第一节 数据集中趋势的测度
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表4.6
1.5 1.0 1.8 合计
某餐馆蔬菜采购情况
采购金额（元） 200 400 150 750
200 400 150 750 1.15(元/千克） 200 400 150 650 1.5 1.0 1.8
蔬菜价格（元/千克）
解：
蔬菜的平均采购价格
互动地带
4-13
第一节
k k i 1 k i i i 1 i i k i i 1 i i 1 i
4-8
例4.3 某餐馆午餐账单金额的频数分布见表 4.3所示，试计算该餐馆午餐的平均账单金额。
表4.3 账单金额 （元） 70以下 70－90 90－110 110－130 130－150 150以上 合计 某餐馆午餐账单金额的频数分布 组中值m （元） 60 80 100 120 140 160 — 频数 f （笔） 2 6 4 4 2 2 20 收入 m f (元) 120 480 400 480 280 320 2080
1 (xn xn ) 1 2 2 2
f
2
位次上的变量值所在的组 ）。
f
4-18
Me L
2
CF f
d
例4.8 某月对某市50户居民抽样调查得到的消费品支出资料如表 4.8所示。试计算这50户被调查居民家庭消费品支出额的中位数。 解：计算以下累计频率，中位数的位次为 50/2 = 25。2400~2600 组为中位数组。L=2400元，d =2600元－2400元=200元， f =12户，累 计至中位数组下限的频数CF=24户 。代入公式计算中位数为：
31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 381 31.75(分钟 ) 12 12
互动地带
4-4
第一节
数据集中趋势的测度
x
i 1
由单值式变量数列计算算术平均值：加权算术 平均法 K
x1 f 1 x 2 f 2 x K f K f1 f 2 f K
总体或样本某一标志总 量 算术平均值 总体或样本容量
4-2
第一节
数据集中趋势的测度
x
i 1 N
由原始数据计算算术平均值：简单算术平均法
x1 x 2 x3 x N N
i
或
N
i x1 x 2 x3 x n x i 1 n n 表示总体均值；表示样本算术平均值；总体 x 式中，
4-19
Me L 2
f CF
f
d
=
25 24 2400 200 2416 .67 (元） 12
第一节
数据集中趋势的测度
一 、分位数（quantile）
是在对原始数据按照大小或优劣顺序进行排列的情况下，能够把 全部数据等分为 k 个部分的数据称为 k 分位数。 k 分位数共有 k -1 个。 最常用的分位数有二分位数（中位数）四分位数（quartile）、十分 位数(decile)和百分位数(percentile)等 已知原始数据求分位数 1. 对全部数据按照升序排列（变量值由小到大）； 2. 计算各分位数的位次。对于容量为n 的数据资料，第 p个 k 分位 p 数的位次
x
n
容量为N；样本容量为 n。
4-3
第一节
数据集中趋势的测度
例4.1 某工厂加工某种零件的12名工人完成工作所需的时 间(计量单位：分钟)为 31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 试计算这组数据平均数。 解：这是一组由12名工人所组成的总体数据，它的平均 数计算如下：
4-6
第一节
类别 是 非 合计
数据集中趋势的测度
量化值x 1 0 — 频数f N1 N2 N 频率f/N P Q 1
由是非数据计算算术平均值——比例或成数
按照单值式变量数列求总体是非数据的算术平均值如下：
同样地，可得到样本是非数据的算术平均值
N1 N2 1 0 1 P 0 Q P N N
表4.8 某市50户居民消费品支出情况累计分布表
频数（户） 5 1 8 10 12 7 4 3 50 以下累计频数（户） 5 6 14 24 36 43 47 50 — 按户消费品支出分组（元） 1600~1800 1800~2000 2000~2200 2200~2400 2400~2600 2600~2800 2800~3000 3000以上 合计
推论：对于定序数据，经排序后用1、2、3…或 0、1、2…等定义数据值,可计算定序数据的均值. 互动地带 4-7
x= p
第一节
数据集中趋势的测度
由组距数列计算算术平均值 ：加权算术平均法 K K mi f i mi f i K f i 1 i 1 K mi i N N i 1 f i i 1 或 m f m f f x m n n f x i 是第 i 组的组中值； f i 是 i 组的频数，称为权 式中， k 数；是样本的分组数； K是总体的分组数 。 由组距数列计算的算术平均值是一个近似值。
