比例线段及相似知识点解

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初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总

第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。

知识点二：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学班级姓名考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证；（2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ；解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。

比例线段(基础) 知识讲解

比例线段（基础）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、相似形1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形.2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作a b或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a c a b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项.3．比例的性质：（1）基本性质如果a c b d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即如果ad bc =，那么a cb d =（,b d ≠0）. （2）合比性质如果++==.ac a b cd b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （2014•甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=5k ，所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型三、黄金分割4.（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，根据题意得：x ：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段

A
E
F
B
D
C
作业
姓名：作业等级： . 1.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图，某女士身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为（） A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
10.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC， BD－DC=2cm，求 BC.
◆----平行线分线段成比例定理质定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 2、三角形一边的平行线的判定定理 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 3、三角形一边的平行线的性质定理 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。例、如图 5，在 △ABC 中， D 是 BC 上的点， E 是 AC 上的点， AD 与 BE 交于点 F，若 AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。
1 2
a b c ，则 x 的值一定是（ bc ac ab 1 3 B、-1 C、或-1 D、 2 2
）
2.已知一次函数 y kx 1 中，比例系数 k 满足 k 试求直线 y kx 1 与 x 轴的交点坐标.

第四章图形的相似(知识点)

第四章图形的相似一．成比例线段1.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2.成比例线段及比例的性质：（1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ；若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比，一条线段有两个黄金分割点.≈-=215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=四．相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质（1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.※5.图形的位似：→位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.→位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.→位似图形的画法：（1）画出基本图形；（2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长扩大到原来的两倍.注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.→位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A ´，则A ´点的坐标可以这样确定xA ´=xA ×k ，yA ´=yA ×k 即A ´（kx,ky ）或xA ´=xA ×(-k)，yA ´=yA ×(-k) 即A ´（-kx,-ky ）例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为21的位似图形.题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转:绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。

相似形及比例线段(基础) 知识讲解

相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么（3）等比性质：如果+c c=====k.+da c a ab d b d bk，那么（4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。

要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.12AP AB=≈).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一. 类型三、比例线段4. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；AC米；③1)④=10(31)BC-米或米．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.。

图形的相似知识归纳+真题解析

(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形（1）定义两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 一点；
a c b d
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。（二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等，对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。（二） 1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角，对应边的比．
2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或延长线 )相交，所构成的三角形与原三角形．，那么这两个三角形相，且夹角，那么这两，那么这两个三角形相

数学相似图形知识点总结归纳

数学相似图形知识点总结归纳※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数;⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.三、相似多边形¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5、相似三角形周长的比等于相似比.※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.※1、相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例.①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。

第二十七章_相似知识点

第二十七章相似知识体系第一节图形的相似1.比例线段:①.如果a/b=c/d ，那么ad=bc ；②.如果ad=bc ，且bd≠0，那么a/b=c/d ；如果a/b=c/d ，那么(a+b)/b=(c+d)/d 。

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

3.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形①.相似图形的大小不一定相等。

形状、大小都相等的图形叫做全等图形②.全等图形是相似图形的特殊情况③.图形的相似具有传递性：如果图形A 与图形B 相似，图形B 与图形C 相似，那么图形A 与图形C 相似。

4.相似多边形的特征：①.对应边成比例，对应角相等②.两个相似多边形对应边的比叫做这两个多边形的相似比5.相似多边形的识别：如果两个多边形对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似6.黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

A P B即：如图，如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，使得BP AP AP AB=,那么线段AB 被点P 黄金分割，线段AP 与AB 的比叫做黄金比，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，即51AP AB -=. 第二节相似三角形1.相似三角形的概念：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

即:如图,△ABC 和△A ＇B ＇C ＇，其中∠A=∠A ＇，∠B=∠B ＇，∠C=∠C ＇，B A ''AB =C B BC ''=A C CA '', 则有△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇。

1.定义法对应角相等，对应边成比例的三角形相似2.判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两条相交，所构成的三角形与原三角形相似 3.判定定理②如果三角形的三组对应边相等，那么这两个三角形相似 4.判定定理③如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 5.判定定理④ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

自学初中数学资料比例线段、相似的性质

自学资料一、比例线段【知识探索】1．比例线段的基本性质：（1）如果，那么．（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化．若，则、、、、、、．【注意】（1）对于实数、、、，如果成立，则不一定成立；如果，则一定成立．（2）对于线段长度、、、，如果成立，则一定成立；如果，则也一定成立．第1页共24页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第3页共页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．【答案】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．4．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【答案】解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，∴a：b=30：60=1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴ab =c d，∵c=12dm=120cm，∴12=120d，∴d=240cm；（3）是，理由：∵b2=3600，ac=30×120=3600，∴b2=ac，∴b是a和c的比例中项．二、黄金分割【知识探索】1．与的比值称为黄金分割数，简称黄金数．第4页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第5页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【说明】黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值．【注意】（1）不是黄金分割数；（2）．（3）称为黄金分割数或简称黄金数；它的倒数称为黄金比．【错题精练】例1．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AB=2，则AC 的长为（） A. √5−1 B. √5+1C. √5−2D. 3−√5【解答】解：∵C 为线段AB=5的黄金分割点，且AC ＞BC ，AC 为较长线段， ∴AC=√5−12×2=√5−1，故选：A ．【答案】A例2．把1米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（） A. 3−√52 B. √5−12 C.1+√52D.3+√52【解答】解：较短的线段长=1×（1-√5−12）=3−√52；故选：A ．【答案】A例3．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.65 m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（） A. 2.5 cm B. 5.3 cm C. 7.8 cm D. 8.5 cm【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm ，第6页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训设选的高跟鞋的高度是xcm ，则根据黄金分割的定义得：99+x165+x =0.618，解得：x≈7.8cm ．故选：C ．【答案】C例4．如果C 是线段AB 一点，并且AC ＞CB ，AB =1，那么AC 的长度为（）时，点C 是线段AB 的黄金分割点． A. 0.618； B. 1−√52； C.√5−12； D.3−√52．【答案】C例5．实数a,n,m,b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点为A ，N ，M ，B （如图），若AM 2=BM·AB ，BN 2=AN·AB ，则称m 为a,b 的“大黄金数”，n 为a,b 的“小黄金数”，当b −a =2时，a,b 的大黄金数和小黄金数只差m −n =__________【答案】2√5−4例6．如图，在△ABC 中，AC=BC ，在边AB 上截取AD=AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是______．【解答】解：∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点， ∴AD 2=BD•AB ， ∵AD=AC=BC ， ∴BC 2=BD•AB ，即BC ：BD=AB ：BC ，而∠ABC=∠CBD ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=2x，∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°．故答案为36°．【答案】36°例7．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB=4，求BC的长．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=12（180°-36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB=12×72°=36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴ABBC =BC BE，∴BC2=AB•BE，即AE2=AB•BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，第7页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴BC=√5−12•AB=√5−12×4=2√5-2．【举一反三】1．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（）A. ACAB =BCAC B. BC 2=AB•BC C. ACAB =√5−12D. BCAC ≈0.618【解答】解：∵AC ＞BC ， ∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意； AC 2=AB•BC ，故B 错误，AC AB=√5−12，故C 正确，不符合题意；BCAC≈0.618，故D 正确，不符合题意．故选：B ．【答案】B2．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB=2a ，则BE 长为（）A. （√5+1）aB. （√5-1）aC. （3-√5）aD. （√5-2）a【解答】解：∵点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ， ∴BE=√5−12AB=√5−12•2a=（√5-1）a ．故选：B ．【答案】B3．如图，P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为（）A. S1＞S2B. S1=S2C. S1＜S2D. 不能确定【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故选：B．【答案】B4．已知点C在线段AB的黄金分割点，且AB=10cm，则线段AC的长为______【答案】5√5−5或15−5√55．如图，AD是△ABC的外角平分线，且ABAC =√5+12，求证：C是BD的黄金分割点．【答案】证明：过C作CE∥AD，交AB于点E，∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵AD平分外角，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AE=AC，第9页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵CE∥AD，∴ABAE =BD CD，∴ABAC =BD CD，∵ABAC =√5+12，∴BDDC =√5+12，∴BD=√5+12CD，∴CD=√5−12BD，即C是BD的黄金分割点．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线．（1）△ABC和△CBD相似吗？为什么？（2）AD、AB、BD之间有什么关系？为什么？【答案】解：（1）相似，理由如下：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠DCA=∠A，且∠ABC=∠CDB，∴△ABC∽△CBD；（2）由（1）可得△ABC∽△CBD，∴CDAB =BD BC，又由（1）可知AD=CD=CB，∴AD2=AB•BD．三、平行线分线段成比例定理【知识探索】第10页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训1．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．【说明】“平行线等分线段定理”是“平行线分线段成比例定理”的特例．【错题精练】例1．已知直线a//b//c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F，若ABBC =12,则（）A. 13B. 12C. 23D. 1【答案】C例2．D、E分别为△ABC中BC、AC边上的点，且BD：DC=1：3，AE：EC=2：1，则AF：FD=（）A. 3：1B. 5：1C. 8：1D. 9：1【解答】解：过点A作AG平行BC交BE延长线与G，∴△AGE∽△CEB，∴AGBCEC=2，∴AG=2BC，∵BD：CD=1：3，∴BC=4BD，∴AG=8BD，∵△AGF∽△DBF，∴AFDF=AGBD=8，故选：C．【答案】C例3．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（）A. 8cmB. 12cmC. 30cmD. 50cm【解答】解：∵BC∥PQ，∴△ABC∽△APQ，∴ABAP=ACAQ∵AB：AP=2：5，AQ=20cm，∴AC20=25，解得：AC=8cm，∴CQ=AQ-AC=20-8=12（cm），故选：B．【答案】B例4．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．【答案】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴DEEF=ABBC例5．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A. DEBC =23；B. DEBC =25；C. AEAC =23；D. AEEC =25．【答案】B【举一反三】1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，则BECF的值应该（）A. 等于13； B. 大于13；C. 小于13； D. 不能确定．【答案】B2．如图，在△ABC中，AB∥EF∥GH，AE=GC，EF=14，GH=5，那么∴y=95x，∴5AB=x2x+y=x2x+x95=519，∴AB=19．故答案为：19．【答案】193．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：BF=1：2：3，BC=10cm．（1）求AE：EG：GC的值；（2）求DE与FH的比．，∴FH=25×10=4，∴DEFH=53534=512．4．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB=3：2，CP：CE=5：6，那么DB：CD=（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 1：4【解答】解：作EF∥BC交AD于F，如图，∵EF∥BD，AE：EB=3：2，∴EF：BD=AE：AB=3：5，∴BD=53EF，∵EF∥CD，∴EF：CD=EP：PC，而CP：CE=5：6，∴EF：CD=1：5，∴CD=5EF，∴BD：CD=53EF：5EF=1：3．故选：B．【答案】B5．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，∴ABAC =DEDF，即46=DE9，可得；DE=6，故选：B．【答案】B6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2=AD•AB，∠ABE=∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE：S四边形DBCE=1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【答案】（1）证明：∵AE2=AD•AB，∴AEAD =ABAE，又∵∠EAD=∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED=∠ABE，∵∠ABE=∠ACB，∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =（ADAB）2，∵S△ADES四边形DBCE =18，∴S△ADES△ABC =19，∴（ADAB ）2=19，∴ADAB =13，∴ADDB =12，∴S△ADES△BDE =12．7．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5；B. 6；C. 7；D. 8．【答案】B1．△ABC中，已知点D、E分别为BC、AC的中点，△ABC的面积是12，则△CDE的面积为________【答案】3．2．（浙江杭州市中考22）（本题满分12分）如图，在△中（），，点在边上，于点．（1）若，，求的长；（2）设点在线段上，点在射线上，以，，为顶点的三角形与△有一个锐角相等，交于点．问：线段可能是△的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【解答】【答案】（1）（2）略．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线的交点为O，CE∥AB交BD的延长线于E，若OB=6，OD=4，则DE=（）A. 12B. 9C. 8D. 5【解答】解：在梯形ABCD中，由分析可知BO：OE=AO：OC=OD：OB，即：OD：OB=BO：OE，又OB=6，OD=4，即4：6=6：OE，解得OE=9，又OD=4，所以DE=5，故选D．【答案】D。

