2021年新高考数学专题练习--第6章第2讲 平面向量的数量积及应用

2021年新高考数学专题练习--

第六章 平面向量

第二讲 平面向量的数量积及应用

练好题﹒考点自测

1.[改编题]下列说法正确的个数为

( )

(1)向量在另一个向量方向上的投影是数量,而不是向量.

(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量. (3)由a ·b=0可得a=0或b=0. (4)(a·b)·c =a·(b·c ).

(5)两个向量的夹角的范围是[0,π

2].

A.2

B.3

C.4

D.5

2.[易错题]已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ,则“a ·b>0”是“θ为锐角”的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.[2019全国卷Ⅱ,5分]已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )

A.-3

B.-2

C.2

D.3

4.[2020全国卷Ⅲ,5分]已知向量a ,b 满足|a |=5,|b|=6,a ·b=-6,则cos= ( ) A.-31

35

B.-19

35

C.17

35

D.19

35

5.[2020山东,5分]已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )

A.(-2,6)

B.(-6,2)

C.(-2,4)

D.(-4,6)

6.[2020青岛市质检][多选题]已知向量a +b=(1,1),a -b=(-3,1),c =(1,1),设a ,b 的夹角为θ,则 ( )

A.|a |=|b |

B.a ⊥c

C.b ∥c

D.θ=135°

7.[2020全国卷Ⅱ,5分]已知单位向量a ,b 的夹角为45°,k a -b 与a 垂直,则k= . 8.[2021合肥市调研检测]已知a =(1,1),b =(2,-1),则向量b 在a 方向上的投影等于 . 9.[2017全国卷Ⅰ,5分]已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |= .

拓展变式

1.(1)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影是 ( )

A.-3√5

B.-3√22

C.3√5

D.

3√22

(2)[2021大同市调研测试]在直角三角形ABC 中,直角边AB=3,AC=4,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.-25 B.25

C.7

D.-7

(3)[2017天津,5分]在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .

2.(1)[2021安徽省四校联考]已知向量a =(-1,m),2a +b =(2,3+2m),且(a +b )⊥(a -b ),则实数m 的值为 .

(2)[2020全国卷Ⅰ,5分]设a ,b 为单位向量,且|a +b |=1,则|a -b |= .

(3)[2019全国卷Ⅲ,5分]已知a ,b 为单位向量,且a ·b =0,若c =2a -√5b ,则cos= . 3.[2016天津,5分]已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )

A.-5

8 B.1

8 C.1

4 D.11

8

4.[2020成都市高三摸底测试]△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b ,c .若向量m =(a,-cos A),n =(cos C,√2b -c ),且m ·n =0,则角A 的大小为 ( )

A.π6

B.π

4

C.π

3

D.π

2

5.[新课标全国Ⅰ,5分]已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 22

-y 2

=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是

( )

A.(-√33,√3

3) B.(-√36,√3

6) C.(-2√23

,

2√23

) D.(-

2√33

,

2√33

)

6.(1)[湖南高考,5分]已知点A,B,C 在圆x 2+y 2

=1上运动,且AB⊥BC.若点P 的坐标为(2,0),则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC

⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 ( )

A.6

B.7

C.8

D.9

(2)[2020天津,5分]如图6-2-15,在四边形ABCD 中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-32

,则实数λ的值为 ,若M,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .