数学模型-第01章(第五版)
数学模型(第五版)
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源：同济大学应用数学系教授。 谢金星：清华大学数学科学系教授。 叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与 修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删 除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半， 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
感谢观看
数学模型第五版课程设计
数学模型第五版课程设计一、前言数学模型课程是数学学科体系中的一门应用性课程，主要涉及数学知识在现实生活中的应用，帮助学生了解数学如何应用于实际问题中，提高学生的数学建模能力。
本次课程设计旨在通过实例，详细介绍数学模型的建立过程，并帮助学生熟悉数学模型的应用。
二、课程内容1. 前期准备在开始课程设计前，需要学生具备大学线性代数和微积分等基础数学知识，并具有一定的编程能力。
2. 数学模型的定义和建立过程2.1 数学模型的定义数学模型是指利用数学方法对实际问题进行抽象化和形式化处理，以得到问题的数学表示式和解法的方法。
2.2 数学模型的建立过程•确定问题：首先要确定需要解决的实际问题。
•收集数据：通过实验或调查等方式收集与问题相关的数据。
•建立方程或模型：根据数据和问题的特征，建立数学模型或方程。
•解决问题：利用已经建立的数学模型或方程，解决实际问题。
3. 数学模型在实际问题中的应用3.1 核电站事故模拟分析假设某核电站有2个反应堆，采用钴60俘获模型，模拟事故情况下反应堆的输出功率，进而分析事故对反应堆的影响。
假设第一个反应堆关闭，第二个反应堆失去控制，建立以下方程：$$\\frac{dP}{dt}=k_1(P_0-P)-k_2(cN_2-P)$$其中，P表示反应堆的输出功率，P0表示反应堆的初始功率，c表示钴60的俘获截面积，k1和k2代表两个反应的系数，N2代表第二个反应堆的中子数。
通过求解上述方程，可以得到反应堆的输出功率随时间变化的情况。
3.2 股票价格预测根据股票的历史价格数据，建立股票价格变化的数学模型，预测未来的股票价格走势。
假设已知若干个时刻的股票价格，建立以下方程：$$y_t = \\beta_0+\\beta_1x_1+\\beta_2x_2+…+\\beta_nx_n+e_t$$其中，y t表示第t个时刻的股票价格，x1、x2、…x n为若干个自变量（如前几个时刻的股票价格），$\\beta_i$为关于自变量的系数，e t为误差项。
数学建模 司守奎01第1章 线性规划
12/39
数学 建模
（2）求解的 Matlab 程序如下 f=[-2; -3; 5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x, y=-y
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数学 建模
6/39
数学 建模
1.1.2 线性规划问题的解的概念
一般线性规划问题的（数学）标准型为
n
max
(1.3）
z=
å
cj xj ，
j= 1
n ì ï ï aij x j = bi i = 1, 2,L , m , å ï ï s.t. í j= 1 ï ï ï ï î x j ? 0 j 1, 2,L , n. 其中 bi ³ 0， i = 1, 2,L , m 。
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
基础部数学教研室
数学 建模
1.1 线性规划问题
在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源 来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成 了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记 LP)则是数学规划的一个重要分支。 自 从 1947 年 G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法 以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与 深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策 变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛 了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
i= 1
min
å
n
( ui + vi ) ，
i= 1
s. t.