(完整版)比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】一、比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质：(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且１、判断下列四条线段是否成比例.① a=2，b=5,c=15，d=32；② a=2，b=3, c=2，d=3；③ a=4，b=6, c=5，d=10；④ a=12，b=8, c=15，d=10.2、已知：ad=bc .（1）将其改写成比例式；（2）写出所有以a ，d 为内项的比例式；（3）写出使b 作为第四项比例项的比例式；（4）若d bc a=；写出以c 作第四比例项的比例式；3 、计算.(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?5、EF BE AD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。

相似形与比例线段

【例】（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则．
【解析】比例的性质、设k法
（1）根据比例的合比性，；
（2）设，原式=
（3）设，原式=
【例】（1）已知：，求的值；
（2）已知：，求的值；
（3）已知：，求的值．
【解析】设k法
（1）令，得，原式= ；
（2）令，得，原式= ；
二、比例线段
1、比例的概念
一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；如果（或），那么就说成比例．
在比例式中，叫做和的比例中项，
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果，那么；
如果，那么，，．
（2）合比性质：
如果，那么；
2与6对应时，另外两边为：和；
（3）2与8对应时，另外两边为：1和 .
【例】如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式．
【解析】相似形性质的应用
【解析】相似的是（3）（4）（7）（9），选B
【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角的大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．
【例】已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数．
（1）时，根据比例的等比性；
（2）时，可得，则．
【例】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？

相似形与比例线段(一)

相似形与比例线段【放缩与相似形】如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

【比例线段】线段的比：在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。

即两条线段的长度的比。

如：线段a 与b 的比，记作ba （或a ：b ），若ba ＝31，则说明a 是b 的31，b 是a 的3倍。

比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长度的比相等，即dc ba =（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

在ab=cd 中，a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。

如果a ∶b =c ∶d ，那么ad=cb 。

特别地，若a ∶b=b ∶d ，即c=b ，则b 叫a ，d 的比例中项，b 2=ad 。

常用这种变形方式转化字母间的关系：①dc ba =，②dbc a =，③a c bd =，④a b c d =，⑤b a d c =，⑥c a d b =，⑦b d a c =，⑧cd a b =。

合比定理：dd c b b a d c b a ±=±⇒=等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ba nd b m c a nm dc ba比例尺：比例尺＝实际距离图上距离，即图上距离＝实际距离×比例尺。

黄金分割如果点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC 2=BC ·AB ，那么称线段AB 被点C 黄金分割。

