线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
标准正交基怎么求
标准正交基怎么求在线性代数中，标准正交基是一组线性无关的向量，它们不仅构成向量空间的基，而且彼此之间是正交的。
那么，如何求解标准正交基呢？接下来，我们将详细介绍标准正交基的求解方法。
首先，我们需要了解标准正交基的定义。
在n维欧几里得空间中，一组向量{v1, v2, ..., vn}被称为标准正交基，如果它们两两正交并且归一化，即满足以下两个条件：1. 任意两个向量vi和vj（i≠j）的内积为0，即vi·vj=0（i≠j）；2. 每个向量vi的模长为1，即||vi||=1。
有了标准正交基的定义，接下来我们介绍如何求解标准正交基。
一种常用的方法是施密特正交化方法，其具体步骤如下：1. 将向量组{v1, v2, ..., vn}中的第一个向量v1作为标准正交基的第一个向量u1，即u1=v1/||v1||；2. 对于第i个向量vi（i>1），依次进行以下操作：a. 将vi在前i-1个标准正交基向量{u1, u2, ..., ui-1}上的投影全部减去，得到一个新的向量vi'；b. 将vi'进行归一化处理，得到标准正交基的第i个向量ui，即ui=vi'/||vi'||。
通过施密特正交化方法，我们可以逐步求解出标准正交基。
需要注意的是，施密特正交化方法求得的标准正交基向量是按照原始向量的顺序排列的，而且并不是唯一的。
在实际应用中，我们可以根据需要对标准正交基进行调整和排序。
除了施密特正交化方法，还有其他一些方法可以用来求解标准正交基，比如Gram-Schmidt正交化方法、奇异值分解等。
不同的方法在求解效率和数值稳定性上有所差异，可以根据具体问题的需求选择合适的方法。
总之，求解标准正交基是线性代数中的重要问题，它在许多领域都有着广泛的应用。
通过本文介绍的方法，我们可以有效地求解出标准正交基，并在实际问题中加以应用。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
标准正交化公式
标准正交化公式在数学和工程领域中，标准正交化是一种常见的线性代数操作，它可以将一个线性空间中的一组基转换为另一组正交的基。
标准正交化的目的是简化计算和分析过程，同时保持向量空间的线性无关性和基的完备性。
在本文中，我们将介绍标准正交化的基本概念和公式，并讨论其在实际问题中的应用。
假设我们有一个线性空间V，其中包含n个线性无关的基向量{v1, v2, ..., vn}。
我们希望将这组基向量转换为一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。
标准正交基的特点是任意两个基向量之间的内积为0，即<u_i, u_j> = 0 (i ≠ j)，并且每个基向量的模长为1，即||u_i|| = 1。
通过标准正交化，我们可以简化向量的表示和计算，同时减少误差和复杂性。
标准正交化的常用方法包括施密特正交化和QR分解。
施密特正交化是一种迭代的方法，通过Gram-Schmidt过程将原始基向量转换为标准正交基。
假设我们已经得到了前k个标准正交基{u1,u2, ..., uk}，我们可以通过以下公式来计算第k+1个标准正交基u_k+1：u_k+1 = v_k+1 ∑(i=1 to k) <v_k+1, u_i> u_i。
其中，<v_k+1, u_i>表示v_k+1和u_i的内积，u_i表示第i个标准正交基。
通过迭代这个过程，我们可以得到完整的标准正交基{u1, u2, ..., un}。
另一种常用的方法是QR分解，它可以将任意矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
对于一个n×n的矩阵A，我们可以通过QR分解得到：A = QR。
其中，Q是一个n×n的正交矩阵，R是一个n×n的上三角矩阵。
通过QR分解，我们可以直接得到标准正交基，并且可以更方便地进行计算和分析。
在实际问题中，标准正交化可以应用于信号处理、数值计算、最优化问题等各种领域。
例如，在信号处理中，我们可以利用标准正交基来简化信号的表示和处理，从而提高计算效率和减少误差。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
线性代数第2章第6节Rn的标准正交基 卢刚版课件
常数．
取 c = 1，则
β = (−3, 7, 2)T ,
⎛1 0
3 2
⎞
⎜ ⎜
0
1
−
7 2
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
将β单位化，则所求向量为
α = 1 β = 1 (−3, 7, 2)T .