数学模型第五版教学大纲
数学模型第五版教学大纲
一、课程简介
本课程是数学专业和相关专业的必修课程之一，旨在帮助学生掌握数学模型的基本概念、建模过程和解题方法，培养学生的创新思维和实际问题解决能力。
二、教学目标
1.理解数学模型的基本概念和建模的思路；
2.掌握常用的数学模型和求解方法；
3.能够独立分析和解决实际问题；
4.培养学生的科学思维、创新精神和团队合作精神。
三、教学内容
第一章数学模型的概念和基本要素
1.数学模型的概念和基本要素；
2.数学模型的分类和应用；
3.数学建模的基本流程和方法。
第二章常用数学模型
1.线性规划模型；
2.非线性规划模型；
3.最优化模型；
4.动态规划模型；。
数学模型第五版教学设计
数学模型第五版教学设计一、引言随着信息时代的到来，人们的思维方式也发生了改变。
人们面对的问题越来越复杂，过去简单的解决方法已经无法满足实际需要。
因此，数学模型的构建与求解成为了解决实际问题的一种重要方式。
数学模型是把实际问题抽象化、描述化、符号化、数学化以及综合化的过程，可以将人们遇到的实际问题转化为数学问题，进而得到数学解，并为实际问题提供更有效、更经济、更合理的解决方案。
《数学模型》是我国高校数学专业的一门重要的基础课程，它教授的是建立和分析实际问题的数学模型的方法和技术。
本教学设计参照《数学模型》第五版，从教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源等方面探讨如何有效开展数学模型的教学。
二、教学目标本课程旨在培养学生掌握建立数学模型的方法、技巧和分析实际问题的能力，使学生能够1.掌握建立数学模型的基本方法和技巧；2.熟练掌握数学模型求解的基本方法和技巧；3.能够分析和评价数学模型的适用性和可靠性；4.能够应用所学知识发现和解决现实中的问题；5.培养学生的数学建模思维和创新意识。
三、教学内容1.数学模型的基本概念和基本方法。
2.常用数学模型的建立与求解。
3.数学模型的适用性和可靠性分析。
4.数学模型在实际中的应用。
四、教学方法1.讲授法：教师对理论知识进行讲解。
2.研究法：学生通过阅读教材和相关专业书籍，自主研究所学内容。
3.课堂案例分析：教师选取实际问题，引导学生进行建模思考和分析。
4.讨论法：教师通过提供案例，引导学生探讨数学模型的适用性和可靠性。
5.项目式教学：学生通过小组合作完成数学模型相关课程设计、研究报告等项目任务。
五、教学评价1.课堂表现：学生出勤情况、发言表现、思考和解答问题能力等。
2.作业评估：布置适当数量和难度的作业，考察学生对知识的理解和应用能力。
3.个人报告：要求每个学生或小组对所学内容进行归纳和整理，并展示给全班同学。
4.项目评估：对学生完成的项目进行评估，考察学生对数学模型的建立和分析能力。
电路邱关源第五版01第一章bcm
1.6 电容元件 (capacitor)
q
电容器 在外电源作用下， 两极板上分别带上等量异号电荷，撤去 电源，板上电荷仍可长久地集聚下去， 是一种储存电能的部件。
+
_
q
1 定义
电容元件 储存电能的元件。其 特性可用u～q 平面 上的一条曲线来描述
u q
f ( u, q ) 0
2. 线性定常电容元件
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u～i 关系
满足欧姆定律 u i
伏安特 性为一 条过原 点的直 线
u Ri Ru i i u R Gu
u、i 取关联 参考方向
0 R
i
+
单位
u
－
R 称为电阻，单位： (欧姆) G 称为电导，单位：S (西门子)
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注意
欧姆定律
①只适用于线性电阻( R 为常数）； ②如电阻上的电压与电流参考方向非关 联，公式中应冠以负号； ③说明线性电阻是无记忆、双向性的元 件。 i R
1 t idξ 1 t idξ 1 t idξ u(t ) C C C t 1 t id ξ u(t ) t C
0 0 0 0
表明
电容元件VCR 的积分关系
电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件
注
（1）当 u，i为非关联方向时，上述微分和积分表达 式前要冠以负号 ;
则欧姆定律写为
u
+
i –G u
u –R i
公式和参考方向必须配套使用！
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3.功率和能量
功率
i
R
+
i
