第10讲 数学思想方法(一)——画图法
【五升六】小学数学奥数第10讲：火车行程问题-教案
（PPT出示）生：不对。
师：是的，同学们是不是发现题目中有个条件没用到，火车长150米？那我们要怎么应用这个条件呢，我们来看下屏幕。
（PPT出示）师：同学们，我们先来看下车头，它行驶了多少路程呢？生：800+150,950米。
师：不错，看来同学们自己已经发现了这类行程问题的特殊性。
我们在做这类行程问题我们要注意别忘记计算的是什么？生：别忘记计算火车的长度。
师：说得不错，所以本题正确解题是：板书：（800+150）÷19=50（秒）答：需要50秒。
（PPT出示)练习一：（5分）一列火车长360米，每秒钟行18米。
全车通过一座长90米的大桥，需要多少时间？分析：本题也是火车行程问题的基本应用，只要计算路程的时候别忘记计算火车长度就可以正确解题。
板书：（360+90）÷18=25（秒）答：需要25秒。
师：同学们，我们来猜个谜语，动动你的小脑子，第一个猜到奖励2个大拇指！你盼我来，我盼你来（打一数学名词）相等（PPT出示）（二）例题二：（10分）一列火车穿过长2400米的隧道需1.7分钟，以同样的速度通过一座长1050米的大桥需48秒，这列火车长多少米？(PPT出示）师：同学们，看完了例题二，这里面哪几个量是固定不变的？生：火车速度、火车长度。
师：不错，但我们是不是发现它们都是未知的，那我们有什么办法进行求解呢？8、9、10、12（PPT出示）（二）例题四：（10分）甲火车长210米，每秒钟行18米，乙火车长140米，每秒钟行13米。
乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。
求甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？师：同学们，本题中出现了两列火车追及问题。
但它们是有长度的，我们先来看看，它们的追及路程是什么。
（PPT出示）师：我们来看看甲车的车头，追上和完全超越乙车时，甲车车头位置发生了什么变化？生：追上的时候甲车车头在乙车车头后面140米，完全超越时，甲车车头在乙车车头前面210米。
高三数学第二轮复习教案 第10讲 参数取值
高三数学第二轮复习教案第10讲 参数取值问题的题型与方法（一）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。
一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1：已知当x ∈R 时，不等式a +cos2x <5-4si nx +45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4si nx +cos2x <45-a -a +5要使上式恒成立，只需45-a -a +5大于4si nx +cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f （x ）=4si nx +cos2x 的最值问题。
f （x ）= 4si nx +cos2x =-2si n 2x +4si nx +1=-2（si nx -1）2+3≤3， ∴45-a -a +5>3即45-a >a +2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a <8说明：注意到题目中出现了si nx 及cos2x ，而cos2x =1-2si n 2x ，故若把si nx 换元成t ，则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
另解：a +cos2x <5-4si nx +45-a 即a +1-2si n 2x <5-4si nx +45-a ，令si nx =t ，则t ∈[-1，1]， 整理得2t 2-4t +4-a +45-a >0，（t ∈[-1，1]）恒成立。
设f （t ）= 2t 2-4t +4-a +45-a 则二次函数的对称轴为t =1，∴f （x ）在[-1，1]内单调递减。
二年级下册数学(数学思维)-第10讲 队列问题全国通用 (18张)
答：共有17名小朋友在做游戏。
分割法！ 4个4多1
“十”字形队
练一练
同学们排列做操，有20人，从左边数第6个是小明，从右边数 第九个是小军。那么小明和小军中间有几人？
20-6-9=5（人） 答：小明和小军中间有5人
练一练
20名同学排成一列，小巧前面有6人，小丫正好在小巧后）－第10 讲 队列问题全国通用 (18张)
猜一猜
用棋子排成两层空心方阵，最外边每边6个。求棋子的总数。
用“补”的方法， 用“割”的方法， 用“割”的方法，
6个6少4是32。 8个4是32。
4个8是32。
（1）6×6-4=32（个） （2）8×4=32（个）（3）4×8=32（个） 答：棋子的总数是32个。
5 × 5 = 25（枚） 答：他共摆了25枚棋子。
二年级下册数学（数学思维）－第10 讲 队列问题全国通用 (18张)
二年级下册数学（数学思维）－第10 讲 队列问题全国通用 (18张)
举一反三
请你画个设计图：二年级（3）班庆祝圣诞节，要求把10 棵圣诞树排成5行，每行摆四棵。
二年级下册数学（数学思维）－第10 讲 队列问题全国通用 (18张)
