考研数学讲解之洛必达法则失效的情况及处理方法
使用洛必达法则应注意的问题
使用洛必达法则应注意的问题作者：尹丽高辉高胜哲来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第10期摘要：洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
关键词：洛必达法则；极限；等价无穷小；分析中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）10—0151—02洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法，而求函数极限是高等数学的重要内容，也是研究微积分学的常用工具。
因此，正确灵活地使用洛必达法则，对学生学好高等数学这门课程，深入研究微积分学，都具有积极的意义。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
一、洛必达法则定理：设在某一极限过程中，函数f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=0，limg（x）=0或limf（x）=∞，limg（x）=∞；（2）在该极限过程中，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0；（3）limf′（x）1g′（x）存在或为∞，则limf（x）1g（x）=limf′（x）1g′（x）法则当x→x0，x→x+0，x→x-0，x→∞，x→+∞，x→-∞时均成立。
二、正确理解洛必达法则使用的几个主要前提和结论1.求极限函数为010型，满足洛必达法则使用的前提，分子分母分别求导，得到limf′（x）1g′（x）的极限存在，可以使用洛必达法则的结论。
2.求极限函数为110型，不满足洛必达法则使用的前提，不适用洛必达法则。
3.求极限函数为∞1∞型，考虑用洛必达法则，分子分母分别求导，发现limf′（x）1g′（x）仍为∞1∞，继续使用洛必达法则，分子分母再次分别求导。
只要符合条件，洛必达法则可多次使用[1]。
三、使用洛必达法则可能遇到的问题例1[2]：limx→∞x+sinx1x错解：原式=limx→∞1+cosx11 ，极限不存在正解：原式=limx→∞x1x+sinx1x=1+limx→∞sinx1x=1分析：求极限函数为∞1∞型，使用洛必达法则，发现limf′（x）1g′（x）不存在，但不代表原式极限不存在。
洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
它的三个陷阱分别是：
1、求极限之前，先要检查是否满足0/0或∞／∞型构型，不然滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就无法用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，得从另外途径求极限，例如利用泰勒公式去求解。
2、洛必达法则是求未定式极限的有效工具，如果只用洛必达法则，往往计算比较繁琐，可以与其他方法相结合。
3、洛必达法则常用于求不定式极限，可以通过相应的变换转换成两种基本的不定式形式来求解。
考研数学极限七种运算方法及适用情况
考研数学极限七种运算方法及适用情况考研数学极限七种运算方法及适用情况
除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的.隐含之意为。
极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。
第一种是四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，
需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;
第三种是洛必达法则，适用于及型未定式，在使用的过程中需
要注意一下几点：
1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他类型未定式需要转化成及型才可以使用洛必达法则等;
第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不
必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原
则会在强化阶段给出;
第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现
不等关系的目的;
第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的
问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决
夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、
极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;
第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。
导数极难压轴题解法罗比达法则
导数极难压轴题解法罗比达法则罗比达法则是一种常用的解法，用来求解导数极难的压轴题。
在数学中，导数是函数的一个重要性质，能够帮助我们研究函数的变化趋势和性质。
然而，有些函数的导数的求解过程非常困难，需要借助于特殊的方法来解决。
本文将介绍罗比达法则及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
罗比达法则（L'Hopital's Rule）是由法国数学家奥波尔·罗比达发现并提出的。
当我们需要求解一个函数的极限，而该函数在该点的导数难以计算时，罗比达法则就派上了用场。
该法则的核心思想是将分子和分母同时求导，然后再进行极限运算。
具体的步骤如下：首先，我们需要找到一个函数的极限，例如：lim(x→a) [f(x)/g(x)]这里的f(x)和g(x)是两个函数，我们需要求解的是当x趋近于a时，f(x)/g(x)的极限。
如果在x=a的附近，f(x)和g(x)都为0或者都是无穷大的情况下，我们可以使用罗比达法则。
具体的做法是，分别对f(x)和g(x)求导，得到f'(x)和g'(x)。
接着，我们计算f'(x)/g'(x)的极限，即：lim(x→a) [f'(x)/g'(x)]如果这个极限存在，那么它就是原函数极限的值。
如果这个极限不存在，那么我们可以继续应用罗比达法则，重复上述步骤，直到得到一个确定的值或者证明不存在极限。