数学模型姜启源-(第五版)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例2 奶制品旳生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
获利44元/kg
8h
4kgA2
50桶牛奶, 480h
1kg 2h, 3元
获利16元/kg 0.75kgB2
获利32净利润最大
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced
Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20230
0.000000
X4 0.000000
0.000000
O
c l5
l3 D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目的函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成旳凸多边形 目旳函数旳等值线为直线
最优解一定在凸多边 形旳某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策 变量
目的 函数
8h
4kg A2
1kg
2h, 3元
出售x1 kg A1, x2 kg A2，
获利16元/kg
0.75kg B2
获利32元/kg
x3 kg B1, x4 kg B2
数学模型第五版姜启源课件
数学模型第五版姜启源课件1. 引言数学模型是一种以数学方法描述、分析和解决实际问题的工具。
它是现代科学、工程和社会学科中不可或缺的一部分。
姜启源的《数学模型》是国内外广泛采用的教材之一，这份课件是对第五版《数学模型》的经典章节进行概要的总结和讲解。
2. 背景与目的数学模型的研究对象可以是自然界的现象、社会经济问题或工程技术等。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解问题的本质，并探索解决问题的方法。
数学模型的建立需要一定的理论基础和技巧，本课件旨在帮助读者快速掌握数学模型的基本概念和建模方法。
3. 数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学形式。
它由问题的假设、变量、关系和约束等要素组成。
本部分介绍了数学模型的基本概念，包括：3.1 假设与逼近数学模型的建立需要对实际问题进行适当的假设和逼近。
假设是对问题中不确定因素的简化和规定，而逼近是对问题中不精确因素的近似和描述。
3.2 变量与参数变量是数学模型中描述问题状态的符号，它可以是数值、向量、矩阵等。
参数是数学模型中的固定值，它们可以是已知的或未知的。
3.3 关系与方程关系是数学模型中描述变量之间相互关系的数学表达式。
方程是关系中等号左右两边相等的表达式。
3.4 约束条件与目标函数约束条件是数学模型中描述问题限制条件的不等式或等式。
目标函数是数学模型中描述问题目标的数学表达式。
4. 常见的数学模型本部分介绍了一些常见的数学模型及其应用场景，包括：4.1 线性模型线性模型是最简单的数学模型之一，它的关系和约束条件可以表示为线性方程或线性不等式。
线性模型广泛应用于经济学、管理学、物理学、工程学等领域。
4.2 非线性模型非线性模型是一类不满足线性关系的数学模型。
它的关系和约束条件可以表示为非线性方程或非线性不等式。
非线性模型常用于生物学、化学、地球物理学等领域的研究。
4.3 动态模型动态模型是描述系统随时间变化的数学模型。
它可以采用微分方程、差分方程或积分方程等形式进行建模。
数学模型姜启源第五版答案4
数学模型姜启源第五版答案4.1复习题1、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?2、13．设x∈R，则“x3（x的立方）>8”是“|x|>2”的( ) [单选题] * A．充分而不必要条件(正确答案)B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、14.不等式｜3-x｜＜2 的解集为（）[单选题] *A. x＞5或x＜1B.1＜x＜5(正确答案)C. -5＜x＜-1D.x＞14、30.圆的方程+=4,则圆心到直线x-y-4=0的距离是（）[单选题] *A.√2(正确答案)B.√2/2C.2√2D.25、21．如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（）[单选题] * A．