足递 推关 系即 ：
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作晷 落１９女河 安 人 科主从 计・ 用究 者 介梁 （ 南 本 要 舅厦 研 薯 羿絮 １７，， 阳 ， ， 事 算应ｊ 。 简 ： ０７ 娟５ｕ 一 ９） 。 机 片艽 埘
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如果用最优化原理来思考这个问题我们可以注意到最短路径有这样一个特性即最短路径的子路径也必然是最短路径而且最短路径的长度只和各条子路径的最短长度有关2
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第 １ ４卷 第 ５期 ２０ ０ ６年 ｏ ９月
河南 机 电高 等 专 科 学 校 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎＭｅ ｈ ｎｃ ｌ ｎ ｌｃｒ ａ Ｅｎ ｉｅ ｒ ｇＣ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｅ ａ ｃ ａ ｉ ｄ Ｅ ｅ ｔｉ ｌ ｇｎ ｅ ｉ ｏｌ ｅ ａａ ｃ ｎ ｅ
最短 路径 有这样 一个 特性 ， 即最 短 路径 的子路 径 也必 然 是最短 路径 ， 而且 最短 路 径 的长 度 只和 各 条子 路径
ａ 是 定义 在 全 过 程 和 所有 后 部子 过 程 上 的数 量 ．
函数 。
的最短 长度 有关 由此 ， 以把 最 短路 径 问题 用 动 引。 可
最小路径和--动态规划
最⼩路径和--动态规划给定⼀个包含⾮负整数的m * n ⽹格,请找出⼀条从左上⾓到右下⾓的路径,使得路径上的数字总合为最⼩.说明: 每次只能向下或者向右移动⼀下.⽰例:输⼊:[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]输出: 7解释: 因为路径1→3→1→1→1的总和最⼩。
解法⼀: 动态规划思想因为最近在做动态规划的专题,所以⽤动态规划的思想来解决本题⽬:我们新建⼀个dp数组,⽤来保存每⾛⼀步的最短路径,但是最后⼀个数值也就是最后⼀个元素肯定是有的;我们利⽤递推的公式:dp(i,j)=grid(i,j)+min(dp(i+1,j),dp(i,j+1))即可,思想⽐较特殊,但是找到规律后还是很好理解的.代码public int minPathSum(int[][] grid) {int[][] dp = new int[grid.length][grid[0].length];for (int i = grid.length - 1; i >= 0; i--) {for (int j = grid[0].length - 1; j >= 0; j--) {if(i == grid.length - 1 && j != grid[0].length - 1) dp[i][j] = grid[i][j] + dp[i][j + 1];else if(j == grid[0].length - 1 && i != grid.length - 1) dp[i][j] = grid[i][j] + dp[i + 1][j];else if(j != grid[0].length - 1 && i != grid.length - 1) dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);else dp[i][j] = grid[i][j];}}return dp[0][0];}运⾏结果以上就是动态规划的⽅式解决最短路径和,在⽇后开发过程中,当讲到⼀种算法思想时,可以⽤于改题⽬,会增加新解(因本⼈⽬前在做动态规划的专题), 希望对⼤家有所帮助!!!。
动态规划之最短路问题、背包问题、排序问题共68页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
动态规划之最短路问题、背包问题、 排序问题
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
《动态规划》课件
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
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确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划及其在求最短路径问题中的应用
计算机算法设计与分析论文名：动态规划及其在求最短路径问题中的应用班级：12医软一班学号：姓名：张健<日期：2015年6月动态规划及其在求最短路径问题中的应用摘要：在概述动态规划原理的基础上，提出了动态规划数学模型建模主要步骤，并运用动态规划思想对最短路径进行求解，最后总结出动态规划在此类问题中的优越性。
关键字：动态规划；最短路径；多阶段决策。
在实践中有许多决策问题与时间有关系，决策过程分成若干阶段，各阶段的决策相互关联，共同决定最终的目标，这样的问题称之为多阶段决策问题。
动态规划方法是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。
这一方法最初是由美国数学家等人在20世纪50年代提出的，实践证明许多问题用动态规划建模求解比用线性规划或非线性规划更加有效，特别是对离散性问题，运用解析数学无法解决，而动态规划就成为得力的工具。
动态规划方法把一个比较复杂的问题分析为一系列同一类型的更容易求解的子问题先按照整体最优思想逆序求出各个可能状态的最优策略，然后顺序求出整个问题的最优策略和最优路径。
由于将动态规划思想应用到求解运输问题的最短路径中，计算过程单一化便于应用于计算机，求解结果清晰明了，在实践应用中获得显著效果。
1 动态规划原理概述动态规划最优化原理可以这样阐述：一个最优化策略不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸多策略必须构成最优策略，即其子策略总是最优的。
任何思想方法都有一定的局限性，动态规划也有其适应的条件。
