林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题17一线三等角模型(附答案)

专题17 一线三等角模型

破解策略

在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．

1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ．

321D

B

P

A

C

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．

3

C

D

B

P

A

证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，

∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD

（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．

231D

B

P

A

C

2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．

32

1C

P

D

B

A

证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，

∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD

3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．

32

1C

D

B

A

P

证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ．

∵∠1＝∠2，∴∠P AC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解

例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．

（1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值；

（2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α．

①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）．

②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1

S 2的表达式．

N

F

C M

E B D

A

F N

M E B

D

A

C F

N D

A

B

E

M C

图1 图2 图3

解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

H G A

D

B

E M

C F

N

则S 1

S 2＝

1

2

MG AD 12NH BD ＝1

4

AD AM A BD BN ．

由题意可知∠A ＝∠B ＝60º，所以sin A ＝sin B

． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴

AM AD

BD BN

=

，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12． （2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

H

G C

A

D

B

E M N F

则S 1

S 2＝

1

2

MG AD 12NH BD ＝1

4

AD AM A BD BN ．

由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以

AM AD

BD BN

=

，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝

14

a ²

b ²sin²a ； ②如图6，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

H

G

C

M E

B

A D

N F

则S 1

S 2＝

1

2

MG AD 12NH BD ＝1

4

AD AM A BD BN ．

由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以

AM AD

BD BN

，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝

14

a ²

b ²sin²a ； 例2：如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．

（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．

E

C

D B A

解（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°， ∴∠ABD ＝∠ACB ＝30°， ∴∠ABD ＝∠ADE ＝30°，

∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABD ＋∠DAB ， ∴∠EDC ＝∠DAB ， ∴△ABD ∽△DCE ；

∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°， 过A 作AF ⊥BC 于F ， ∴∠AFB ＝90°， ∵AB ＝2，∠ABF ＝30°， ∴AF ＝

1

2

AB ＝1，