实心方阵
练一练
二年级（5）班有36人，排成四列纵队去春游，小方排在第5个， 他后面有几人？
36 ÷ 4 - 5 = 4（人）
答：他后面有4人。
算一算
有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，每 边站的人数相等，那么每边站几人？
算式：(16+4）÷4=5（人）
答：每边站5人。
让四个角上的人站好，重复数 一次，所以总数变成16+4=20。 空心方阵
十大数学思想方法
十大数学思想方法数学思想是数学研究活动中解决问题的根本方法,是数学的灵魂和生命力。
因此,在教学过程中,要重视数学思想的提炼、渗透。
分析近几年的高考试题,高考中重点考察学生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化或化归思想。
在不等式解题中,若能恰当地运用这些思想方法,可使许多复杂问题化难为易,化繁为简,从而达到优化解题过程,提高思维能力的目的。
一、函数与方程思想函数与方程是高中数学内容之重点,应用广泛,是解决数学问题的有力工具,在高考中占据非常重要的地位。
因此,在教学中要培养学生如何建立函数关系或构造函数,运用函数的图像、性质去分析问题,解决问题。
例1已知某∈(0,+∞),求证: 根据不等式的结构特征,恰当地构造辅助函数,此时,若均值不等式取最值时等号不成立,常常考虑利用函数的单调性来解决。
二、分类讨论思想分类讨论是数学能力培养的一个重要组成部分,在解某些数学问题时,当在整个范围内不易解决时,往往可以将这个大范围划分成若干个小范围来讨论研究。
分类讨论只能确定一个标准,必须坚持不重不漏的原则。
例2.设a为实数,函数f(某)=2某2+(某-a)|某-a|。
(1)求f(某)的最小值; (2)设函数h(某)=f(某),某∈(a,+∞)解不等式h(某)≥1评注:分类讨论的关键是要根据问题实际找到分类的标准,本题函数解析式中含有绝对值,所以首先必须分类讨论去绝对值,其次在解不等式中必须对判别式△进行讨论,当△>0时还需讨论根的大小。
分类时标准的确定须使任何两类交集为空集且并集为全集,这样才能在解题过程中,做到分类合理,并力求最简。
三、数形结合思想数与形是现实世界中客观事物的抽象与具体的反映。
数形结合思想,其实质是将代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起来,通过对图形的处理,实现代数问题几何化,几何问题代数化。
解题时要充分进行数形转换,借助数的逻辑推演与形的直观特性求解,既直观又深刻。
例3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。
十大数学思想方法
数学（mathematics或maths，来⾃希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的⼀门学科，从某种⾓度看属于形式科学的⼀种。
下⾯请欣赏店铺为⼤家带来的⼗⼤数学思想⽅法，希望对⼤家有所帮助~ 1、配⽅法： 所谓配⽅，就是把⼀个解析式利⽤恒等变形的⽅法，把其中的某些项配成⼀个或⼏个多项式正整数次幂的和形式。
通过配⽅解决数学问题的⽅法叫配⽅法。
其中，⽤的最多的是配成完全平⽅式。
配⽅法是数学中⼀种重要的恒等变形的⽅法，它的应⽤⾮常⼴泛，在因式分解、化简根式、解⽅程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等⽅⾯都经常⽤到它。
2、因式分解法： 因式分解，就是把⼀个多项式化成⼏个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的⼀个有⼒⼯具、⼀种数学⽅法在代数、⼏何、三⾓函数等的解题中起着重要的作⽤。
因式分解的⽅法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、⼗字相乘法等外，还有如利⽤拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法： 换元法是数学中⼀个⾮常重要⽽且应⽤⼗分⼴泛的解题⽅法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在⼀个⽐较复杂的数学式⼦中，⽤新的变元去代替原式的⼀个部分或改造原来的式⼦，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理： ⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a≠0）根的判别式△=b2—4ac，不仅⽤来判定根的性质，⽽且作为⼀种解题⽅法，在代数式变形，解⽅程（组），解不等式，研究函数乃⾄解析⼏何、三⾓函数运算中都有⾮常⼴泛的应⽤。
韦达定理除了已知⼀元⼆次⽅程的⼀个根，求另⼀根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应⽤外，还可以求根的对称函数，计论⼆次⽅程根的符号，解对称⽅程组，以及解⼀些有关⼆次曲线的问题等，都有⾮常⼴泛的应⽤。
5、待定系数法： 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，⽽后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从⽽解答数学问题，这种解题⽅法称为待定系数法。