β
62
18
定理2.15 设α1,α2, ··· ,αs (s≥2) 是一个正交向量组， 则α1,α2, ··· ,αs 线性无关．
证明：(1) 由于行列式
12 3 ξ1Tξ2Tξ3T = 1 1 2 = 1 ≠ 0
11 1
所以ξ1,ξ2,ξ3 线性无关，构成R3的一组基．
7
(2) 利用ξ1,ξ2,ξ3关于基ε1,ε2,ε3的坐标将ξ1,ξ2,
ξ3 分别表示为
ξ1 = (1,1, 0), ξ2 = (0, 1, 1), ξ3 = (1, 0, 1).
如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位向 量，则称该向量组为 正交单位向量组 ．
可知：与自身正交的向量只能是零向量． 零向量与任意向量都正交．
当α，β ∈R2 均为非零向量时，
α与β正交 ⇔ α与β相互垂直．
16
例：设 α1 = (1, −1, 5)T , α2 = (1, 3, −9)T , α3 = (1, 1, − 2)T ,
第二章 线性方程组
第六节 Rn的标准正交基
一、Rn的标准正交基的概念 二、Schmidt正交化法
1
我们学过如下内容： 向量组的极大无关组与向量组等价．只要找到
向量组的一个极大无关组，就等于掌握了这个向量 . 如果已知一个向量组的秩为 r ，则其任意 r个线
性无关的向量都可以成为该向量组的极大无关组． 任意 n + 1 个n 维向量一定线性相关，即任意一
线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
可以得到将 Rn 中的非零向量化为
单位向量，称为将向量标准化的方法：
若 0 ，则
1
为单位向量或标准化向量.
事实上， 1 1 1 1.
例 如 设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , 则
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , … , dn)T Rn，
在标准基 1 , 2 , … , n 和基 1 = (1, 0, …, 0)T ,
2 = (1, 1, …, 0)T , … , n = (1, 1, …, 1)T 下的坐标.
2
即 与 相互垂直.
2. 正交向量组的性质
定理 2.15 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量
组，则 1 , 2 , … , s 线性无关.
证 明 设 有 k1 , k2 , … , ks 使
k1 1 + k2 2 + … + ks s = 0 ,
以 1T 左 乘 上 式 两 端 , 得
定义 2.17 设 1 , 2 , … , n 为 Rn 的一组基，
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
可知，一个向量组线性无关，
是其成为正交向量组的必要条件. 下面我们将介绍
26的标准正交基
3 (1, 2, 2,3)T 等价的一个正交单位向量组.
解 : 1 1 (1,1,1,1)T ;
2
2
T 2
1
1T 1
1
(1, 2, 3, 4)T 1 2 3 4 (1,1,1,1)T (3, 0, 1, 2)T 1111
3
3
T 3
1
1T 1
1
T 3
2
T 2
2
21
(1, 2, 2,3)T 1 2 2 3 (1,1,1,1)T 3 2 6 (3, 0, 1, 2)T
z
3
0
y
2 1
x
定理2.15
设1 , 2 ,
,
是一个正交向量组,
s
则1,2, ,s线性无关.
证明 设存在数k1, k2, , ks使得
k11 k22 kss 0 则有 1T(k11 k22 kss ) 1T 0 k11T1 0 k1 0
2T(k11 k22
kss )
T 2
1111
91 4
( 1 , 0, 5 , 4 )T 14 14 14
1 (1,1,1,1)T ;
设 (a1, a2, , an )T Rn , 称 T为向量的长度(或模),记作 .即
n
T
ai2
i 1
如果 1,则称为单位向量.
向量长度的性质：
P103——
将向量化为单位向量：
1
定义2.20向量正交
设, Rn ,如果T 0, 则称向量与正交.