其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其准确值为215-，近似值为0.618。

【三角形一边的平行线】三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。

三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

比例线段与相似三角形性质

比例线段与相似三角形性质中考要求重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习生活中几个有趣的黄金分割点报幕员应站在舞台宽度的0．618处的地方报幕最佳．将高清晰度电视屏幕的长与宽组成一条线段，取这条线段的黄金分割点，将线段分成两条线段，则屏幕的长与宽刚好接近16:9．人体有很多神秘的黄金分割点：肚脐刚好就是整个人体的黄金分割点；喉头刚好是头顶到肚脐的黄金分割点，膝关节是肚脐到脚的黄金分割点，肘关节是手指到肩部的黄金分割点．⨯=度时，身体会感觉最舒服．当人生活在正常体温37.50.61823.175国旗上的五角星是很美的几何图形，而其中由五条线段相交的五个点刚好是这条线段的黄金分割点．这些生活中的黄金分割点都是学者在日常生活中去探索、发现的，你是否也能给出几例你自己验证了得生活中的黄金分割点呢？例题精讲模块一比例的性质☞比例线段1．,a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理); 4．ac a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5．a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6．a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理)．【例1】若:2:3x y =，则下列各式不成立的是（） A ．53x y y += B ．13y x y -= C ． 123x y = D ．1314x y +=+ 【难度】1星【解析】根据比例的性质公式：a c a b c d b d b d ++=⇔=；a c a b c db d b d--=⇔=可知,,A B C 正确，只有D 错误．【答案】D【巩固】若0234x y z ==≠ ，则23x yz+= ．【难度】2星【解析】设()0234x y zk k ===≠,则2,3,4x k y k z k === 所以有，23491344x y k k z k ++== 【答案】134【巩固】若:3:2a b =，:5:4b c =，则::a b c =（）A ．3:2:4B ．6:5:4C ．15:10:8D ．15:10:12【难度】2星【解析】可以把两个比中的b所占的份数变成相同的．:3:215:10a b==，:5:410:8b c==，即::a b c可求．∵:3:215:10a b==，:5:410:8b c==，∴::15:10:8a b c=．故选C【答案】CA．13B．2C．5D．3【难度】2星【难度】2星【解析】根据题意比例的合比性质，即可得出结果．由题意，32ab=，∴33325 aa b== ++故选C 【答案】CA．4B．3C．3D．7【难度】2星【解析】设37a bk =-，那么3a k -，7b k -，然后代入所求的代数式即可求出结果．设37a bk =-， ∴3a k -，7b k -， ∴73433b a k k a k ----．【答案】BA ．3 B ．5 C ．5 D ．5【难度】2星【解析】根据比例的等比性质直接即可得解．∵23a c b d ==， ∴23a c b d -==-， ∴23a cb d -=- 【答案】A【巩固】已知一张地图的比例尺是15000∶，若A 、B 两地的实际距离为250 m ，则画在地图上的距离是．【难度】2星【解析】根据公式：∵比例尺=图上距离∶实际距离，设图上距离为l∴有1=5000250l ()15()20l m cm == 【答案】5cm【巩固】已知a b ck b c a c a b===+++，则直线2y kx k =+一定经过（） A ．1第，2象限 B ．2第，3象限 C ．3第，4象限 D ．1第，4象限【难度】2星【解析】分情况讨论：当0a b c ++≠时，根据比例的等比性质，得：()122a b c k a b c ++==++，此时直线为112y x =+，直线一定经过1，2，3象限．当0a b c ++=时，即a b c +=-，则1k =-，此时直线为2y x =--，即直线必过2，3，4象限．综合两种情况，则直线必过第2，3象限．【答案】B【拓展】若a b ct b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（） A ．第一、二象限 B ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 D ．第三、四象限【难度】2星【解析】先根据等式求出t 的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即可．（注意有两种情况）．【答案】由已知得()b c t a +=；()c a t b +=；()a b t c +=，三式相加得：()2a b c t a b c ++=++，①当0a b c ++≠时，12t =； ②当0a b c ++=时，a b c +=-，1t =-．∴一次函数2y tx t =+为1y x =-+或1124y x =+∵1y x =-+过第一、二、四象限；1124y x =+过第一、二、三象限；∴一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是第一、二象限．故选AB ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变【难度】2星【解析】若甲∶乙∶丙=::a b c ，则甲占全部的a abc ++，乙占全部的b a b c ++，丙占全部的ca b c++．故选D☞黄金分割点A如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点．设AC x =，则BC AB x =-，即有一元二次方程220x ABx AB +-=,根据公式法解得：x ，因为0x >，所以有x，即0.618AC AB AB =≈，0.382BC AB AC AB =-=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．【例4】如图所示，在黄金分割矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中，分出一个正方形ABFE ，求FCCD ． F EDB AC【难度】1星【解析】∵AB AC ，∴BC AB =．BC AB AB -=． ∵BC AB BC BF FC -=-=，AB CD =∴FC CD =．【答案】FC CD =【巩固】E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AD AE ，BE 交DC 于F．已知1AB =-，求CF 的长．【难度】2星【解析】∵AD AE∴DE AE =又∵DC AB ∥ ∴DE DFAE AB=，1AB∴4DF =∴3CF =【答案】3CF =模块二平行线分线段成比例定理平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．AB C D E FFEDC B A当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，． A BCE F F ECB A【例5】如图，小明站在C 处看甲、乙两楼顶上的点A 和点E C E A ，、、三点在同一直线上，点B D 、分别在点E A 、的正下方，且D B C 、、三点在同一直线上，B C 、相距20米，D C 、相距40米，乙楼BE 高15米，则甲楼AD 的高为（小明身高忽略不计） ( ) A ．40米 B ． 20米 C ． 15米 D ． 30米【难度】1星【解析】BC BECD AD=20BC DB ＝＝ 15BE = ∴30AD = 【答案】 D【巩固】如图，在ABCD △中，DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =．（1）求ADAB的值；（2）求BC 的长．ABCD EEDCB A【难度】1星【解析】∵DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =∴41483AD AB ==+ ∴13AD DE AB BC == ∴9BC =【答案】13；9【例8】如图，在APM △的边AP 上任取两点B 和C ，过点B 作AM 的平行线交PM 于点N ，过点N 作MC的平行线交AP 于点D ，求证：AP PB PC PD =∶∶．PNMB C DA【难度】2星【解析】略【答案】∵ND MC ∥∴PN PDPM PC=又由NB AM ∥得PN PBPM PA=∴PD PB PC PA =即PA PCPB PD=【巩固】如图， Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于G ，15AC = ，10BC =，求GE ．GABC DEP【难度】2星【解析】略【答案】设正方形的边长为a ，则15-AD a = ∵DE BC ∥∴AD DE AC BC = 15-1510a a=解得6a =又在AFB △中GE BF ∥ 有GE AE DEBF AB BC==， GE AD BP AC =∴9415GE = 125GE =【巩固】如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．EDBA【难度】3星【解析】略【答案】AD AE AD AEDE BC AB AC DB EC⇒==∵∥，又510AB AC BD AE ===，， 1210AD AB AD DB AE AEAE AC AE EC AC AE AE=====--∴， 1101023AE AE AE =⇒=-∴【例5】如图，在平行四边形ABCD中，4AC=，6BD=，P是BD上的任一点，过点P作EF AC∥，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP x=，EF y=，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【难度】2星【解析】根据平行四边形的性质得到132OD OB BD===，根据平行线分线段成比例定理得到BP EFOB AC=和DP EFOD AC=，代入求出y与x的关系式，根据函数的图象特点即可选出答案．【答案】设AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴132OD OB BD===，当P在OB上时，∵EF AC∥，∴BP BF EFOB BC AC==，∴34x y=，∴43y x=，当P在OD上时，PFE DCBA同法可得：DP DF EFOD DC AC==，∴634x y-=，∴483y x=-+，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选C【例6】如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 分别交中位线EF 于点H 、G ，且121EG GH HF =∶∶∶∶，那么AD BC ∶等于．HGFE DCBA【难度】2星【解析】∵根据平行线分线段成比例定理可得：EG 、GF 分别是ABD △和DBC △的中位线．那么2AD EG =，2BC GF =． ∴:21:[221]1:3AD BC =⨯⨯+=（）（）【答案】1∶3【巩固】已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a=，正确的作法是（）xab2bxab2bA ．B ．x2bbax2bbaC ．D ．【难度】2星【解析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a 、b 和2b ，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x ．【答案】由题意，22b x a = ∴2a bb x=，∵线段x 没法先作出， ∴B 选项错误，根据平行线分线段成比例定理，只有C 符合．故选C【拓展】在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分别交BM于G 、H 两点，求证：532BG GH HM =∶∶∶∶．MH G FECBAG'H'MH GFEC BA【难度】5星【解析】略【答案】如图，过C 点作'CH AH ∥，交BM 的延长线于'H ，易证'CH AH =，'HM MH =；同样得'G ，可得''GH H G =，设BG x =，GH y =，HM z =，则'MH z =，''H G y =，由平行线分线段成比例定理可知： 1222x x y z y z =⇒=++；2421x y x z y z +=⇒=-， ∴52x z =，32y z =， ∴532222AG GH HM z z z =∶∶∶∶，即532AG GH HM =∶∶∶∶模块三相似三角形的性质☞对应角相似三角形对应角相等【例9】已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（）【难度】2星【解析】略【答案】∵AB是直径，∴C∠是直角，∴90A B∠+∠=︒，用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，所以在镜中看的角大小没有改变，∴90A B∠+∠=︒．故选A【巩固】如图，若ABC AED△∽△,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．EDCBA【难度】1星【解析】略【答案】ADE ACB∠=∠，DAE CAB∠=∠，AED ABC∠=，AE AD DE AB AC BC==☞对应边相似三角形对应边成比例【例10】三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之各是（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm【难度】3星【解析】最长边为21cm的三角形三边比例为357∶∶∵可设最长边为721x=3x=∴另外两边和3588324x x x+==⨯=故选D【答案】D【巩固】ABC △3，'''A B C △的两边长分别为1，若ABC △与'''A B C △相似，则'''A B C △的第三条边长．【难度】2星【解析】∵ABC △'''A B C △的两边1∴'''A B C △【答案】2【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为多少？【难度】3星【解析】根据相似三角形对应边成比例的性质．首先，以60cm 为一边时，另一端30cm 需要结成两段，构成不了三角形．其次，以30cm 为一边时，对应着ABC △的三边，可以有相似比23∶，53∶，21∶．当相似比为23∶ 时，其他两段需要用料165cm ，不符合题意．当相似比为53∶时，其他两段长度分别为12cm 和36cm ，可以．当相似比为21∶时，其他两段长度分别为10cm 和25cm ，可以截取．【答案】12cm 和36cm 或者10cm 和25cm ．☞中线、高线、角平分线相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比【例7】如图ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，试证明：AB BC AC AMk A B B C A C A M====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA【难度】2星【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△ ∴,'''''AB BCB B A B BC =∠=∠ 又∵AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线 ∴2''2''''''BC BM BM ABk B C B M B M A B ====【巩固】已知ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，则ABC △与DEF △的周长比为（）．【难度】1星【解析】由于相似三角形的对应中线和周长的比都等于相似比，由此可求出两三角形的周长比．【答案】∵ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，∴它们的相似比为2:3；故ABC △与DEF △的周长比为2:3【巩固】若两个相似三角形的相似比是2:3，则这两个三角形对应中线的比是（）．【难度】1星【解析】根据相似多边形的性质，对应边之比相等可得．【答案】相似三角形对应中线的比等于相似比，因而对应中线的比是2:3【例8】如图ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，求证：AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '【难度】2星【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△∴2'''ABC A B C S S k =△△∶，即有211''''22BC AH B C A H k ⋅⋅=∶又∵''BC k B C =，2''''BC AHk B C A H =∴''AHk A H =【解析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比即可求解．