需要注意的是，使用罗比达法则的前提是函数在x=a附近的导数存在且非零。
另外，使用该法则求解函数极限时，要考虑函数的右导数和左导数是否一致，即：lim(x→a+) [f'(x)/g'(x)] = lim(x→a-) [f'(x)/g'(x)]只有当这两个极限相等时，我们才能得出最终的极限值。
下面我们通过一个具体的例子来演示罗比达法则的应用。
例子：求解极限lim(x→0) [sin(x)/x]首先，我们注意到当x趋近于0时，分子sin(x)和分母x都变为0。
洛必达法则的原理
洛必达法则的原理解读在微积分学中，洛必达法则（L'Hôpital'sRule）是解决不定型（indeterminateform）极限的强有力的工具。
这个法则的名字来源于法国数学家Guillaumedel'Hôpital，他在18世纪首次提出这个法则。
洛必达法则的核心思想是通过对分子和分母同时求导，来解决在求极限时遇到的0/0或∞/∞等不定型的问题。
让我们深入探讨这个法则的原理。
不定型的背景：在微积分中，我们常常会遇到形如0/0或∞/∞的不定型，这种情况下无法直接得到极限的值。
例如，考虑函数f(x)=(e^x-1)/x，当x 趋近于0时，分子和分母都趋近于0，这就是一个典型的不定型。
法则的表述：洛必达法则的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心邻域内可导，且对于该邻域内除了可能在a点外的某个点，f'(x)/g'(x)的极限存在或为∞，那么法则的解读：条件：洛必达法则的使用条件是函数在某一点及其邻域内可导。
这意味着我们需要确保函数在考虑的点附近具有足够的光滑性。
导数的比值：这个法则的核心思想是对函数的分子和分母同时求导。
通过这个操作，我们得到的是原函数导数的比值。
这可以被看作是“比率的比率”。
重复应用：洛必达法则可以被反复应用，即可以对新的函数f'(x)/g'(x)再次应用洛必达法则，直到得到可以直接求解的极限为止。
举例说明：考虑函数，我们可以使用洛必达法则。
首先求导得到，这时极限为1。
因此，原极限也为1。
总结：洛必达法则为解决不定型的极限问题提供了一个强大的工具。
通过巧妙地运用导数的性质，我们能够简化原极限的计算过程。
然而，使用这个法则时需要谨慎，确保满足法则的条件，以及在重复应用时不陷入无限循环。
在适当的情况下，洛必达法则是解决复杂极限问题的有力助手。
洛必达法则5种常见错误
洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞−∞∞∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。
17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule）。
虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。
在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。
本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。
以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
█失误一不预处理例1错误：−∞=−⋅⋅=′⋅′=+++→→→1(1lim )(lim lim 2101010x e e x xe x x x x x x 正确：+∞=′′⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010x x e x e xe x x x x xx █失误二急躁蛮干例：错解21126lim 2126lim 42633lim 34223lim 112212331==−=−−−=+−−+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：532126lim 42633lim 34223lim 12212331=−=−−−=+−−+−→→→x x x x x x x x x x x x x 例2：错解122sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos lim 000==−++=++=−=→→→x x x x x e x x x x e x x x e x x x x x x 正确解：∞=++=−=→→xx x x e x x x e x x x x cos sin sin lim sin cos lim 00更好的解法：∞=+=−=−=→→→x x e x x e x x x e x x x x x x 2sin lim cos lim sin cos lim 0200经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算例3402220220)cos (sin sin lim cos sin sin lim )1(2sin 21cos 1lim2x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x −=⋅−=−−−→→→＝313sin lim cos sin lim 2030==−→→x x x x x x x x x █失误三对离散点列求导例4求n n n+∞→lim 错解：属于0∞型，先进行变形1lim lim lim 011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e e e e n n nn n n n n n n n n n n 错误原因：n n n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。
考研数学洛必达法则求极限
前面介绍了求极限的四则运算法则在函数分解、抓大头和极限敛散性讨论等三个方面的应用。
下面我们继续深入剖析洛必达法则的使用条件。
首先要明确使用洛必达法则的三个条件：
虽然洛必达法则使用方便，但是一不小心就会陷入陷阱，导致误用乱用错用。
主要原因还是在于没有把握住洛必达法则使用的这三个条件，尤其是后面两个条件：可导性、求导后极限存在性。
我们通过例题来展示洛必达法则的正确使用过程、相关结论及考生需要格外注意的易错点。
1. 洛必达法则可导性检验
在整个过程中，使用了两次洛必达，最后一步直接代值计算。
如果这个题是选择题，那么可能90%以上的考生都会很幸运的拿到分数，但是并没有几个人是真正做对的，因为上面的过程是误用了洛必达法则。
作为一道解答题，我们应该如何正确去解决这道题，首先分析上面的过程错在哪?