小学十大数学思想方法
小学十大数学思想方法数学是一门抽象而又具体的学科，它是一种思维方式，也是一种解决问题的工具。
在小学阶段，数学思想方法的培养尤为重要，它不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
下面，我们就来介绍小学十大数学思想方法。
1. 观察法。
观察是数学思维的起点，通过观察，学生可以发现问题的规律和特点，从而更好地解决问题。
例如，通过观察不同形状的图形，学生可以总结出它们的特点和性质，从而更好地理解几何知识。
2. 比较法。
比较是一种重要的思维方式，通过比较不同的数学对象，学生可以找出它们的相同点和不同点，从而更好地理解数学概念。
例如，比较不同大小的数值，可以帮助学生理解数值的大小关系。
3. 分类法。
分类是整理和归纳的一种重要方式，通过分类，学生可以将问题进行归类，找出其中的规律和特点。
例如，将不同形状的图形进行分类，可以帮助学生更好地理解图形的性质和特点。
4. 推理法。
推理是数学思维的核心，通过推理，学生可以从已知的条件出发，得出未知的结论。
例如，通过已知的几何定理，可以推导出一些未知的几何性质。
5. 归纳法。
归纳是从具体到一般的思维方式，通过归纳，学生可以从具体的事例中总结出一般的规律和结论。
例如，通过观察一系列数列的规律，学生可以总结出数列的通项公式。
6. 演绎法。
演绎是从一般到具体的思维方式，通过演绎，学生可以从一般的规律出发，得出具体的结论。
例如，通过已知的数学定理，可以推导出一些具体的数学问题的解法。
7. 抽象法。
抽象是数学思维的重要特点，通过抽象，学生可以将具体的问题转化为符号或者图形，从而更好地进行推理和计算。
例如，将实际问题转化为代数方程式，可以帮助学生更好地解决问题。
8. 反证法。
反证是一种重要的证明方法，通过反证，学生可以通过假设反命题，从而推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
例如，通过反证法可以证明平行线的性质。
9. 递归法。
递归是数学思维的一种重要方式，通过递归，学生可以通过递推关系得出数列的通项公式。
利用画图法解决小学数学问题的教学心得
利用画图法解决小学数学问题的教学心得摘要：在小学数学问题解决策略中，画图策略是一种较为直观的方式，便于学生理解小学数学问题的内涵。
画图策略可以直观地将较为抽象的问题具象化，让学生正确地理解问题要点。
让学生用这种画图策略来解决问题，也是便于学生在今后遇到更为复杂的问题时可以形成固定的思维模式。
在解决问题时，让学生了解问题中的重点，以及问题设置想要表达的内涵，在题目中找到存在的数量关系，从而利用画图来直观地看待问题。
关键词：小学数学；画图教学；策略小学阶段，学生的逻辑思维能力还没有形成，在分析某些数学问题时，思路不清晰，尤其是在解决一些应用题时，缺少分析的能力，画图法可以很好地解决这一问题。
在小学阶段，常用的画图法有线段图、实物以及示意图，学生根据具体问题，结合自身掌握情况具体分析，选择适合题目、适合自己的合理画图方法，梳理清楚题目中的数量关系，提高解决数学问题的能力，除此之外，从素质教育方面，培养了学生的逻辑思维能力，提高了学生的认知能力。
一、对运用画图法解决数学问题的价值思考1.1画图能把学生的兴趣与数学学习相结合小学生特别喜欢画画，如果您是一位细心的老师或家长，一般都能从这个年龄段学生的书包里发现一本或几本有图或画的本子，这是课间或闲暇时一个学生或几个学生一起交流和活动的场所。
游戏本或画画本，里面画满了只有学生们才能读懂的游戏规则和游戏过程。
兴趣是最好的老师，既然学生们这么喜欢画画，喜欢用图画表达各自不同的想法，我就利用他们擅长画画的特点，把“图”与数学学习相结合，激发他们的数学学习兴趣，让他们用自己喜爱的方式画图，通过生动有趣的原生态图形，使数学与图形结合，以画促思，最终化复杂为简单，化抽象为直观，从而更好地寻找问题的答案。
同时，让他们在尝试中体会到画图解题的快乐，体验用画图法解题带来的成功感和价值感。
1.2教学相长，提高教师自身的专业素养学生学习画图法需要教师进行专业的指导，也就是说教师需要对教材进行研读，把教材中的能用画图法解决的数学问题做一个归类总结，并且在实践中去研磨和反思，同时，教师还需要对小学阶段整个的数学知识系统有统一的构架，并根据不同知识点适合不同示意图进行分类、归纳。
十大数学思想方法
十大数学思想方法数学是一门既宏大又精巧的学科，它的发展离不开各种思想方法的推动。
本文将介绍十大数学思想方法，包括归纳法、演绎法、反证法、类比法、综合法、递归法、直觉法、猜想法、近似法和分析法。
归纳法是数学推理中常用的一种思想方法。
通过观察个别现象，总结其共同的特征，并从中归纳出一般规律。
例如，从求和公式的若干个特例中，我们可以猜测并通过归纳法证明求和公式的一般形式。
演绎法是数学推理的另一种重要思想方法。
它通过已知的定理和命题，运用逻辑关系来推导出结论。
在证明几何定理时，我们常常使用演绎法，从已知的条件出发，通过一系列的推理步骤得到所需的结论。
反证法是一种常见且有效的数学思想方法。
它假设所要证明的结论不成立，然后通过推理和论证，得出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
