横截面上的应力
第三节轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
缩时的横截面上的正应力计算公式为
FN A
为横截面上的正应力；FN 为横截面上的内力（轴 式中，
力）；A 为横截面面积。 正应力的正负号与轴力的正负号一致。即拉应力正， 压应力为负。
例 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷F =20kN的作用， 如图4-7a所示。已知h = 25mm，h0 = 10mm，b = 20mm。试求
k
p
为帕（Pa)。常用的还有kPa、MPa、GPa，其中1kPa =103Pa，
1MPa =106Pa，1GPa=109Pa 。工程上常用单位是MPa(N／m2)
二、轴向拉伸与压缩时杆 横截面上的正应力
a c
1、观察变形
横向线ab 和cd在杆件变形过程
中始终为直线，只是从起始位置平
c′
b
a) a′
A = (h-h0 )b = (25-10)
则杆件内的最大正应力 max 为
×20mm2 =
300mm2
max =
F A
N
20 10 = MPa = -66.7MPa 300
3
负号表示最大正应力为压应力。
正应力垂直于横截面的应力表示切应力相切于横截面的应力表示在国际单位中应力的单位是nm1观察变形横向线ab和cd在杆件变形过程中始终为直线只是从起始位置平移到ab和cd的位置但仍垂直于杆轴线
第三节 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
一、应力的概念
1、定义：内力在截面上分布的集度称为内力 2、分类：正应力—垂直于横截面的应力 用 表示 切应力—相切于横截面的应力 用 表示 图4-5 在国际单位中，应力的单位是N／m2，称为帕斯卡，简称
杆内的最大正应力。
F
扭转时横截面上的应力
第三节扭转时横截面上的应力一、应力分布规律为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。
下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。
取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。
在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。
两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度ϕ，叫做相对扭转角，见下图。
观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。
所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。
由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。
下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。
为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。
假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动dϕ，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。
应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。
设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即所以 (a)由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得(b)将式(b)代入(a)式得(1-40)上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大。
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
5-3拉伸(压缩)时横截面上的应力-正应力
B
F1
F2
Q
N F 20 KN 1 1 200 MPa BC杆： 1 2 A A mm 1 1 100
N F 17 . 32 KN 2 2 86 . 6 MPa 2 2 AB杆： A A 200 mm 2 2
2 p cos cos
为横截面正应力
p sin sin cos sin 2
2
第三节 拉伸（压缩）时横截面 上的应力——正应力
第三 节 拉伸或压缩杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力 称为应力。 在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
2 1Pa 1N/ m
2 6 1 MPa 1 N /mm 10 Pa
P P cos 这是斜截面上与 p cos A A 轴线平行的应力
P
n pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
利用投影关系，
沿切线方向的应力为剪应力
（2）、计算机各段的正应力
AB段：
3 F 50 10 1 MPa 125 MPa AB A 400 1
3 F 30 10 2 MPa 100 MPa BC段： BC A 300 2
3 F 10 10 3 MPa 33 . 3 MPa CD段： CD A 300 2
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
横截面上的应力知识点总结
横截面上的应力知识点总结1. 横截面应力的定义横截面应力是指作用在材料截面上的内部力对单位面积的作用。
它是一个矢量，具有大小和方向。
在力学分析中，横截面应力通常用符号σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。
横截面应力的大小和方向取决于截面上的受力情况，包括拉伸、压缩、弯曲和剪切等。
2. 横截面应力的计算方法计算横截面应力的方法有很多种，常用的包括静力学方法、弹性力学方法和有限元法等。
在静力学方法中，可以使用平衡方程和横截面的几何形状来计算应力。
在弹性力学方法中，可以利用材料的弹性性质和变形关系来计算应力。
