七、等价关系与等价类

例题
空集∅上的任何二元关系R都是等价关系， 都是等价关系 例 空集∅上的任何二元关系 都是等价关系，因为 i. (∀x)(x∈∅→xRx) x)(x∈ x)(∀y)(x xRy→yRx） ii. (∀x)(∀y)(x∈∅∧y∈∅∧xRy→yRx） iii.( x)( y)( z)(x∈∅ y∈∅ z∈∅ iii.(∀x)(∀y)(∀z)(x∈∅∧y∈∅∧z∈∅∧ xRy∧yRz→ xRy∧yRz→xRz ） 都恒为真，所以R是等价关系。 是等价关系。 恒为真，所以 是等价关系 另外：集合 上的全域关系R=A × A也是等价关系。 上的全域关系 也是等价关系。 另外：集合A上的全域关系 也是等价关系
定理1 定理
定理1 设给定集合A上的等价关系 上的等价关系R，对于a,b ∈A 定理 设给定集合 上的等价关系 ，对于 aRb iff [a]R=[b]R 证明 1）充分性 ） ∈[b] bRa,又 若[a]R=[b]R，因为a ∈[a]R ，故a ∈[b]R ,即bRa,又R 因为 ∈[a] 是对称的， 是对称的，故aRb. 2）必要性 ） 若 aRb x,x ∀x,x∈[a]R ⇒aRx xRa(∵R是对称的 是对称的) ⇒xRa(∵R是对称的) xRb(∵aRb， 是传递的) ⇒xRb(∵aRb，且R是传递的) bRx(∵R是对称的 是对称的） ⇒bRx(∵R是对称的） ⇒x∈[b]R 即[a]R ⊆[b]R， 同理可得[b] 同理可得[b]R⊆ [a]R 所以， 所以，若aRb ，则[a]R=[b]R
例题
定义在整数集I上的关系 上的关系R={<x,y>|x≡y (mod 3) }， 例 定义在整数集 上的关系 ， 则R是等价关系，并且有 是等价关系， 是等价关系 [0]R={…,-6,-3,0,3,6,…} [1]R={…,-5,-2,1,4,7,…} [2]R={…,-4,-1,2,5,8,…} [3]R={…,-6,-3,0,3,6,…} [0]R= [3]R= [-3]R= … [1]R= [4]R= [-2]R=… [2]R= [5]R= [-1]R=…
上的一个划分。 上的一个划分。 划分 设集合A上有一个等价关系 把与a有等价关系的元素放在 上有一个等价关系R,把与 证明 设集合 上有一个等价关系 把与 有等价关系的元素放在 一起作成子集[a] 则所有这样的子集作成商集A/R 。 一起作成子集 R ，则所有这样的子集作成商集 i. 在A/R={ [a]R | a ∈A}中，a∪[a]R =A 中 ∈A ii. 对于∀a∈A ，由于 是自反的，有aRa成立，即a ∈[a]R ， 对于∀ ∈ 由于R是自反的 是自反的， 成立， ∈[a] 成立 故每个分块都非空。 故每个分块都非空。 iii. A的每个元素只能属于一个分块。(反证 的每个元素只能属于一个分块。 反证 的每个元素只能属于一个分块 反证) 若a∈[b]R 且a∈[c]R，且[b]R ≠[c]R，则 ∈ bRa,cRa成立 成立。 bRa,cRa成立。 由于R是对称的， aRc， 又是传递的， 由于R是对称的，则aRc，R又是传递的，有bRc, 这与题设矛盾。 根据定理， 根据定理，有[b]R =[c]R，这与题设矛盾。 综合上述， 上对应于R的一个划分。 综合上述，A/R是A上对应于 的一个划分。 是 上对应于
定理4 定理
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A上的任意一个划分，确定了A上的一个等价关系。 上的任意一个划分，确定了 上的一个等价关系 上的一个等价关系。 上的任意一个划分
R={<a,b>| a ,b ∈A,且a,b属于同一个分块 i}，可以证明 是A上的等 属于同一个分块S 且 属于同一个分块 ，可以证明R是 上的等 价关系。 价关系。 在同一分块中， 是自反的； 对∀a∈A， a与a在同一分块中，故有 ∈ ， 与 在同一分块中 故有aRa，即R是自反的； ， 是自反的 在同一分块中， 对∀a，b∈A，若aRb ，则a与b在同一分块中，故b与a也必在同一 ， ∈ ， 与 在同一分块中 与 也必在同一 分块中，则bRa，故R是对称的； 是对称的； 分块中， ， 是对称的
证明：设集合 有一个划分 有一个划分S={S1,S2,…,Sm}，现定义关系 证明：设集合A有一个划分 ，
因为 i. ii.