反证法在数学证明中应用广泛，它常常能够简化证明的过程，提高证明的效率。
类比法是数学思考中的一种重要方法。
通过将已知问题与类似的问题进行比较和类比，我们可以从已解决的问题中获得启示，进而解决当前的问题。
类比法在数学建模和问题求解中有着广泛的应用。
综合法是一种将不同的方法和思想综合运用的思维方式。
它通过综合不同的理论和方法，得到一个更全面、更深入的结论。
综合法在数学研究中起着重要的作用，帮助我们理解和解决复杂的问题。
递归法是一种通过不断递推和迭代的方法来解决问题的思想方法。
通过将大问题分解为小问题，并通过递归推导，最终得到整体的解决方案。
递归法在计算机科学和离散数学中得到广泛应用，尤其在算法设计和数据结构方面起到关键作用。
直觉法是数学思考中的一种重要方法。
它基于个人的直观感受和经验，通过直观的理解和直觉的推测来解决问题。
虽然直觉法不能代替严密的逻辑推理，但它常常是启发数学家发展新理论和解决难题的源泉。
猜想法是一种通过猜测和假设来推动数学研究的思想方法。
当面对一个未解的问题时，我们可以通过猜想和假设来寻找一种可能的解决方案，然后通过证明或反证来验证我们的猜想。
第十讲画-示-意-图
第十讲画示意图一、知识要点和基本方法1．画示意图，图形具有直观性，但在实际数学问题中的具体含意，具体条件以及数量关系往往比较隐蔽，比较复杂．那么画示意图是指将实际数学问题中隐蔽复杂的内涵条件以及复杂的数量关系画出示意图，用几何图形的直观形象表示出来．这样不仅简单明了，而且容易从整体上把握题目，便于思考和求解．俗话说，“一图顶千言”．2．常见的几种示意图．（1）画线段图，即把文字的含义用线段表示出来．例如：“和差问题”、“和倍问题”、“差倍问题”、“行程问题”，等等，用线段图解起来，往往比用公式要简单明了得多．如：图10－1（a）表示甲等于乙．若甲等于乙与丙之和的一半，则可如图10－1（b）所示，对于甲的3倍等于乙的2倍，则可画成图10－1（c）．图10-1画线段示意图注意两点，其一，线段一端点对齐，便于比较观察；其二，标志明确，使线段含义清楚明白．（2）画矩形图、正方形图，即把文字的具体含义用矩形图、正方形图表示出来．由于矩形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长．一般而言，运算同这两个算式类似的问题往往能用矩形图或正方形图表示出来．例如：一辆汽车每小时行驶5千米，10小时行驶多少千米？由于“距离=速度×时间”与“面积=长×宽”相似，这个数量关系就可以用矩形图（图10－2）表示，题目中的条件与矩形图的对应如下：图10-2时间−−→长；速度−−→宽；距离−−→面积．一只免有4条腿，6只兔有多少条腿？6−−→长；4−−→宽；总腿数−−→面积．一个工人每天可以做零件100个，10天做多少个？如何对应，请自己考虑，然后画个矩形图看一看．（3）画“树图”．什么样的图叫做“树图”呢？实例：从甲村到乙村有两条路可走，从乙村到丙村有三条路可走（如图10－3），那么从甲村到丙村有几条路可走呢？图10-3 图10-4根据题意可知从甲村到乙村的每条道路都对应着从乙到丙村的三条道路．于是我们可画出如图10－4的图形．从这图形中明显地告诉我们：从甲村到丙村有6条路可走．在数学上将类似图10－4的这种没有回路的图叫做“树图”．现实生活中最典型的“树图”是“家谱”．画“树图”是计数问题中一种基本思考方法．（4）行进斜线．如图10－5，水平横线上点A、B分别表示两地的位置，垂直线表示时间（单位：小时）．图10-5比如甲从A地出发经6小时到达B地，就将过A的时间轴上的0点，与过B的时间轴上的6的点连结成一斜线，则此斜线就表示甲从A到B之间的各地的时间，例如到C点的时间就是CP，到D点的时间就是DQ等，从图中量出CP≈4，DQ≈5．我们称此“斜线”为“行进斜线”．行进斜线既可以表示地点、时间，也可以表示速度大小，速度越大，斜线的坡度越级（小）．3．需要读者注意的是，来自于生活实际的数学问题，千变万化，错综复杂，灵活性很强．上面介绍的只是几种典型的情况．实际解数学题时绝不能拘泥这几种示意图，比如还有东、西、南、北方向图，阶梯形图，等等．因题而定，只要画出的示意图能帮助思考、推理，或简化解答都可以．二、例题精讲例1 甲、乙两班同学去滨江公园春游，但只有一辆车接送．甲班学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行出发．车行到途中某处，让甲班学生下车步行，车立即返回接乙班学生上车并直接开往滨江公园．两个班的学生步行速度均为每小时5千米，汽车带学生行驶的速度为每小时50千米，空车行驶的速度为每小时60千米．问：要使两班学生同时到达滨江公园，甲班学生步行了全程的几分之几？分析 甲、乙两班要同时到达公园，则两班学生步行路程必相等．若设两班学生均走了S 千米，全程有S 千米坝0行程可用图10－6表示．（其中A 表示学校，B 表示公园，甲班乘车从A 到D 下车步行到B ，乙班步行从A 到C 乘车到B ）图10-6可利用甲班步行（DB ）所用时间了（小时）与乙班坐车（CB ）时间50s x -（小时）及空车返回（CD ）时间260s x -之和相等关系来列方程求解． 解 设全程为S 千米，甲班学生步行x 千米．