三角函数的单调性与值域
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
常见的三种三角函数值域的求法
常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。
一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。
而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。
二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。
而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。
三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。
具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。
因此，正切函数的值域为实数集。
2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。
这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。
3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。
正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。
综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。
三角函数的解析式与值域
三角函数的解析式与值域三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将介绍三角函数的解析式以及它们的值域。
一、正弦函数sin(x)正弦函数是最基本的三角函数之一，它的解析式为sin(x)，其中x 为自变量。
正弦函数的值域是[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数cos(x)余弦函数是正弦函数的补函数，它的解析式为cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数的值域相同。
三、正切函数tan(x)正切函数的解析式为tan(x)，其中x为自变量。
然而，正切函数的值域却是无界的，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的解析式分别为asin(x)，acos(x)和atan(x)，其中x为自变量。
对于反正弦函数和反余弦函数，它们的值域是[-π/2, π/2]，即函数值在这个区间内取值。
反正切函数的值域是(-π/2, π/2)，也就是说函数值在开区间(-π/2, π/2)内取值。
五、三角函数的周期性值得注意的是，正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。
也就是说，当x增加2π或减少2π时，正弦函数和余弦函数的取值会重复。
正切函数的周期为π，当x增加π或减少π时，正切函数的取值会重复。
六、三角函数的图像三角函数的图像通常用单位圆来表示。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆。
正弦函数的图像在单位圆上表示为点的纵坐标，而余弦函数的图像在单位圆上表示为点的横坐标。
七、三角函数的应用三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
它们可以用于描述周期性现象，如电流的变化和音波的波动等。
另外，三角函数还被应用于三角恒等式的证明和解三角方程等问题。
总结：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的解析式和值域有所不同。
- 正弦函数的解析式为sin(x)，值域为[-1, 1]；- 余弦函数的解析式为cos(x)，值域为[-1, 1]；- 正切函数的解析式为tan(x)，值域为实数集。
高中数学：三角函数
高中数学：三角函数三角函数是高中数学中重要的一个章节，也是很多同学感觉比较困难的部分之一。
它是研究角和角的函数关系的一门数学分支。
在高中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，以及它们之间的性质和基本解析式。
一、正弦函数1. 正弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其对边与斜边的比值称为正弦，即sinA = 对边/斜边。
在坐标系中，以一单位长度的线段在y轴上向上方向旋转，端点所在直线与x轴正半轴正向的夹角的正弦值为y，即y=sinα。
2. 正弦函数的性质（1）定义域：D={α | α∈R}。
（2）值域：[-1, 1]。
（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-α)=-sinα。
（4）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(α+2π)=sinα。
（5）单调性：在[0, π]上，正弦函数单调递增，在[π, 2π]上单调递减。
3. 正弦函数的图像练习题：1. 求sin 120°和sin (-45°)的值。
2. 若α∈[0, 2π]，求证：sin(π-α)=sinα。
3. 若cosα=4/5，α∈[0, π/2]，求sinα的值。
4. 已知sinα=-1/5，α∈[π/2, π]，求cosα的值。
5. 求证：sin(π/2-α)=cosα。
参考答案：1. sin 120°=sin(120°-360°)=sin(-240°)=-sin240°=-√3/2；sin(-45°)=-sin45°=-1/√2。
2. sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=-sinα。
3. sinα=3/5。
4. cosα=-√24/5。
5. sin(π/2-α)=cosα。
二、余弦函数1. 余弦函数的概念在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其邻边与斜边的比值称为余弦，即cosA = 邻边/斜边。
三角函数的性质
三角函数的性质
三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有多种性质，以下是一些主要的性质：
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在每隔一定的
角度后重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为360度
（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧
度）。
2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，这意味着对于任
何角度θ，sin(-θ) = -sinθ和tan(-θ) = -tanθ。
余弦函数是
偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3.有界性：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，这意味
着它们的值始终在这个范围内。
正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。
4.单调性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增
函数或减函数。
正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。
5.和差角公式：三角函数满足一些和差角公式，这些公式允
许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。
6.倍角公式：三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许
我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。
7.三角恒等式：三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、
余弦、正切等三角函数。
这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。
8.单位圆上的定义：三角函数也可以定义为单位圆上的各种
线段的长度，这为它们提供了几何解释。
9.无穷级数表示：三角函数也可以用无穷级数来表示，这允
许我们将它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
这些性质使得三角函数在数学、物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数sin y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
三角函数的定义与性质
有界性
三角函数的有 界性是指它们 在一定范围内 取值有限
有界性的证明 通常需要利用 三角函数的定 义和性质，如 周期性、对称 性等
有界性是三角函 数在解决实际问 题中非常重要的 性质之一，例如 在信号处理、控 制系统等领域
有界性还可以 帮助我们理解 三角函数的其 他性质，如单 调性、周期性 等
图像与性质
PART 05
三角函数的和差 化积公式
和差化积公式的基本形式
正弦和差化积公式： sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
余弦和差化积公式： cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB
正切和差化积公式 ：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1tanAtanB)
性质：余弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
图像：余弦函数的图像是一个正弦曲线，其最大值为1，最小值为-1。
正切函数
定义：正切函数是三角函数之一，表示单位圆上某点与x轴正方向的夹角。 公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) 性质：正切函数在定义域内是连续的，但在某些点处不可导。 应用：正切函数在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
THANK YOU
汇报人：
数学竞赛：诱 导公式是数学 竞赛中常见的 题型，掌握诱 导公式有助于 提高解题能力
特殊角度的三角函数值
0 °： s i n ( 0 °) = 0 , co s ( 0 °) = 1 , ta n ( 0 °) = 0
4 5 °： s i n ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , co s ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , ta n ( 4 5 °) = 1
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
三角函数的定义域值域与单调性
三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。
本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。
1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。
正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。
2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。
与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。
3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。
正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。
总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。
余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。
正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。
值域是全体实数。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。
通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。
三角函数和反三角函数的定义域和值域
三角函数和反三角函数的定义域和值域三角函数是数学中常见的函数，可以用来描述角度和其对边、邻边、斜边之间的关系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，而对应的反函数即为反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
正弦函数（sin）：正弦函数定义域为所有实数。
其值域为闭区间[-1, 1]，即取值范围在-1到1之间。
正弦函数的图像在整个定义域上是周期性的，周期为2π。
余弦函数（cos）：余弦函数定义域为所有实数。
其值域也为闭区间[-1, 1]，即取值范围在-1到1之间。
余弦函数的图像也是周期性的，周期为2π。
正切函数（tan）：正切函数定义域为所有实数，除了使分母为零的点。
其值域为整个实数集。
正切函数的图像也是周期性的，周期为π。
反正弦函数（arcsin）：反正弦函数定义域是闭区间[-1, 1]，值域是闭区间[-π/2, π/2]。
也就是说，它的参数的取值范围在-1到1之间，而结果的取值范围在-π/2到π/2之间。
反正弦函数是将角度转换为对应的正弦值的逆运算。
反余弦函数（arccos）：反余弦函数定义域也是闭区间[-1, 1]，值域是闭区间[0, π]。
它的参数的取值范围在-1到1之间，而结果的取值范围在0到π之间。
反余弦函数是将角度转换为对应的余弦值的逆运算。
反正切函数（arctan）：反正切函数定义域是整个实数集，值域是闭区间[-π/2, π/2]。
其结果的范围在-π/2到π/2之间。
反正切函数是将角度转换为对应的正切值的逆运算。
需要注意的是，三角函数和反三角函数在不同象限的取值范围有所不同。
例如，在角度值为0到π时，sin函数的值为0到1，而在π到2π之间的范围，sin函数的值为-1到0。
此外，三角函数和反三角函数在工程学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
它们可以用来描述波动的行为、计算向量的方向和角度，以及进行几何变换等。
熟练掌握三角函数和反三角函数的定义域和值域，对数学和应用科学相关学科的学习都具有重要意义。
三角函数和反三角函数的定义域和值域
三角函数和反三角函数的定义域和值域文章标题：深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域一、引言三角函数和反三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理等领域有着广泛的应用。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域对于深入理解它们的性质和应用至关重要。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角函数和反三角函数的定义域和值域，帮助读者更深入地理解这一主题。
二、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的定义域是整个实数集，即(-∞, +∞)，而值域是闭区间[-1, 1]。
这意味着正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间。
2. 正切函数正切函数的定义域是所有实数，但它的值域是整个实数集，即(-∞, +∞)。
正切函数的取值范围是整个实数集。
3. 反正弦、反余弦和反正切函数反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域与相应的三角函数相反。
反正弦函数的定义域是闭区间[-1, 1]，而值域是闭区间[-π/2, π/2]。
这意味着反正弦函数的取值范围在-π/2到π/2之间。
三、深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域1. 定义域和值域的意义三角函数的定义域和值域决定了函数的取值范围和性质，它们对于解决三角函数的问题和应用具有重要的指导意义。
在求解三角方程和证明三角不等式时，对三角函数的定义域和值域有清晰的认识能够帮助我们更好地理解和处理问题。
2. 图形和性质三角函数的定义域和值域也反映在其图形和性质上。
通过分析三角函数的图形，我们可以直观地感受到其定义域和值域对函数图像的影响，从而更深入地理解三角函数的性质和特点。
四、总结与展望通过本文的探讨，我们对三角函数和反三角函数的定义域和值域有了更深入的理解。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域不仅有助于掌握它们的性质和特点，还能对解决实际问题和应用提供有力的支持。
未来，我们可以进一步探讨三角函数和反三角函数的性质以及它们在不同领域的具体应用，以丰富我们对这一主题的理解。
2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1 答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin1017π与sin 1117π； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos7π8＜cos 6π7. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， 又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增， 所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°， 即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°) ＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3.所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，。
高考数学复习三角函数的单调性与最值
