关于正方体截面形状探究

关于正方体截面形状探究

引题：

问题1：什么叫几何体的截面？

答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？

答：截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？

答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形：

E

A A 1

解析:

如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF

显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析

E

A A 1

一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。

3.是否可以截出直角三角形：

A A 1

解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF

所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际

所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 结论1：用平面去截正方体能截到三边形：

（1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形)

探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形：

分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。

F

A A C 1

做法：

如上图；取正方体一棱AB ，作与棱AB 平行的平面就可以得到一个矩形截面。 2.可以截出正方形:

分析：正方体六个表面都是正方形只要用一平行于原表面的平面去截正方体，就可以得到正方形截面,如图所示。

F

A

A 1

3.可以截出梯形：

分析:用一平面从正方体上表面斜截下，与下底面相交，因为上下两底面平行，由面面平行的性质定理可得EH ∥FG ，只要EH ≠FG,所以可截到梯形。

A

A C 1

4、截面还可以是平行四边形或菱形

A

A 1

如图当AE= C 1F 时四边形A 1ECF 是菱形，调整面A 1ECF 的倾斜方向时四边形A 1ECF 可以是一般的平行四边形 结论2：用平面去截正方体能截到四边形： （1.）长方形；（2.）正方形；（3.）梯形;(4)平行四边形；(5)菱形。 探究3：截面多边形的边数最多有几条？ 解析：

因为正方体有六个面，所以它与平面相交最多有六条交线，

即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形,六边形。 探究4:截面可能是正多边形吗？可能有几种？ 答：截面是正多边形有3种可能。

有正三角形，正方形，正六边形。如图所示

E

A

A 1

F

A

A 1

J

A

A C 1

E 、

F 、

G 、

H 、

I 、

J 分别是所在边的中点时六边形EFGHIJ 是正六边形 当截面是五边形时不可能是正五边形

如图：由面面平行的性质，五边形EFGHI 中必有E F ∥HI,G F ∥EI 所以五边形EFGHI 不可能是正五边形。

E

H

A

A 1

总结；

1.用平面去截正方体能截到三角形：

（1）等腰三角形，(2)三角形，(3)普通三角形；(不能截出直角三角形) 2.用平面去截正方体能截到四边形： （1）长方形、（2）正方形、（3）梯形、（4）平行四边形（5）菱形 3. 用平面去截正方体能截到三角形、四边形、五边形、六边形。 4.用平面截正方体可以截得的正多边形有正三角形、正方形、正六边形。 试题设计

1用平面去截正方体所得截面的形状可能有------ 2用平面去截正方体所得截面的边最多有------条

3用平面去截正方体所得截面可能有的正多边形有------ 可以设计成选择题或填空题