由此，我们给出大家洛必达法则的使用规则：
(1).当极限式中函数存在n阶导数，则使用洛必达至出现n-1阶导，最后一步一般是凑导数定义;
(2).当极限式中函数存在n阶连续导数，则可以使用洛必达至出现n阶导。
2. 洛必达法则求导后极限存在性讨论
针对第三个条件，大家要正确理解下面两个命题：。
洛必达法则失效的情况
洛必达法则失效的情况
洛必达法则是微积分中的基本法则之一。
它指出，当自变量趋近于某个特定值时，被
积函数趋近于一个固定的极限值。
然而，在某些情况下，洛必达法则并不适用，因为其基
本假设可能没有得到满足。
本文将讨论洛必达法则失效的情况。
1. 函数不连续
如果一个函数在某个点不连续，那么在该点使用洛必达法则就会失效。
在这种情况下，我们需要使用其他方法来计算该点的极限。
例如，考虑函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$。
当$x=0$时，该函数在$x=0$处不连续，
因为$f(0)$是一个未定义的形式。
因此，我们不能使用洛必达法则来计算$f(x)$在
$x=0$处的极限。
相反，我们需要使用泰勒级数来计算此处的极限。
2. 函数形式复杂
有时我们会遇到函数形式非常复杂的情况。
在这种情况下，使用洛必达法则并不方便，因为我们需要对分子和分母同时求导。
这样的计算可能很困难或耗时很长，尤其是当函数
的形式非常复杂时。
例如，考虑函数$f(x)=\frac{e^{x^2}\sin(\sqrt{x})}{x^3+1}$。
在这种情况下，使
用洛必达法则显然是不切实际的。
相反，我们可以考虑使用泰勒级数或长除法等技巧，来
计算该函数在某个特定点的极限。
3. 极限不存在
综上所述，洛必达法则是微积分中非常重要的基本法则之一，但它并不适用于所有情况。
在某些情况下，我们需要使用其他方法来计算函数的极限值。
时候不能用洛必达法则
时候不能用洛必达法则洛必达法则，又称为洛必达定理，是微积分中的一个重要定理，它是计算不定积分的一个有效方法。
该定理由法国数学家洛必达于17世纪提出，经过几百年的发展和完善，已成为微积分中的基本工具之一。
洛必达法则在求解极限、不定积分和定积分等问题中发挥着重要作用，被广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
洛必达法则的核心思想是利用函数的极限性质来求解不定积分。
在应用洛必达法则时，我们需要先将被积函数化为分子分母形式，然后利用洛必达法则中的条件，判断分子和分母的极限是否存在或者是否为无穷大，最终得出不定积分的结果。
洛必达法则的应用需要一定的技巧和经验，但一旦掌握了其基本原理和方法，就能够轻松解决许多复杂的积分计算问题。
洛必达法则的应用场景非常广泛。
在物理学中，洛必达法则常常用于求解物体的运动轨迹、力学问题和电磁学问题。
在工程学领域，洛必达法则被广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等方面。
在经济学和金融学中，洛必达法则也常常用于求解收益率、成本和利润率等相关问题。
总之，洛必达法则在各个领域都发挥着重要作用，为人们解决了许多实际问题。
然而，尽管洛必达法则在数学和应用领域中有着重要的地位，但它并不是万能的。
在实际应用中，我们需要注意一些限制条件和注意事项，以免出现错误的结果。
首先，洛必达法则只适用于一些特定的函数形式，对于一些特殊的函数或者复杂的函数，可能无法直接应用洛必达法则。
其次，洛必达法则需要满足一定的条件，如果条件不符合，就不能直接使用洛必达法则。
此外，在应用洛必达法则时，我们还需要注意函数的连续性和光滑性，以免出现不可导的情况。
除了这些限制条件和注意事项，洛必达法则在实际应用中还需要结合其他数学工具和方法，才能够得到准确的结果。
例如，在求解不定积分时，我们可以结合换元积分法、分部积分法等方法，以便更好地解决问题。
在求解极限时，我们也可以结合泰勒级数展开、洛必达法则等方法，得到更加精确的结果。
因此，洛必达法则虽然是一个重要的数学工具，但在实际应用中，我们需要结合其他方法和工具，才能够解决复杂的数学和应用问题。
考研数学：极限计算法则——洛必达法则
考研数学：极限计算法则——洛必达法则洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。
在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。
一、关于洛必达法则洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在 的某去心邻域内可导且()0g x '≠ⅲ）()lim ()x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'='关于该法则需要注意的有两点：①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）.二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。
例：已知()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：200000))2)lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22().h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义；若该题中，已知()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2000))2)lim ))lim 2))lim 2().h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x Ag x →'='或∞时，方可使用洛必达。