则可列方程：（参考图 10－6）250605s x s x x ---=()()65260s x s x x -+-=6651060s x s x x -+-=7611x s =所以 1176x s = 答 甲班学生步行了全程的76·例2 幼儿园有3个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分了5个枣，问3个班总共分了多少个枣？分析 作长方形示意图．图10-7如图10－7所示，其中AB、BD、DG分别表示丙、乙、甲3班小孩的人数，GH、DK、BN分别表示甲、乙、丙3班小孩每人分的枣数，则BD=AB＋4，DG=BD ＋4=AB＋8，这里CD=EF=FG=4，BN=DK＋5，DK=HG＋3，这里PN=5，KY=3．这样一来长方形DGHY，BDKP，ABNO的面积便分别表示甲、乙、丙3班小孩分得枣的总数．添辅助线后，从图10－7中可以看出：长方形ABRQ、BCXR、DEJ Y的面积相等．根据题意，长方形EGHJ的面积等于长方形QRNO的面积加8（=3＋5）．而长方形EGHJ的面积等于8 ×HG，长方形QRNO的面积等于AB × RN=8×AB．即8×HG=8×AB＋8，所以HG=QA=AB＋1．另外长方形BDYR 与长方形DFIY的面积相等，根据题意长方形FGHI的面积等于长方形RYKP的面积加3，而长方形FGHI的面积等于4×GH，长方形RYKP的面积等于3×RY，所以4×GH=3×RY＋3=3×（BC＋4）＋3=3×BC＋15，即4×（AB＋l）=3×AB＋15，最后可求出AB=11，HG=12，有了这两个数，便可求出总共分了多少个枣．解因为甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班又比丙班总共多分了5个枣，所以长方形EGHJ的面积等于长方形QRNO的面积加8，长方形FGHI的面积等于长方形RYKP的面积加3，即8 ×HG=8 ×AB＋8，4×GH=3×BD＋3．所以HG=AB＋1，4×（AB＋1）=3×（AB＋4）＋3，最后求得AB=11，HG=12．所以甲班总共分枣数为：（11＋4＋4）×12=228（个），乙班总共分枣数为：（11＋4）×（12＋3）=225（个）丙班总共分枣数为：11×（12＋3＋5）=220（个），3个班总共分枣数为：228＋225＋220=673（个）．答3个班总共分枣673个．例3某人从A城出差到E城．沿途须经过若干城市．如图10－8．每条线上的数字表示从这个城市到另一个城市所需费用（单位：百元）．问按图10－8每条线上所标数字，从A城到E城全程所用旅费最省的路线是哪条？费用多少？图10-8分析若从A开始逐一计算所有可能路线上的花费，计算量过大，不是好办法．但对于总费用最省的那条路线而言，不论前一段路线如何进行，从该城市到终点E城的途中费用一定也是最省的．因此，我们可以从终点城市E出发“倒推”回去，逐一淘汰花费较高的路线，从而找到旅费最省的路线．这项推理，我们仅在图上推演，即可一目了然．解第一步；图10－9从E 经A 1、D 2到C 1、C 2、C 3首先淘汰最贵的三条路线，其花费为2+5=7及2+6=8．第二步：图10-10进而考虑从E 经D 1、再经123C C C 、、到B 1、B 2的所有可能路线．淘汰最贵路线，如E 1−−→D 1 3−−→ 1C B 2，它的花费为1＋3十4=8．（还有E 1−−→ D 13−−→2C 3−−→B 1，它的花费为1＋3＋3—7，但同样可以到达B 1的另一路线为E 1−−→D 1 3−−→ 1C 2−−→ B 1，其花费为1＋3＋2=6）．第三步：图10-11最后，从图10－10中易选出最省路线为：E →D 1→2C →B 2→A 它的总花费为1＋3＋3十2=9（百元）．答总费用最省路线为A→B2→C→D1→E，总费用为900元．2例4甲在南北路上，由南向北行进，乙在东西路上，由西向东行进，甲出发的地点在两条路交叉点南1120米，乙在交叉点出发，两人同时开始行进，4分钟后，甲乙两人所在的位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南），再经过52分钟后，两人所在的位置又与交叉点等远（这时甲在交叉点北），问甲乙两人一分钟各行多少米？分析只有通过作图才能反映出题意．作一个标有方向和甲乙两人位置的十字交叉图（图10－12（a））．（a）（b）（c）图10-124分钟后，甲乙的位置如图10－12（b）所示，此时可以认为甲、乙两人所走的路程和是1120米，则两人的速度和是1120÷4=280（米/分）．再经过52分钟，即（4＋52）分钟后，甲乙的位置如图10－12（c），此时可以认为甲比乙多走了1120米．因此，两人的速度差是1120÷（4＋52）= 20（米/分）．已知两个数的和是280，差是20，求两个数各是多少．这类和差问题我们在四年级时已经学过．解由题意，甲的速度大于乙的速度，两人的速度和为1120÷4=280（米/分）；两人的速度差为1120÷（4＋52）= 20（米/分）．所以甲的速度是（280＋20）÷ 2=150（米/分）；乙的速度是（280－20）÷ 2=130（米/分）．答甲每分钟行150米，乙每分钟行130米．例5甲乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢；如果没有人连胜头两局观，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问一共有多少种可能的情况出现．