组中值 （%） 95 105 115 — 网点数 （个） 5 8 2 10 计划销售额 （万元） 1000 8000 1000 145
解：计划完成程度乘以计划销售额等于实际销售额，并 能汇总求和，得到公司实际销售总额。因此，计划销售额指 标应当是我们所要确定的权数w，代入公式计算如下：
xw 95% 1000 105% 8000 115% 1000 10500 105(%) 1000 8000 1000 10000 w
起重吨位分组的数据如表4.1所示。求这10台起重 机械的平均吨位。
表4.1
起重机吨位（吨） x 40 25 10 5 合计
某货场起重机械分布表
频数（台） f 1 2 4 3 10 起重总量（吨） xf 40 50 40 15 145
解：这10台起重机械的平均吨位的计算如下：
40 1 25 2 10 4 5 3 145 14.5(吨） 1 2 4 3 10
4-15
第一节
f
数据集中趋势的测度
f f
x
1. 唯一众数 2. 复众数
x
3. 无众数
x
图4.1 确定众数的三种情况
在组距数列中，由于原始数据的信息丢失较多，由组距数列计算众 数的取值与实际值的差距可能是很大的。
4-16
第一节
数据集中趋势的测度
一 、中位数（median）
也叫中数或中值，是变量值的排序中位置居中的数 值。 中位数把全部数列分成了两部分，每一部分都包含了 50%的数据，其中一部分比中位数小，另一部分比中位 数大。 例如，在处理快艇的5次实验数据中，得到最大速度 值(单位：m／s)的排序结果为：27 30 31 33 35 。显然，31位于这5个数据排位的中间，它就是快艇 最大时速的中位数。 测度中位数的前提条件是数据必须能够排序大小 。因此， 定类数据不能计算中位数。 对一个特定的数列，中位数是必然存在的唯一确定值。
平均零件加工合格率 4 95% 97% 96% 98%
4-14
96.5%互动地带
第一节
数据集中趋势的测度
一 、众数（mode） 也叫众值，是在数据集中出现频数最多或频率 最大的数据值。 众数的测度适用于任何种类(分类数据、数值数据) 的数据。 众数的大小不受极端值大小的影响。 对于原始数据,用定义求众数 : 1.编制单值式变量数列 2.频数最大的组的变量值即众数 对于一个数据集，众数的测算结果会出现三种情 况：唯一一个众数；多个众数；无众数。
计算午餐的近似平均账单金额如下：
4-9
解：首先，计算各组的组中值，见表中内容。然后，
x
m
i 1
k
i
fi
n
2080 104(元） 20
第一节
数据集中趋势的测度
权数含义的推广 在组距数列中只要一个指标与变量值的乘积等 于组的总量指标，而且各组的总量指标能够加总求 和，那么这个指标就可以作为权数计算分组数据的 算术平均值。因此，用广义权数计算均值的公式为：
2710、2755、2850 2880、2880、2890 2920、2940、2950 3050、3130、3325
最小值
箱形图（box plot） 是用图示形式表达五数概括法的图形 。绘制方法是，首先找出最 小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值5个数值在坐标上 的位置，然后连接相邻的两个四分位数画出两个箱子，再将两个极 端值与两个箱子连接。
i
fi
N
或
x
x1 f1 x2 f 2 x k f k f1 f 2 f k
x
i 1
k
i
fi
n
源自文库
x i 是第 i 组变量值； f i 是 i 组的频数，称为权数； 式中， k 是样本的分组数； K是总体的分组数 。
4-5
例4.3 某货场有10台起重机械，按照它们的
4-11
第一节
数据集中趋势的测度
调和平均：算术平均的另一种形式 当已知各组总量指标C(=xf,或=xw)和变量x时， 可用调和平均法计算分组数据的均值：
xw c w c
或
x
xw c w c x
x
4-12
例4.6 某餐馆采购员，一天内在三个集市采购的同 一种蔬菜的数据如表 4.6 所示，求该采购员当天采 购的这种蔬菜的平均价格。
第四章 数据分布特征的测度
学习目的： 熟悉数据集中趋势测度的主要指标的含义和应 用条件，熟练掌握算术平均值的计算方法； 熟悉数据离散程度主要测度指标的含义，熟练 掌握标准差和变异系数的计算和应用； 了解数据的偏态和峰度的含义及其测度方法。
4-1
第一节
数据集中趋势的测度