定义2.21正交向量组
0
k2
T 2
2
0
k2
0
sT(k11 k22
kss )
标准正交基的求法
标准正交基的求法在线性代数中，标准正交基是指一个向量空间中的一组基，其中每个向量都是单位向量，并且每个向量都与其他向量正交。
标准正交基在计算机图形学、信号处理和量子力学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍标准正交基的求法。
1. Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程是求解标准正交基的一种常用方法。
该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量逐一正交化，得到一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。
具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。
1）将第一个向量v1单位化，得到u1：u1 = v1 / ||v1||其中||v1||表示向量v1的模长。
2）对于第二个向量v2，先将它在u1上的投影p2计算出来：p2 = (v2 · u1)u1其中·表示向量的点积运算。
然后将v2减去它在u1上的投影，得到一个新的向量w2：w2 = v2 - p23）将w2单位化，得到u2：u2 = w2 / ||w2||4）对于第三个向量v3，先将它在u1和u2上的投影p3计算出来：p3 = (v3 · u1)u1 + (v3 · u2)u2然后将v3减去它在u1和u2上的投影，得到一个新的向量w3：w3 = v3 - p35）将w3单位化，得到u3：u3 = w3 / ||w3||以此类推，直到求得所有的标准正交基向量。
2. QR分解QR分解是另一种求解标准正交基的方法。
该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量通过正交矩阵Q变换成一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。
具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。
1）将这些向量组成一个矩阵A：A = [v1 v2 ... vn]2）对矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R：A = QR其中Q的列向量就是标准正交基向量。
标准正交基怎么求
标准正交基怎么求标准正交基是线性代数中的重要概念，它在向量空间的正交性质和标准化表示方面起着关键作用。
那么，接下来我们就来探讨一下标准正交基的求解方法。
首先，我们需要明确标准正交基的定义。
在n维实内积空间中，如果向量组{v1, v2, ..., vn}满足以下两个条件，一是向量组中的向量两两正交，即vi·vj=0（i≠j），二是向量组中的每一个向量的模长为1，即||vi||=1，则称向量组{v1, v2, ..., vn}为标准正交基。
接下来，我们来讨论标准正交基的求解方法。
一般来说，求解标准正交基的方法有Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法。
首先是Gram-Schmidt正交化方法。
对于给定的线性无关向量组{u1, u2, ..., un}，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 取第一个向量v1=u1，进行标准化处理，即v1=u1/||u1||。
2. 对于第i个向量ui，我们可以通过以下公式来求解vi：vi=ui-Σ(j=1 to i-1)(ui·vj)·vj。
然后进行标准化处理，即vi=vi/||vi||。
3. 重复以上步骤，直到求得n个标准正交向量{v1, v2, ..., vn}。
其次是矩阵的特征值分解方法。
对于给定的矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 首先，求解矩阵A的特征值和对应的特征向量。
2. 将特征向量进行标准化处理，即将每个特征向量除以其模长。
3. 如果A是对称矩阵，那么它的特征向量是两两正交的，我们可以直接将它们作为标准正交基。
需要注意的是，对于一般的矩阵，其特征向量未必是两两正交的，所以在使用特征值分解方法求解标准正交基时，需要进行额外的正交化处理。
综上所述，我们可以通过Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法来求解标准正交基。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解标准正交基，以满足我们的需求。
线性代数 chapter6
§6.2 Orthogonal Sets
3. Orthonormal Sets (单位正交集)
§6.2 Orthogonal Sets
Example：Show that {v1, v2, v3} is an orthognomal basis of R3, where
Solution：Compute
§6.3 Orthogonal Projections
§6.3 Orthogonal Projections
Geometric Interpretation of Orthogonal Projections
Example: Let
and
Observe that {u1,u2} is an
§6.1 Inner Product, Length and Orthogonality
3. Distance in Rn
§6.1 Inner Product, Length and Orthogonality
Example：Compute the distance between the vectors u=(7,1) and v=(3,2). Solution: Compute So
1. The Inner Product
2. The Length of a Vector
3. Distance in Rn
4. Orthogonal Vector
5. Orthogonal Complements
§6.1 Inner Product, Length and Orthogonality
1. Orthogonal Sets (正交集)
2.6 R-n的标准正交基
a1 a2 an
Rn
a2 ...