AC＝BD(正确答案)B．AC＜BDC．AC＞BDD．不能确定6、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] * A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A7、49．若（x+2）（x﹣3）＝7，（x+2）2+（x﹣3）2的值为（）[单选题] * A．11B．15C．39(正确答案)D．538、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)9、若2? ＝3，2?＝4，则23??2?等于( ) [单选题] *A. 7B. 12C. 432(正确答案)D. 10810、下列计算正确的是（）[单选题] *A. a2+a2=2a?B. 4x﹣9x+6x=1C. （﹣2x2y）3=﹣8x?y3(正确答案)D. a6÷a3=a211、9、横坐标为3的点一定在（）[单选题] *A.与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上B.与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上C.与x轴正半轴相交，与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上(正确答案)D.与y轴正半轴相交，与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上12、12．如图，将一块三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（）[单选题] *A．直线没有端点，向两端无限延伸B．两点之间，线段最短(正确答案)C．经过一点有无数条直线D．两点确定一条直线13、9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点A坐标为（-2，1），沿某一方向平移后点A1的坐标为（4，2），则点C1的坐标为（）[单选题]*A、（2，3）B、（2，4）(正确答案)C、（3，4）D、（3，3）14、8. 下列事件中，不可能发生的事件是(? ? )．[单选题] *A．明天气温为30℃B．学校新调进一位女教师C．大伟身长丈八(正确答案)D．打开电视机，就看到广告15、25.{菱形}∩{矩形}应（）[单选题] *A.{正方形}(正确答案)B.{矩形}C.{平行四边形}D.{菱形}16、49、如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）[单选题] *A．20°(正确答案)B．30°C．40°D．50°17、计算(2x－1)(5x＋2)的结果是() [单选题] *A. 10x2－2B. 10x2－5x－2C. 10x2＋4x－2D. 10x2－x－2(正确答案)18、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角19、下列各角中，与300°终边相同的角是（）[单选题] *A、420°B、421°C、-650°D、-60°(正确答案)20、1．在0，，3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（）个．[单选题] * A．2(正确答案)B．3C．4D．021、已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是(? ????) [单选题] *A. -3B. 3C. -9D. 9(正确答案)22、若(x+m)(x2-3x+n)展开式中不含x2和x项，则m，n的值分别为( ) [单选题] *A. m=3,n=1B. m=3,n=-9C. m=3,n=9(正确答案)D. m=-3,n=923、已知sina<0且cota＞0，则是（）[单选题] *、第一象限角B、第一象限角C、第三象限角(正确答案)D、第四象限角24、4.一个数是25，另一个数比25的相反数大- 7，则这两个数的和为[单选题] *A.7B. - 7(正确答案)C.57D. - 5725、16、在中,则( ). [单选题] *A. AB<2AC (正确答案)B. AB=2ACC. AB>2ACD. AB与2AC关系不确定26、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x227、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)28、17．