第4讲 三角函数的图象与性质最新考纲考向预测1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性. 命题趋势以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度. 核心素养 直观想象、逻辑推理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义 域 R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } 值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k∈Z续表函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x单调递减区间[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z无对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0，k∈Z⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0，k∈Z 对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Z kπ＋π2，k∈Zkπ，k∈Z常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )． 常见误区1．对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数． 2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时要注意A 和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( ) (2)若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值是k ＋1.( )(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( )(4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( ) (5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(易错点)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠kx ＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析：选D.由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 3．(多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数有( ) A ．y ＝tan xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝2cos xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x解析：选BD.对于A 选项，函数y ＝tan x 为奇函数，不符合题意；对于B 选项，函数y ＝|sin x |是最小正周期为π的偶函数，符合题意；对于C 选项，函数y ＝2cos x 的最小正周期为2π，不符合题意；对于D 选项，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2x ，是最小正周期为π的偶函数，符合题意．故选BD.4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，当φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，φ的值为________．解析：由已知得π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．又因为φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以当k ＝0时，φ＝－π4符合条件．答案：－π4第1课时 三角函数的单调性与最值求三角函数的单调区间(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．(2)函数f (x )＝tan(2x ＋π3)的单调递增区间是________．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)由k π－π2＜2x ＋π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12＜x ＜k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 【引申探究】1．(变条件、变问法)若本例(1)f (x )变为：f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3，求f (x )的单调递增区间．解：f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数f (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．2．(变条件、变问法)本例(1)f (x )变为：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，试讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：令z ＝2x －π3，易知函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，又因为π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝π2<T ，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间．[提醒] 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1．函数y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A ．[－π2，π2] B ．[0，π] C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增解析：选C.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，所以f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，所以f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，所以f (x )先减后增．三角函数单调性的应用 角度一 利用三角函数的单调性比较大小已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 10π21，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sinπ3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .【答案】 B利用函数的单调性比较大小(1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小；(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较．角度二 利用三角函数的单调性求值域(最值)(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x的值域为_________________________________．【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2. 所以函数y 的值域为[－12－2，1]． 【答案】 (1)B (2)[－12－2，1] 【引申探究】1．(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 2．(变条件)若本例(2)中x ∈[0，π]，则函数f (x )的值域为________． 解析：设t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，又x ∈[0，π]，所以t ∈[－1，2]． t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. 所以函数y 的值域为[－1，1]． 答案：[－1，1]三角函数值域的求法(1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域．(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域．1．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C.因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由正弦函数y ＝sin x 在0°≤x ≤90°上是增函数，得sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，所以sin 11°＜sin 168°＜cos 10°，故选C.2．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 解析：选B.记t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，则函数f (x )可转化为g (t )＝－10t 2－10t－12＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2.因为函数的最大值为2，显然此时t ＝－12. 令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由题意知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，当x ＝－π2时，t ＝－1，g (－1)＝－12，结合g (t )的图象及函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，可得－12≤sin m ≤0，解得－π6≤m ≤0.故选B.根据三角函数的单调性确定参数(一题多解)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D.13【解析】 方法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.