和的内积为
a1 a2 a n an
2
a1
T
0
T
n 2 2 a 12 a 2 ... a n a 2 i i 1 0
2)
i j 0
T
注意： 正交向量组中， 每个向量 都不是零向量。 T T T 1 ( 1, 1, 0 ) 2 ( 2 , 2 , 0 ) 3 ( 0, 0, 1 ) 如 是R3中的正交向量组. 如果一个正交向量组中， 每个向量都是单位向量, 则该向量组称为 正交单位向量组. T
4 0 ( 1) 2
2 2 2 2
21
0
2 2
T
2
2
0
a 1 a 2 ... a n 0
a 1 a 2 ... a n 0
o
例
在 n
维空间Rn 中 1 ( 1
2 ( 0
0 1 0 0
0 0 1 0
b1 b2 , bn
a1 a2 an
( ) a 1 b1
T
a 2 b2
...
c1 c2 cn c1 c2 a n b n cn
T
一般地， i
T
T
( k 1 1 k 2 2 ... k s s ) i o
T T T
k 1 ( i 1 ) k 2( i 2 ) ... k i ( i i ) ... k s ( i s ) 0 ki i
求矩阵的标准正交基
求矩阵的标准正交基首先，我们来了解一下标准正交基的概念。
在n维欧氏空间中，如果存在n个两两正交的单位向量，且它们张成的向量空间与整个n维欧氏空间重合，那么这组单位向量就称为n维欧氏空间的标准正交基。
简单来说，标准正交基就是一组相互垂直且长度为1的向量，它们可以用来表示整个向量空间中的任意向量。
接下来，我们将介绍求解矩阵的标准正交基的方法。
对于一个给定的矩阵A，我们希望找到一组标准正交基，使得矩阵A可以由这组基进行线性表示。
首先，我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法来求解标准正交基。
Gram-Schmidt方法是一种通过正交化的方式，将线性无关的向量组转化为标准正交基的方法。
其基本思想是从给定的线性无关向量组中构造出一组标准正交基。
具体操作是，先将向量组中的第一个向量单位化，然后依次将后续的向量投影到前面向量的正交补空间上，得到一组正交向量，最后将这些正交向量单位化即可得到标准正交基。
另外，我们还可以利用特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基。
对于一个对称矩阵A，我们可以将其分解为A=QΛQ^T的形式，其中Q是标准正交矩阵，Λ是对角矩阵。
这时，矩阵Q的列向量就是矩阵A的标准正交基。
特征值分解方法在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以用来求解标准正交基，还可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
最后，我们来看一下矩阵的标准正交基在实际问题中的应用。
标准正交基可以用来表示向量空间中的任意向量，因此在信号处理、图像处理、物理建模等领域都有着重要的应用。
例如，在图像处理中，我们可以利用标准正交基将图像表示为一组正交基向量的线性组合，从而实现图像的压缩和重构。
在物理建模中，标准正交基可以帮助我们更好地理解物理现象，分析物理过程中的向量关系。
总结一下，矩阵的标准正交基是线性代数中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解向量空间的性质，解决相关的计算和应用问题。
我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法和特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基，并且在实际问题中有着广泛的应用。
线性代数——正交矩阵PPT课件
是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
第9页/共11页
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
2°特点: 设 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 n ), 则
Байду номын сангаас
T
1T 2T
1 2
nT
n
1T1 2T1
1T2 2T2
第1页/n共T111页 nT2
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 是 Rn 的两组标准
k
则 1, 2 , , s 是与1 ,2 ,
的向量组.
i 2, 3, , s
, s等价且两两正交
第8页/共11页
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
故
QTQ E.