如图，若OC是∠AOB内部的一条射线，则下列式子中，不能表示“OC是∠AOB 的角平分线”的是（）[单选题] *A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠BOCC．D．∠AOC+∠BOC＝∠AOB(正确答案)29、8．修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（）[单选题] *A．线段可以比较大小B．线段有两个端点C．两点之间，线段最短(正确答案)D．过两点有且只有一条直线30、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *A．{－3,3}B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}。
数学建模参考答案第五版
数学建模参考答案第五版数学建模是一门将数学方法和技巧应用于实际问题解决的学科。
它将数学的抽象思维与实际问题相结合，通过建立数学模型来描述和分析问题，并提出相应的解决方案。
数学建模参考答案第五版是一本经典的数学建模参考书籍，本文将对该书的内容进行简要介绍和评价。
首先，数学建模参考答案第五版涵盖了广泛的数学建模领域，包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论、网络流、插值与拟合、微分方程、概率统计等。
每个领域都有详细的理论介绍和实际案例分析，使读者能够全面了解各种数学建模方法和应用场景。
其次，该书的解答部分给出了详细的解题思路和步骤，帮助读者更好地理解和掌握数学建模的方法。
解答中注重对问题的分析和建模过程的讲解，而不仅仅是给出最终的结果。
这种解答方式能够培养读者的问题分析和解决能力，提高他们的数学建模水平。
此外，数学建模参考答案第五版还提供了大量的习题和实例，供读者练习和巩固所学知识。
这些习题和实例既有基础的计算题，又有思考题和开放性问题，能够帮助读者培养问题解决的能力和创新思维。
同时，书中还附有习题的答案和解析，方便读者自我检验和纠正错误。
然而，数学建模参考答案第五版也存在一些不足之处。
首先，由于数学建模领域的发展迅速，该书的内容可能已经有些过时，无法覆盖最新的研究成果和方法。
其次，该书的篇幅较长，对于初学者来说可能有些冗长和晦涩。
因此，读者需要有一定的数学基础和耐心，才能充分理解和消化书中的知识。
综上所述，数学建模参考答案第五版是一本经典的数学建模参考书籍，它涵盖了广泛的数学建模领域，给出了详细的解题思路和步骤，提供了大量的习题和实例。
然而，读者需要注意该书的内容可能有些过时，而且篇幅较长，需要有一定的数学基础和耐心。
希望本文的介绍和评价能够对读者选择和使用数学建模参考书籍有所帮助。
解析数学模型（第五版）
解析数学模型（第五版）摘要就记录了少部分题解，主要是太懒了（下次补坑可能就到明年建模了吧哈哈）⽂章中⼀律以 BD 代替 Brief Description（题⽬简述），SAT 代替 Solve and Thinking（解法和思路）初等模型⼀、双层玻璃窗的功效在这⾥插⼊图⽚描述BD：单层玻璃窗和双层玻璃窗的热量传导进⾏对⽐，双层玻璃窗能减少多少热量损失？SAT：简单的，不考虑热对流和热辐射，在室内外温度恒定的假设下，⽤傅⾥叶热传导定律Q=k ΔTd，玻璃和空⽓厚度的⽐例h=ld，再对两者进⾏对⽐Q1Q2，最后列⼀张⽐例图在这⾥插⼊图⽚描述⼆、划艇⽐赛的成绩在这⾥插⼊图⽚描述BD：探究划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系SAT：（物理⽼师见了要吐⾎的假设和模型），⾸先有两个假设：lb和w0n设为常数，因为它们的变化不⼤。
那么lb不变可以得出艇的形状是⼀样的，推出s∝A 23【艇浸没⾯积s和艇排⽔体积A成正⽐；w0n不变得出w0∝n【艇重w0和桨⼿数n成正⽐】，⼜由于w′=w0+nw【总质量等于艇重加桨⼿数的总质量】，推出w′∝n【艇重w0和桨⼿数量n成正⽐】SAT2：众所周知，空⽓阻⼒的公式F=12CρSV2【C为空⽓阻⼒系数，即常数；ρ是空⽓密度，⼀般情况也取常数；S为物体迎风⾯积；V为物体与空⽓的相对运动速度】，那么根据空⽓阻⼒的公式，可以类似的推导出艇的阻⼒公式f∝sv2【f是艇与⽔的摩擦阻⼒；s是艇浸没⾯积；v2是划艇速度的平⽅】SAT3：假设所有桨⼿的体重相同，划艇的速度是匀速的，那么根据功率公式P=FV，推导出np∝fv【np是所有桨⼿的总功率；f是艇与⽔的摩擦阻⼒；v是划艇速度】，⽽p∝w可以解释为：桨⼿的功率p与肌⾁体积、肺的提及成正⽐，对于⾝材均匀的运动员，肌⾁、肺的体积与体重w成正⽐STA4：⽐赛时间t与速度v成反⽐，把上述所有公式进⾏整合可得到t∝n−19，即划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系模型三、实物交换BD：甲只有⼀定量的物品 X，⼄只有⼀定量的物品 Y，所以他们之间想进⾏交换，⽤作图的⽅法对双⽅交换实物建⽴⼀个模型STA：⽆差别曲线⽤于描述甲或⼄对物品X和Y的偏爱程度（但下图为甲的），甲有⽆数条⽆差别曲线（⼄也⼀样），越靠近右上⾓，代表甲的满意程度越⾼。
