固体物理教案第3次课

第 3 次 课
教学目的：掌握原胞、基矢和布拉伐格子的基本概念；掌握简立方、面心立
方、体心立方晶格原胞特点以及基矢的表示； 理解复式晶格结构及其表示
教学内容：§1.2 晶格的周期性
重点难点：简立方、面心立方、体心立方晶格原胞特点以及基矢的表示；复
式晶格结构及其表示
§1.2 晶格的周期性
1 晶格周期性的描述 — 原胞和基矢
—— 晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述 （1）原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小）
如图XCH001_011所示。

（2） 基矢：原胞的边矢量。

三维格子的重复单元是平行六面体，是重复单元的边长矢量
（3） 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作
为重复单元。

特点：单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期。

代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。

基矢： 表示单胞的基矢。

在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原胞。

简单立方晶格 — 单胞是原胞
321,,a a a c b a
,,
面心立方晶格 — 单胞不是原胞
例如面心立方晶格，如图XCH001_013所示。

原胞基矢：
——原胞的体积：
单胞基矢：
——单胞的体积： 2 简单晶格
简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。

碱金属具有体心立方晶格结构；Au 、Ag 和Cu 具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。

1）简单立方晶格（Simple Cube ）
原胞为简单立方晶格的立方单元。

基矢： 如图XCH001_012所示
原胞体积： —— 原胞中只包含一个原子
晶胞中，顶角的原子可视为8个立方单元所共有,故8×1/8=1。

2）面心立方晶格 （fcc ）
如图XCH001_013所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有6个原子故称面心
立方。

由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢 ，
,,a ai b aj c ak ==
=123()2
()
2
()2
a
a j k a
a k i a
a i j =
+=+=+33214
1)(a
a a a V =⨯⋅=
3)(a c b a V =⨯⋅=
k
a a j a a i a a
===321,,3321)(a a a a V =⨯⋅= 321,,a a a
基矢：
原胞体积：
—— 原胞中只包含一个原子
晶胞8×1/8＋6×1/2＝4，体积为a 3，故原胞只含一个原子。

3）体心立方晶格 （bcc ）
体心立方：除顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，故称体心。

就整个空间的晶格来看，完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。

这样心就变成角，角也就变成心。

如图XCH001_014所示。

由立方体的中心到三个顶点引三个基矢： 基矢：
原胞体积
—— 原胞中只包含一个原子
晶胞8×1/8＋1＝2，体积为a 3，故一个为a 3/2。

3 复式晶格
—— 复式格子包含两种或两种以上的等价原子。

1) 一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl 、CsCl 、ZnS 等； 2) 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石结构的C 、Si 、Ge 以及具有六角密排结构的Be 、Mg 、Zn 等；
3) 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。

)(2)(2
)
(2321j i a a i k a a k j a a
+=+=+=3
3214
1)
(a a a a V =
⨯⋅=
321,,a a a )
(2)
(2
)
(2
321k j i a a k j i a a k j i a a
+-=+-=++-
=3
3212
1)(a a a a V =⨯⋅=
NaCl由Na+和Cl－结合而成，如图XCH001_009所示，是一种典型的离子晶体，Na+构成一个面心立方晶格；Cl－也构成相同的一个面心立方晶格。

两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢，由它们相套形成NaCl复式晶格，如图XCH001_009_01
所示。

CsCl结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成。

如图XCH001_010_01所示。

立方系的硫化锌
（ZnS）：硫和锌分别
组成面心立方结构的
子晶格而沿空间对角
线位移 1／4 的长度
套构而成。

如图
XCH001_044所示。

4）复式格子的原胞
相应简单晶格的原胞，一个原胞中包含各种等价原子各一个。

六角密排晶格的原胞基矢选取，如图XCH001_015所示，
一个原胞中包含A 层和B 层原子各一个，共两个原子。

4
晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
简单晶格，任一原子A 的位矢
:
如图XCH001_045所示是二维晶格原子A 的位矢: 2132a a R l
+=
图XCH001_045_02所示的三维格子，A 原子的位矢:3213a a a R l
++=
对于复式晶格：任一原子A 的位矢l R
：如图XCH001_008所示 ⋯
⋯=+++=3,2,1,332211αa l a l a l r R a l
其中：a r 是原胞中各种等价原子之间的相对位移。

例如：对于金刚石晶格，面心立方位置（绿色标记）的原子B 的位置： 332211a l a l a l ++
对角线原子（红色标记）的位置：
332211a l a l a l
+++τ, 其中τ 是沿对角线1/4位移
因此可以用332211a l a l a l
++
表示一个空
3
32211a l a l a l R l ++
=
间格子，一组332211a l a l a l
++的取值可以囊括所有的格点。

布拉伐格子：由332211a l a l a l
++确定的空间格子；
晶体可以看作是在布拉伐格子（Lattice ）的每一个格点上放上一组原子（Basis 基元）构成的。

简单晶格 —— 基元是一个原子 复式晶格 —— 基元是一个以上原子
作业：补充作业。