【答案】∵12h h=相似比，∴22112s h s h ⎛⎫= ⎪⎝⎭【巩固】如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形的相似比为（）．【难度】1星【解析】相似三角形的一切对应线段（包括对应高）的比等于相似比，由此可求得这两相似三角形的相似比．【答案】∵两个相似三角形对应高的比为5:4，∴它们的相似比为5:4【例9】如图ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． D 'D A 'B 'C B A【难度】2星【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△ ∴''','BAC B A C B B ∠=∠∠=∠又∵AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线∴11,''''''22BAD BAC B A D B A C ∠=∠∠=∠∴''','BAD B A D B B ∠=∠∠=∠ ∴'''ABD A B D △∽△ ∴''''AB ADk A B A D ==【巩固】两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:8 【难度】【解析】两个相似三角形的相似比等于对应高的比，也等于对应中线的比．【答案】∵两个相似三角形对应高之比为1:2；∴两个相似三角形的相似比为1:2； ∴它们对应中线之比为1:2．故本选A☞周长比、面积比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【例10】如图1，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图2【例11】若ABC DEF △∽△，它们的面积比为41∶，则ABC DEF △∽△的相似比为（） A ．2:1 B ．1:2 C ．4:1 D ．1:4 【答案】1星【解析】由ABC DEF △∽△与它们的面积比为4:1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得ABC △与DEF △的相似比．【答案】∵ABC DEF △∽△，它们的面积比为4:1，∴△ABC 与△DEF 的相似比为2:1．故选A【例12】已知'''ABC A B C △∽△，它们的相似比是23∶，ABC △的周长为6，则'''A B C △的周长为（）．【难度】1星【解析】利用相似三角形的周长的比等于相似比列式求解．【答案】∵ABC △的周长：'''A B C △的周长23=∶，ABC △的周长为6；∴'''A B C △的周长3692⨯==【巩固】若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（） A ．12∶ B ．14∶ C ．15∶ D ．116∶ 【难度】1星【解析】略．【答案】∵两个相似三角形的面积之比1:4；∴它们的相似比为12∶； ∴它们的周长之比为12∶ 故选A【例13】已知ABC DEF △∽△，且12AB DE =∶∶，则ABC △的面积与DEF △的面积之比为（） A ．12∶ B ．14∶ C ．21∶ D ．41∶ 【难度】1星【解析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．【答案】∵ABC DEF △∽△，且相似比为1:2；∴其面积之比为1:4；故选B【例14】在ABC △和DEF △中，2AB DE =，2AC DF =，A D ∠=∠．如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次是．【难度】2星【解析】根据周长比等于相似比，面积比是相似比的平方．【答案】8；3【巩固】如图，已知D E 、分别是ABC △的AB AC 、边上的一点，DE BC ∥，且1:3ADEDBCE S S △四边形∶＝，那么AD AB ∶等于（）A ．14 B ．13C ．12D ．23 ABCDE【难度】3星【解析】∵1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝∴1:4ADE ABC S S △∶＝△∴AD AB ∶=1:2【答案】C【拓展】如图，在ABC △中，,DE FG BC GI EF AB ∥∥∥∥．若ADE △、EFG △、GIC △的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则ABC △的面积为．GIH FA BCDE【难度】3星【解析】由三角形的面积，可知234AE EG GI =∶∶∶∶，所以29AE AC =∶∶，即481S ADE S ABC =△∶△∶，根据20S ADE =△，所以405S ABC =△．【答案】2405cm☞三角形相似的综合【例15】一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高的长为225cm ．．现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张第1张第2张【难度】3星【解析】如图，作AD BC ⊥于点D ，交第n 张纸条于点E ，3,,DE n AE GH =⊥则AGH ABC △∽△，∴GH AE BC AD =即1322.53522.5n-=，解得6n = 【答案】C ．B第2张第1张【巩固】如图所示，路边有两根电线杆AB CD 、，其中 3 AB m =， 6 CD m =，用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处距离地面的高度MH ．H MAB CD EF【难度】2星【解析】由两步相似倒出边与边之间的比例关系．∵ MH AB ∥ ∴DH MHDB AB =① MH CD ∥ BH MHBD CD=② ①+②：136MH MH=+∴2MH cm =【答案】2cm【拓展】如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想． E DBACO【难度】4星【解析】（1）当11211AE EC ==+时，22321AO AD ==+；（2）当11A 312AE C ==+时，21222AO AD ==+；当1A 4AE C =时，22532AO AD ==+．（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n=+，证明方法比较多，选择两种介绍：如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵11AE AC n =+ ∴CE nAE =，122nEF CE AE == ∵//DF BE ∴222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+OFCABDE另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故22AO AD n=+．【答案】（1）23AO AD =；（2）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+模块四位似位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．位似的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（2）位似图形的对应线段的比等于相似比．（3）位似图形的周长比等于相似比．（4）位似图形的面积比等于相似比的平方．【例16】如图，下列各组图形中是位似图形的为 ()OABCDEDE BC ∥（1）（2）（3）（4）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（2）（3）【难度】1星【解析】根据位似图形的定义：位似图形是指两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行的两个图形，对应点连线的交点叫做位似中心．将每一个图形的对应点连接起来，看是否交于一点，这样排除()3，其次判断符合条件的图形是否是相似图形．所以答案选B ．【答案】B【巩固】如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为,a b （），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（）第3题图A ．,2a b --（）B ．()2,a b -C ．()2,2a b --D ．()2,2b a --【难度】1星【解析】解此题运用的方法就是找特殊点．由图中可见，每个小正方形的边长为1，可推知小“鱼”较长的鳍的顶点坐标为()5,3，则位似图形中的对应点的坐标为()10,6--，小“鱼”较短的鳍的顶点坐标为()3,2-，则位似图形中的对应点的坐标为()6,4-，由此可知，当某小“鱼”上某个“顶点”坐标为,a b （）时，位似图形中的对应点的坐标为()2,2a b --．【答案】C【巩固】如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，23AB FG =∶∶，则下列结论正确的理（） A ．23DE MN = B ．32DE MN = C ．32A F ∠=∠ D ．23A F ∠=∠ABCD ENMHGF【难度】1星【解析】由两图形位似，有23AB DE FG MN ==．【答案】B【巩固】判断满足下列关系的AOC △与BOD △是否是位似图形，如果是，请指出位似中心．（1）如图1所示，AB CD 、相交于点O ，且,ABC ADC AD CB ∠=∠=；（2）如图2所示，AB CD 、相交于点O ，且B A ∠=∠．图2图1ABCDOOABCD【难度】1星【解析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．【答案】（1）AOC △与BOD △是位似图形，位似中心为O 点；（2）AOC △与BOD △是位似图形，位似中心为O 点．【例17】七边形ABCDEFG 位似于七边形A B C D E F G '''''''，它们的面积之比为49∶,已知位似中心O 到A点的距离为6，那么O 到A '的距离为多少？【难度】1星【解析】由面积比为49∶，得位似七边形对应边的比为23∶，所以位似比为23∶，所以O 到A '的距离为9．【答案】9【巩固】如图，ABC △与'''A B C △是位似图形，点A 、B 、'A 、'B 、O 共线，点O 为位似中心．（1）AC 与''A C 平行吗?试说明理由；（2）若''AB A B ＝２，'5OC =，求'CC 的长．C ,B ,A ,AB CO【难度】1星【解析】（1）由位似图形的性质（2）∵两三角形是位似三角形∴''''A B OA OC AB OA OC==又''AB A B ＝２，所以'OC OC =12，∴10OC =,'1055CC =-= 【答案】平行；5【拓展】如图，在平面直角形坐标系中，正方形22223333A B C D A B C D 、都是由正方形1111A B C D 经过位似变换得到的，点O 是位似中心．(1)你能找出正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比是2的位似图形吗？ (2)正方形4444A B C D 是正方形3333A B C D 的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)由正方形3333A B C D 得到它的位似图形正方形1111A B C D ，求相似比；(4)我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四条边上的整点个数．猜测：正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比为10的位似图形10101010A B C D 的四条边上整点个数之和是多少？【难度】2星【解析】（4）正方形1111A B C D 四条边上整数点的个数为4，正方形2222A B C D 四条边上整数点的个数为8，正方形3333A B C D 四条边上整数点的个数为12，根据数学归纳法可推知，正方形n n n n A B C D 四条边上整数点的个数为4n 个，所以正方形10101010A B C D 四条边上整数点的个数为40．【答案】正方形2222A B C D ；是，4:3；3:1；40．课堂检测1．已知：234x y z==．求33x y z x y -+-．【难度】3星【解析】设2,3,4234x y z k x k y k z k ===⇒===，代入33x y z x y -+-中得原式113- 【答案】113-2．如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC = cm ，DC = cm ．CD【难度】3星【解析】点C 是靠近点B 的黄金分割点，∴:AC AB，即8040AC AB ===，又∵点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴40BD =，∴8080160DC AC BD AB =+-=-=【答案】40；1603．如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值；（2）当1134AE AC =、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想． E DBACO【难度】4星【解析】（1）当11211AE EC ==+时，22321AO AD ==+；（2）当11A 312AE C ==+时，21222AO AD ==+；当1A 4AE C =时，22532AO AD ==+．（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n=+，证明方法比较多，选择两种介绍：如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵11AE AC n =+ ∴CE nAE =，122nEF CE AE == ∵//DF BE ∴222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+OFCABDE另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故22AO AD n=+．【答案】（1）23AO AD =；（2）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =；（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+课后作业1．已知：a cb d=，求证：ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项．【难度】2星【解析】略【答案】讲解此题时．老师可先引导学生回顾比例中项的定义：如果a cb a=，那么a 是b 、c 的比例中项．由a cad bc b d=⇒=，而22222222222222222()2()()ab cd a b c d abcd a b c d a d b c a c b d +=++=+++=++ 故ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项．2．已知：b c a c a bk a b c+++===，则k = ．【难度】2星【解析】当0a b c ++≠时，由等比性质得()22a b c b c a c a b k a b c a b c+++++++===++++；当0a b c ++=时，即b c a +=-，则1b c ak a a+-===-，综上所述，k 的值为2或1-．【答案】2或1-3．已知135x y z =∶∶∶∶，求33x y zx y z+--+的值．【难度】3星【解析】解法一：设135x y zk ===，则35x k y k z k ===，，．∴39553953x y z k k k x y z k k k +-+-==--+--．解法二：由135x y z =∶∶∶∶得35y x z x ==，．∴39553953x y z x y x x y z x x x +-+-==--+-+．【答案】53-4．如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=__ ___ __． MECBA【难度】3星【解析】先介绍常规的解法：BCFE DMA BCFED M A如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明．过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =∴2BF EF= ∵//CF DE ∴2BC BFCD EF== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．31 以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看ABC ∆为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA ⋅⋅= 又14AE AB =，AM CM =，故32BD BC DC CD=⇒= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．【答案】25．用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（）①三角形的每个角都扩大10倍； ②三角形的每条边都扩大10倍；③三角形的面积扩大10倍； ④三角形的周长扩大10倍．A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③【难度】1星【解析】略【答案】①三角形的每个角不会变化，故错误；②三角形的每条边都扩大10倍，故正确③三角形的面积会扩大10倍，故错误；④三角形的周长会扩大10倍，故正确．故选C。

