北京市东城区2020届高三一模数学试题及答案

北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一）数 学 2020.5本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1) 已知集合{}1>0Ax x =-，{}1012B =-，，，，那么AB =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2(2) 函数22()1x f x x -=+的定义域为 (A) -(,]12 (B) [,)2+∞ (C) -(,)[,)11+-∞∞ (D) -(,)[,)12+-∞∞ (3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-(4) 若双曲线222:1(0)-=>y C x b b的一条渐近线与直线21=+y x 平行，则b 的值为(A) 1 (B)2 (C)3 (D) 2 (5) 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视 图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为 (A)4 (B)6(C)8(D)12(6) 已知1x <-，那么在下列不等式中，不．成立的是 (A) 210x -> (B) 12x x+<- (C) sin 0x x -> (D) cos 0x x +>正（主）侧（左）俯视(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(132，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)()312 (B) (-132(C) ()312(D) ()-312(8) 已知三角形ABC ，那么“+AB AC AB AC >-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的 (A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9) 设O 为坐标原点，点(,)10A ，动点P 在抛物线y x =22上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为(A) (0]，1 (B) 2(0， (C) 2(0， (D)2[)+∞(10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：(A) 若在12t t ，时刻满足：12()=()y t y t ，则12()=()x t x t ；(B) 如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降；(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值； (D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11) 已知向量(,),(,),(,)11223==-=m a b c ，若a b -与c 共线，则实数m = .(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)(13) 圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为___. (14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，27BD =，则CD = ，sin ABD ∠= .(15) 设函数(1),0,()22,0.x a a xa x x f x x --+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩给出下列四个结论： ① 对0∀>a ，t ∃∈R ，使得()f x t =无解； ② 对0∀>t ，a ∃∈R ，使得()f x t =有两解； ③ 当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解； ④ 当2a >时，t ∃∈R ，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得5 分，不选或有错选得0分，其他得3 分。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =． （Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小.(17)（本小题14分）已知函数ππ()sin()cos ()(f x a x x a =--+>2220)66，且满足 . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x =1在区间[,0m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点π(,0)6这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

(18)（本小题14分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“” 表示北斗二代定位模块的误差的值， “+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位:米） （Ⅰ）从北斗二代定位的50点横坐标误差的值大于10米的概率； （Ⅱ）从图中A,B,C,D 其中纵坐标误差的值小于4-列和数学期望；方差的大小.（结论不要求证明）(19) （本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为1F ，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线12,l l ，与椭圆E 分别交于点,,,C D M N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.(20) （本小题15分）已知函数()(ln )f x x x ax =-(a ∈R ).（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.(21)（本小题14分）数列123n A x x x x ：，，，，，，对于给定的+(1N )t t t ，>∈，记满足不等式：+()(N )n t x x t n t n n t ，*-≥-∀∈≠的*t 构成的集合为()T t .（Ⅰ）若数列2=n A x n ：，写出集合(2)T ；（Ⅱ）如果()T t +(N 1)t t ，∈>均为相同的单元素集合，求证：数列12n x x x ，，，，为等差数列； （III) 如果()T t +(N 1)t t ，∈>为单元素集合，那么数列12n x x x ，，，，还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准 2020.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D （2）B （3）A （4）D （5）A （6）D （7）C （8）B （9）C （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）3 （12）160 （13）221(1)2x y -+= （14）3212，（15）③④三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)（本小题14分）解：（Ⅰ）如图，因为 四边形ABCD 为平行四边形，所以 //AD BC ，因为 BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以 //AD 平面PBC ． …………6分 （Ⅱ）取C 为坐标原点，过点C 的PD 平行线为z 轴，依题意建立如图所示的空间直角坐标系-C xyz ． 由题意得，(0,1,1)P -，(1,0,0)A ，(0,0,0)C ，(1,1,0)B ． 所以(0,1,1)PC −−→=-，(1,1,0)CB −−→=，(1,0,0)−−→=-AC ． 设平面PBC 的法向量为(,,)n =x y z ，则 0,0,n n −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩PC CB即0,0.-=⎧⎨+=⎩y z x y令1=-y ，则1=x ，1=-z ． 所以 (1,1,1)n =--．因为ABCD 为平行四边形，且AB AC ⊥， 所以 ⊥CD AC ． 因为PD ⊥面ABCD ， 所以 ⊥PD AC ． 又因为=CD PD D ， 所以⊥AC 面PDC ．