解我们用“树图”方法讨论本题，如果甲先胜第一局则出现如图10－13所示的7种可能的情况．同理，乙先胜第一局也有7种可能的情况．所以一共有7+7=14种可能的情况出现．图10-13例6甲、乙两人步行走完连结A村与B村的同一条路，分别需要6小时、10小时．（1）如果甲、乙分别从A村万村同时相向出发，几小时相遇？（2）如果甲、乙都从A村出发去乙村，但乙先行两小时，那么甲几小时追上乙？解利用“行进斜线”求解我们的问题．（1）如图10－14．画出甲从A到B与乙从B到A的行进斜线，两斜线交于P点，过P点作AB的垂线交AB于C，则C点就是相遇地点而CP的长就表示相遇的时间，量得CP≈4（小时）．图10-14 图10-15（2）如图10－15．画出甲、乙都从A出发到B的行进斜线，其中乙始于0点终于10点，而甲始于2点终于8点（需6小时走完全程），两斜线交于Q点，垂线DQ的长约5（小时），即乙出发5小时，或甲出发3小时甲追上了乙．例7施金哥豪斯问题：农场场长派出两人步行去送信，一个向西去城里邮局，另一个晚一段时间出发向东去村政府．两人出发后，场长突然想起两封信装错了信封，于是骑自行车去追赶他们两人，把信调换过来后返回农场，场长推测两个送信人走的速度都一样，因此拿不定主意先追赶哪个人．试问先追赶哪个人返回时间较早？如果场长没有把信装错，而是两个送信人匆促间把各自应带的信忘记在农场了，现在要把信送给送信人，又该怎么办？图10-16 图10-17解图10－17中，水平轴表示道路向左去邮局，向右去村政府，垂直轴线表示时间．斜线表示行径中间各点的时间涸此斜线的坡度反映了行进速度的大小，速度大坡度小（见图10－16），速度相等坡度相等．在图10－17中OP表示去邮局的人的行进斜线AQ是去村政府的人的行进斜线，由于两人的速度相等，故坡度一样．设场长是时间B去追赶送信人，先追早走的人的行进斜线为BCDEF（图10－17中实线），先追晚走的人的行进斜线为BGHJK（图10－17中虚线）．由图10－l7可以看出K点时间较早，故应先追赶迟出发的送信人．如果是后一个问题，需比较BCDR与BGHS，也是应先追迟出发者．例8有甲、乙两人年龄不相等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么大时，甲29岁．求今年甲、乙两人的年龄各是多大？解根据题意画阶梯形图表示．甲、乙年龄的关系如图10－18所示，图10-18从图中可直观看出，从8岁到29岁之间有3个甲、乙年龄差，而甲、乙年龄差是不变的，所以甲、乙年龄差为：（29－8）÷ 3＝7．所以甲今年的年龄是29－7=22（岁），乙今年的年龄是8＋7=15（岁）．答甲今年22岁，乙今年15岁．练习题A 组1．用将一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一个记号表示水深；再将这个竹竿掉过头来垂直插人水中，也刻上一个记号表示水深．如果两个记号相距10厘米，水深是100厘米，那么，竹竿的长度是多少厘米？2．甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加数学小组．甲班参加数学小组的人数恰好是乙班没有参加人数的13，乙班参加数学小组的人数是甲班没有参加人数的14，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加人数的几分之几？3．一汽车从城市开往山区，往返共用20小时．去时用的时间是回来的1．5倍，去时的速度比回来时的速度每小时慢12千米，问往返共行了多少千米？4．A、B两地相距60千米，甲、乙两人分别骑摩托车与自行车同时沿同一线路从A驶往B，结果甲比乙早4小时到达B地．又知摩托车的速度是自行车速度的3倍，问摩托车与自行车的速度是多少？5．图10－19中有6个点，9条线段，一只蚂蚁从A点出发，要沿着某条路线爬到C点．行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次．这蚂蚁最多有多少种不同的爬法？图10-19B 组6．某城市东西路与南北路交汇于路口A．用在路口A南面560米的点B 处，乙恰在路口A处．甲向北、乙向东同时匀速行走4分钟后，两人离A的距离相等；再以同样的匀速行走24分钟后，两人离A的距离又一次相等．问：甲、乙两人的速度各是多少？（米/分）7．游船顺流而下，每小时前进7千米，逆流而上每小时前进5千米．两条船同时从一地方出发，一个顺流而下，然后返回，一个逆流而上，然后返回．结果，1小时以后他们同时回到出发点．问在1小时内有多少时间这两条船的前进方向相同？8．一列快车从甲地到乙地需6小时，一列慢车从乙地到甲地需8小时．两车同时从两地相向开出2小时后，两车还相距180千米．问甲乙两地的距离是多少千米？9．有四位同学到儿童乐园去玩，要求站成一排进乐园的大门检票口，问有多少种不同的排法？10．A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场）进行到中途，发现A、B、C、D比赛过的场次分别是4，3，2，1．问这时E队赛过几场？E队和哪个队赛过？11．