三角函数的单调性与值域

题型二 求值域、最值 【例 2】 求下列函数的值域． (1)y＝|sin x|＋sin x；(2)y＝2sin???2x＋3π???，x∈???－π6，6π???. [思路探索] (1)先去掉题中的绝对值符号，再利用正弦函数的 值域求解；(2)注意自变量的取值范围．
??2sin x ?sin x≥0?， 解 (1)∵y＝|sin x|＋sin x＝?
题型一 求单调区间
【例 1】 求函数 y＝sin???π6－x???的单调递减区间． [思路探索 ] 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式
将
y＝sin???π6－x???化为
y＝－
?
sin?x－
?
π6???形式，由于－
1<0
只需求
y＝
sin???x－π6???的单调递增区间即可．
解 y＝sin???π6－x???＝－sin???x－π6???，由－2π＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ， 得－π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ，
?第3课时 三角函数的单调性与值
【课标要求】
域
掌握正弦函数、余弦函数的图象，理解并掌握它们的奇偶性、
值域相关的性质．
【核心扫描】
1．了解三角函数的单调性和值域． (重点)
2．会求函数的单调区间和值域． (难点)
自学导引
1．正、余弦函数的单调性 正弦函数 y＝sin x(x∈R)在
???2kπ－2π，2kπ＋π2???
2．正、余弦函数的最值及值域 正弦函数 y＝sin x(x∈R)，当 x＝ 2kπ＋2π，k∈Z 时，y 最大＝1， 当 x＝ 2kπ－2π，k∈Z 时，y 最小＝－1；余弦函数 y＝cos x(x∈R)， 当 x＝ 2kπ，k∈Z 时，y 最大＝1，当 x＝ 2kπ＋π，k∈Z 时，y 最小＝－1. y＝sin x 的值域为 [－1,1] ，y＝cos x 的值域是 [－1,1] ．
(3)对求含有三角函数的复合函数的单调性，如 y＝Asin(ωx＋φ) 其中 A>0，ω>0 的单调区间的确定，基本思想是把 ωx＋φ 看作一 个整体．由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π，k∈Z，解出 x 的范围，所 得区间即为增区间，若 A>0，ω<0，可用诱导公式将函数化简为 y ＝－Asin(－ωx－φ)，则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减 区间．
∴单调递减区间为???－π3＋2kπ，23π＋2kπ???，k∈Z.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
规律方法 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； (2)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求单调区间时，应 采用“换元法”整体代换，将 “ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求 y ＝Asin z 的单调区间而求出函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω >0)的函数的单调区间同上．
【变式 2】 (1)设 sin x＝5t－1，求实数 t 的取值范围；
(2)求 y＝asin x＋b(a，b∈R，a≠0)的最值；
(3)求 y＝cos2x－sin x，x∈???－π4，π4???的值域；
(4)
求
3sin y＝ sin
xx＋＋21的最值．
解 (1)由－1≤5t－1≤1，得 0≤t≤25. ∴t 的取值范围是 ???0，25???. (2)若 a>0，则 siΒιβλιοθήκη Baidu x＝1 时，ymax＝a＋b；sin x＝－1 时，ymin＝ b－a. 若 a<0，则 sin x＝－1 时，ymax＝b－a；sin x＝1 时， ymin＝a ＋b.
??0 ?sin x<0?.
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0,2，] 即函数的值域为 [0,2．]
(2)∵－π6≤x≤π6，∴0≤2π＋π3≤23π.
?
∴0≤sin?2x＋
?
π3???≤1.
?
∴0≤2sin?2x＋
?
π3???≤2，即
0≤y≤2.
故函数的值域为 [0,2．]
规律方法 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别 式法、反比例函数法等，而这些方法也适用于三角函数，但要结 合三角函数本身的性质(有界性)．
2．正(余)弦函数的对称性 (1)轴对称：对于正弦函数 y＝sin x，x∈R，我们发现函数的 图象在每一个最值(最大或最小)点处都有对称轴，方程为 x＝kπ＋ π2，k∈Z，而对于余弦函数，将正弦函数的图象向左平移 π2个单位 长度得到，因此其对称轴方程为 x＝kπ，k∈Z. (2)中心对称：对于正弦函数 y＝sin x，x∈R，其对称中心为(kπ， 0)(k∈Z)，而对于余弦函数，其对称中心为???kπ＋π2，0???(k∈Z)．对 称轴和对称中心都有无数个.
名师点睛 1．y＝sin x 与 y＝cos x 单调性 (1)正弦函数与余弦函数在定义域上不单调， 说“正弦函数 (或 余弦函数 )在第一象限是增 (或减)函数”是错误的． (2)正弦函数 y＝sin x(x∈R)的增区间为 2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z) 的含义是指在 k 取每一个整数时，正弦函数在该区间上为增函数， 而不是 k 取每一个整数时，正弦函数在这些并集区间上为增函数．
【变式 1】 求函数 y＝3cos???π3－2x???的单调递增区间． 解 由已知函数为 y＝3cos???x2－π3???， 欲求函数 y＝3cos???π3－2x???的单调递增区间， 只需求函数 y＝3cos???x2－π3???的单调递增区间．
由 2kπ－π≤2x－π3≤2kπ (k∈Z)， 得 4kπ－43π≤x≤4kπ＋23π (k∈Z)， 函数 y＝3cos???π3－2x???的单调递增区间为 ???4kπ－43π，4kπ＋23π??? (k∈Z)．
( k∈Z ) 上是增
函数，在 ???2kπ＋2π，2kπ＋32π???(k∈Z) 上是减函数；余弦函数 y＝cos x(x∈R)在 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 上是减函数，在
[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) 上是增函数．
想一想：“正弦函数在第一象限内是增函数． ”这种说法正 确吗？
提示 不正确．单调性是针对某一个区间而言的，在第一象 限内，若 α1＝α2＋2kπ，在 α1≠α2 时，sin α1＝sin α2.