所以 平面PDC 的法向量为=(1,0,0)-AC ，所以cos ,3||||n n n ⋅〈〉==-AC AC AC由题意可知二面角--D PC B 的平面角为钝角，所以二面角--D PC B 余弦值的大小为 ………………………………14分 (17)（本小题14分）解：（Ⅰ）因为ππ()sin()cos ()66f x a x x =--+-221ππsin()cos()3πππsin()cos[()+]662π()sin()6a x x a x x a x =--+-=----=+--2216221121所以 函数()f x 的最小正周期πT =.因为 a >0，所以函数()f x 的最大值和最小值分别为,a a --2. 若选①，则a =1 ，函数π()2sin(2)16f x x =--；若选②，则-3为函数()f x 的最小值，从而a =1 ，函数π()2sin(2)16f x x =--；选③，ππ(1)sin(2)1166a +⨯--=，从而a =1 ，函数π()2sin(2)16f x x =-- .……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()f x 的最大值为1；因为 关于x 的方程()f x =1在区间[,]m 0上有两个不同解，当[,]x m ∈0时， πππ[,]666x m -∈--22. 所以5ππ9π262m -<≤2，解得4π7π33m <≤.所以，实数m 的取值范围是4π7π[,)33. ………………………………14分 (18)（本小题14分）解（Ⅰ）由图知，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以 从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.0650=. …………4分（Ⅱ）由图知, A B C D ，，，四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点: C D ，.所以 X 所有可能取值为0,1,2.2241(0)6===C P X C ,1122242(1)3C C P X C ===,22241(2)6C P X C ===.所以的分布列为所以 X 的期望1210121636EX =⨯+⨯+⨯=. …………12分（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代. …………14分(19) （本小题14分）解：（Ⅰ）因为 2222:1(0)x y E a b a b+=>>，所以 222a b c =+.因为 四边形12AF BF 为正方形，且面积为2, 所以 22b c =，1(2)(2)22b c ⨯=. 所以 1b c ==，2222a b c =+=. 所以 椭圆22:12x E y +=. …………4分（Ⅱ）设平行直线1:l y kx m =+，2:l y kx m =-，不妨设直线y kx m =+与2212x y +=交于()()1122,,,C x y D x y ，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222x kx m ++=， 化简得：()222214220k x kmx m +++-=，其中 22222(4)4(21)(22)16880km k m k m ∆=-⨯+⨯-=-+>，即2221m k <+.所以 122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知OC OD ⊥， 所以 12120x x y y +=，11y kx m =+，22y kx m =+，()()()()()2212121212222222222222222222221221421212222422132221x x y y k x x km x x m m k k m m k k k m m k k m k m m k m k k +=++++-+-++=++---++=+--=+，所以 22322m k =+.||CD==≤所以当且仅当k =时，||CD此时 四边形CDMN周长最大值为 …………14分(20)（本小题15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln 21f x x x '=-+，所以(1)1f '=-. 又因为(1)1f =-，所以 切线方程为()11y x +=--，即0x y +=. …………4分（Ⅱ）()ln 21f x x ax '=-+，设 ()ln 21g x x ax =-+，当0a ≤时,易证()g x 在()0+∞，单调递增，不合题意.当0a >时 ()12g x a x '=-， 令()0g x '=，得12x a=，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当1,+2x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以 ()g x 在12x a =处取得极大值11ln 22g a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，函数()ln 21g x x ax =-+有两个零点， 则11ln 0,22g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭即112a >，解得 102a <<.又由于1112e a <<，11=20g a e e ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，12212a e a +>，由21(0)x e x x >+>得1122222111()22122(2)111100222a a g e a e a a a a a ++⎡⎤=+-⋅+<+-⋅+++=--<⎢⎥⎣⎦ 实数a 的取值范围为102a <<时，()f x 有两个极值点. …………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当1a >时， 111()ln ln 0222g x g a a ⎛⎫<=<< ⎪⎝⎭，所以()f x 在(0+)∞，上单调递减，()f x 在区间(]0,2a 上的最小值为2(2)2(ln 22)f a a a a =-. ………15分(21)（本小题14分）解：（Ⅰ）由于2=n A x n ：，(2)T 为满足不等式+()(N )n t x x t n t n *-≥-∀∈的*t 构成的集合，所以 有：2+4(2)(N ,)*-≥-∀∈≠n t n n n t ，当 2n >时，上式可化为+2n t *≥，所以 5t *≥.当 =1n 时，上式可化为3t *≤.所以 (2)T 为[35]，. …………4分 （Ⅱ）对于数列123n A x x x x ：，，，，，，若()T t +(N 1)t t ，∀∈>中均只有同一个元素，不妨设为a .下面证明数列A 为等差数列.当 =+1n t 时，有1(1)(1)t t x x a t +-≥∀>； 当 =1n t -时，有1(1)(2)t t x x a t --≤∀>；由于(1)，(2)两式对任意大于1的整数均成立，所以 有1=(1)t t x x a t +-∀>成立，从而数列12n x x x ，，，，为等差数列. …………8分 （III) 对于数列123n A x x x x ：，，，，，，不妨设{}()T i a =，{}()T j b =，1i j a b <<≠，，由{}()T i a =可知：()j i x x a j i -≥-，由{}()T j b =可知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-，从而()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，所以a b ≤.设()T i {}i t =，则 23n t t t ≤≤≤≤，这说明如果1i j <<，则i j t t ≤.因为对于数列123n A x x x x ：，，，，，，()T t +(N 1)t t ，∀∈>中均只有一个元素， 首先考察=2t 时的情况，不妨设21x x >，因为212x x t -≤，又()T 2为单元素集，所以212x x t -=.再证332t x x =-，证明如下：由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥， 所以31332max 2x x t x x ，-⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭又由2t 的定义可知32221=x x t x x -≥-， 所以32213133222=x x x x x x t x x -+--≥-≥， 所以 323x x t -=.若32t t > ， 即3322t x x t =->，则存在正整数(4)m m ≥，使得22(2)m m t x x -=-(3)， 由于212323431k k k x x t x x t x x x x t --=≤-≤≤-≤≤-≤≤ 所以 211233()(2)m mm i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，这与(3)矛盾. 所以 32t t =.同理可证2345t t t t ====，即数列123n A x x x x ：，，，，，，为等差数列. …………14分。