第2页/共11页
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵. 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ;
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
标准正交基的求法
标准正交基的求法标准正交基是线性代数中非常重要的概念，它在向量空间的基变换、正交化处理等方面有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要求解一个向量空间的标准正交基，本文将介绍标准正交基的求法。
首先，我们需要了解什么是标准正交基。
在一个内积空间中，如果向量组中的向量两两正交且归一化，即它们的模长为1，那么这个向量组就是一个标准正交基。
标准正交基的求法可以通过施密特正交化方法来实现。
施密特正交化方法的基本思想是不断地将原向量组中的向量进行正交化和归一化处理，最终得到标准正交基。
下面，我们来具体介绍一下施密特正交化的步骤。
假设我们有一个向量组V={v1,v2,...,vn}，我们要对其进行施密特正交化处理。
首先，我们取向量组中的第一个向量v1作为新的标准正交基的第一个向量u1，即u1=v1。
然后，对于向量组中的第二个向量v2，我们需要将它与u1进行正交化处理，得到一个新的向量u2。
具体来说，我们可以通过以下公式来求解u2：u2 = v2 proj(u1, v2)。
其中，proj(u1, v2)表示向量v2在向量u1上的投影，即。
proj(u1, v2) = (v2·u1) / (u1·u1) u1。
这样，向量u2就与向量u1正交了。
接下来，我们需要对u2进行归一化处理，得到标准正交基的第二个向量u2。
以此类推，对于向量组中的第i个向量vi，我们可以通过以下公式来求解标准正交基的第i个向量ui：ui = vi ∑(proj(uj, vi), j=1 to i-1)。
同样地，我们需要对ui进行归一化处理，得到标准正交基的第i个向量ui。
通过上述步骤，我们可以得到原向量组V的标准正交基U={u1,u2,...,un}。
这样，我们就完成了标准正交基的求法。
需要注意的是，在实际计算中，由于浮点运算的误差累积，可能会导致得到的标准正交基不够精确。
因此，我们需要对计算结果进行一定的数值稳定性处理，例如Gram-Schmidt方法、Householder变换等，以提高计算精度。
标准正交化的公式
标准正交化的公式标准正交化公式是线性代数中的重要概念，它可以将一个向量空间中的任意一组线性无关的基向量，转换成一个标准正交基向量组。
标准正交基向量组具有互相正交的特点，而且每个向量的模长为1。
标准正交基向量组在计算机图形学、数值计算、量子物理等领域都有广泛的应用。
下面是标准正交化公式的具体内容：标准正交化公式：对于一个向量空间$V$中的$m$个线性无关向量组成的集合$B=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}$，我们可以通过以下步骤将它转换为一个标准正交基向量组：1.选取向量组中的第一个向量$v_1$，作为标准正交基向量组的第一个向量。
2.对于向量组中的下一个向量$v_2$，我们需要将其投影到标准正交基向量组的第一个向量$v_1$上，然后用$v_2$减去它在$v_1$上的投影，就得到一个新的向量$u_2$，即：$u_2=v_2-{\frac{(v_2,v_1)}{(v_1,v_1)}}v_1$3.将$u_2$单位化，得到标准正交基向量组的第二个向量$v_2'$。
4.对于向量组中的第$i$个向量$v_i$，我们需要计算它相对于前面$i-1$个已经转换好的标准正交基向量组的投影，并用$v_i$减去它在这些向量上的投影，得到一个新的向量$u_i$，即：$u_i=v_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{(v_i,v_j)}{(v_j,v_j)}v_j$5.将$u_i$单位化，得到标准正交基向量组的第$i$个向量$v_i'$。
6.重复上述过程，直到将所有的向量都转换为标准正交基向量。
以下是标准正交化公式的一些应用：应用一：计算两个向量的夹角在计算机图形学中，我们经常需要计算两个向量之间的夹角，可以利用向量的内积公式计算：$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left\|\boldsymbol{a}\right\|\lef t\|\boldsymbol{b}\right\|}$其中，$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$分别为两个向量，$\theta$为夹角。
线性代数卢刚版2.6标准正交基
b1 b T a1 , a2 , ... an 2 1 n n 1 bn
a1b1 a2b2 anbn
称为向量和的内积. 记为T.