数学模型第五版姜启源
数学模型第五版姜启源简介数学模型是一门研究数学与实际问题应用的学科。
姜启源教授的《数学模型》系列教材是广大数学爱好者和学习者的宝贵资料。
本文将介绍数学模型第五版姜启源的内容和特点。
内容概述数学模型第五版姜启源这本书主要涵盖了以下方面的内容：1.数学模型的基本概念：介绍数学模型的定义、分类以及数学模型构建的基本步骤。
2.线性规划：介绍线性规划的基本概念、线性规划模型的建立和求解方法，以及线性规划在实际问题中的应用。
3.整数规划：介绍整数规划的基本概念、整数规划模型的建立和求解方法，以及整数规划在实际问题中的应用。
4.图论与网络优化：介绍图论的基本概念、常见图论模型的建立和求解方法，以及图论在实际问题中的应用。
5.随机模型：介绍随机模型的基本概念、常见随机模型的建立和求解方法，以及随机模型在实际问题中的应用。
6.动态规划：介绍动态规划的基本概念、动态规划模型的建立和求解方法，以及动态规划在实际问题中的应用。
特点分析数学模型第五版姜启源具有以下几个特点：综合性本书对数学模型的研究内容进行了系统的整理和，包括线性规划、整数规划、图论与网络优化、随机模型以及动态规划等多个方面。
这使得读者能够从不同角度了解数学模型的应用领域和解决方法。
理论与实践结合本书不仅介绍了数学模型的理论基础，还结合实际问题进行案例分析和求解过程。
通过实际案例的引入，读者能够更好地理解数学模型和解决实际问题的方法。
解题思路明确本书对每一类数学模型都给出了清晰的解题思路和求解方法，从数学模型的建立到求解过程，都有详细的讲解和示例演示。
这有助于读者掌握解题的方法和技巧，提高数学建模能力。
应用广泛性数学模型是一门跨学科的学科，本书所涉及的数学模型方法和应用领域非常广泛，适用于工科、理科以及经济管理等多个领域。
，无论是学生还是研究者，都能从本书中获得实用的知识。
数学模型第五版姜启源是一本内容丰富、方法全面的数学模型教材。
它系统地介绍了数学模型的基本概念、建立方法和求解技巧，以及在实际问题中的应用。
数学模型-第01章(第五版)
R ~大皮半径 r ~小皮半径
Sk1R2 V k2R3 VkS3/2 (2)
sk1r2, vk2r3 vks3/2 (3)
(1),(2),(3)
Vn3/2v
消去S, s, k
解释
定性分析 V 比 nv 大 (n>1)——大饺子包得馅多. 定量结果
应用 若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包多少馅？
分析
建立馅、皮与数学概念的联系 ：馅——体积，皮——表面积
体积V、面积S 一个大饺子
体积v、面积s
n个小饺子
S
s s…s
V
vv
v
V和 nv 哪个大? 定性分析 V比 nv大多少? 定量结果
假设 1.皮的厚度一样 2.饺子的形状一样
建模
Sns(1)
两个 k1 (及k2) 一样
体积与面积的联系——半径（特征半径 ）
一 1.2 数学建模的重要意义
章 1.3 建模示例之一 包饺子中的数学
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
1.5 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
1.6 数学建模的基本方法和步骤 1.7 数学模型的特点和分类
型 1.8 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1.1 从现实对象到数学模型
数学建模
计算机技术
知识经济
为教育改革注入强大活力
• 数学教育本质上是一种素质教育. • 数学教育应培养两种能力：算数学(计算、推导、
证明…)和用数学(分析、解决实际问题). 传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者. • 让学生参加将数学应用于实际的尝试, 参与发现 和创造的过程.
