相似三角形的性质在面积比问题中的应用

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相似三角形的性质在面积比问题中的应用

在学习完相似三角形的性质这一节的内容后，我们都知道相似三角形有这样一条性质——“相似三角形的面积比等于相似比的平方。”而三角形的面积问题可以分成以下几种：（1）任意三角形的面积比等于底与高的积的比；（2）有一边相等的两个三角形的面积比等于这边上的高的比；（3）高相等的两个三角形的面积比等于底边的长度比；（4）等底等高（或全等）的两个三角形面积相等；（5）两个相似三角形的面积比等于相似比的平方。合理而巧妙的运用这几种情况就可以很好地解决三角形的面积比问题。

例如，如图，D 为△ABC 中BC 边上一点，已知点 1G 与点 2G 分别为△ABD 与△ACD 的重心，已知S △ABC =36，求S △AG G 。 解：延长1DG 、2DG 交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF 。

E 、

F 为AB 、AC 的中点EF ⇒∥⇒BC 21S △DEF =S △BEF 4

1

=S △ABC

21213

2G G DF DG DE

DG ⇒==∥⇒EF △21G EG ∽△DEF ⇒ 2

32⎪⎭⎫ ⎝⎛= ⇒S △DG G 4

1

94⋅=S △ABC S △ABC 36=

分析：一开始拿到此题，似乎感觉无从着手，观察图形可以发现△21G DG 与△ABC 是相似的，可是仅凭已知条件，无法直接证得三角形相似，更无法得出相似比。而此时条件“点1G 与点2G 分别为△ABD 与△ACD 的重心”就成了解题的关键。而我们都知道“三角形的重心就是三角形三条边上的中线的交点”，因此就想到利用三角形的重心的性质（三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍）添加一个辅助三角形——△DEF ，利用它来传递了三角形的面积比而得出结果。

又如，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 为其一条对角线且∠ACD =∠B ，已知AB =15，CD =10，DA =8，求BC 的长。

解法一：

1 2

A

B

D

E F G 1

G 2

1G 、2G 为重心⇒ S △DEF S △EG G 1 2 1 2

⇒ S △EG G 4= 1 2

A

B

C

D

1

2

AC

810∠ACD =∠B

AD ∥BC 21∠=∠⇒

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⇒△ACD ∽△CBA ⇒BC

AC

AC AD AB CD ==⇒

AB =15，CD =10，DA =8 AC =12

BC =18

解法二：

⇒△ACD ∽△CBA ⇒ 2

⎪⎭⎫

⎝⎛⇒AB CD

AD ∥BC ⇒ BC

AD

⇒

AB =15，CD =10，DA =8

⇒=⎪⎭

⎫

⎝⎛⇒BC 815102

BC =18

分析：解法一是应用“相似三角形对应边的比等于相似比”这一性质的，而且要连续用比例式，先求出AC ，再用比例式求BC 有一定难度；解法二借助两个相似三角形的面积比，同时这两个三角形又等高，面积比就作为“中间比”起到了“中介”的作用，灵活方便地求出BC ，在数学解题中，某种几何量或代数式的中介作用往往能帮助我们发现原题中蕴含的等量关系，使解题思路更清晰。从此题中还可以看出，巧妙得运用面积比，可以使题目变得简单易解。

下面两题就请同学们自己来试一试吧。

练习一，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，已知 3

2

=，则 的值。

练习二，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，设S △AOD = S 1，S △BOC = S 2，S △AOB = S 3，S

梯形

ABCD =

S ，求证1S 与2S 为方程

032

=+-S x S x 的两根。

S △BOC S △BDC S △BOC

S △ABD A

B

C D

O

A B

C

D O S 1 S 3

S 3

S 2