数据的集中趋势（central tendency） 是指某一总体或样本的数据向某一中心值集 中或靠拢的趋势。 一 、算术平均值（arithmetical mean） 也叫算术平均数，简称平均数、均值或均数 （mean），是指总体或样本中平均每一个体的 某一标志数值，因而表现为总体或样本的某一 标志总量与总体或样本的容量的比值，它的基 本计算公式如下：
xw w x w w
或
xw w x x w w
4-10
例4.5 某公司15个销售网点销售年度计划完成 情况分布如表4.5所示，试求公司平均销售计划完 成程度。
表4.5
计划完成程度（%） 95-100 100-110 110-120 合计
某公司年度销售计划分布表
4-17
第一节
数据集中趋势的测度
由原始数据求中位数 1.排序数据 2.确定中位数位次，求中位数
中位数位的位次是 n 1 。 2 当数据个数 n 为奇数时，中位数确定为：
M e x n 1
2
当为 n 偶数时，有两个位次上的数值在中间，中位数用这两个数值的简单算术平均 值表示：
Me
由组距数列求中位数 1.计算一下累计频数，判断中位数组（即 2.用公式计算中位数：
数据集中趋势的测度
二、几何平均值（Geometric mean） 如果变量值的乘积具有某种现实意义，我们可 以使用几何平均法求变量的平均指标。
G n x1 x2 x3 xn n
x
i 1
n
i
例4.7 某加工厂加工某种零件需要经过四道工序， 各道工序加工零件合格率分别是95%、97%、96% 和98%，求加工这一批零件的平均合格率。 解：
i
3. 确定或计算各分位数的值。如果 i 不是整数，则向上取整，用比 i 大的下一个整数代表第 p 个分位数；如果 i 是整数，则第 p 个分位 数是 i 第项和第 (i 1) 项数值的算术平均值。
4-20
k
n
p 1,2,3,, k 1
第一节
五数概括法
数据集中趋势的测度
利用3个四分位数再加上最大值和最小值2个总共5个数值就能够 简单地概括出一组数据分布的特征，用于分析数据的方法 。 例4.10 某行业业务经理每月起薪的抽样调查资料的排序如下：（单位： 元）2710、2755、2850、2880、2880、2890、2920、2940、 2950、3050、3130、3325 。 解：首先把数据按照由小到大进行排序，再确定最小值、下四分位数、 中位数、上四分位数和最大值，如下所示：
1.5 1.0 1.8 合计
某餐馆蔬菜采购情况
采购金额（元） 200 400 150 750
200 400 150 750 1.15(元/千克） 200 400 150 650 1.5 1.0 1.8
蔬菜价格（元/千克）
解：
蔬菜的平均采购价格
互动地带
4-13
第一节
k k i 1 k i i i 1 i i k i i 1 i i 1 i
4-8
例4.3 某餐馆午餐账单金额的频数分布见表 4.3所示，试计算该餐馆午餐的平均账单金额。
表4.3 账单金额 （元） 70以下 70－90 90－110 110－130 130－150 150以上 合计 某餐馆午餐账单金额的频数分布 组中值m （元） 60 80 100 120 140 160 — 频数 f （笔） 2 6 4 4 2 2 20 收入 m f (元) 120 480 400 480 280 320 2080
1 (xn xn ) 1 2 2 2
f
2
位次上的变量值所在的组 ）。
f
4-18
Me L
2
CF f
d
例4.8 某月对某市50户居民抽样调查得到的消费品支出资料如表 4.8所示。试计算这50户被调查居民家庭消费品支出额的中位数。 解：计算以下累计频率，中位数的位次为 50/2 = 25。2400~2600 组为中位数组。L=2400元，d =2600元－2400元=200元， f =12户，累 计至中位数组下限的频数CF=24户 。代入公式计算中位数为：
31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 381 31.75(分钟 ) 12 12
互动地带
4-4
第一节
数据集中趋势的测度
x
i 1
由单值式变量数列计算算术平均值：加权算术 平均法 K
x1 f 1 x 2 f 2 x K f K f1 f 2 f K
总体或样本某一标志总 量 算术平均值 总体或样本容量
4-2
第一节
数据集中趋势的测度
x
i 1 N
由原始数据计算算术平均值：简单算术平均法
x1 x 2 x3 x N N
i
或
N
i x1 x 2 x3 x n x i 1 n n 表示总体均值；表示样本算术平均值；总体 x 式中，
4-19
Me L 2
f CF
f
d
=
25 24 2400 200 2416 .67 (元） 12
第一节
数据集中趋势的测度