数学建模引入教学符合教育改革的需要
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
数学建模第五版教学设计
数学建模第五版教学设计一、课程简介本课程是针对大学本科生开设的数学建模课程，旨在培养学生的数学思维、计算机编程能力和实际问题解决能力。
学习本课程需要具备一定的高等数学和计算机基础。
二、教学目标1.培养学生的数学建模思维，包括问题建模、模型构建、模型分析和模型验证等方面。
2.提高学生的计算机编程能力，熟悉常用的数学建模工具和软件。
3.培养学生的实际问题解决能力，掌握解决实际问题的方法和技巧。
三、教学内容第一章数学模型与建模方法1.数学模型的定义及其应用背景。
2.数学建模的基本流程，包括问题建模、模型构建、模型分析和模型验证等环节。
3.建模方法的分类和基本特征，包括解析建模、仿真建模、图像建模等。
4.建模误差和误差控制方法。
第二章最优化模型1.最优化模型的定义及其应用背景。
2.最优化问题的描述和求解方法，包括数学规划、线性规划、非线性规划等。
3.最优化模型的实际应用，包括供应链管理、工程优化、金融投资等。
第三章统计模型1.统计模型的定义及其应用背景。
2.基本统计学方法和统计推断。
3.建立统计模型，包括回归分析、时间序列分析等。
4.统计模型在实际问题中的应用，包括市场调研、财务分析、医学研究等。
第四章蒙特卡罗方法1.蒙特卡罗方法的定义及其应用背景。
2.随机模拟和蒙特卡罗模拟方法。
3.蒙特卡罗模拟在最优化、统计学等领域中的应用。
第五章数学软件及其应用1.常用的数学软件，包括Matlab、Mathematica、Maple、Python等。
2.数学软件的基本功能和应用场景。
3.数学软件在数学建模中的应用。
四、教学方法本课程采用理论知识和实践操作相结合的教学方法。
课程中将通过讲授基础理论知识、案例分析、模拟操作等方式，引导学生深入理解数学模型和建模方法，并掌握数学软件和编程语言的操作技能。
五、教学评估1.课堂问答：掌握课程知识点，理解学习内容。
2.课后作业：巩固课程学习，检查学生的理解能力和解题能力。
3.课程项目：引导学生应用所学知识，独立完成一项小型建模项目。
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1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
路障间距的设计
a1=1/c1，a2=-1/c2 s vm2 ax ( 1 1 )≈ 66.5 设计路障间距67m
vmax=11.1(m/s)
2 a1 a2
最小二乘法 c1=0.4536，c2=-0.6084，s=65.5556 (m)
路障间距建模过程的基本、关键步骤 • 作出简化、合理的假设(等加速和等减速行驶). • 利用问题蕴含的内在规律(时间、距离、速度、
n1=100, n2=50
n1v1=1(kg), n2v2=?
n2v2= n1 / n2 2 1.4 50个饺子能包1.4kg馅.
讨论
若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包1.4kg馅. 饺子数量减少一倍，真的就能多包40%的馅吗？
饺子越大，面皮 应该越厚.
“皮的厚度一样”的 假设值得探讨！
数学建模引入教学符合教育改革的需要
1.3 建模示例之一 包饺子中的数学
问题 通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子.
今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完. 应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
计算 测试数据作图 大致线性关系 t = cv+d
t
6
5 加速行驶
4
3
5
2
1
40
v
0
0
10
20
30
40
t
7 6
减速行驶 1m/s=
5
4
3.6km/h
37
2
d1 , d2 ≈ 0
1
40
v
0
0
10
20
30
40
估算
c1
5 3.6 40
0.45 (s2/m)
c2
7
3.6 40
0.63 (s2/m)
路障间距的设计
建模 加速行驶：距离s1，时间t1, 加速度a1
减速行驶：距离s2，时间t2, 减速度a2
限速 vmax
s1
1 2
a1t12 ,
s2
1 2
a2t
2 2
相邻路障间行驶总距离
vmax a1t1 , vmax a2t2
s
s1
s2
vm2 ax 2
1 ( a1
1 )
a2
给定vmax，由测试数据估计a1，a2， s = 路障间距
模型 求解
数学建模的一般步骤 各种数学方法、软件和计算机技术.
