数学必修一复习提纲
U C U ≠?
???
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???∈??????????????????????????????∈∈??∈∈??∈???元素的三个性质：确定性、互异性、无序性概念表示方法：列举法、描述法、图示法集合与元素：属于（）、不属于（）
真子集(A B)包含：子集（A B ）集合关系集合与集合相等（A=B ）不包含（A B ）并集A B={x|x A ，或x B}运算交集A B={x|x A ，且x B}集合与函数概念补集A={x|x ，且x A}12121212()()()()()=(),()()=(),()f f f f f f f f f f ???????????????????????????????
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????????--?????-??????
定义域概念（三要素）值域对应关系表示方法：列表法、图象法、解析法函数增函数：x x x x 单调性减函数：x x x x 性质若x x 则x 为奇函数奇偶性：定义域关于原点对称若x x 则x 为偶函数映射(0,1)R +(0,1)I log (0,1)x a a N a a y x a a ???????
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???>≠?
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????????????∞???>≠?????=>≠指数幂的运算定义：形如y=a a 且a 指数与指数函数单调性指数函数的图象与性质性质、图象恒过定点（0,1）定义域是，值域是（0，）定义：形如：x=log 且对数运算法则换底公式基本初等函数（）对数与对数函数定义：且单调性对数函数性质、图象恒过定点（1,+R 0+0+x a y x a a ?????????
??????
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??????>∞?????<∞???
??????0）定义域为（0，），值域为定义：恒过定点（1,1）幂函数性质时，图象过原点，且在（0，）上为增函数时，图象在（0，）上为减函数对应方程的根：函数的图象与轴交点的横坐标函数的零点零点存在定理函数的应用二分法：求方程的近似解
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用已知函数模型解决问题函数模型及其应用建立实际问题的函数模型模块知识网络
第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：∈、?
4.常见集合的符号表示
数集 自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
*N 或+N
Z
Q
R
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A 与集合B 中的所有元素都相同
B A ?且A ?B ? B A =
子集 A 中任意一元素均为B 中的元素 B A ?或A B ? 真子集 A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素 A B
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A ?φ，φ
B （φ≠B ）
结论：① 任何一个集合是它本身的子集：A ?A ②如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ③ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B
④空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集
⑤有n 个元素的集合，含有2n
个子集，2n-1
个真子集，2n-1
个非空子集，2n-2
个非空真子集 三：集合的基本运算
①两个集合的交集:A B I = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B U ={
}
x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={}
x x U x A ∈?且
交
并
补 I U
{|,}A B x x A x B =∈∈I 且 {|,}A B x x A x B =∈∈U 或
U C A ={}x x U x A ∈?且
方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★考点题型及相关练习
题型1：基本概念题
下列6个关系式，{a,b}{b,a}; {a,b}{b,a};{}{0}{0}0{0}?
=??=?=??≠∈；；；，正确的是 ①②⑤⑥ ? 《二教》P6题型一，P7基础巩固1、4 题型2：集合的互异性（注意要检验）
A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y},A=B x,y .已知集合且，求的值 -1，-1
? 《二教》P8基础巩固6 ,新题速递 ，P14能力提升3 题型3：集合的运算（看清集合里面是什么元素）
1、（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==， 则集合A B *的所有元素之和为（ D ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6
2、(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ?∈且,|， 如果{}
1log 3<=x x P ，{}
1<=x x Q ,那么Q P -等于
[解析] {}31< )3,0(1log 3=<=x x P ，{} )1,1(1-=<=x x Q ，所以)3,1(=-Q P {} { }x y x N R x y y M x 3log 1|,,2|-==∈==，求M ∩N. {x|0 ? 《二教》P9借题发挥1，P14基础巩固4、5、8 题型4：确定参数范围 设集合A={x ∈R|ax 2 +2x+1=0}, 集合B={x|x<0},若A B ≠?I ,求实数a 的取值范围. (-∞,1] ? 《二教》P14能力提升6，周练7 选择题第二题 第2讲 函数 ★知识梳理 函数的奇偶性 （1）偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． ★考点题型及相关练习 ? 考点1：定义域（满足解析式有意义的x 的集合，注意写成集合或区间的形式） 题型1：给定解析式，求定义域 1)分式的分母不为零. 2)偶次方根的被开方数不小于零. 3)零次幂的底数不为零. 4)对数函数的真数大于零. 5)指、对数函数的底数大于零且不为1. 6）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（各部分取交集） 1、求 的定义域. 2、（2008安徽文、理）函数2()f x =的定义域为 ．[解析] [3,)+∞；由?? ?≠->-≥--1 1,01012x x x 解得3≥x 3、（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4Y -； B . ()()4,11,4Y --； C . ()()2,11,2Y --； D . ()()4,22,4Y -- [解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,222 2.x x ?-< ? ?-< 解得()()4,11,4x ∈--U 。故?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4Y --.选B. 题型2：抽象函数的定义域 1、 已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ， 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 2、已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a ， 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a . 2(); f x =1(,0)(0,3]3-U 题型3：实际问题中函数的定义域 题型4：做题时优先考虑定义域（如判断函数是否相等，画图象，求单调区间，求值域、最值、判断奇偶性，解不等式等） ? 周练8第15题，《二教》P78题型五 ? 