“比例线段与相似图形”要点精析

★一、线段的比如果用同一个长度单位去量得两条线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么a 、b 两条线段的比就是m ∶n ，写成a ∶b =m ∶n 或a b =m n.其中a 、b 分别叫做这个线段比的前项和后项.这里必须注意：（1）两条线段的比就是两条线段长度的比，这个比与线段所用的长度单位没有关系.（2）m n是线段a 与线段b 的比值，它是一个正值，但没有单位，一般情况下，要写成既约的两个正整数的比；特殊地，如果线段a 与线段b 相等，那么它们的比值为1.（3）在研究两条线段比的问题中，两条线段的长度单位要一致.如果不一致，那么首先必须把它们化为同一长度单位.例1已知线段a=10cm ，b=1m ，则a ∶b =.分析由于两条线段的长度单位不一致，因此应把它们化为同一长度单位，再求比值.因为a=10cm ，b=1m=100cm ，所以a ∶b =10∶100=1∶10.或因为a =10cm=0.1m ，b=1m ，所以a ∶b =0.1∶1=1∶10.二、比例线段及其性质若四条线段a 、b 、c 、d 满足a ∶b=c ∶d ，则称四条线段a 、b 、c 、d 成比例，其中d 叫做a 、b 、c 的第四比例项.若b=c ，则b （或c ）叫做a 、d 的比例中项.这里必须注意：（1）比例线段与线段的比是两个完全不同的概念.线段的比是两条线段之间的比的关系，比例线段是四条线段之间的关系：两条线段的比与另两条线段的比相等.（2）比例线段中的四条线段有一定的顺序.例如，如果a ∶b =c ∶d ，那么叫做线段a 、b 、c 、d 成比例；如果b ∶a=d ∶c ，那么叫做线段b 、a 、d 、c 成比例.比例的基本性质是：a ∶b =c ∶d <=>ad=bc （符号“<=>”读作“等价于”，表示两边可以相互推出），在解题时常用基本性质把比例式（或等积式）化为等积式（或比例式）.由比例的基本性质还可以得到：“比例线段与相似图形”要点精析江苏兴化陈德前（特级教师）■★（1）合（分）比性质：如果a b =c d ,则a+b b =c+d d ,a-b b =c-d d.（2）等比性质：如果a b =c d =…=m n (b+d+…+n ≠0)，那么a+c+…+m b+d+…+n =a b.许多问题的解决都依赖于这些性质的掌握与应用，在应用时，常用到比值法、方程思想、分类思想等，要认真体会，切实掌握，灵活应用.例2已知x ∶（x -y ）=2∶1，则x ∶y =（）.A.2∶1B .3∶2 C.2∶3 D.1∶2分析方法1：由x ∶（x -y ）=2∶1，有2（x-y ）=x ，即x =2y ，所以x ∶y =2∶1，选A.方法2：由x ∶（x -y ）=2∶1，有x -y x =12，从而有1-y x =12，即y x =12，所以x y =21.选A.例3已知x =a b+c =b c+a =c a+b ,则x 的值为.分析当a+b+c ≠0时，由等比性质有x=a+b+c 2(a+b+c)=12.当a+b+c=0时，a+b =-c ，b+c=-a ，c+a=-b ，所以x =-1.因此x=12或-1.必须注意：应用等比性质的前提条件是分母之和不为0，如题目中没有这样的条件，则必须分类讨论，谨防漏解.三、黄金分割及其性质点C 将线段AB 分割成大小两条线段，并且小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长的比，这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，此时有AC=5#-12AB ≈0.618AB ，BC=3-5%2AB ≈0.382AB.黄金分割的应用非常广泛，对此应该引起重视.例4已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP >PB ，设以AP 为边的正方形面积为m ，以PB 、AB 为边的矩形面积为n ，则（）.A.m>nB .m=n C.m<n D.m 、n 的大小关系不能确定分析因为点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>PB ，所以AP 2=PB AB ，而m=AP 2，n=PB AB ，所以m=n,选B.四、相似图形的概念具有相同形状的图形称为相似图形.有些图形有一部分相像，但不一定相似.相似图形的缩小与放大，各个部位是“同步进行”的，变换后的图形与原图形相比★江苏盐都宋思亮■较，线段之间的位置关系不变，各个内角的大小关系不变.例5根据图1格点中的图形，在图2格点中画出它的相似图形.分析本题答案不唯一，图3是参考答案之一.五、相似多边形的特征与识别对应边成比例、对应角相等是相似多边形的两个重要特征，也是识别两个多边形是否相似缺一不可的条件.特别要注意：只满足对应边成比例（如两个菱形），只满足对应角相等（如两个矩形），它们都不一定相似.此外，要注意最简单的相似多边形———相似三角形的特征与性质，它是我们今后学习的基础.例6如图4，这两个菱形相似吗？说说你的理由.分析这两个菱形不相似，因为这两个菱形的对应角不相等，第一个菱形的内角分别为45°，135°，45°，135°；而第二个菱形的内角分别为60°，120°，60°，120°，它们不对应相等.在学习相似三角形时，课本特别强调：“表示两个三角形相似要把对应顶点的字母写在对应的位置上.”也就是说，我们要重视相似三角形中的对应关系.但是，在解决三角形相似的一些实际问题时，有不少同学往往会忽略这一点.下面三题的问题就出在这里.例1S 老师提出了这样一道思考题：如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，试问△AOB 与△DOC 是否相似？%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%要重视相似三角形中的对应关系图1责任编辑沈红艳z y@6图1图2图3图445°120°/c ssh 。

第一讲相似三角形——比例线段

第一讲相似三角形——相似与比例线段第一课时一．放缩与相似 1. 相似形的概念一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。

我们把形状相同的两个图形叫做相似形。

2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠CBCC B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。

【典型例题】1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为千米。

【同类变式】2. 在地图上，都标有比例尺。

现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（）个（1）有一个角是100o的等腰三角形相似（2）有一个角是80o的等腰三角形相似（3）所有的等腰直角三角形相似（4）所有的正六边形都相似（5）所有的矩形都相似（6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。

【同类变式】6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。

求矩形ABCD 的面积。

7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。

成比例线段及相似图形

成比例线段及相似图形（讲义）➢ 课前预习1. 读一读，想一想：①两个数相除又叫做两个数的比，比如a ÷b ，又可以写作a b，a :b ；在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项．比的前项除以后项所得的商，叫做比值． ②比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变． ③表示两个比相等的式子叫做比例，比如a :b =c :d ，又可以写作a cb d=；组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．④在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．⑤能够完全重合的两个图形称为全等图形． ⑥全等图形的形状和大小都相同． 2. 填空：①若a :b =2:3，b :c =2:3，则a :b :c =_________． ②若x :y ?2:5，x :z ?5:9，则y :z ?________． ③若2a ?3b ?4c ，则a :b :c ?________．④若△ABC 三边::6:4:3a b c =，三边上的高分别为123h h h ，，，则123::h h h =________． 3. 求解下列各式中的x ．412::32x = 100602020x x=+-342x xx x --= 11x x x-=（其中x >0）1．扫一扫，看课程2．扫码请使用校讯通客户端C BA ➢ 知识点睛一、成比例线段1. 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．注意：①比例对应；②单位换算；③实际验证． 2. 比例的性质①基本性质：若_______________，则__________________；若ad =bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），则_________________． *②合（分）比性质：若_______________，则______________． ③等比性质：如果_________________，（_________________）那么______________________． 3. 平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的______________成比例．推论：_____________________________________________． 4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_____________，那么称线段AB 被点C _________，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．AC AB=________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点．二、相似图形1. 形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上． 2. 相似多边形：_______________、_________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________． 3. 相似三角形：_____________、___________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；面积的比等于_____________．FED C B A➢ 精讲精练1. 已知线段a =3，b =2，c =4，若a ，b ，c ，d 是成比例线段，则线段d =__________． 2. 若438324x y z +++==，且x ?y ?z =12，则x zy z -+=__________．3. 若34a b =，则a b b +=______，a b a =+______，ab a =-______． 4. 若273a b b +=，则a b =________，b ab -=________；若23a b a =-，则a b =________，a b a =+________． 5. 若43===f e d c b a ，则a c e b d f +-+-=_____，2=2a c eb d f+-4+-4_____．（b +d -f ≠0，2b +d -4f ≠0） 6. 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值．7. 如图，DE ∥BC ，且DB =AE ，若AB =5，AC =10，则AE =______．EBA C D8. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD :DB =3:5，那么CF :CB =（） A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:5F ECAB D9. 如图，在△ABC 中，D ，F 分别为BC ，AC 上一点，BD :DC =3:2，连接BF ，AD ，两线段相交于点E 且AE :AD =1:2，过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G ，则BE :EF =________．G FAD CBE DC BA第9题图第10题图10. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB =4，则CD =________．11. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿高跟鞋的高度约为_________．（精确到 cm ）12. 如图，P 为线段AB 的黄金分割点（PB ＞P A ），四边形AMNB 、四边形PBFE 都为正方形，且面积分别为S 1，S 2．四边形APHM 、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为S 3，S 4，下列说法正确的是（）A ．21512S S -= B ．23S S = C ．34512S S -= D ．41512S S -=13. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形；⑧等腰梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形．其中，一定相似的有_____________（填写序号）．F E Q NH M BPA14. 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的等腰直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．15. 四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，其中AB =4，A 1B 1=6，CD =8，∠A =77°，∠B =83°，∠C =85°，则四边形A 1B 1C 1D 1中的 ∠D 1=____，其最大角是__________，C 1D 1的长为_________，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的相似比为_____________；若它们周长的差是15，则较大四边形的周长为___________． 16. 已知△ABC ∽△DEF ，AB =6 cm ，BC =4 cm ，AC =9 cm ，且△DEF 的最短边边长为8 cm ，则最长边边长为（） A ．16 cmB ．18 cmC ． cmD ．13 cm17. 如图，线段AD ，BC 相交于点O ，连接AB ，CD ，其中AO =1，AD =，BO =2，且△AOB ∽△COD ，则△AOB 与△COD 的相似比为_______，它们的对应高比为________，它们的面积比为_________；若△AOB 的面积为3，则△COD 的面积为________．O CBD A18. 某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4 cm ，3 cm ，5 cm .现有两根钢条，一根长60 cm ，另一根长180 cm ，若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有________种不同的做法.（焊接用料忽略不计）19.某小区有一矩形草坪，如图所示，其长为30米，宽为10米，若想沿草坪四周修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，请求出这一宽度；若不能，请说明理由．【参考答案】➢课前预习2.①4:6:9；②25:18；③6:4:3；④2:3:43.13x=5x=103x=152x-+=➢知识点睛一、成比例线段2.①a cb d=，ad=bc；a cb d=或a bc d=②a cb d=，a b c db d±±=③a c mb d n===…，0b d n+++≠…，a c m ab d n b+++=+++……3.对应线段．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例．4.BC ACAC AB=，黄金分割，512-，，两二、相似图形2.各角分别相等、各边成比例．相似比3.三角分别相等、三边成比例．相似比；相似比的平方➢精讲精练1.8 32.1 73.74，37，34.13，23，25，275.34，346.12k=或1k=-7.10 38. A9.4:110.62511.cm12.B13.①②④⑤14.D15.115°，∠D1，12，2:3，4516.B17.4:5，4:5，16:25，253 1618.319.不能，理由略。