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
《高数解题的四种思维定势》1．在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
2．在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3．在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4．对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
《线性代数解题的八种思维定势》1．题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
2．若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3．若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4．若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。
5．若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6．若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7．若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8．若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
关于可积和原函数存在如下三种情况可积，是充分条件1。
闭区间上的连续函数是可积的2。
只有有限个第一类间断点的函数是可积的，也就是分段连续函数是可积的3。
单调有界函数必定可积不满足以上三条的也可能是可积的，上面的是充分条件另外，关于原函数是否存在在某个区间上有第一类的函数，则在这个区间上一定不存在原函数在某个区间上有第二类间断点的函数，则在这个区间上有可能有原函数，也可能没有最后，可积和是否有原函数，说的不是一个事情，这个要记住了可积大概的理解，就是图形和x轴围成的面积是存在的，不是无穷大的原函数，就是有这样一个函数，可以表达块面积显然，面积存在的时候，是不一定有这样一个函数的关于合同，相似，等价的关系1、两个矩阵合同，并不需要他俩一定是对称矩阵！2、俩个实对称矩阵合同的充要条件是它俩必然具有相同得正负惯性指数；3、不是实对称的俩矩阵合同，根本无从讨论它俩的什么正负惯性指数——因为二次型的矩阵一定是实对称矩阵，也只有实对称矩阵对应的二次型才有所谓正负惯性指数这一概念！呵呵^_^4、两个矩阵合同，一定推出它俩等价；两个矩阵相似，也一定推出它俩等价；两矩阵相似与两矩阵合同谁也不比谁更强！5、如果两矩阵有相同的秩，且为同型矩阵，那么两矩阵等价6、两个实对称矩阵相似，可推出两个矩阵合同，但合同不能推出相似关于偏导，可微1。
专题05 洛必达法则(解析版)
备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇专题五 洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='，那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g'(x)≠0；(3)()()limx f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()limx a f x l g x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。
2017考研数学高数知识点梳理之洛必达法则
2017考研数学高数知识点梳理之洛必达法则
考研数学中的高数无外乎是考生们需要下功夫学习的一门课。
备考初期，由于对知识点主线把握的不全面很容易在学习中遇到问题。
下面，小编就将高数中的重难知识点为大家进行梳理。
洛必达法则
洛必达法则知名度很高。
提起极限计算的方法，有同学别的方法想不起来，唯独对洛必达念念不忘，可谓情有独钟。
到了这个阶段，对于此法，首先要注意条件。
洛必达法则有三个条件：
1)0分之0或无穷分之无穷型;
2)分子、分母在一个范围(若极限过程为x趋近于一点，则“局部”为该点的某去心邻域)可导;
3)分子、分母分别求导后的极限存在。
具体函数仅判断第1)条一般不会出问题，因为第2)、3)条在多数情况下成立。
但对抽象函数的极限问题要小心，可不可导，连不连续对洛必达法则的运用都有影响。
此外，泰勒公式以强大著称，但有一种情况不得不请出不那么强大的洛必达法则帮忙，谁这么大牌?原来是含有变限积分的极限。
一般得借助洛必达法则削去积分号。
考研数学/kaoyan/news238.html。
洛必达法则的使用条件
洛必达法则的使用条件洛必达法则是一种在微积分中常用的工具，用于计算极限。
在实际应用中，洛必达法则通常与函数的导数有关。
本文将介绍洛必达法则的使用条件，并阐述如何应用该法则解决问题。
洛必达法则的适用条件是当函数在某一点处的分子和分母均趋于零或趋于无穷时。
具体而言，如果一个函数的极限形式为0/0或∞/∞，那么可以使用洛必达法则求解极限。