考点2: 求函数解析式（代入法、换元法、待定系数法、解方程组法、通过图像、实际问题） 1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2 +-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法 令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(9552 16)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-?--=，所以)(95)(2 R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法 因为9)12(5)12(410)12(564)12(2 2 2 ++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f ，所以)(95)(2 R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法 因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2 )(，从而由564)12(2 +-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、， 所以)(95)(2 R x x x x f ∈+-= 2.已知函数)(x f 满足x x f x f 3)1 (2)(=+，求)(x f （解方程组法）因为ΛΛx x f x f 3)1(2)(=+①，以x 1代x 得ΛΛx x f x f 1 3)(2)1(?=+② 由①②联立消去)1(x f 得) 0(2 )(≠-=x x x x f ? 考点3：值域、最值 题型1：已知解析式，求值域或最值 （1）配方法 （2）换元法 （3）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 （4）利用函数的单调性 （5）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） （6）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求 如函数)32(log 2 2 1++-=x x y 就是利用函数u y 2 1log =和322++-=x x u 的值域来求。 ? P61借题发挥2，P78借题发挥3，P79备选例题例1，当堂检测6，基础巩固1，P80基础巩固6 题型2：抽象函数的最值问题.《二教》P38题型四 题型3：含有参数的最值问题 1、动轴定区间、定轴动区间、动轴动区间（详见笔记） ? 《二教》P60能力提升5，6 ，P40基础巩固6 ? 考点4：单调性 题型1：求单调区间（函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域） （注意：单调区间不能∪） 1、函数()() 22log 4f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(0,4); B ．(0,2); C ．(2,4); D ． (2,)+∞ [解析] C ；由042 >-x x 得40< 2+--=-=x x x u 知函数u 在)4,2(上是减函数，根据复合函数的单 调性知函数()() 22log 4f x x x =-的单调递减区间是)4,2( 2、函数212 log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A ．52??+∞ ???，； B ．(3)+∞，； C ．52??-∞ ??? ，；D ．(2)-∞， [解析] D ；由0652>+-x x 得2 )2 5(6522--=+-=x x x u 在(2)-∞，上是减函数，u y 2 1log =在),0(+∞上是减函数，所以函数212 log (56)y x x =-+的单调增区间为(2)-∞， 题型2：判断函数的单调性 1、快速判断： 增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； 1 ()-()() f x f x f x 与 、 ，复合函数f （g （x ））的单调性：同增异减 2、定义法：五步骤①任意取x 1、x 2；②作差或作商；③变形；④定号；⑤下结论。 （对数函数型可以先比较真数的大小） ? 《二教》P78题型四、借题发挥，P79备选例题例3 题型3：抽象函数的单调性 定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当x ＞0时，1)(>x f ，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2 ）＞1，求x 的取值范围. [解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 [解析]（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2 （0）. 又f （0）≠0，∴f （0）=1. （2）证明：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1. ∴f （－x ）= ) (1 x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0， ∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0. （3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）. ∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1. 又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）. ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数. （4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2 ）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数， ∴3x －x 2 ＞0.∴0＜x ＜3. ? 《二教》P36能力提升8，新题速递2，P38题型四，周练7第21题， 题型4：已知函数单调性，求参数的取值范围. 1、已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+ [解析] )3 1 ,71[；要x y a log =在)1[∞+，上是减函数，则10< 3 171<≤a ? 《二教》P34题型四，周练7第7题 ? 考点5：奇偶性（具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称） 题型1：利用定义判断函数奇偶性 ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． ◆ 注意：1、函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称 则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 1、判断下列函数的奇偶性 （1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·x x -+11；（3）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（4）?? ?>+<-=). 0() 1(),0()1()(x x x x x x x f [思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 [解析] （1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由 x x -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由? ??≠-+≥-,02|2|,012x x 得???-≠≠≤≤-.40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0. 