相似形与比例线段(考点清单,知识导图+5个考点清单+6种题型解读)解析版25学年九年级上学期期中考点

相似形与比例线段（考点清单，知识导图+5个考点清单+6种题型解读）【清单01】相似形ìïíïî定义：的两个图形；性质：若两个多边形是相似形，则这两个多边形，对应边同形状相对应角相等例.长度成的比【清单02】比例线段2,,,;,,.P AB ;0.61:8:AP a b c d a c b d a c b d a c k b a b c d ad bc a B b c c b d a c a c k b d b d PB AB d AP P AB AP ìíîì=Ûïïï=íïï==ïîìï×í==»==±±=+===+=两条线段的比：两条线段的的比；概念比例线段：若，则叫成比例线段；基本性质：性质合比性质：若则；等比性质：若则定义：点分线段成且黄金分割金分割数：长度黄ìïïïïïïïïíïïïïïïïïïîî相似形相似形定义比例线段相似三角形性质定义性质黄金分割三角形一边的平行线性质定理判定定理推论推论平行线分线段成比例定理特例基本性质、合比、等比性质【清单03】三角形一边的平行线.ììïïïïíïïïïïîíìïïíïïî平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的；性对应线段成比例截得的三角形原三角形对形应成比例平行于三角质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，与的三边截形的第三边同若一直线截三角的两边所得的对应线段成比例，则这条直线；判定定理推论：若一直线三角形的两边的延长线（在第三边）所得的对应线段成比例，则这条；侧平行于直线三角形的第三边ïïïïïî【清单04】三角形的重心ìïíïî定义：三角形三条的交点；定理：三角形的重心的距离，它中线到一个顶点等于到的顶距离的两个倍点.这点对边中【清单05】平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例；平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.【考点题型一】相似图形（共5小题）【例1】（2023秋•金山区校级期中）下列两个图形一定相似的是( )A ．两个菱形B ．两个矩形C ．两个正方形D ．两个等腰梯形【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．【解答】解：A 、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B 、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；C 、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；D 、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．【变式1-1】（2023秋•长宁区校级期中）下列说法中，正确的是( )A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．【变式1-2】（2023秋•虹口区期中）下列各组图形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个等腰三角形D．两个正方形【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；CD、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．【变式1-3】（2023秋•闵行区期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是( )A．边的长度B．图形的周长C．图形的面积D．角的度数【分析】根据相似图形的性质解答．【解答】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数，故选：D．【点评】本题考查了相似图形，熟记相似图形的性质是解题的关键．【变式1-4】（2023秋•松江区期中）下列说法正确的个数有( )①所有正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据形状相同的图形称为相似图形，对于相似多边形的对应边成比例，对应角相等，分别判断得出答案．【解答】解：①所有正方形都相似，故此选项符合题意；②所有的矩形都相似，矩形对应边不一定成比例，故此选项不合题意；③所有的菱形都相似，菱形对应角不一定相等，故此选项不合题意；④所有的等腰三角形都相似，等腰对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故此选项不合题意．故选：A ．【点评】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似多边形的判定方法是解题关键．【考点题型二】比例的性质（共5小题）【例2】（2023秋•普陀区期中）已知45x y =，则():()x y x y +-的值是( )A ．19B ．9-C ．9D ．12-【分析】根据比例的性质得45x =【解答】解：Q 45x y =，45x y \=，44():()():()955x y x y y y y y \+-=+-=-．故选：B ．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．【变式2-1】（2023秋•闵行区期中）如果53a b =，那么a b b -的值是 23　．【分析】先把a b b -化成1a b -，再把53a b =代入计算即可．【解答】解：Q53a b =，\521133a b a b b -=-=-=．故答案为：23．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，较简单．【变式2-2】（2023秋•金山区校级期中）已知23x y =，那么x y y +的值等于 53　．【分析】把x y y +化成1xy+，再进行计算即可得出答案．【解答】解：Q23x y =，\251133x y x y y +=+=+=．故答案为：53．【点评】此题考查了比例的性质，把x y y +化成1xy+是解题的关键．【变式2-3】（2023秋•崇明区期中）已知：0245x y z==¹，求223x y z x y z +--+的值．【分析】根据：0245x y z==¹，可以设2x k =，则4y k =，5z k =．代入所求解析式即可求解．【解答】解：设2x k =，则4y k =，5z k =（2分）原式2854415k k kk k k+-=-+（2分）515kk =（2分）13=（1分）【点评】本题运用的设未知数的方法是解题过程中经常用到的，需要熟练掌握．【变式2-4】（2023秋•松江区校级月考）若235x y z==，且3214x y z +-=，求x ，y ，z 的值．【分析】设比值为k ，然后用k 表示出x 、y 、z ，再代入等式求出k 的值，从而得解．【解答】解：设(0)235x y zk k ===¹，则2x k =，3y k =，5z k =，代入3214x y z +-=得，66514k k k +-=，解得2k =，所以，224x =´=，326y =´=，5210z =´=．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k 法”求解更简便．【考点题型三】比例线段（共5小题）【例3】（2023秋•浦东新区校级期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )A ．1a =，2b =，3c =，4d =B ．1a =，2b =，2c =，4d =C ．4a =，6b =，5c =，10d =D ．a =3b =，2c =，d =【分析】根据成比例线段的性质，即可求得答案．注意排除法的应用．【解答】解：A 、1a =Q ，2b =，3c =，4d =，\12a b =，34c d =，a cb d¹，故本选项错误，不符合题意；B 、1a =Q ，2b =，2c =，4d =，\12a cb d ==，故本选项正确，符合题意；C 、4a =Q ，6b =，5c =，10d =，\4263a b ==，12c d =，a cb d¹，故本选项错误，不符合题意；D 、a =Q ，3b =，2c =，d =\a b =c d =，a cb d¹，故本选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】此题考查了比例线段的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记定理．【变式3-1】（2023秋•松江区期中）已知(ac bd a =、b 、c 、d 都不为0)，则下列各式一定成立的是( )A ．a cb d=B ．c d b a=C ．11c d b a++=D ．b cd a=【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求．【解答】解：A 、由a cb d=，得ad bc =，故本选项不符合题意；B 、由c db a=，得ac bd =，故本选项符合题意；C 、由11c d b a ++=，得ac a bd b +=+，故本选项不符合题意；D 、由b cd a=，得ab cd =，故本选项不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．【变式3-2】（2023秋•长宁区校级期中）已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，如果4a =，5b =，那么c =　【分析】由比例中项的定义，得到2c ab =，即可求出线段c 的长．【解答】解：Q 线段c 是线段a 、b 的比例中项，2c ab \=，4a =Q ，5b =，c \=（舍去负值）．故答案为：．【点评】本题考查比例线段，关键是掌握比例中项的概念．【变式3-3】（2023秋•崇明区期中）在比例尺为1:500000的地图上，某两地图距为2厘米，那么这两地的实际距离是　10　千米．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设这两地的实际距离是x 厘米，则：1:5000002:x =，解得1000000x =．1000000厘米10=千米．故答案为10．【点评】本题考查了比例线段，比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．【变式3-4】．（2023秋•松江区月考）已知：线段x ，y 、z ，且345x y z==．（1）求23x yy x+-的值；（2）如果线段x 、y 、z 满足34554x y z -+=，求2x y z -+的值．【分析】（1）设3x k =，4y k =，5z k =，代入化简即可；（2）根据题意求出k 的值代入求解即可．【解答】解：Q345x y z==．\设3x k =，4y k =，5z k =，（1）23241134335x y k k y x k k ++´==---´；（2）34554x y z -+=Q ，9162554k k k \-+=，3k \=，2924150x y z \-+=-+=．【点评】本题考查了代数式求值，运用设k 法求解是解题的关键．【考点题型四】黄金分割（共5小题）【例4】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，8AB =，则AD 的长度是( )A ．5B ．4-C ．2+D ．4+【分析】根据点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，可得AD AB =，进一步求解即可．【解答】解：Q 点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，\AD AB =，8AB =Q ，4AD \=，故选：B ．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金比是解题的关键．【变式4-1】（2023秋•宝山区期中）已知线段AB 的长为4，点P 为线段AB 上的一点，且2AP PB AB =×．那么线段AP =　2-　．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段，代入数据即可得出AP 的长．【解答】解：P Q 是线段AB 上的一点，且满足2AP AB BP =×，P \为线段AB 的黄金分割点，且AP 是较长线段，42AP AB \===，故答案为：2-．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．【变式4-2】（2023秋•闵行区期中）如图，点D 是ABC D 的AB 边的黄金分割点，AD BD >，作//DE BC交AC 边于点E ，那么DEBC【分析】先利用黄金分割的定义得到AD AB =，再证明ADE ABC D D ∽，然后利用相似比得到DEBC的比值．【解答】解：Q 点D 是ABC D 的AB 边的黄金分割点，AD BD >，AD AB \=，//DE BC Q ，ADE ABC \D D ∽，\DE BC =．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和()BC AC BC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::)AB AC AC BC =，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中0.618AC AB AB =»，并且线段AB 的黄金分割点有两个．【变式4-3】（2022秋•嘉定区期中）已知点A 、B 、C 在一条直线上，1AB =，且2AC BC AB =×，求AC 的长．