如果某阶段的状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响，这个性质称为无后效性，适用动态规划的问题必须满足这个性质；其次还须满足上述最优化原理。
动态规划基本思想一是正确的写出基本的递推关系式和恰当的边界条件；二是在多阶段决策过程中，动态规划方法是即把当前一段和后来各阶段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种多阶段决策的最优化方法，每阶段决策和选取是从全局来考虑，与该段的最优选择的答案一般是不同的；三是在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，儿每阶段的决策又都是该阶段状态的函数，因而最优策略所经过的各阶段状态便可逐次变换得到，从而确定最优路线。
动态规划之最短路问题、背包问题、排序问题
3. 航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的 运动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机 飞行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的 飞行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现 目的（如软着落问题）。
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一 次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为 多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。 4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也 可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方 法加以解决。
变量称为状态变量。 状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此集合 称为状态允许集合。
3、决策：表示当过程处于某一阶段的某个状态时， 可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这 种决定称为决策。
描述决策的变量，称为决策变量。决策变量是状态 变量的函数。可用一个数、一组数或一向量（多维情 形）来描述。 在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内， 此范围称为允许决策集合。 4、多阶段决策过程 可以在各个阶段进行决策，去控制过程发展的多段过 其发展是通过一系列的状态转移来实现的； 程； 系统在某一阶段的状态转移不但与系统的当前的状态 和决策有关，而且还与系统过去的历史状态和决策有 关。
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机 器的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产 的机器数量u2的关系为 h=h(u2)
相应的机器年完好率b, 0< b<1。
假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制 定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新 分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量， 使在五年内产品的总产量达到最高。
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
动态规划在最短路径问题中的应用
动态规划在最短路径问题中的应用最短路径问题是计算两个给定节点之间的最短路径的问题。
在现实生活和计算机科学中，这个问题经常出现。
一种常用的解决方法是动态规划。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用。
动态规划是一种用于解决优化问题的算法思想。
它通常用于寻找最优解，避免重复计算。
在最短路径问题中，动态规划可以帮助我们找到从起点到终点的最短路径。
为了更好地理解动态规划在最短路径问题中的应用，我们先来介绍一下最短路径问题的定义。
最短路径问题可以建模成一个图的问题，其中节点表示位置，边表示路径。
每条边都有一个相关的权重，表示从一个节点到另一个节点的代价或距离。
目标是找到从起点到终点的最短路径。
现在，我们来看一下动态规划如何解决最短路径问题。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到节点i的最短路径的权重。
我们将所有的dp[i][j]初始值设为无穷大，表示路径不存在。
接下来，我们需要定义一些转移方程来更新dp数组的值。
对于节点i和节点j之间存在一条边的情况，我们可以使用如下的转移方程来更新dp[i][j]：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+w[i][j])其中，k是一个介于i和j之间的节点，w[i][j]是从节点i到节点j的边的权重。
这个转移方程表示，如果从起点到节点k的路径加上从节点k到终点的路径再加上边的权重，比当前的dp[i][j]的值小，那么我们更新dp[i][j]的值。
通过不断更新dp数组的值，我们最终可以得到从起点到终点的最短路径的权重。
同时，我们还可以通过修改转移方程来记录路径上的节点，从而得到最短路径。
在实际应用中，动态规划在最短路径问题中有着广泛的应用。
例如，在导航系统中，我们可以使用动态规划算法来计算从当前位置到目的地的最短路径。
在网络路由中，动态规划可以帮助我们找到从源节点到目标节点的最短路径。
总结一下，动态规划是一种解决优化问题的算法思想，在最短路径问题中有着重要的应用。