方法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B. 【答案】 B已知函数单调性求参数—— 明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同．“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)掌握两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．1．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π解析：选A.f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，则f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．因为函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， 所以[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值为π4.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：因为f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， 所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时， y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由已知得π2ω＝π3，解得ω＝32. 答案：32[A 级 基础练]1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π 解析：选C.方法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2.故选C. 方法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π及⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数解析：选B.函数y ＝4sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增．故选B.3．(2020·武汉市学习质量检测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )的最小值为( )A.12 B.14 C.34D.22解析：选 A.f (x )＝sin 2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x 2＝54sin 2x ＋34cos 2x ＋32sin x cos x ＝34＋1－cos 2x 4＋34sin 2x ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≥1－12＝12，故选A. 4．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对于一切x ∈R 恒成立，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：选B.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数f (x )的最大值，即2×π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，2π)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．故选B.5．(2020·昆明市三诊一模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72 解析：选B.通解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，ω>0，所以ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3，故选B. 优解：当ω＝2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，满足题意，故排除A ，C ，D ，选B.6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.答案：＞7．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )， 又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，08．若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________．解析：因为0＜ω＜1，0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12.答案：129．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．解：令－π2≤2x －π6≤π2，则－π6≤x ≤π3. 令π2≤2x －π6≤32π，则π3≤x ≤5π6. 因为－π12≤x ≤π2，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取得最大值为1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， 所以当x ＝－π12时，f (x )min ＝－32. 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.[B 级 综合练]11．(2020·湖北八校第一次联考)若函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，则函数g (x )＝cos x －3sin x 在区间[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值2D ．可以取得最小值－2解析：选 D.f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，g (x )＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3.f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，不妨令a ＋π3＝π2，b ＋π3＝3π2，则a ＋π2＋π3＝π，b ＋π2＋π3＝2π，故g (x )在[a ，b ]上既不是增函数，也不是减函数，g (x )在[a ，b ]上可以取得最小值－2，故选D.12．(多选)关于函数f (x )＝sin|x |－|cos x |，下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减C ．f (x )的最大值为 2D ．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4时，f (x )＜0恒成立解析：选ABD.因为f (－x )＝sin|－x |－|cos(－x )|＝sin|x |－|cos x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故A 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin|x |－|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以令t ＝x ＋π4，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，y ＝2sin t 单调递减，所以B 正确；因为f (x )为偶函数，所以求函数f (x )的最大值可只考虑当x ≥0时的情况，又易知当x ≥0时，2π是其一个周期，所以只需研究x ∈[0，2π]时的情况，则f (x )＝sin x －|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2πsin x ＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2，则函数f (x )的值域为[－2，1]，因此C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，则x －π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＜0，即f (x )＜0在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4上恒成立，因为f (x )为偶函数，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4时，f (x )＜0恒成立，故D 正确．综上可知，正确结论是ABD. 13．已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解：(1)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以T ＝2π2＝π.(2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4， 所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin 5π6， 所以f (x )≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，得证．14．