在使用洛必达法则之前，需要注意以下几点：1.函数应当在待求点的某个邻域内可导，除了该点，该函数在整个邻域内的导数应当存在。
2.函数在待求点的某个邻域内分子和分母的导数均连续。
3.当求解的极限形式符合0/0或∞/∞时，才适用洛必达法则。
洛必达法则的具体使用步骤如下：1.求出函数的导数，即分子和分母的导函数。
2.将导函数代入原极限形式，得到一个新的极限形式。
3.如果新的极限形式仍然符合0/0或∞/∞，则再次应用洛必达法则，直到结果不再满足此形式。
4.当新的极限形式不再满足0/0或∞/∞时，可以直接计算该极限的值。
下面给出一个例子来说明洛必达法则的应用过程：假设我们要求解极限lim(x->0)(sinx/x)。
这是一个常见的极限形式，当趋近于0时，分子和分母同时趋近于零。
1.求解导函数：导函数为lim(x->0)cosx=1。
2.将导函数代入原极限形式：lim(x->0)(cosx/1)=cos0/1=1。
3.新的极限形式仍然满足0/0，因此继续应用洛必达法则。
4.再次求导：导函数为lim(x->0)-sinx=0。
5.将导函数代入新的极限形式：lim(x->0)(-sinx/0)=-sin0/0=0/0。
6.新的极限形式仍然满足0/0，继续应用洛必达法则。
7.再次求导：导函数为lim(x->0)-cosx=-1。
8.将导函数代入新的极限形式：lim(x->0)(-cosx/-1)=-cos0/-1=1/-1=-1。
根据洛必达法则的应用过程，我们得到了原极限的最终结果为-1。
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洛必达法则失效的情况及处理方法
【本章定位】
此部分内容不需要特别掌握，关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则
)()(lim )()(lim
x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；
（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；
（3）A x g x f a x =''→)()(lim
（或∞）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷
大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题1】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。
这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以
⎰⎰+∞→+∞→+=r n n x x x x r n x x x ππ0
0d sin 1lim d sin 1lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数
x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。
最后注意到积
分值R 的有界性（20<≤R ）。
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
【问题2】求极限（1）x x x 3
31lim
+∞→；（2）x x x x x --+∞→+-e e e e lim 。
【分析与解】（1）这是∞∞
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到
x x x x x x x x x 333232331lim )1(lim 1lim +=+=+∞→∞→∞
→，
可知洛必达法则失效，处理的方法是
111lim 1lim 1lim 333333
3=+=+=+∞→∞→∞→x x x x x x x x 。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
x x x x x x x x x x x x x
x x --+∞→--+∞→--+∞→+-=-+=+-e e e e lim e e e e lim e e e e lim ，
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘x -e ，得到
1e 1e 1lim e e e e lim 22=-+=+---+∞→--+∞→x x
x x x x x x 。
【问题3】求极限1001
02e lim x x x -→。
【分析与解】这是00
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可
知洛必达法则的第三个条件
102
10?10010200e lim e lim 2
2x x x x x x -→-→=完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。
正确有效的方法是作换元，令
21x t =
，这样就有 0e lim e lim 50
1001
02==+∞→-→t t x x t x 。
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例：
【例1】求极限)3(211ln 3)76(sin 6lim 2202
x x x x x x x e x x +--+---→问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达
法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了。