【分析】分三种情况：当点C 在线段AB 上，当点C 在线段AB 的延长线时，当点C 在线段BA 的延长线时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分三种情况：当点C 在线段AB 上，如图：2AC BC AB =×Q ，\点C1AC AB \===；当点C 在线段AB 的延长线时，如图：设AC x =，则1BC AC AB x =-=-，2AC BC AB =×Q ，2(1)1x x \=-×，整理得：210x x -+=，\原方程没有实数根；当点C 在线段BA 的延长线时，如图：设AC x =，则1BC AC AB x =+=+，2AC BC AB =×Q ，2(1)1x x \=+×，整理得：20x ，解得：1x =2x =，AC \综上所述，AC 【点评】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键．【变式4-4】（2022秋•宝山区校级月考）已知点C 在线段AB 上，且满足2AC AB BC =×．（1）若1AB =，求AC 的长；（2）若AC 比BC 大2，求AB 的长．【分析】（1）根据已知可得点C 是线段AB 的黄金分割点，从而可得AC AB =，然后进行计算即可解答；（2）根据已知可设AC x =，则2BC x =-，从而可得22AB x =-，然后根据2AC AB BC =×，可得2(22)(2)x x x =--，从而进行计算即可解答．【解答】解：（1）Q 点C 在线段AB 上，且满足2AC AB BC =×，\点CAC \=AC \（2）AC Q 比BC 大2，\设AC x =，则2BC x =-，22AB AC BC x \=+=-，2AC AB BC =×Q ，2(22)(2)x x x \=--，解得：13x =+，23x =（舍去），224AB x \=-=，AB \的长为4+．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．【考点题型五】三角形的重心（共5小题）【例5】（2023秋•普陀区期中）已知在ABC D 中，AD 是中线，G 是重心，如果3GD cm =，那么AG =　6　cm ．【分析】根据三角形重心的性质即可求出AG 的长．【解答】解：G Q 是ABC D 的重心，且AD 是中线，26AG GD cm \==．故答案为：6．【点评】此题考查了三角形重心性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．【变式5-1】（2023秋•黄浦区期中）已知点G 是等腰直角三角形ABC 的重心，6AC BC ==，那么AG 的长为【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：G Q 是等腰直角ABC D 的重心，6AC BC ==，132CD BC \==，由勾股定理得：AD ==23AG \=´=，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．【变式5-2】（2023秋•金山区校级期中）在ABC D 中，点G 是重心，90BGC Ð=°，8BC =，那么AG 的长为　8　．【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．进而可得AG 的长．【解答】解：如图所示：Q 点G 是ABC D 重心，\点D 是BC 的中点，:2:1AG DG =，90BGC Ð=°Q ，8BC =，142DG BC \==，8AG \=，答：AG 的长为8．故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的重心，解决本题的关键是掌握三角形的重心定义和性质．【变式5-3】（2023秋•闵行区期中）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是【分析】根据等边三角形的性质、勾股定理求出高AD ，根据重心的性质计算即可．【解答】解：如图，ABC D A 作AD BC ^，交BC 于点D ，则112BD AB ==，2AB =，在Rt ABD D 中，由勾股定理可得：AD ==，则重心到边的距离是为：13=，．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、等边三角形的性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解题的关键．【变式5-4】（2022秋•青浦区校级月考）如图，G 为ABC D 的重心，2DEG S D =，求ABC S D 的值．【分析】G 为ABC D 的重心，判断出点D 是BC 边的中点，即可判断出12ABD ACD ABC S S S D D D ==；即可得出2133ABG ABD ABC S S S D D D ==，求出48ABG DEG S S D D ==即可得出结论．【解答】解：G Q 点为ABC D 的重心，:2:1AG GD \=，:2:1BG GE =\2AG BG GG GE==AGB DGE Ð=ÐQ ，ABG DEG \D D ∽，48ABG DEG S S D D \==G Q 点为ABC D 的重心，\点D 是BC 边的中点，\12ABD ACD ABC S S S D D D ==；G Q 点为ABC D 的重心，:2:1AG GD \=，\23AG AD =，\2133ABG ABD ABC S S S D D D ==，324ABC ABG S S D D \==．【点评】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．【考点题型六】平行线分线段成比例（共9小题）【例6】（2023秋•普陀区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BA 延长线一点，CE 交AD 于点F ，下列各式中可能错误的是( )A ．AE FE AB FC =B ．AE AF AB DF =C ．AE AF BE AD =D ．BE CF BC DF=【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：//AD BC Q ，\AE FE AB FC=，所以选项A 不符合题意；//CD BE Q ，\AE AF CD DF=，AB CD =Q ，\AE AF AB DF=，所以选项B 不符合题意；//AD BC Q ，AEF EBC \D D ∽，\AE AF BE BC=，AD BC =Q ，\AE AF BE AD=，所以选项C 不符合题意；//CD BE Q ，CDF EBC \D D ∽，\BE CD BC DF=，所以选项D 符合题意．故选：D ．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练利用相似三角形的性质是解答本题的关键．【变式6-1】（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a=，正确的作法是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a 、b 和2b ，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x ．【解答】解：由题意，22b x a=\2a b b x=，Q 线段x 没法先作出，B \选项错误，根据平行线分线段成比例定理，只有C 符合．故选：C ．【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意选项B 看似正确，实际上前面的线段x 没法作出，应该先作出已知线段，所以很多学生容易误选B 导致出错．【变式6-2】（2023秋•崇明区期中）如图，已知，AD 是ABC D 的中线，E 是AD 的中点，则:AF FC =　1:2　．【分析】过点D 作//DH BF ，交AC 于H ，根据平行线分线段成比例定理得到CD CH DB HF =，AF AE FH ED =，根据线段中点的性质得到BD DC =，AE ED =，得到CH HF =，AF FH =，计算即可．【解答】解：过点D 作//DH BF ，交AC 于H ，则CD CH DB HF =，AF AE FH ED=，AD Q 是ABC D 的中线，E 是AD 的中点，BD DC \=，AE ED =，CH HF \=，AF FH =，:1:2AF FC \=，故答案为：1:2．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【变式6-3】（2023秋•宝山区期中）如图，点A 、B 、C 和点D 、E 、F 分别位于同一条直线上，如果////AD BE CF ，且:2:3DE EF =，10AC =，那么BC =　6　．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：////AD BE CF Q ，\AB DE BC EF=，:2:3DE EF =Q ，10AC =，\1023BC BC -=，解得：6BC =，故答案为：6．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【变式6-4】（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在ABC D 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，//DE BC ，//EF AB ，且:3:5AD DB =，那么:CF CB 等于 5:8　．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由//DE BC 得到::3:5AE EC AD DB ==，则利用比例性质得到:5:8CE CA =，然后利用//EF AB 可得到:5:8CF CB =．【解答】解：//DE BC Q ，::3:5AE EC AD DB \==，:5:8CE CA \=，//EF AB Q ，::5:8CF CB CE CA \==．故答案为5:8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．【变式6-5】（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在ABC D 中，M 为AC 的中点，点E 是AB 上一点，且13AE EB =，联结EM 并延长交BC 的延长线于点D ，求BC CD的值．【分析】过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，得出BC BF CD EF =，AE AM EF MC=，推出AE EF =即可得出结果．【解答】解：如图，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，则BC BF CD EF =，AE AM EF MC=，M Q 为AC 的中点，AM CM \=，AE EF \=，Q13AE EB =，\13EF EB =，\3121BF EF -==，\2BC CD=．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键．【变式6-6】（2023秋•松江区月考）已知：如图，////a b c ，3AG =，2GD =，4DF =，6BG =，求CG ，EC 的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：////a b c Q ，\AG BG DG CG =，AD BC FD EC=，3AG =Q ，2GD =，4DF =，6BG =，5AD AG GD \=+=，\362CG =，564CG EC+=，4CG \=，\5644EC+=，8EC \=，4CG \=，8EC =．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．【变式6-7】（2023秋•长宁区校级月考）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，60BAC Ð=°，6AC =，AD 平分BAC Ð，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．【解答】解：（1）AD Q 平分BAC Ð，60BAC Ð=°，30DAC \Ð=°，在Rt ACD D 中，90ACD Ð=°，30DAC Ð=°，6AC =，CD \=在Rt ACB D 中，90ACB Ð=°，60BAC Ð=°，6AC =，BC \=，BD BC CD \=-=，//DE CA Q ，\23DE BD CA BC ==，4DE \=；（2）如图，Q 点M 是线段AD 的中点，DM AM \=，//DE CA Q ，\DF DM AG AM=，DF AG \=，//DE CA Q ，\,EF BF BF BD AG BG BG BC ==，\EF BD AG BC=，BD =Q BC =，DF AG =，\23EF DF =．【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．【变式6-8】（2023秋•浦东新区校级月考）如图：已知在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE 与BD 相交于点O ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知2DE AE =，10CE =．求GE 、CO 的长．【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，即可得//BG CD ，根据平行线分线段成比例定理，即可得GE AE CE ED =，又由2DE AE =，10CE =，即可求得GE 的长；又由AD BC =，DE EO BC OC=，即可求得CO 的长．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//BG CD \．（1分）\GE AE CE ED=．（1分）2DE AE =Q ，10CE =，\102GE AE AE =．（1分）5GE \=．（2分）由题意知：AD BC =．2DE AE =Q ，\23DE BC =．（1分）又//BC DE ，\DE EO BC OC=．（1分）又10EO EC OC OC =-=-，\2103OC OC -=．（1分）6OC \=．（2分）【点评】此题考查了平行四边形的性质与平行线分线段成比例定理．此题图形较复杂，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．。