注：向量和的内积即为对应位置的分量相乘再 相加，內积为一实数.
n ( 0, 0, ..., 1 )T 为正交单位向量组.
定理2.17 Rn中的 1 , 2 ,..., s 为一个正交向量组
则该向量组线性无关. 证:设 k11 k2 2 ... ks s o
T 1 ( k11 k2 2 ... k s s ) T o
sT 1 sT 2 sT s 1 s s T 1 T 2 T s 1 1 1 2 2 s 1 s 1
, ,..., ≌ ,
1 2 s 1
则 1 , 2 ,..., s 是正交向量组, 且
第六节
R 的标准正交基n源自一、基,向量在基下的坐标在Rn 中, 任意 n 个 线性无关的向量 1 , 2 ,..., n 称为Rn 的一组基.
T T ( 1 , 0, ..., 0 ) , ( 0, 1 , ..., 0 ) , 注:（1） 1 2 n ( 0, 0, ..., 1 )T 为Rn 的一组基. 称为Rn 的标准基
例1：设 4,0, 1,2 , 3, 5,4, 3
T
T
求与 ,与的内积. 内积具有如下性质： (1) T T （交换律）
T T T ( k ) ( k ) k ( ) (2)
(3) ( )T T T (4) T ≥0, T =0
线性代数标准正交基
y
(x, y)
1 1 x , y
x2 y2
x2 y2 x2 y2
x
是与 同方向的单位向量.
o
用非零向量旳长度清除向量, 得到一种与同
方向旳单位向量, 称为把向量单位化。如
( 4,0, 1, 2 )T 21
1
4
21
,
0 , 1 ,
21 21
2 T
21
四、正交向量组 定义2.20 设 , Rn 假如 T=0,则称与正交
则称 1,2 ,...,n 为Rn 旳一种原则正交基. 如 1 (1, 0, ..., 0 )T , 1, 2 ,..., n 为Rn 旳原则正交基.
2 ( 0, 1, ..., 0 )T ,
n ( 0, 0, ..., 1 )T
又如 1 (1, 2, 3 )T
2 ( 0, 1, 2 )T 3 ( 0, 0, 1 )T
QTQ E
1, 2 ,..., n 是单位正交向量组.
1, 2 ,..., n 两两正交,且 1 2 ... n 1
与正交
T 0
一般地, 在 n 维空间Rn 中 1 (1 0 0 ... 0 )T
2 ( 0 1 0 ... 0)T
3 ( 0 0 1 ... 0 )T
i j时,
T i
j
0
i
j
n ( 0 0 0 ... 1 )T
Rn 中旳单位向量组 1,2,…,n 两两正交.
1, 2 ,..., n 称为Rn 中旳 正交单位向量组.
)
k2(
iT
2
)
...
ki
(
iT
i
)
...
ks
(
2.6.Rn的标准正交基
2. 长度的性质
(1) || || 0 , 且
设 , 为 Rn 中的向量， k R . || || = 0 = 0 ; (2) || k || = | k | · || ; || (3) |T | || || · || , 且 |T | = || || · || || ||
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T ,
1 2 T (1, 1, 1, 1) 2, 0 1
则
3 0 T (1, 1, 1, 1) 0, 1 2
解 = (d1 , d2 , … , dn)T = d11 + d22 + … + dnn , 由于
即 = (d , d , … , d )T = d ,d2 +… ,dn+，恰为d , , d ) … + 的各个分量. 在标准基下的坐标为 (d1
1 2 n 1 1 2 2 n n
1. 内积的定义
定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn 中的两个向量，
b1 则 n b2 T (a1 , a2 , , an ) a1b1 a2b2 anbn ai bi i 1 b 称为向量 与 的内积. n 显然， T R .
类似可证 k2 = 0, … , ks = 0.