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6， 所以x的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6. [C 级 创新练]15．(2020·贵阳市适应性考试)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫19π4，27π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫9π2，13π2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17π4，25π4D ．[4π，6π)解析：选C.因为x ∈[0，1]，ω>0，所以ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，ω＋π4. 因为f (x )的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，所以4π＋π2≤ω＋π4<6π＋π2，解得17π4≤ω<25π4.16.如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A (x 1，y 1)，角β＝α＋2π3的终边与单位圆交于点B (x 2，y 2)，记f (α)＝y 1－y 2.若角α为锐角，则f (α)的取值范围是________．解析：由题意可知y 1＝sin α，y 2＝sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3，所以f (α)＝y 1－y 2＝sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin α＋12sin α－32cos α＝32sin α－32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6.又因为α为锐角，即0＜α＜π2，所以－π6＜α－π6＜π3，所以－12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＜32，则－32＜f (α)＜32，即f (α)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32第4讲 三角函数的图象与性质最新考纲考向预测1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性. 命题趋势以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度. 核心素养 直观想象、逻辑推理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义 域 R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } 值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k∈Z续表函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x单调递减区间[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z无对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0，k∈Z⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0，k∈Z 对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Z kπ＋π2，k∈Zkπ，k∈Z常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )． 常见误区1．对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数． 2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时要注意A 和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( ) (2)若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值是k ＋1.( )(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( )(4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( ) (5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(易错点)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠kx ＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析：选D.由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 3．(多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数有( ) A ．y ＝tan xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝2cos xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x解析：选BD.对于A 选项，函数y ＝tan x 为奇函数，不符合题意；对于B 选项，函数y ＝|sin x |是最小正周期为π的偶函数，符合题意；对于C 选项，函数y ＝2cos x 的最小正周期为2π，不符合题意；对于D 选项，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2x ，是最小正周期为π的偶函数，符合题意．故选BD.4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，当φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，φ的值为________．解析：由已知得π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．又因为φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以当k ＝0时，φ＝－π4符合条件．答案：－π4第1课时 三角函数的单调性与最值求三角函数的单调区间(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．(2)函数f (x )＝tan(2x ＋π3)的单调递增区间是________．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)由k π－π2＜2x ＋π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12＜x ＜k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 【引申探究】1．(变条件、变问法)若本例(1)f (x )变为：f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3，求f (x )的单调递增区间．解：f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数f (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．2．(变条件、变问法)本例(1)f (x )变为：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，试讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：令z ＝2x －π3，易知函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，又因为π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝π2<T ，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间．[提醒] 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1．函数y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A ．[－π2，π2] B ．[0，π] C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增解析：选C.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，所以f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，所以f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，所以f (x )先减后增．三角函数单调性的应用 角度一 利用三角函数的单调性比较大小已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 10π21，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sinπ3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .【答案】 B利用函数的单调性比较大小(1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小；(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较．角度二 利用三角函数的单调性求值域(最值)(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x的值域为_________________________________．【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2. 所以函数y 的值域为[－12－2，1]． 【答案】 (1)B (2)[－12－2，1] 【引申探究】1．(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 2．(变条件)若本例(2)中x ∈[0，π]，则函数f (x )的值域为________． 解析：设t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，又x ∈[0，π]，所以t ∈[－1，2]． t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. 所以函数y 的值域为[－1，1]． 答案：[－1，1]三角函数值域的求法(1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域．(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域．1．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C.因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由正弦函数y ＝sin x 在0°≤x ≤90°上是增函数，得sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，所以sin 11°＜sin 168°＜cos 10°，故选C.2．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 解析：选B.记t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，则函数f (x )可转化为g (t )＝－10t 2－10t－12＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2.因为函数的最大值为2，显然此时t ＝－12. 令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由题意知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，当x ＝－π2时，t ＝－1，g (－1)＝－12，结合g (t )的图象及函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，可得－12≤sin m ≤0，解得－π6≤m ≤0.故选B.根据三角函数的单调性确定参数(一题多解)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D.13【解析】 方法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.方法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B. 【答案】 B已知函数单调性求参数—— 明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同．“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)掌握两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．1．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π解析：选A.f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，则f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．因为函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， 所以[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值为π4.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：因为f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， 所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时， y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由已知得π2ω＝π3，解得ω＝32. 答案：32[A 级 基础练]1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π 解析：选C.方法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2.故选C. 方法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π及⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数解析：选B.函数y ＝4sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增．故选B.3．(2020·武汉市学习质量检测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )的最小值为( )A.12 B.14 C.34D.22解析：选 A.f (x )＝sin 2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x 2＝54sin 2x ＋34cos 2x ＋32sin x cos x ＝34＋1－cos 2x 4＋34sin 2x ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≥1－12＝12，故选A. 4．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对于一切x ∈R 恒成立，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：选B.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数f (x )的最大值，即2×π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，2π)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．故选B.5．(2020·昆明市三诊一模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72 解析：选B.通解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，ω>0，所以ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3，故选B. 优解：当ω＝2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，满足题意，故排除A ，C ，D ，选B.6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.答案：＞7．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )， 又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，08．若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________．解析：因为0＜ω＜1，0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12.答案：129．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．解：令－π2≤2x －π6≤π2，则－π6≤x ≤π3. 令π2≤2x －π6≤32π，则π3≤x ≤5π6. 因为－π12≤x ≤π2，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取得最大值为1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， 所以当x ＝－π12时，f (x )min ＝－32. 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.[B 级 综合练]11．(2020·湖北八校第一次联考)若函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，则函数g (x )＝cos x －3sin x 在区间[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值2D ．可以取得最小值－2解析：选 D.f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，g (x )＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3.f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，且f (a )＝2，f (b )＝－2，不妨令a ＋π3＝π2，b ＋π3＝3π2，则a ＋π2＋π3＝π，b ＋π2＋π3＝2π，故g (x )在[a ，b ]上既不是增函数，也不是减函数，g (x )在[a ，b ]上可以取得最小值－2，故选D.12．(多选)关于函数f (x )＝sin|x |－|cos x |，下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减C ．f (x )的最大值为 2D ．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4时，f (x )＜0恒成立解析：选ABD.因为f (－x )＝sin|－x |－|cos(－x )|＝sin|x |－|cos x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故A 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin|x |－|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以令t ＝x ＋π4，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，y ＝2sin t 单调递减，所以B 正确；因为f (x )为偶函数，所以求函数f (x )的最大值可只考虑当x ≥0时的情况，又易知当x ≥0时，2π是其一个周期，所以只需研究x ∈[0，2π]时的情况，。