iii. 对∀a,b,c∈A，若aRb，bRc即a与b在同一分块中，b与c在同一分块 在同一分块中， 与 在同一分块 ∈ ， ， 即 与 在同一分块中 i≠j),所以 属于且仅属于一个分块， 与 必 所以b属于且仅属于一个分块 中，因为Si∩Sj=∅(i≠j),所以 属于且仅属于一个分块，故a与c必 因为 在同一分块中，故有 是传递的; 在同一分块中，故有aRc，即R是传递的 ， 是传递的
3. 商集： 商集： 集合A上的等价关系R，其等价类集合{ 上的等价关系 称为A 定义 集合 上的等价关系 ，其等价类集合 [a]R | a∈A}称为 ∈ 称为 关于R的商集 ，记作A/R。 关于 的商集 记作 。 例题2：定义在整数集I上的 例题1：设集合A＝{1,2,3,4}, 关系 例题 ：定义在整数集 上的 例题 R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,4>, 关系R={<x,y>|x≡y(mod 3)}， 关系 ， <4,1>,<3,2>,<2,3>} 求出A/R。 有I/R={[1]R,[2]R,[3]R} [1] ={1,4} [2] ={2,3}
2. 等价类 为集合A上的等价关系 定义 设R为集合 上的等价关系，对∀a∈A，集合 为集合 上的等价关系， ∈ ， [a]R={x | x∈A,aRx}称为元素 形成的R等价类。 ∈A,aRx}称为元素a形成的 等价类。 aRx 元素 形成的 等价类 说明(1)当集合A非空时，由等价类的定义可知[ 是非空的， 说明(1)当集合A非空时，由等价类的定义可知[a]R是非空的， (1)当集合 因为a ∈[a] 因为 ∈[a]R。 (2)任给集合 及其上的等价关系R 必可写出A 任给集合A (2)任给集合A及其上的等价关系R，必可写出A上各元素的 等价类。 等价类。 例题：设集合 ＝ 例题：设集合T＝{1,2,3,4}, 关系 R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,4>,<4,1>,<3,2>,<2,3>} 找出元素1形成的 等价类。 形成的R等价类 找出元素 形成的 等价类。 因为R满足自反 解：1.因为 满足自反、对称、传递性，故为等价关系； 因为 满足自反、对称、传递性，故为等价关系； 2. [1]R={1,4}
3-10 等价关系与等价类
1. 等价关系 定义： 是定义在集合 上的一个关系，如果R是自反的、 是定义在集合A上的一个关系 定义： R是定义在集合 上的一个关系，如果 是自反的、对 称的和传递的，则称 为等价关系。 称的和传递的，则称R为等价关系。 说明： 上的等价关系， 是 的任意元素 的任意元素， 说明：设R是A上的等价关系，a,b是A的任意元素，若<a,b>∈R ， 是 上的等价关系 ∈ 等价于b”。 ，读作“ 等价于 通常我们记作 a~b，读作“a等价于 。 等价关系的 关系图有何特点？ 关系图有何特点？ 例如，平面上的三角形集合中，三角形相似关系是等价关系； 例如，平面上的三角形集合中，三角形相似关系是等价关系； 相似关系是等价关系 上海市的居民集合中，住在同一区的关系也是等价关系。 上海市的居民集合中，住在同一区的关系也是等价关系。 的关系也是等价关系 数中的相等关系，集合间的相等关系，命题演算中的 中的相等关系，集合间的相等关系，命题演算中的 相等关系 间的相等关系 等价关系都是等价关系。 等价关系都是等价关系。 关系都是等价关系
上的等价关系。 故R是A上的等价关系。 是 上的等价关系
例 设A={1,2,3,4,5}，有一个划分 ，有一个划分S={{1,2},{3},{4,5}}，试由划 ， 确定A上的一个等价关系 分S确定 上的一个等价关系。 确定 上的一个等价关系。 我们用如下方法产生一个等价关系R： 解 我们用如下方法产生一个等价关系 ： R1={1,2}×{1,2}={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>} × R2={3}×{3}={<3,3>} × R3={4,5}×{4,5}={<4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} × R= R1∪R2 ∪R3 ={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>, <3,3>, <4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} 从R的序偶表示式中容易验证 是等价关系。 的序偶表示式中容易验证R是等价关系。 的序偶表示式中容易验证 是等价关系 本题中确定等价关系的方法与上述定理4 本题中确定等价关系的方法与上述定理4中所述确定等价关系 的方法实质相同 实质相同。 的方法实质相同。