因为 1 与 i (i = 2, 3, … T s) 正交, 所以 1Ti = 0, , T
线性代数2.6标准正交基
T
αTβ ≤ α β
2 n
α β = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
a + a + ... + a
2 1 2 2
b + b + ... + b = α β
ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 ) ,
T
ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ) , ⋮ T 的标准基, ε n = ( 0, 0, ..., 1 ) 为Rn 的标准基,
T
∀α = (d1 , d 2 ,..., d n )T∈ R
n
α = (d1 , d 2 ,..., d n )T
a1 b1 a b 2 , β = 2 α= ⋮ ⋮ an bn
a1 + b1 a +b α + β = 2 2 ⋮ an + bn
= (a1c1 + a2c2 + ... + ancn ) + (b1c1 + b2c2 + ... + bn cn )
本书的向量均为列向量故一般情况下两个向量的内积记为分配律交换律三向量的长度定义219非负实数称为向量的长度或向量的范数记为k为实数向量的长度具有以下性质
§2.6 Rn 的标准正交基 一、基,向量在基下的坐标 定义2.16 任意n 定义2.16 在Rn 中,任意n个线性无关的向量 α1 ,α 2 ,...,α n 称为Rn 的一组基. 称为R 的一组基 ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 )T , ε 1 , ε 2 ,..., ε n 为Rn 的一组基. 如 的一组基. T ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ) , 称为Rn 的标准基, 自然基. 称为R 标准基, 自然基. 或
标准正交基
§2 标准正交基一、正交向量组1．定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量, 如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.2．正交向量组是线性无关的.3．上述结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.二、标准正交基1．定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基； 由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 2． 设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当εε (1)显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说，一组基为标准正交基的 充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.3．因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵 合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵. 由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的.4．在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2)在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设.2211n n x x x εεεα+++=.2211n n y y y εεεβ+++=那么.),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3)这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的. 这说明了，所有的 标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.三、标准正交基的存在性及其正交化方法1．把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中 称为施密特（Schimidt ）正交化过程 设 12,,,m ααα 是一组线性无关的向量(1) 正交化11βα= 2122111(,)(,)αββαβββ=-313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββαβββββββββ=---由此推出11(,)(,)k k i k k i i i i αββαβββ-==-∑(2) 单位化例1 1234(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,1,1,1)αααα===-=-- 变成单位正交组2．定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.、 再单位化，就得到一组标准正交基.3．定理2 对于n 维欧氏空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准 正交基n ηηη,,,21 ，使=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη应该指出，定理中的要求=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη就相当于由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵是上三角形的.四、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式. 设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是欧氏空间V 中的两组标准正交基，它们之间的 过渡矩阵是)(ij a A =，即=),,,(21n ηηη ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n a a a a a a a a a 21222211121121),,,(εεε 因为n ηηη,,,21 是标准正交基，所以⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当ηη (4) 矩阵A 的各列就是n ηηη,,,21 在标准正交基n εεε,,,21 下的坐标.按公式(3),(4)式可以 表示为⎩⎨⎧≠==+++.,0;,12211j i j i a a a a a a nj ni j i j i 当当 (5)(5)式相当于一个矩阵的等式E A A =' (6)或者A A '=-1定义7 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准 正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.最后指出，根据逆矩阵的性质，由E A A ='即得E A A ='写出来就是⎩⎨⎧≠==+++.,0;,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i 当当 (7)(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组1,cos ,sin ,,cos ,sin ,.x x nx nx构成]2,0[πC 的一个正交组.把上面的每一向量除以它的长度,就得到]2,0[πC 的一个标准正交组:.,sin 1,cos 1,,sin 1,cos 1,21 nx nx x x πππππ例3 欧氏空间n R 的基(0,,0,1,0,,0i i ε=（））,n i ,,2,1 = 是n R 的一个标准正交基.。
标准正交基
§2 标准正交基一、正交向量组 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：① 若0α≠，则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证：设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=， i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >， ∴ 0i k =， 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：3R 中 ()11,1,0α=，()21,0,1α=线性无关． 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组，即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下，3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基，则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ，(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1） (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 12,,,m ααα欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对n m -作数学归纳法． 当0n m -=时， 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立，即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα，12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <，所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出， 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定． 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组．由归纳法假设知，对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证．2）(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证：(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先，可取 1111ηεε=.一般地，假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ，且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=， 1,2,i m = (4)当m<n 时，因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---， ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=， 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组．从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此，有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理，定理2得证. 注：① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知，若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形（即0,ij t i j =>） 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可以得到将 Rn 中的非零向量化为
单位向量，称为将向量标准化的方法：
若 量.