三角函数的单调性与极值
三角函数的单调性与极值三角函数是数学中常见且重要的函数之一，它涵盖了正弦函数、余弦函数和正切函数等多种函数。
在学习三角函数时，我们需要研究它们的单调性和极值，这对我们理解和应用三角函数有着重要的意义。
本文将探讨三角函数的单调性和极值，并分别对正弦函数、余弦函数和正切函数进行讨论。
一、正弦函数的单调性与极值正弦函数是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
我们可以通过观察正弦函数的图像来研究其单调性和极值。
正弦函数的图像在每个周期内呈现周期性变化，从图像上观察，我们可以得出以下结论：1. 正弦函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，正弦函数先增后减，在0到π的区间上，正弦函数单调递增；3. 在π到2π的区间上，正弦函数单调递减；4. 正弦函数在特定角度处达到极值，即在0、π、2π等处取得最大值1和最小值-1。
综上所述，正弦函数的单调性为在每个周期内先递增后递减，且在特定角度处取得极值。
二、余弦函数的单调性与极值余弦函数也是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其单调性和极值。
余弦函数的图像同样呈现周期性变化，在观察图像的基础上，我们可以得出以下结论：1. 余弦函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，余弦函数先减后增，在0到π的区间上，余弦函数单调递减；3. 在π到2π的区间上，余弦函数单调递增；4. 余弦函数在特定角度处达到极值，即在0、π、2π等处取得最大值1和最小值-1。
综上所述，余弦函数的单调性为在每个周期内先递减后递增，且在特定角度处取得极值。
三、正切函数的单调性与极值正切函数是一个奇函数，它的定义域为实数集，值域为整个实数集。
我们同样可以通过观察正切函数的图像来研究其单调性和极值。
正切函数的图像呈现周期性变化，从图像上我们可以得出以下结论：1. 正切函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，正切函数存在无穷多个间断点，因此无法具体判断其单调性；3. 正切函数在特定角度处取得极值。
三角函数的单调性
1 2
cosx
1 2
π
5π 2π 3
x
5π ∴在 kπ + ,2kπ +π ]或 kπ + ,2kπ + 2π ](k ∈Z)上y单调递增, [2 [2 3 3 5π π 在 kπ,2kπ + ]或 kπ +π ,2kπ + ](k ∈Z)上y单调递减. [2 [2 3 3
π
3、函数y = log 1 sin(2 x + )的单调递减区间是( 4 2 4 π 3π C.(kπ − , kπ + ) 8 8
x
∴ 在每个[2kπ −
, 2kπ + ]k ∈ Z 上单调递增, 2 2 π 3π 在每个[2kπ + , 2kπ + ]k ∈ Z 上单调递减. 2 2
π
π
2、y = cos 2 x − cos x + 2
1 2 7 解 : y = (cos x − ) + , 2 4
y
o
y 1 ∴当cos x ≥ 时, y与cos x的单调性相同; 1 2 1 o π 当cos x ≤ 时, y与cos x的单调性相反. 3 2
π
1 3π π 8、函数y = lg[sin( − x)]的递增区间为(4kπ − ,4kπ − ]. 4 2 2 2 π 1 1 π (法2) ∵ t = sin( − x) = − sin( x − ). 4 2 2 4 1 π ∴ 只需求使 sin( x − ) < 0且为减函数的区间, 2 4 1 π 3π 5π 7π ∴ 2kπ + π < x − ≤ 2kπ + 即4kπ + < x ≤ 4kπ + , 2 4 2 2 2 π 1 ∴函数y = lg sin( − x)的单调递增区间为 4 2 5π 7π (4kπ + , 4kπ + ](k ∈ Z ). 2 2 事实上, 令k = m − 1得递增区间为 π 3π (4kπ − , 4kπ − ](k ∈ Z )与法1相同. 2 2
三角函数基础,定义域值域,单调性,奇偶性
二.基础练习1． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2xy =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是4．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.8．给出下列命题：①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立；②函数5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；③直线8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．⑤R x x x f ∈+=),32sin(3)(π的图象关于点)0,6(π-对称；其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．三、例题分析：题型1：三角函数图像变换例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1cos 2y x =的图象怎样变换？ 式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .题型2：三角函数图像性质例2、已知函数 y=log 21)4x π-)⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.变式1：求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是题型3：图像性质的简单应用例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴交于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-， （1）求函数()y f x =的解析式；（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。
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名师点睛 1．y＝sin x 与 y＝cos x 单调性 (1)正弦函数与余弦函数在定义域上不单调， 说“正弦函数 (或 余弦函数 )在第一象限是增 (或减)函数”是错误的． (2)正弦函数 y＝sin x(x∈R)的增区间为 2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z) 的含义是指在 k 取每一个整数时，正弦函数在该区间上为增函数， 而不是 k 取每一个整数时，正弦函数在这些并集区间上为增函数．
( k∈Z ) 上是增
函数，在 ???2kπ＋2π，2kπ＋32π???(k∈Z) 上是减函数；余弦函数 y＝cos x(x∈R)在 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 上是减函数，在
[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) 上是增函数．
想一想：“正弦函数在第一象限内是增函数． ”这种说法正 确吗？
提示 不正确．单调性是针对某一个区间而言的，在第一象 限内，若 α1＝α2＋2kπ，在 α1≠α2 时，sin α1＝sin α2.
??0 ?sin x<0?.
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0,2，] 即函数的值域为 [0,2．]
(2)∵－π6≤x≤π6，∴0≤2π＋π3≤23π.
?
∴0≤sin?2x＋
?
π3???≤1.
?
∴0≤2sin?2x＋
?
π3???≤2，即
0≤y≤2.
故函数的值域为 [0,2．]
规律方法 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别 式法、反比例函数法等，而这些方法也适用于三角函数，但要结 合三角函数本身的性质(有界性)．
题型二 求值域、最值 【例 2】 求下列函数的值域． (1)y＝|sin x|＋sin x；(2)y＝2sin???2x＋3π???，x∈???－π6，6π???. [思路探索] (1)先去掉题中的绝对值符号，再利用正弦函数的 值域求解；(2)注意自变量的取值范围．
??2sin x ?sin x≥0?， 解 (1)∵y＝|sin x|＋sin x＝?