张津坐汽车，王东骑自行车，都从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车走了全程的了，汽车到达终点时，自行车恰好走到两地中点．问：汽车和自行车的速度比是多少？测试题1．如图10－20，在河流的一侧有两个村庄A、B欲利用河水合建一座小水厂，要使引到两村的水管的长度和最短（为了节约），请问，小水厂应建在河边的什么位置？（用图表示）图10-202．甲乙两人同时从始点出发沿着同一线路去终点，途中都使用了两个不同的速度．已知甲用这两个速度分别走全程的一半，而乙用这两个速度分别走全程所需时间的一半，问哪个人先到达终点？3．有一个工程，6人20天可以完成，现增加4人，试问可以提前几天完成？4．有一口水井，用4部抽水机40分钟可以抽干，若用同样的抽水机6部，24分钟可以抽干．那么，同样的抽水机5部，多少分钟可以抽干？5．一只青蛙在A、B、C三点之间跳动，若此青蛙从A点起跳；跳4次后仍回到A点．问这只青蛙一共有多少种不同的跳法？6．用汽车运粮，每运1吨行1千米需运费2元．运粮期间空车行驶豆千米需0．5元．从甲库调13．5吨玉米到乙库；从乙库调22．5吨麦子到丙库；从丙库调18吨稻谷到甲库．甲→乙→丙→甲间的公路长分别为15千米、12千米、17千米（如图10－21）．用一辆载重为4．5吨的卡车，按行驶里程最短的最佳方案完成任务，最少需运费多少元？图10-21。
数学思想方法概述
数学思想方法概述数学是一门探索规律和解决问题的科学，它有着独特的思维方式和方法。
数学思想方法的发展经历了漫长的历史，经过数学家们的探索和总结，形成了一套独特而有效的解题思路和方法。
本文将概述数学思想方法的主要内容，以及它们在实际问题中的应用。
一、归纳法归纳法在数学中起着重要的作用，它是从特例到一般的推理方法。
通过找出并总结一系列特例的规律，可以得到一般情况的结论。
数学中很多定理的证明都采用了归纳法，如数列的递推关系、数学归纳法等。
例如，对于一个等差数列，我们可以通过观察其中的特例（如前几项），发现每一项与前一项之间的差值是相同的，根据这个规律，可以应用归纳法得出该等差数列的通项公式。
二、演绎法演绎法是从一般的已知条件出发，通过逻辑推理得到特殊的结论。
演绎法在数学证明中经常使用，它包括假设、推理和结论三个基本步骤。
例如，在几何学中，我们可以通过已知的几何定理和公理，应用演绎法来推导出新的结论。
通过一系列严密的逻辑推理，我们可以得到几何图形间的相互关系、面积公式等。
三、逆向思维逆向思维是一种重要的解题方法，它与一般的思维方式相反。
在解决难题时，我们可以尝试从结果出发，逆向推理，找到问题的关键。
例如，在解方程时，如果我们难以通过正向的代数运算求解，就可以考虑逆向思维，设定一个未知数的值，反推出满足方程的条件。
逆向思维有时能够帮助我们发现问题的本质和解决的方向，从而得到更简洁的解法。
四、形象思维数学是一门抽象的学科，但在解决问题时，形象思维起着重要的作用。
通过将抽象的数学概念用具体的形象来表示，可以加深对问题的理解，找到解决问题的关键。
例如，在解决几何问题时，我们可以通过画图来加深对几何性质的理解，从而找到问题的解决思路。
形象思维还可以通过数字转化为图形、实物模型等形式来帮助解决问题。
五、推广与应用数学思维方法不仅局限于纯数学领域，它们在各个领域中都有广泛的应用。
数学思维方法能够帮助我们理清问题的逻辑关系，提高分析和解决问题的能力。
数形结合思想下一年级用‘画图法’解决问题的现状及对策研究
数形结合思想下一年级用‘画图法’解决问题的现状及对策研究金志坚1 陈思雨2摘要：数形结合思想是小学数学学习阶段重要且实用的数学思想，它广泛应用于各个学习阶段，尤其是一年级的初学者，学好数形结合的思想，可以帮助他们更好地学好数学，爱上数学学习。
数形结合思想的渗透与应用是帮助小学生建立良好空间观念和理性思维的重要手段，尤其是在解决一些实际问题时，画图法可以帮助学生更好理解题意，打开思路，解决问题。
关键词：数形结合画图法解决问题空间观念新课改下，教育教学更多地关注学生的过程性学习，关注学生的表达和思考过程。
对于一年级的学生来说，数学学习还处于开始阶段，但是要培养锻炼的东西可不少，尤其是一些数学思想和几何空间想象能力，作图能力，用图形语言来表达的能力等，越是低段越是需要教师重点培养。
笔者就以一年级学生在使用画图法解决问题时存在的问题展开研究，整理原因，寻找解决的对策。
（一）小学一年级学生使用画图法解决问题的现状在教学过程中发现，小学生的画图能力各有不同，少数的同学存在着较好的用“画图法”解决问题的习惯，可大部分小学生有着很不好的学习习惯，有的没看完题目就下笔写答案；有的学生写写停停，得不出答案；有的同学甚至直接放弃答题。
学生的这些做题坏习惯，可千万不能忽视，长期下去，这些解题坏习惯会像病毒一样慢慢侵蚀我们的每一个学生，使他们的大好时光从这些坏习惯中慢慢溜走，学习成绩会明显下降，最后甚至会影响到孩子们的身心健康。
(二) 对小学一年级学生画图能力培养现状分析（以一年级解决“排队问题”为例）1.小学生用“画图法”解决问题的能力正被学校和老师重视并在逐渐形成中。
通过调查发现一年级的教师也开始重视问题的存在，共同探讨解决“排队问题”及其他复杂问题时如何运用“画图法”来更好地解决问题，提升学生的数学思维。
如老师们通过集体备课、研训活动等方式进行探究。
说明老师在教学过程中已经有了良好的培养意识，在行动上也有所探究。