模型 分析
如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析.
模型 检验
与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界
现实对象的信息 表述
验证
现实对象的解答 解释
数学模型
数
学
求解 世
界
数学模型的解答
1.6 数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法
对客观事物特性的认识
机理分析
内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
黑箱
二者结合 机理分析建立模型结构, 测试分析确定模型参数.
灰箱
机理分析主要通过案例研究学习.建模主要指机理分析.
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
第一章 建立数学模型
• 数学——各门科学的基础；社会进步的工具. • 用数学方法解决任何一个实际问题，都必须在 实际与数学之间架设一座桥梁. • 解决过程——实际问题转化为数学问题；数学 问题的求解；数学解答回归实际问题. • 这个全过程称为数学建模——为实际问题建立 数学模型.
第 1.1 从现实对象到数学模型 一 1.2 数学建模的重要意义
• 计算机技术的出现和迅速发展,为数学建模的应用 提供了强有力的工具.
• 高新技术中数学建模与科学计算是必不可少的手段 ——数学科学是关键的、普遍的、可应用的技术.
• 数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等 领域，为数学建模开拓了许多新的处女地. 数学建模引入教学顺应时代发展的潮流
数学建模的具体应用
2. 建模的关键是什么？ 变量表示椅子的位置. 函数 f(), g() 表示椅脚与地面的距离.
3. 建模过程中有无不严谨之处？ 椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？
做自己的模型
• 亲自动手，踏踏实实地做几个实际题目—— 不妨从包饺子这样的简单问题开始.
• 提倡在实际生活中发现、提出问题，建立模型. • 数学建模竞赛为提高用建模方法分析、解决
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性.
用表示椅子位置.
B´ B A´
四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是的函数.
C
四个距离
两个距离
(四只脚) 对称性
假设 相邻路障之间汽车作等加速运动和等减速运动.
加速度、减速度： 方法一 查阅资料 方法二 进行测试
加速行驶的测试数据
速度（km/h） 0
时间（s）
0
10 20 30 40 1.6 3.0 4.2 5.0
减速行驶的测试数据
速度（km/h） 40
30
20 10
0
时间（s）
0
2.2 4.0 5.5 6.8
R ~大皮半径 S k1R2 V k2R3 V kS3/2 (2)
r ~小皮半径 s k1r2 , v k2r3 v ks3/ 2 (3)
(1),(2),(3)
V n3/2v
消去S, s, k
解释
定性分析 V 比 nv 大 (n>1)——大饺子包得馅多. 定量结果
应用 若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包多少馅？
已知：f() , g()连续, 对任意, f() • g()=0 ,
且 g(0)= f(/2)= 0, f(0) > 0 , g(/2)>0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解 一种简单的证明方法
1）令 h()= f()–g(), 则 h(0)>0，h(/2)<0.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
数学建模的能力
想象力
洞察力
判断力
比较广博的数学知识
深入实际调查研究的决心和能力
创新意识
• 如何学习数学建模
学别人的模型（学习、分析、改进、推广）
做自己的模型（实际题目，参加竞赛）
学别人的模型
对于案例——椅子能在不平的地面上放稳吗， 在学懂的基础上可以作哪些研究？ 1. 模型假设中哪些条件是本质的, 哪些是非本质的? 地面高度连续 是 椅子至少三只脚着地 是 椅脚连线呈正方形 非 四脚连线呈长方形可以吗?
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
2）由 f, g 连续可得 h连续.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
• 回答原问题（船速为20km/h）
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
1.2 数学建模的重要意义
数学建模历史悠久
欧几里德 《几何原本》 光反射定律
阿基米德 浮力定律
杠杆原理
伽利略 落体定律 牛顿 万有引力定律
惯性原理 微积分
直到20世纪后半叶数学建模才逐渐得到普遍重视 和广泛应用，并且进入大学的课堂.