一 、分位数（quantile）
是在对原始数据按照大小或优劣顺序进行排列的情况下，能够把 全部数据等分为 k 个部分的数据称为 k 分位数。 k 分位数共有 k -1 个。 最常用的分位数有二分位数（中位数）四分位数（quartile）、十分 位数(decile)和百分位数(percentile)等 已知原始数据求分位数 1. 对全部数据按照升序排列（变量值由小到大）； 2. 计算各分位数的位次。对于容量为n 的数据资料，第 p个 k 分位 p 数的位次
x
n
容量为N；样本容量为 n。
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第一节
数据集中趋势的测度
例4.1 某工厂加工某种零件的12名工人完成工作所需的时 间(计量单位：分钟)为 31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 试计算这组数据平均数。 解：这是一组由12名工人所组成的总体数据，它的平均 数计算如下：
4-6
第一节
类别 是 非 合计
数据集中趋势的测度
量化值x 1 0 — 频数f N1 N2 N 频率f/N P Q 1
由是非数据计算算术平均值——比例或成数
按照单值式变量数列求总体是非数据的算术平均值如下：
同样地，可得到样本是非数据的算术平均值
N1 N2 1 0 1 P 0 Q P N N
表4.8 某市50户居民消费品支出情况累计分布表
频数（户） 5 1 8 10 12 7 4 3 50 以下累计频数（户） 5 6 14 24 36 43 47 50 — 按户消费品支出分组（元） 1600~1800 1800~2000 2000~2200 2200~2400 2400~2600 2600~2800 2800~3000 3000以上 合计
推论：对于定序数据，经排序后用1、2、3…或 0、1、2…等定义数据值,可计算定序数据的均值. 互动地带 4-7
x= p
第一节
数据集中趋势的测度
由组距数列计算算术平均值 ：加权算术平均法 K K mi f i mi f i K f i 1 i 1 K mi i N N i 1 f i i 1 或 m f m f f x m n n f x i 是第 i 组的组中值； f i 是 i 组的频数，称为权 式中， k 数；是样本的分组数； K是总体的分组数 。 由组距数列计算的算术平均值是一个近似值。
组中值 （%） 95 105 115 — 网点数 （个） 5 8 2 10 计划销售额 （万元） 1000 8000 1000 145
解：计划完成程度乘以计划销售额等于实际销售额，并 能汇总求和，得到公司实际销售总额。因此，计划销售额指 标应当是我们所要确定的权数w，代入公式计算如下：
xw 95% 1000 105% 8000 115% 1000 10500 105(%) 1000 8000 1000 10000 w
起重吨位分组的数据如表4.1所示。求这10台起重 机械的平均吨位。
表4.1
起重机吨位（吨） x 40 25 10 5 合计
某货场起重机械分布表
频数（台） f 1 2 4 3 10 起重总量（吨） xf 40 50 40 15 145
解：这10台起重机械的平均吨位的计算如下：
40 1 25 2 10 4 5 3 145 14.5(吨） 1 2 4 3 10
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第一节
f
数据集中趋势的测度
f f
x
1. 唯一众数 2. 复众数
x
3. 无众数
x
图4.1 确定众数的三种情况
在组距数列中，由于原始数据的信息丢失较多，由组距数列计算众 数的取值与实际值的差距可能是很大的。
4-16
第一节
数据集中趋势的测度
一 、中位数（median）
也叫中数或中值，是变量值的排序中位置居中的数 值。 中位数把全部数列分成了两部分，每一部分都包含了 50%的数据，其中一部分比中位数小，另一部分比中位 数大。 例如，在处理快艇的5次实验数据中，得到最大速度 值(单位：m／s)的排序结果为：27 30 31 33 35 。显然，31位于这5个数据排位的中间，它就是快艇 最大时速的中位数。 测度中位数的前提条件是数据必须能够排序大小 。因此， 定类数据不能计算中位数。 对一个特定的数列，中位数是必然存在的唯一确定值。
平均零件加工合格率 4 95% 97% 96% 98%
4-14
96.5%互动地带
第一节
数据集中趋势的测度