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15.4 最长公共子序列-最长公 共子序列的结构
穷举搜索法：对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序 列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列。 X共有2m个不同子序列，从而穷举搜索法需要指数时间。 应用问题：DNA序列相似性 DNA序列可以表示为有穷集合{A, C, G, T}上的一个串。 S1=ACCGGTCCCCAAACCTTGGGGGGAAACCCT， S2=CCCCGGGTTCCCGGGTGGGGGAAACCCCT, 找出第三个序列S3，在S3中的基也都出现在S1和S2中；而且 这种基必须是以相同的顺序出现，但是不必要时连续的。 这样的S3越长，S1和S2越相似。
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第十五章 动态规划
本章主要内容：
动态规划介绍 装配线调度问题 矩阵链相乘问题 动态规划问题关键特征 背包问题（补充） 最长公共子序列 最优二叉查找树
每对顶点间的最短路径（第25章）
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动态规划
设计一个动态程序算法的过程为：
刻划最优解的结构（最优子结构） 递归定义最优解的值（动态规划设计） 按自底向上的方式计算最优解的值（重叠？） 由计算出的结果构造一个最优解（可省略）
背包问题——分析
复杂度：O(nW) pseudo-polynomial
因为输入的大小不是nW，是nlogW。
自底向上还是自顶向下？
如果是自顶向下的调用？——自顶向下更高 效。 如果wi不是整数，而是实数？——自底向上 不可能。
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15.4 最长公共子序列
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得 到的序列。确切地说，若给定序列X=<x1, x2,…, xm>， 则另一序列Z=<z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个 严格递增的下标序列 <i1, i2,…, ik>，使得对于所有 j=1,2,…,k，有 x i j = zj。当另一序列Z既是X的子序列又 是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。 最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个 最长公共子序列。
第八讲：动态规划与最短路径(2)
《算法与算法复杂性》2011年春季 赵颖
Tentative Schedule
Date 2月23 3月2 3月9 3月16 3月23 3月30 4月6 4月13 4月20 4月27 5月4 5月11 5月18 5月25 6月1 6月8 Content Category HW HW(i)在布置HW(i+1) 课程基本情况+引言 基本设计与分析 算法入门+函数增长 基本设计与分析 HW1 那周交，过期不候； 分治策略 +递归分析 基本设计与分析 HW2 9次作业取成绩最好的6 排序和顺序统计学 基本设计与分析 HW3 次； 图的基本算法 基本设计与分析 HW4 上机题额外加分。 概率分析+随机算法 高级分析技术 HW5 平摊分析+优先队列 高级分析技术 HW6 动态规划 高级设计技术 动态规划 高级设计技术 HW7 bonus(上机题,考前交) 最短路径+贪心算法 高级设计技术 //////////////////////// /////////////// /////////////////// 贪心算法+图上复杂算法 高级设计技术 贪心算法+图上复杂算法 高级设计技术 HW8 NP复杂性问题 专题 近似算法 专题 HW9 review 过期的作业统一保存在FIT 3-126，大家随时可以去取。
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15.4 最长公共子序列-构造最 长公共子序列
由算法LCS_LENGTH计算得到的数组b可用于 快速构造序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列。从b[m,n]开始，沿着其 中的箭头所指的方向在数组b中搜索。
0 c[i, j ] c[i 1, j 1] 1 max(c[i, j 1], c[i 1, j ])
如果i,j>0且xi y j 如果i,j>0且xi y j i 0或j 0
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15.4 最长公共子序列-计算最 优值
直接利用上式容易写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其 计算时间是随输入长度指数增长的。由于在所考虑的子 问题空间中，总共只有θ(m*n)个不同的子问题，因此， 用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效 率。 计算最长公共子序列长度的动态规划算法 LCS_LENGTH(X,Y) 输入：X=<x1, x2, …, xm> Y=<y1, y2, …, yn> 输出：c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储Xi 与Yj的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的 值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公 共子序列时要用到。 X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
