圆的切线专题训练

知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
二、切线的性质及判定
1． 切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：
（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
①切线的判定定理
设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．
l
A
l
A
l
证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=r ②切线的性质定理及其推论
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心
T
O
A
T
M
O
B
A
定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 O A 过圆心， O A 过切点A ，则OA AT ⊥
②经过圆心，垂直于切线⇒过切点
()()12AB M AB MT ⎫⎪
⇒⎬⊥⎪⎭
过圆心为切点
③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心
()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪
⇒⎬⎪⎭
过圆心为切点
考点一、圆的切线的证明
例1、如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是O 的切线。

O
D C
B
A
例2、已知：如图8，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D 。

求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB ＋EB ＝AC
巩固练习、如图，已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，连结CO ．若AD ∥OC 交⊙O 于D ．求证：CD 是⊙O 的切线．
考点二、切线长定理及切线性质的应用
例1、在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点O 在BC 上，以O 为圆心的O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB a =， AC b =，则O 的半径为（ ）
A
、
a b ab + C 、ab a b + D 、2
a b
+ C
F
B
A
例2、如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的O 相切于点E ，9AB =，4CD =，则四边形ABCD 的面积为 。

C
E B
例3、如图，O 为Rt ABC ∆的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =，4BD =，则ABC ∆的面积为 。

C
E
F
B
A
例4、如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，8
GA=。

（1）求G
∠的余弦值；
（2）求AE的长。

D
C
巩固练习：
1、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则:
CF FD=（）
A、1∶2
B、1∶3
C、1∶4
D、2∶
5
F
C
B
A
2、如图，AB是半O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半O上运动，且总保持PQ PO
=，过点Q作O的切线交BA的延长线于点C。

（1）当60
QPA
∠=︒时，请你对QCP
∆的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP AB
⊥时，QCP
∆的形状是三角形；
（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP
∆
一定是三角形。

知识点小结：
【切线的证明】
1、如图，割线ABC 与O 相交于B 、C
两点，D 为O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，
DE 交AC 于G ，ADG AGD ∠=∠。

（1）求证：AD 是O 的切线；
（2）如果242AB AD EG ===，，，求O 的半径。

2、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。

（1）求证：CD 是半圆的切线；
（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

M O
A D
C
B
E
【切线长定理及切线性质的应用】
1、如图，已知ABC ∆中，AC BC =， CAB α∠=（定值），O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、
BC 相切于点P 、Q 。

（1）求POQ ∠；
（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。

N
Q
P O
D
C
B
A
2、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 的半径AO 上运动， PC ⊥AB 交⊙O 于E ，PT 切⊙O 于T ，
PC =2.5。

（1）当CE 正好是⊙O 的半径时，PT =2，求⊙O 的半径； （2）设2PT y =，AC x =，求出y 与x 之间的函数关系式；
（3）△PTC 能不能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC 的面积；若不能，请说明理由。

A
B
直击中考
1、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为
A．4 B．3
2
3C．6 D．3
2、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长
线交于点P，连接PC、BC．
(1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
(2)求证：PC是⊙O的切线．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是。

A
C B
第3题
4、如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN 于点C，F是CD的中点，连接OF。

（1）求证：OD∥BE;
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。

课后练习
1．“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；
C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2． 两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 、2r ，且1r ＜OA ＜2r ，那么点A 在（ ）
A 、⊙1r 内
B 、⊙2r 外
C 、⊙1r 外，⊙2r 内
D 、⊙1r 内，⊙2r 外
3． 一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ） A 、2.5 cm 或6.5 cm B 、2.5 cm C 、6.5 cm D 、5 cm 或13cm
4． 三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定
5． 已知PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，78APB ∠=︒，点C 是O 上异于A 、B 的任
一点，则ACB ∠= ︒
6． 如图，已知O 的直径为AB ，BD OB =，30CAB ∠=︒， 请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论
（除OA OB BD ==外）：① ；② ；
③ ；④ 。

7． 若圆外切等腰梯形()ABCD AD BC ∥的面积为20，AD 与BC 之和为10，则圆的半径为 。

8． 如图，AB 是⊙O 直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，求证：AC 2
=AD ·AB
C O D
B A
9．如图，AB是⊙O的弦，AB=12，PA切⊙O于A，PO⊥AB于C，PO=13，求PA的长。