一 、众数（mode） 也叫众值，是在数据集中出现频数最多或频率 最大的数据值。 众数的测度适用于任何种类(分类数据、数值数据) 的数据。 众数的大小不受极端值大小的影响。 对于原始数据,用定义求众数 : 1.编制单值式变量数列 2.频数最大的组的变量值即众数 对于一个数据集，众数的测算结果会出现三种情 况：唯一一个众数；多个众数；无众数。
计算午餐的近似平均账单金额如下：
4-9
解：首先，计算各组的组中值，见表中内容。然后，
x
m
i 1
k
i
fi
n
2080 104(元） 20
第一节
数据集中趋势的测度
权数含义的推广 在组距数列中只要一个指标与变量值的乘积等 于组的总量指标，而且各组的总量指标能够加总求 和，那么这个指标就可以作为权数计算分组数据的 算术平均值。因此，用广义权数计算均值的公式为：
2710、2755、2850 2880、2880、2890 2920、2940、2950 3050、3130、3325
最小值
箱形图（box plot） 是用图示形式表达五数概括法的图形 。绘制方法是，首先找出最 小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值5个数值在坐标上 的位置，然后连接相邻的两个四分位数画出两个箱子，再将两个极 端值与两个箱子连接。
i
fi
N
或
x
x1 f1 x2 f 2 x k f k f1 f 2 f k
x
i 1
k
i
fi
n
源自文库
x i 是第 i 组变量值； f i 是 i 组的频数，称为权数； 式中， k 是样本的分组数； K是总体的分组数 。
4-5
例4.3 某货场有10台起重机械，按照它们的
4-11
第一节
数据集中趋势的测度
调和平均：算术平均的另一种形式 当已知各组总量指标C(=xf,或=xw)和变量x时， 可用调和平均法计算分组数据的均值：
xw c w c
或
x
xw c w c x
x
4-12
例4.6 某餐馆采购员，一天内在三个集市采购的同 一种蔬菜的数据如表 4.6 所示，求该采购员当天采 购的这种蔬菜的平均价格。
第四章 数据分布特征的测度
学习目的： 熟悉数据集中趋势测度的主要指标的含义和应 用条件，熟练掌握算术平均值的计算方法； 熟悉数据离散程度主要测度指标的含义，熟练 掌握标准差和变异系数的计算和应用； 了解数据的偏态和峰度的含义及其测度方法。
4-1
第一节
数据集中趋势的测度
数据的集中趋势（central tendency） 是指某一总体或样本的数据向某一中心值集 中或靠拢的趋势。 一 、算术平均值（arithmetical mean） 也叫算术平均数，简称平均数、均值或均数 （mean），是指总体或样本中平均每一个体的 某一标志数值，因而表现为总体或样本的某一 标志总量与总体或样本的容量的比值，它的基 本计算公式如下：
xw w x w w
或
xw w x x w w
4-10
例4.5 某公司15个销售网点销售年度计划完成 情况分布如表4.5所示，试求公司平均销售计划完 成程度。
表4.5
计划完成程度（%） 95-100 100-110 110-120 合计
某公司年度销售计划分布表
4-17
第一节
数据集中趋势的测度
由原始数据求中位数 1.排序数据 2.确定中位数位次，求中位数
中位数位的位次是 n 1 。 2 当数据个数 n 为奇数时，中位数确定为：
M e x n 1
2
当为 n 偶数时，有两个位次上的数值在中间，中位数用这两个数值的简单算术平均 值表示：
Me
由组距数列求中位数 1.计算一下累计频数，判断中位数组（即 2.用公式计算中位数：
数据集中趋势的测度
二、几何平均值（Geometric mean） 如果变量值的乘积具有某种现实意义，我们可 以使用几何平均法求变量的平均指标。
G n x1 x2 x3 xn n
x
i 1
n
i
例4.7 某加工厂加工某种零件需要经过四道工序， 各道工序加工零件合格率分别是95%、97%、96% 和98%，求加工这一批零件的平均合格率。 解：
i
3. 确定或计算各分位数的值。如果 i 不是整数，则向上取整，用比 i 大的下一个整数代表第 p 个分位数；如果 i 是整数，则第 p 个分位 数是 i 第项和第 (i 1) 项数值的算术平均值。
4-20
k
n
p 1,2,3,, k 1
第一节
五数概括法
数据集中趋势的测度
利用3个四分位数再加上最大值和最小值2个总共5个数值就能够 简单地概括出一组数据分布的特征，用于分析数据的方法 。 例4.10 某行业业务经理每月起薪的抽样调查资料的排序如下：（单位： 元）2710、2755、2850、2880、2880、2890、2920、2940、 2950、3050、3130、3325 。 解：首先把数据按照由小到大进行排序，再确定最小值、下四分位数、 中位数、上四分位数和最大值，如下所示：