例题
为整数集， ＝ 例：设I为整数集，R＝{ <x,y> | x ≡ y (mod k) }， 为整数集 ， 证明： 为 上的等价关系 上的等价关系。 证明：R为I上的等价关系。 证明： 任意的a,b,c∈ 证明：对任意的a,b,c∈I, a,b,c 因为a 0× 所以< 1. 因为a-a = 0×k ，所以<a,a> ∈R； a,b>∈ ≡b(mod k)， b=t×k(t是整数 是整数) 2. 若<a,b>∈R，则a≡b(mod k)，有 a-b=t×k(t是整数)，则ba=(-t)× 因此b a k)， b,a>∈ a=(-t)×k，因此b≡a(mod k)，故<b,a>∈R。 3. 若<a,b>∈R，<b,c>∈R，则a≡b(mod k)，b≡c(mod k)，有aa,b>∈ <b,c>∈ b(mod k)， c(mod k)， 是整数) b= t1×k ，b-c= t2×k(t1,t2是整数)，故a-c=(t1+t2)×k， 从而a c(mod k)， a,c>∈ 从而a≡c(mod k)， 故<a,c>∈R。 自反的、 由1，2，3知，R在I上是自反的、对称的和传递的，从而R是I上 上是自反的 对称的和传递的，从而R 的等价关系。 的等价关系。 x－y能被 整 － 能被 能被k整 除
定理2 定理
定理2* 设R是集合 上的等价关系，则对于所有 是集合A上的等价关系 定理 是集合 上的等价关系，则对于所有a,b ∈A ，或者 或者[a] [a]R=[b]R或者[a]R ∩[b]R= ∅。 证明： 如果A= ∅，结论一定成立。现设A≠ ∅， 结论一定成立。现设A≠ 证明： 如果 或者[a] 对∀a，b∈A，或者[a]R∩[b]R≠∅或者[a]R∩[b]R＝∅。 或者[a] 则存在某元素c 若[a]R∩[b]R≠∅，则存在某元素c∈[a]R∩[b]R , 那末c aRc，bRc， 那末c∈[a]R 且c∈[b]R，即aRc，bRc， 由定理1 =[b] 由定理1知[a]R=[c]R，[b]R= [c]R ∴ [a]R=[b]R 因而定理得证。 因而定理得证。 本定理说明了不同的等价类是不相交的。 本定理说明了不同的等价类是不相交的。
定理5 定理
R1和R2是非空集合 上的等价关系，R1=R2 是非空集合A上的等价关系 上的等价关系， 当且仅当 A/R1=A/R2 。
证明 必要性 若R1=R2 ，对∀a, a∈A，则 ∈ ， [a]R1={x|x∈A,aR1x}= {x|x∈A,aR2x}= [a]R2 ∈ ∈ ∈ ∈ ， 故{[a]R1| a∈A}={[a]R2| a∈A}，即A/R1=A/R2 充分性 若A/R1=A/R2，即{[a]R1| a∈A}={[a]R2| a∈A}， ∈ ∈ ， 对任意[a] 必存在[c] 使得[a] 对任意 R1∈A/R1，必存在 R2∈A/R1,使得 R1= [c]R2 使得 故<a,b>∈R1 ⇔a∈[a]R1∧b∈[a]R1 ⇔a∈[c]R2∧b∈[c]R2 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ <a,b> ∈R2 所以， 类似有R 因此R 所以， R1 ⊆ R2 ，类似有 2 ⊆ R1 ，因此 1=R2
R R
[3]R={2,3}
[4]R={1,4}
[1]R ∩[2]R ∩[3]R= ∅ [1]R ∪[2]R ∪[3]R=I
A/R={[1]R, [2]R , [3]R, [4]R} ={{1,4},{2,3}} [1]R ∩ [2]R = ∅ [1]R ∪ [2]R = A
定理3 定理
定理3 集合A上的等价关系 上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定 可确定A 定理 集合 上的等价关系 ，决定了商集