数列的单调性与最值

1 － ＝0， n＋1 7 所以 f(n)是单调递增，故 f(n)的最小值是 f(2)＝ ， 12 7 即数列{bn}的最小项为 . 12 1 1 1 1 1 (3)cn＝ ，可得 Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ ，Sn－Sn－1＝ (n≥ n 2 3 n n 2)， nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝Sn －2＋1， ……
an≥an－1， 由 an≥an＋1，
n
解出 n，
得在局部较大项，然后跟 a1 比较，可得最大项。
（1）求数列的最大项。设数列中除 a1 外最大项为第 n 项
an≥an－1， 由 an≥an＋1，
n
解出 n，
得在局部较大项，然后跟 a1 比较，可得最大项。
（2）求数列的最小项。设数列中除 a1 外最小项为第 n 项
[答案] B
2.邻项比较法
对于n N 若an an 1 , 则｛an｝递增； 若an an 1 , 则｛an｝递减。
见《优化方案》例4
3－ax－3 x≤7， (2013· 太原调研)设函数f(x)＝ x－6 x>7， a
[针对训练]
数列{an}满
足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范 围是________．
an≤an－1， 由 n≥2 a ≤ a ， n n＋1
解出 n，得在局部较小项，然后跟 a1 比
较，可得最小项。
( )． A．83 B．82 C．81 D．80 ＝log3n－log3(n＋1)， n＋1 又 Sn ＝ log31 － log32 ＋ log32 － log33 ＋ … ＋ log3n － log3(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋1)＝－log3(n＋1)<－4，解得 n>34－1＝80，所以 n 的最小值为 81. C 因为 an＝log3
二、填空题 7．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n (n＝1，2，3，…)， 则此数列的通项公式为 an＝________；数列{nan}中数值最
小的项是第________项． 当 n≥2 时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1 时也符合，则 11 2 121 2 an＝2n－11，∴nan＝2n －11n＝2(n－ ) － ，且 n∈N*， 4 8 故当 n＝3 时，nan 最小． 2n－11 3 8．若 f(n)为 n2＋1(n∈N*)的各位上的数字之和，如 142 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则 f(14)＝17，记 f1(n)＝f(n)， f2(n)＝f[f1(n)]，fk＋1(n)＝f[fk(n)](k∈N*)，则 f2013(8)＝ ________. f1(8)＝11， f2(8)＝f[f1(8)]＝f(11)＝5， f3(8)＝f[f2(8)] ＝f(5)＝8，以 3 为周期出现循环，故 f2013(8)＝f3(8)
由已知条件可知：当n≥2时，
)
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n－1) ＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33适合，
∴an＝n2－n＋33. an 33 又 n ＝n＋ n －1， 33 令f(n)＝n＋ n －1，f(n)在[1,5]上为减函数， 53 21 f(n)在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝ ，f(6)＝ ， 5 2 an 21 则f(5)>f(6)，故f(n)＝ n 的最小值为 ，故选B. 2
注意：
f ( x)在[1,)单调递增 an f (n)是递增数列
例如：如图所示。
an
an
1
2
3
4
5 n
1
2
3
4
5 n
递增数列
递减数列
所以如果用这种方法，在运用函数单 调性时，最好要把函数图象画准确，避免 出现偏差。
[典例] 小值为 17 A. 2 C．10
[解析]
an 已知数列{an}满足 a1＝33，an＋1－an＝2n，则 n 的最 ( 21 B. 2 D．21
三、解答题 10．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (1)由 n2－5n＋4＜0，解得 1＜n＜4. ∵n∈N*，∴n＝2，3.∴数列中有两项 a2，a3 是负数． 5 2 9 2 (2)∵an ＝n － 5n＋4＝(n－ ) － 的对称轴方程为 n＝ 2 4 5 . 2 又 n∈N *，∴n＝2 或 n＝3 时，an 有最小值，
（－1）[1－（－1）n] （－1）n－1 列，所以 Sn＝ ＝ . 1－（－1） 2 D
n－ 2011 2．在数列{an}中，an＝ ，则该数列前 100 项 n－ 2012
中的最大项与最小项分别是( A．a1，a50 B．a1，a44 )． C．a45，a44 D．a45，a50
n－ 2011 2012－ 2011 an＝ ＝1＋ ， n－ 2012 n－ 2012 ∴1≤n≤44，{an}单调递减，45≤n≤100，{an}单调递
解析：∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N＋)， 3－a>0， ∴a>1， f8>f7
⇒2<a<3.
答案：(2,3)
二、求数列的最大项、最小项的方法
1.函数图象法
利用对应的函数图象求最值项．
2.单调性法
先判断出数列的单调性，再求最值项。
3.邻项比较法
（1）求数列的最大项。设数列中除 a1 外最大项为第 n 项
或运用方程的性质去观察、分析、解决问题． 函数与方程的思想， 要求我们学会用函数和变量来思考， 学会转化已知与未知的关系． * 已知数列{an}中，a1＝1，且点 P(an，an＋1)(n∈N )在 直线 x－y＋1＝0 上． (1)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 1 (2)若 bn＝ ＋ ＋ ＋…＋ (n∈N，且 n n＋a1 n＋a2 n＋a3 n＋an ≥2)，求数列{bn}的最小项； 1 (3)设 cn＝ ，Sn 表示数列{cn}的前 n 项和．试问：是否存在
数列的单调性与最值问题
数列是一种很有特色的函数， 在高考中，经常需要研究函数的 单调性和最值。实际上，数列的 单调性和最值也是一个热点。
一、数列单调性判断的方法
1.函数图象法
2.邻项比较法
1.函数图象法：
通过观察函数图象、或求导数等方法，判断 出函数的单调性，然后利用函数单调性得数 列的单调性。 即： f ( x)在[1,)单调递增 an f (n)是递增数列
an
关于 n 的整式 g(n)，使得 S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－
1)· g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在， 写出 g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由. (1)由点 P(an，an＋1)在直线 x－y＋1＝0 上，即 an＋1 －an＝1，且 a1＝1，数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等 差数列，an＝1＋(n－1)·1＝n. 1 1 1 (2)令 f(n)＝bn＝ ＋ ＋…＋ ， n＋1 n＋2 2n 1 1 1 1 1 则 f(n＋1)＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ n＋2 n＋3 n＋4 2n＋1 2n＋2 1 1 1 1 1 f(n＋1)－f(n)＝ ＋ － ＞ ＋ 2n＋1 2n＋2 n＋1 2n＋2 2n＋2
n
6．已知数列{an}的通项 an＝n2(7－n)(n∈N *)，则 an 的 最大值是( )． A．36 B．40 C．48 D．50 设 f(x)＝x2(7－x)＝－x3＋7x2，当 x>0 时，由 f′ 14 2 (x)＝－3x ＋14x＝0 得，x＝ . 3
14 14 当 0<x< 时， f′(x)>0， 则 f(x)在(0， )上单调递增； 3 3 14 14 当 x> 时，f′(x)<0，f(x)在( ，＋∞)上单调递减．所 3 3 14 14 * 以当 x>0 时，f(x)max＝f( )．又 n∈N ，4< <5，a4＝48， 3 3 a5＝50，所以 an 的最大值为 50. D