②教师在平时的教学工作中也能注重培养学生的画图能力。
数学思想方法
数学思想方法数学思想方法是数学家们为了解决问题而采用的一系列思考方法和策略。
这些方法和策略涉及到逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等方面。
首先，逻辑推理是数学思想方法中的重要组成部分。
在数学中，逻辑推理是通过合乎逻辑的推导和推理来得出结论。
数学家会使用各种推理方法，如直接推理、间接推理、反证法等来证明定理和解决问题。
其次，归纳和演绎也是数学思想方法中常用的推理方法。
归纳是通过观察已有的例子或情况得出一般规律或结论。
数学家通过对特殊情况的研究和总结，逐步提炼出普遍规律。
演绎则是从一般规律出发，通过逻辑推理得出特殊情况或结论。
另外，分类和比较是数学思想方法中一种重要的策略。
数学家通过将问题或对象进行分类，找出其中的共性和差异，进而解决问题。
比较不同的对象或方法，可以更好地理解数学概念和定理，并找到解题的思路。
此外，抽象和具体也是数学思想方法中的关键因素。
数学家常常通过抽象来简化问题，将其转化为更容易处理的形式。
同时，数学家也会通过具体的例子或实验来验证和巩固理论和结论。
还有，观察和实验也是数学思想方法中的重要环节。
观察可以帮助数学家发现问题的特征和规律，实验则可以验证和验证数学家的猜想和推论。
最后，模型和推广是数学思想方法中的重要策略。
数学家经常使用模型来描述和分析现实世界中的问题，从而得到理论和结论。
然后，数学家还会尝试将已有的理论和结论推广到更一般的情况，以便解决更复杂的问题。
总之，数学思想方法包括逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等多个方面。
这些方法和策略有助于数学家解决问题、发现规律和推导定理。
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第十讲数学思想方法（二）——画图法
哲理故事
一个人在高山之巅的鹰巢里，抓到了一只幼鹰，他把幼鹰带回家，养在鸡笼里。
这只幼鹰和鸡一起啄食、嬉闹和休息。
它以为自己是一只鸡。
这只鹰渐渐长大，羽翼丰满了，主人想把它训练成猎鹰，可是由于终日和鸡混在一起，它已经变得和鸡完全一样，根本没有飞的愿望了。
主人试了各种办法，都毫无效果，最后把它带到山顶上，一把将它扔了出去。
这只鹰像块石头似的，直掉下去，慌乱之中它拼命地扑打翅膀，就这样，它终于飞了起来！
生存之道：磨练召唤成功的力量！
例1小明比小英小5岁，小方比小明大2岁.那么小英和小方差几岁？
我的思考：点睛一笔：
例2小初、小美、小英三个人分糖块.小美比小英多3块，小初比小美多2块.已知糖块总数是50块，那么每人各分到多少块？
我的思考：点睛一笔：
例3小健到商店去买练习本，他的钱若买4本还剩2分；若买5本，就差1角.问小健有多少钱？
我的思考：点睛一笔：
例4妈妈的年龄是小铃的3倍，两个人年龄加起来是40岁.问小铃和妈妈各多少岁？
我的思考：点睛一笔：
例5父亲今年40岁，小哲10岁.问几年以后父亲年龄是小哲年龄的2倍？
我的思考：点睛一笔：
课后札记：
本章重点题型和解题方法：
计算我最强：
74+6= 82-45= 33-18= 96-26-34= 7×8=
每日一练：
1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2角5分，李明的钱少3角1分.如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书.问一本《趣味数学》多少钱？王强和李明各有多少钱？
家长签字：
2.大、小二数之和为10，之差为2，求大、小二数各多少？
家长签字：
3.小军、小方和小雄共有12本小人书，小军比小方多2本，小方比小雄多2本，问他们三人各几本？
家长签字：
4.今年弟弟8岁，哥哥14岁.问当两人的年龄和是30岁时，两人各几岁？
家长签字：
5.两个桶里共盛水30斤.如果把第一个桶里的水倒3斤给第二个桶里，两个桶里的水就一样多了.问每个桶里各有多少斤水？
家长签字：
6.玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的2倍时，称得重为5千克；把水加到原来的4倍时，再称一称重为9千克，问原来水有多少千克？
家长签字：
7.一筐鲜鱼，连筐共重56千克.先卖出鲜鱼的一半，再卖出剩下的一半，这时连筐还重17千克.原来这筐鲜鱼重多少千克？
家长签字：
8.小秋用一根绳子测量一口枯井的深.他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有15米；小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有1米.请问，这口枯井有多少米深？
家长签字：
小幽默
“未来”尿床了
娜塔莎：“爸爸，‘同志’是什么意思？”
爸爸：“比方说，我、你，还有你的同学，我们都是同志。
”
娜塔莎：“‘政府’又是什么意思？”
爸爸：“政府是一个管理机构。
比方说，在我们家里，你妈妈就是政府。
”
娜塔莎：“那么‘未来’是什么意思呢？”
爸爸：“未来就是希望。
比方说，你的小弟弟……”
半夜里，娜塔莎喊爸爸：“同志，赶快叫醒政府吧，未来尿床了！”
小印章之家。