从而有f （x ）= 2212 -+-x x =x x 21-，∴f （－x ）=x x ---2)(1=－x x 21-=－f （x ） 故f （x ）为奇函数. （4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数. ◆ 注意：分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 2、若偶函数()f x 在(,1)-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．3()(1)(2)2f f f -<-<； B ．3(1)()(2)2f f f -<-<； C ．3(2)(1)()2f f f <-<-； D ．3(2)()(1)2 f f f <-<- [解析]D ；因为)(x f 为偶函数，故)2()2(-=f f ，又12 3 2-<-<-，()f x 在(,1)-∞-上是增函数， 所以)1()2 3()2(-<- 定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有)1( )()(xy y x f y f x f ++=+，求证f (x )为奇函数； [解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = )0()0 10 0(f f =++∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1)∴ f (x ) + f (－x ) = f (2 1x x x --) = f (0) = 0 ∴ f (－x ) =－f (x )∴ f (x ) 在(－1，1)上为奇函数 ◆ 注意：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件， 尤其是f (x 1) －f (x 2) = f (x 1) + f (－x 2) 题型3：根据奇偶性确定参数 1、已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是定义域为]2,1[a a -的偶函数，则b a +的值是（ ） A ．0；B ． 3 1 ；C ．1；D ．1- [解析]B ；由函数b a bx ax x f +++=3)(2是定义域为]2,1[a a -的偶函数得0=b ，并且a a 21-=-，即3 1 = a ，所以 b a +的值是0 2、已知函数c bx ax x f ++=1 )(2（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数,又2)1(=f ，3)2( [解析]011===c b a ，，；由f （－x ）=－f （x ） ，得－bx +c =－（bx +c ）. ∴c =0，由f （1）=2，得a +1=2b ，由f （2）＜3，得11 4++a a ＜3， 解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，∴a =0或a =1.若a =0，则b =2 1 ，与b ∈Z 矛盾.∴a =1，b =1，c =0. ? 相关练习：《二教》P44例4 题型4：周期问题 ()()()()1 ()() f x a f x a f x a f x a f x a a f x +=+=-+=± 周期是周期是2 周期是2 1、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()1)(2=+x f x f ，若()15,f =-则()=-5f __________ [解析]5 1 - ；由()1)(2=+x f x f 得())(12x f x f =+，进而得())(4x f x f =+ 所以()5 1 )1(1)21(1)1()45(5-==+-= -=+-=-f f f f f 2、已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +?=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则(119)f = ________ ()()()(+)()()+()()y f x a y f x a y f x a y f x a y f x a y f x a y f x a y f x a ==-======-向右平移个单位 向左平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 ()()()()()()y f x y f x y f x y f x y f x y f x ==-==-==--关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 ()(||)()|()|y f x y f x y f x y f x ====保右印左 保上翻下 [解析]由(2)()1f x f x +?=得到) (1 )2(x f x f = +，从而得)()4(x f x f =+，可见)(x f 是以4为周期的函数，从而)3()3294()119(f f f =+?=，又由已知等式得) 1(1 )3(f f = ，又由()f x 是R 上的偶函数得)1()1(-=f f ，又在已知等式中令1-=x 得1)1()1(=-?f f ，即1)1(=f ，所以1)119(=f 3、设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，0)()2(=++x f x f ，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 为 [解析] 5.0-；由)()2(x f x f -=+得)()4(x f x f =+，故)(x f 是以4为周期的函数，故)5.0()85.0()5.7(-=+-=f f f ，又)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且当10≤≤x 时，x x f =)(所以5.0)5.0()5.0()5.7(-=-=-=f f f ? 《二教》P44例2 题型5：奇偶性的应用 1、已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，若当(0,)∈+∞x 时，()lg =f x x ，则满足()0>f x 的x 的取值范围是 ． [解析](1,0)(1,)-+∞U ；当0 )lg()(x x f --=，即? ? ?<-->=0),lg(0 ,lg )(x x x x x f 。当0>x 时由()0>f x 得1>x ；当0 ? 考点6：函数的图像 ? 变换作图法 1、平移： 2、对称： 左右平移，注意x 前的系数必须是1. 注意：1、选择题可以通过定义域，特殊点快速排除错误选项. 2、含绝对值的函数，先去绝对值，写成分段函数，再画图 函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是( ) 第3讲 基本初等函数 ★知识梳理 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ???<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：N x a log = （a — 底数，N — 真数， N a log — 对数式） 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N M a log M a log －N a log ；○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式log log log c a c b b a = ，log log m n a a n b b m =，1log log a b b a = （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0 (log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是+∞（0，） 2 （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象凹；当10<<α时，幂函数的图象凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． ★考点题型及相关练习 考点1：比较多个数的大小 以0,1对数进行分类，再通过化成同底等变形，或作差作商再比较. 考点2：恒过定点问题 指数型：y ka b =+V ，令△=0，解出x ，在代回原函数求y. 对数型：l g a y k o b =+V ，令△=1，解出x ，在代回原函数求y. 考点3：计算题（注意记清楚运算公式） 考点4：利用单调性解不等式（先化成同底，再利用单调性求解） 第4讲 函数的应用 ★知识梳理 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 注意：零点是数，不是点 2、函数零点的意义： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根；经常分离成两个函数，通过观察两个函数图象的交点来求解. ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数 )0(2 ≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程02 =++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程02 =++c bx ax 有两相等实根，二次函数图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 第5讲 综合应用 ★考点题型及相关练习 考点1：恒成立问题 1、课堂补充的二次函数值域为R 、定义域为R 的问题 ? 周练9第18题，周练8第21题 已知函数)(x f y =，若存在000)(x x f x =，使得，则0x 称是函数)(x f y =的一个不动点，设.7 23 2)(-+-=x x x f （Ⅰ）求函数 )(x f y =的不动点； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点a 、b （假设b a >），求使 b x a x k b x f a x f --?=--)()(恒成立的常数k 的值； 解：（Ⅰ）设函数32 1 7-232-,)(000000=-==+=x x x x x x x f y ，，解得则 的不动点为…7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2 13 8212482172323 72322 1,3+ -?=+-+-=+-+---+--==x x x x x x x x b a ， 可知使 b x a x k b x f a x f --?=--)()(恒成立的常数8=k . ……………………14分 2、已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a 的取值范围。 [解题思路] 欲求参数a 的取值范围，应从[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立的具体情况开始。 [解析]Θ02)(2>++= x a x x x f 在区间),1[+∞上恒成立；∴022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立； ∴a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立；Θ函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3，∴3<-a 即3->a 3、设?????≥-<=-, 2),1(log . 2,2)(2 21 x x x x f x π则不等式02)(>-x f 的解集为 [解析] ),5()2,1(+∞Y ；当2 当2≥x 时，由02)(>-x f 得2)1(log 2 2>-x ，得5> x 4、已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数。 （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围； [解析]（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以0)0(=f ，即1 11201()22 x x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由)1()1(, --=∴f f 知1 1122 2.41 a a a - -=-?=++ （Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知11211 ()22221 x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数。又因()f x 是奇函数，从而不等式：2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<等价于2 2 2 (2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数， 由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式1 4120.3 k k ?=+ [解法二]由（Ⅰ）知112 ()22x x f x +-=+．又由题设条件得：2 2 22222121 121202222 t t t k t t t k ---+-+--=<++， 即22 2 2 21 221 2(2 2)(12)(22)(12)0t k t t t t t k -+--+-+-++-<，整理得2 3221,t t k -->因底数2>1,故:2320t t k --> 上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3k k ?=+ 考点2：其他综合练习 1、(14分) 已知函数y =f (x )=c bx ax ++1 2 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<2 5. 试求函数f (x )的解析式 [解析]∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx c bx ax c bx ax -=+?+-+-=++1 122 ∴c =0, ∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22 b a =2,∴a = b 2 , 由f (1)＜25得b a 1+＜25即 b b 12+＜25, ∴2b 2 －5b +2＜0,解得21＜b ＜2， 又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x 1 . 2、若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x ∈［2,3］时,f(x)=x －1.在y=f(x)的图象上有两点A 、B,它们的纵坐标相等,横 坐标都在区间［1,3］上,定点C 的坐标为(0,a )(其中2 (1) 求当x ∈［1,2］时,f(x)的解析式; (2) 定点C 的坐标为(0,a )(其中2 [解:析](1)∵f(x)是以2为周期的周期函数,当x ∈［2,3］时,f(x)=x －1, ∴当x ∈［0,1］时,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1. ∵f(x)是偶函数,∴当x ∈［－1,0］时,f(x)=f(－x)=－x+1, …………2分 当x ∈［1,2］时,f(x)=f(x －2)=－(x －2)+1=－x+3. …………4分 (2)设A 、B 的横坐标分别为3－t,t+1,1≤t ≤2,则|AB|=(t+1)－(3－t)=2t －2, …………6分 ∴△ABC 的面积为S=2 1(2t －2)·(a －t)=－t 2 +(a+1)t －a(1≤t ≤2)=－(t －21+a )2+ .4122+-a a ∵2 3<21+a <2.当t=21 +a 时,S 最大值= .4122+-a a …………12分 考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用 3、已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。 [思路点拨]欲求m 的取值范围，就要建立关于m 的不等式，可见，只有从 0)12()1(>-+-m f m f 出发，所以应该利用)(x f 的奇偶性和单调性将外衣“f ”脱去。 [解析] Q )(x f 是定义在)2,2(-上奇函数 ∴对任意x ∈)2,2(-有()()f x f x -=- 由条件0)12()1(>-+-m f m f 得(1)(21)f m f m ->--=(12)f m - Q )(x f 是定义在)2,2(-上减函数 ∴21212m m ->->->，解得12 23 m - << ∴实数m 的取值范围是12 23 m -<< 4、设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1) －2a +1).求a 的取值范围，并在该 范围内求函数y =( 2 1)132+-a a 的单调递减区间. [解析]设0 ∴f (－x 2) .03 2 )31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)