事实上， 1 1 1 1.
例 如 设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , 则
|T | = || || ·|| || , 线性相关.
其中 , 为 Rn 中的向量， k R .
内 内((积 积 3 3 )) 的 的 的 的性 性 证 证质 质 明 明 (( 1 1 ))证 证明 明 T T = = 当 T T ;; = 0 时 ， | T | | | | | ·| | | | 显 然 成 立 (( 2 2 ))，((以 k k 下 )) T T设 = = k k T T 0 .;; 令 t 是 一 个 实 变 数 ， 作 向 量 (( 3 3 )) (( + + ))T T = = = + T Tt + +. T T ;; 由 (( 4 4 )) T T可 知 0 0 ，,, 不且 且论 t取 T T 何 = =值0 0， 一定 = =有0 0 ..
1
T (1,1,1,1)012 2,
3
T
(1,
1,
1,
1)
0 12
0,
1
T (1, 1, 1, 1)111 4,
等等.
2. 内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 . 其中 , , 为 Rn 中的任意向量，k R .
n
T ai2 i1
如果 || || = 1，则称 为单位向量. 例如，
T
(1,0)T,
2, 2
22
均为 R2 中的单位向量.
2. 长度的性质
(1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ;
(2) || k || = | k | ·|| || ; (3) |T | || || ·|| || , 且
T = ( + t )T ( + t ) 0 . 即
T + 2 T t + T t 2 0 .
内 内((积 积 3 3 )) 的 的 的 的性 性 证 证质 质 明 明 (( 1 1 ))证 证明 明 T T = = 当 T T ;; = 0 时 ， | T | | | | | ·| | | | 显 然 成 立 (( 2 2 ))，((以 k k 下 )) T T设 = = k k T T 0 .;; 令 t 是 一 个 实 变 数 ， 作 向 量 (( 3 3 )) (( + + ))T T = = = + T Tt + +. T T ;; 由 (( 4 4 )) T T可 知 0 0 ，,, 不且 且论 t取 T T 何 = =值0 0， 一定 = =有0 0 ..
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , … , dn)T Rn，
在标准基 1 , 2 , … , n 和基 1 = (1, 0, …, 0)T ,
2 = (1, 1, …, 0)T , … , n = (1, 1, …, 1)T 下的坐标.
解 由于 = (d1 , d2 , … , dn)T = d11 + d22 + … + dnn ,
… , bn)T 为 Rn 中的两个向量，则 b1
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
T = ( + t )T ( + t ) 0 . 即
T + 2 T t + T t 2 0 .
3. 非零向量的单位化
由性质
长度的性质 (1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ; (2 ) || k || = | k | ·|| || ; (3 ) | T | || || ·|| || , 且
由性质 (1) , (2) , (3) 可推出：
( k11 + k22 )T = k11T + k22T , T ( k11 + k2 2 ) = k1T1 + k2T2 .
三、向量的长度
1. 长度的定义
定义 2.19 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称
T 为向量 的长度(或模)，记作 || || . 即
12 12 12 12 2,
12 ( 2 ) 2 0 2 ( 1) 2 6 ,
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵
在 3 维空间 R3 中，向量可以通过其坐标唯一确 定出来，并由此研究向量的性质和向量间的关系. 将 坐标的概念推广到 Rn 中，有
2. 向量在基下的坐标
定义 2.17 设 1 , 2 , … , n 为 Rn 的一组基，