九年级数学下册图形的相似和比例线段(教师版)知识点+详细答案

图形的相似和比例线段【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、比例线段1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成a mb n ．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；要点三、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.2. 求证：如果，那么.【答案】∵，在等式两边同加上1，∴，∴．【总结】比例有合比性质如果，；分比性质如果，a b c db d--=；更比性质如果，a bc d =.举一反三：1、判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．2、已知线段a、b、c、d，满足a cb d=，求证：a c ab d b+=+.【答案】证明：设a cb d==k∴=,=a bk c dk∴+=+=(b+d)a c bk dk k∴+c(+)=== b+d+a kb d akb d b类型二、相似图形3. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.举一反三：如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形4. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.5. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似当时，S有最大值，最大值为.举一反三：1、已知四边形与四边形相似，且.四边形的各边长.【答案】∵四边形与四边形相似，且.又∵四边形的周长为26即四边形的四边长为：.2、如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3、某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.【答案】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为，很明显，所以做不到.4、等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相似【巩固练习一】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）A.3 kmB.30 kmC.300 kmD.3 000 km2. 下列四条线段中，不能成比例的是（）A.a＝2，b＝4，c＝3，d＝6B.a＝，b＝，c＝1，d＝C.a＝6，b＝4，c＝10，d＝5D.a＝，b＝2，c＝，d＝23. 下列命题正确的是( )A．所有的等腰三角形都相似B．所有的菱形都相似C．所有的矩形都相似D．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)5.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．216. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )A．B．C．或D．7. 两地实际距离为1 500 m ，图上距离为5 cm ，这张图的比例尺为_______. 8. 若，则________9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.2=,3x y 则_____,_____,______.x y x x y y x y x y+-===++ 11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AEBE=三综合题 13. 已知357a b c ==，求23a b c a c+-+的值.14. 如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由.15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】1．【答案】B ．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺． 2．【答案】C ．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例． 3．【答案】 D 4．【答案】 A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5．【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相等 6．【答案】A【解析】相似比AB ︰A 1B 1=，A 1B 1︰A 2B 2=，计算出AB ︰A 2B 2.二、填空题7.【答案】.1：30 000【解析】比例尺=图上距离︰实际距离. 8.【答案】【解析】由可得，故填.9.【答案】成比例；相等. 10.【答案】521,,.355-【解析】提示：设2.3,.x k y k ==即可得 11.【答案】80°，40°. 12.【答案】32. 【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以AD EFEF BC=,即EF=3所以3223AE AD BE EF === 三、解答题 13.【解析】设357a b c ===k 则=3,=5,=7a k b k c k∴23a b c a c +-+=3+10-213+7k k k k k=4-514.【解析】要探究正方形是否与四边形相似，需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似，若不是正方形，则不相似，因为所有的正方形都是相似的.设正方形的边长为，由题意可知，同理由，可得同理45°，，四边形是正方形∴正方形与正方形相似，即两正方形的相似比是.15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得:2:a b 2:.【巩固练习二】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ) A ．3 km B ．30 km C ．300 km D ．3 000 km2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足=ab cd 把它改写成比例式，其中错误的是（） A.::b c d a = B.::a b c d = C.::c b a d = D.::a c d b =3. 已知△ABC 的三边长分别为6cm 、7.5cm 、9cm ，△DEF 的一边长为4cm ，当△DEF 的另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A ．2cm ，3cmB ．4cm ，5cmC ．5cm ，6cmD ．6cm ，7cm 4.△ABC 与△A 1B 1C 1相似且相似比为，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似且相似比为，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为 ( ) A ．B ．C ．或D ．5.下列两个图形：① 两个等腰三角形；② 两个直角三角形；③ 两个正方形；④ 两个矩形；⑤两个菱形；⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有（） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组 6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm ，50cm ，60cm ，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm ，50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（）二. 填空题 7. 小明有一张的地图，他想绘制一幅较小的地图，若新地图宽为30cm ，则新地图长为_________cm. 8. △ABC 的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC 与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________ 9．如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AEBE=-3=,=____;4x y xy y则若5-4=0,x y 则x :y =___. 11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有 . 三．综合题a b c dk b c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m =+经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？15. 从一个矩形中剪去一个尽可能大的正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000.2.【答案】B3．【答案】C【解析】设△DEF的另两边的长分别为xcm，ycm，因为△ABC与△DEF相似，所以有下列几种情况：当时，解得；当时，解得；当时，解得；所以选C.4．【答案】A【解析】相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.5．【答案】A【解析】只有两个正方形和正五边形相似.6．【答案】B二、填空题 7.【答案】40. 【解析】提示：两地图形状相同，是相似形，所以它们对应边的比相等 8.【答案】【解析】提示：△A′B′C′已知两边之比为1：，在△ABC 中找出两边、，它们长度之比也为1︰，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比.9.【答案】 32. 【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以AD EF EF BC=,即EF=23, 所以33.223AE AD BE EF === 10.【答案】74;.4511.【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.12.【答案】 ③三、解答题13.【解析】∵a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++ ∴+1=+1=+1=+1=+1++++++++ca b c d k b c d a c d a b d a b ∴++++++++++++====+1++++++++ca b c d a b c d a b c d a b c d k b c d a c d a b d a b 则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1=3k 则所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x当1=3k ，过点（-1,2）时，17=+33y x .14.【解析】∵矩形MFGN 与矩形ABCD 相似当时，S 有最大值，为.15.【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.设原矩形的长为x，宽为y，则剩下矩形的长为y，宽为x-y由题意，得令则，.又，∴原矩形的长与宽之比为.。

平行线分线段成比例及相似多边形—知识讲解

平行线分线段成比例及相似多边形责编：常春芳【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等.右全左全右上左上全上全上下上下上===,,（2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.要点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.要点诠释：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= EF 的值是__________.AB=BC【答案】2.【解析】2、（2015•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【答案与解析】解：∵PQ∥BC，∴=，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．举一反三【变式】如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于______________.【答案】7.5.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．【答案与解析】解：∵AB∥DC，==举一反三【变式】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，的长是（）AD AB =A ．4.5B ．8C ．10.5D ．144、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（）A B C 6 D 233216【答案】B.举一反三【变式】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（）A．5：8 B．3：8C．3：5D．2：5【答案】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．【思路点拨】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．【答案与解析】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．【总结升华】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．6.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求112BP AB ==，得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ，∴∠EAB=∠GAD ，∵AE=AG ，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．。

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【知识点讲解】一、比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或，那么线段ｂ叫做线
段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质： (1)比例的基本性质：
(2)反比性质： (3)更比性质: 或
(4)合比性质: (5)等比性质: 且
１、判断下列四条线段是否成比例.
① a=2，b=5,c=15，d=32； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10.
2、已知：ad=bc .
（1）将其改写成比例式；
（2）写出所有以a ，d 为内项的比例式；（3）写出使b 作为第四项比例项的比例式；
（4）若
d
b
c a =；写出以c 作第四比例项的比例式；
3 、计算.
(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.
(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.
4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?
5、
EF
BE
AD AB =
，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.
6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。

(2)若
2x-3y x+y =12 ，求y
x。

(3) 若
a ＋
b b ＝65 ，求a b ，a －b b (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求y
x
7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。

（1）
（2）（3）
8：若25a c e b d f ===，求a c b d --，234234a c e b d f +-+-
练习：已知:, 求的值.
9：若ABC ∆三边3:4:6::=c b a ，三边上的高分别为321h h h 、、，求321::h h h 的值。

10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢?比例尺是多少？
12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？
比例线段拓展 1、比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

设a 、b 、c 、d 为线段，如果::a b c d =，b 、c 叫比例内项，a 、d 叫比例外项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；如果::a b b c =，或2
b a
c =，那么b 叫a 、c 的比例中项。

2、黄金分割
如图，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫
做把线段AB 黄金分割, 点C 叫做线段AB 的黄金分割点，
51
2
AC AB -=叫作黄金分割数（简称黄金数或黄金比）注意：（1）0.618AC AB ≈；
（2）一条线段有两个黄金分割点。

3、三角形一边的平行线
（1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），截得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图，则有
AD AE DB EC =，DB EC AB AC =，AD AE DE
AB AC BC
==
【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。

（2）三角形的重心
定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点
与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

（3）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

（三角形一边平行线的判定定理）
（4）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）：
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC ，那么DE=EF
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 在△ACF 中，CF BE //，AB=BC ，那么AE=EF
（5）三角形和梯形的中位线定理
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，那么BC DE //，BC DE 2
1
=
梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。

梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，那么BC AD EF ////，
)(2
1
BC AD EF +=
练习
1、如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（）（A ）AD ：AB ＝AE ：AC （B ）AD ：DB ＝AE ：EC （C ）AD ：DB ＝DE ：BC （D ）AD ：AB ＝DE ：BC
A
2、如图，DF ∥AC,DE ∥BC,下列各式中正确的是（） (A)
AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =AB BC
3、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF ，求证∠1=∠2
4、已知ΔABC 中,AD 为∠BAC 的外角∠EAC 的平分线，D 为平分线与BC 延长线交点，求证:AB AC = BD
DC
5、设点F 在平行四边形ABCD 的边CB 的延长线上，DF 交AB 于点E ，求证 AE:AD=AB:CF
【课后练习】
1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c 的值。

2、若 , 求
的值。

3、已知
,求的值。

4、已知a=4,c=9若b 是a,c 的比例中项,求b 的值。

A B
C
D
E F
1
2
5、已知线段MN 是AB,CD 的比例中项,AB=4cm,CD=5cm ，求 MN 的长
6. y+z x =z+x y =x+y
z =k,求k 的值。