2．正、余弦函数的最值及值域 正弦函数 y＝sin x(x∈R)，当 x＝ 2kπ＋2π，k∈Z 时，y 最大＝1， 当 x＝ 2kπ－2π，k∈Z 时，y 最小＝－1；余弦函数 y＝cos x(x∈R)， 当 x＝ 2kπ，k∈Z 时，y 最大＝1，当 x＝ 2kπ＋π，k∈Z 时，y 最小＝－1. y＝sin x 的值域为 [－1,1] ，y＝cos x 的值域是 [－1,1] ．
2．正(余)弦函数的对称性 (1)轴对称：对于正弦函数 y＝sin x，x∈R，我们发现函数的 图象在每一个最值(最大或最小)点处都有对称轴，方程为 x＝kπ＋ π2，k∈Z，而对于余弦函数，将正弦函数的图象向左平移 π2个单位 长度得到，因此其对称轴方程为 x＝kπ，k∈Z. (2)中心对称：对于正弦函数 y＝sin x，x∈R，其对称中心为(kπ， 0)(k∈Z)，而对于余弦函数，其对称中心为???kπ＋π2，0???(k∈Z)．对 称轴和对称中心都有无数个.
题型一 求单调区间
【例 1】 求函数 y＝sin???π6－x???的单调递减区间． [思路探索 ] 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式
将
y＝sin???π6－x???化为
y＝－
?
sin?x－
?
π6???形式，由于－
1<0
只需求
y＝
sin???x－π6???的单调递增区间即可．
解 y＝＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ， 得－π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ，
∴单调递减区间为???－π3＋2kπ，23π＋2kπ???，k∈Z.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
规律方法 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； (2)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求单调区间时，应 采用“换元法”整体代换，将 “ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求 y ＝Asin z 的单调区间而求出函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω >0)的函数的单调区间同上．
【变式 2】 (1)设 sin x＝5t－1，求实数 t 的取值范围；
(2)求 y＝asin x＋b(a，b∈R，a≠0)的最值；
(3)求 y＝cos2x－sin x，x∈???－π4，π4???的值域；
(4)
求
3sin y＝ sin
xx＋＋21的最值．
解 (1)由－1≤5t－1≤1，得 0≤t≤25. ∴t 的取值范围是 ???0，25???. (2)若 a>0，则 sin x＝1 时，ymax＝a＋b；sin x＝－1 时，ymin＝ b－a. 若 a<0，则 sin x＝－1 时，ymax＝b－a；sin x＝1 时， ymin＝a ＋b.
(3)对求含有三角函数的复合函数的单调性，如 y＝Asin(ωx＋φ) 其中 A>0，ω>0 的单调区间的确定，基本思想是把 ωx＋φ 看作一 个整体．由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π，k∈Z，解出 x 的范围，所 得区间即为增区间，若 A>0，ω<0，可用诱导公式将函数化简为 y ＝－Asin(－ωx－φ)，则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减 区间．
?第3课时 三角函数的单调性与值
【课标要求】
域
掌握正弦函数、余弦函数的图象，理解并掌握它们的奇偶性、
值域相关的性质．
【核心扫描】
1．了解三角函数的单调性和值域． (重点)
2．会求函数的单调区间和值域． (难点)
自学导引
1．正、余弦函数的单调性 正弦函数 y＝sin x(x∈R)在
???2kπ－2π，2kπ＋π2???
【变式 1】 求函数 y＝3cos???π3－2x???的单调递增区间． 解 由已知函数为 y＝3cos???x2－π3???， 欲求函数 y＝3cos???π3－2x???的单调递增区间， 只需求函数 y＝3cos???x2－π3???的单调递增区间．
由 2kπ－π≤2x－π3≤2kπ (k∈Z)， 得 4kπ－43π≤x≤4kπ＋23π (k∈Z)， 函数 y＝3cos???π3－2x???的单调递增区间为 ???4kπ－43π，4kπ＋23π??? (k∈Z)．