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15.4 最长公共子序列-计算最 优值
LCS-LENGTH(X, Y) 1 m ← length[X] 2 n ← length[Y] 3 for i ← 1 to m 4 do c[i, 0] ← 0 5 for j ← 0 to n 6 do c[0, j] ← 0 7 for i ← 1 to m 8 do for j ← 1 to n 9 do if xi = yj 10 then c[i, j] ← c[i - 1, j - 1] + 1 11 b[i, j] ← "↖― 12 else if c[i - 1, j] ≥ c[i, j - 1] 13 then c[i, j] ← c[i - 1, j] 14 b[i, j] ← "↑" 15 else c[i, j] ← c[i, j - 1] 16 b[i, j] ← " ← " 17 return c and b 。
1.若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个 LCS； 2.若xm≠yn，那么zk≠xm 蕴含Z是Xm-1和Y的一个LCS； 3.若xm≠yn，那么zk≠yn 蕴含Z是X和Yn-1的一个LCS。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>，Yn-1=<y1, y2, …, yn1>，Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
例如：w=50
a1(10,60) a2(20,100) a3(30,120)
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背包问题——递归关系
满足最优子结构：
如果从最优解中取走aj，那么最优解中的剩余部分是剩 余子问题（背包容量为w-wj）的最优解（反证法）
递归关系：
令Ziu表示子问题（从������1 , ������2 , … , ������������ 中选择总重量小于u） 的最优解。 情况一：ai属于这个最优解，那么去掉ai剩余的子问题 变为从������1 , ������2 , … , ������������−1 中选择总重量小于u-wi Ziu=Zi-1,u-wi+vi 情况二： ai不属于这个最优解，Ziu=Zi-1,u Ziu从上述两种情况中选择一个最大值即可。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题 重叠性质。例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可 能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列。而这两 个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最 长公共子序列。
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15.4 最长公共子序列-一个递 归解
设c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。 其中Xi=<x1, x2, …, xi>，Yj=<y1, y2, …, yj>。当 i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列， 故c[i,j]=0。其他情况下，可建立递归关系如下：
用循环填表：
表中的项：子问题的最优解 循环嵌套的层数=表格的维度（子问题分解的维度）+1（ 如果做选择时需要） 循环的初始值：平凡子问题之外的最小子问题（需用递归 求解的最小子问题）。 循环增量方向：例如从左上向右下方填表，保证计算某个 子问题最优解时需要的表中的项都已求解。
4
背包问题
背包问题：
已知n个物品：������1 , ������2 , … , ������������ 其重量分别为： ������1 , ������2 , … , ������������ 其价值分别为： ������1 , ������2 , … , ������������ 背包的总容量为：w 求物品的一个子集使得总重量不超过w，并且总价值 最大。 0/1背包问题：物品取or不取 Fractional背包问题：每个物品可以取一部分
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15.4 最长公共子序列-最长公 共子序列的结构
事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性 质，因为我们有如下定理： 定理15.1: LCS的最优子结构性质 设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一 个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>，则：
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15.4 最长公共子序列-最长公 共子序列的结构
证明：用反证法。 1.若zk≠xm，则<z1, z2, …, zk ,xm >是X和Y的长度为k十1的公 共子序列。这与Z是X和Y的一个最长公共子序列矛盾。因 此，必有zk=xm=yn。由此可知Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个长度 为k-1的公共子序列。因为若Xm-1和Yn-1有一个长度大于k1的公共子序列W，则将xm加在其尾部将产生X和Y的一个 长度大于k的公共子序列。此为矛盾。故Zk-1是Xm-1和Yn-1 的一个最长公共子序列。 2.由于zk≠xm，Z是Xm-1和Y的一个最长公共子序列。若Xm-1和 Y有一个长度大于k的公共子序列W，则W也是X和Y的一 个长度大于k的公共子序列。这与Z是X和Y的一个最长公 共子序列矛盾。由此即知Z是Xm-1和Y的一个最长公共子序 列。 3.与 2.类似。