第四章单自由度系统振动分析

2018年10月30日
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可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与
直线振动的数学描述完全相同。
如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚 度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。
& & m x kx 0
0 k / m
k
弹簧原长位置
m
0

静平衡位置
k
I

I k 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例2 电机和梁组成的振动系统的力学模型。 电机质量简化为m，忽略梁质量，梁的弹 性简化为k，忽略电机的弹性。
4.3 单自由度系统的自由振动
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分 方程及其系统特性 4.3.2 振动系统的线性化处理 4.3.3 单自由度无阻尼系统的自由振动 4.3.4 固有频率的计算方法 4.3.5 有阻尼系统的自由振动
4.1 振动分类及求解步骤
2、分类 系统的输入 系统的输出 系统的自由度 描述系统的微分方程
系统的输入
振动
强迫振动 自激振动 参数振动
自由振动
在特定的 初始位移 和初始速 度下产生 的振动
系统在给 定的外界 激励作用 下的振动
激励受系 统振动本 身控制的 振动
通过改变 系统的物 理特性参 数实现振 动
单自由度线性系统的微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微 分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反 映的是振动系统本身的自然特性，右边是 外加激励，反应系统的输入特性。
单自由度线性系统的 微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。 线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。
& & & x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
角振动：
例：圆盘转动
弹簧原长位置
0 k / m

4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。 单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了， 这种系统称为单自由度系统.
0 k mt m
x
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
例1 锻锤模型
锤体
砧座 弹性垫阻尼 基础 土壤阻尼 砧座和基础 土壤阻尼 土壤刚度
x1 弹性垫刚度 x2 土壤刚度
锤体
x1
4.2.2 单自由度系统模型的简化
例1 简化机床的力学模型： 机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基 础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大 的弹性变形，当弹簧来处理。 基础和机床
圆盘转动惯量 I k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
在圆盘的静平衡位置上任意选
k
I
扭振固有频率

一根半径作为角位移的起点位置。
由牛顿第二定律：
I k 0 & & 2 0 0
《振动力学》
& &
0 k / I
系统的输出
振动
简谐振动 振动量为 时间的正 弦或余弦 函数 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数
系统的自由度
振动
两自由 度振动 多自由 度振动 连续系 统振动
单自由 度振动
用一个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用两个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用多个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用无限多 个自由度 才能确定 的系统用 振动
描述系统的微分方程
振动
线性振动 非线性振动
用线性微分方程来描 述振动
用非线性微分方程来 描述振动
4.1.2 振动问题的求解步骤
1、建立振动系统的力学模型； m-c-k系统。 2、建立振动系统的数学模型； 建立运动微分方程。用牛 顿第二定律和拉格朗日方程。 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分方程及 其系统特性
建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律 能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法： 直线振动：
x(t )
Fs (t )
m
x(t )
F (t )
F (t )
Fd (t )
& & m x (t ) F (t ) Fs (t ) Fd (t )
0 k / I
& &
x
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《振动力学》
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从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含
着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生 使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭 转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率 降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。
机械系统动力学
Dynamics of Mechanical System
太原科技大学：宁少慧
第4章 单自由度系统振动



4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
振动分类及求解步骤 振动系统模型及其简化 单自由度系统的自由振动 谐波激励下的强迫振动 周期性激励下的强迫振动 任意激励下的强迫振动 单自由度系统振动的应用
4.1 振动分类及求解步骤
离散系统是具有集中参数元件所组成的系 统，具有有限多个自由度； 连续系统是由连续参数元件组成的系统， 有无限多个自由度。在离散系统中，最简 单的最基本的是单自由度振动系统。
4.1.1 振动的分类
1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡 位置附近所做的往复性机械运动。 有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机 器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、 振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振 子示波器等。 不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转， 影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、 精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受 命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。