有限元法是一种数值计算方法，通过离散化截面和应力场来求解应力分布。
3. 横截面应力的分布规律横截面应力的分布规律是指应力在截面上的分布情况。
在拉伸和压缩的情况下，横截面应力通常呈现线性分布，即在截面上的应力随着距离的增加而线性变化。
在弯曲和剪切的情况下，横截面应力则呈现非线性分布，即应力随着距离的增加而不断变化。
4. 横截面应力的影响因素横截面应力的大小和分布受到多种因素的影响，包括受力的形式、材料的性质和截面的几何形状。
在拉伸和压缩的情况下，应力的大小取决于受力材料的强度和刚度。
在弯曲和剪切的情况下，应力的分布受到截面几何形状和横截面惯性矩的影响。
5. 横截面应力的实际应用横截面应力的研究在工程设计和材料科学中有着广泛的应用。
比如，在结构设计中，需要通过计算横截面应力来确定构件的尺寸和材料的选择，以确保结构的安全性和稳定性。
在材料科学中，研究横截面应力可以帮助理解材料的力学性能和断裂行为。
总之，横截面应力是力学和材料科学领域中重要的研究内容，它涉及到材料的强度、稳定性和工程设计的安全性。
通过对横截面应力的研究，可以更好地理解材料的受力情况，并为工程设计和材料选择提供依据。
横截面和斜截面上的应力
FN FN
A
即横截面上的正应力计算式为
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大
正应力。
1
2
解:
F
F
①计算轴力
1
2
FN =-20KN ②计算最大的正应力值
A11—1
A22—2
h h0 h
Amin= A2=（h- h0）b=（25 -10）×20mm2= 300mm2
F
F
l1
a1
1. 纵向变形为 l=l1- l 横向变形为 a=a1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。 纵向线应变： l l1 l
ll
横向线应变： a a1 a
aa
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0；
3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即
应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
FP1
m
切应力
K
FP2 m
全应力 p
正应力
二、拉压杆横截面上的正应力
1 1
2 2
轴向拉伸 F
F
轴向压缩 F
1 111
2 2 2 2
F
1 1
2 2
经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍
为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化，
由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设:
平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平 面，仅沿轴向产生了相对平移。
杆件横截面上的应力课件
根据作用力的方向与截面法线的 关系，应力可分为正应力与剪应 力。正应力是指垂直于截面的力 ，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分 布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力 分布是不均匀的，可能存在应力集中 现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大 拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大 弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时 ，会在其横截面上产生扭转变形。扭转 变形的大小与扭矩和横截面面积有关， 计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还 会在横截面上产生扭转变形引起的切应力 。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和 杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面 模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和 分析，得出杆件横截面上的应 力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准 进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进 行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力 分布和大小，评估结构的应力和安全性能。
横截面上的应力分布
XA A YA
FNCD F C
B
d
4 FNCD [ ]
4 45103 3.14160106
18.93103 m 18.93mm
取 d=19mm
35
[例2-5-3] 如图为简易吊车，AB和BC均为圆形钢杆，已知d1=36mm,d2=25mm, 钢的许用应力[σ]=100MPa。试确定吊车的最大许可起重量。 解：(1) 计算杆AB、BC的轴力
4
F3 3
2
F2 FN1 F2
1 1
F1
E
解：
求约束反力 RA=40kN
RA
A
4 B
D 3 C 2
FN2
10kN
F1 F1
DE 段： CD段：
FN1 20kN
40kN
FN2 30 20 10kN
FN
+
BC段：
AB段：
FN3 FN 2 10kN
FN4 RA 40kN
轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。
3、强化阶段ce：
强度极限
b
冷作硬化现象：金属在冷态塑性变形中，使金属的强化
指标，如屈服点、硬度等提高，塑性指标如伸长率降低的现象
e
胡克定律
4、局部颈缩阶段ef
E
E ─ 弹性模量 比例极限
E tg
24
p
0
两个塑性指标: 伸长率:
l1 l0 100% l0 5% 为塑性材料, 5% 为脆性材料 A0 A1 100% A0
FN1 28.3 10 1 π A1 20 2 10 6 4 90 106 Pa 90MPa
第三章 杆件横截面上的应力
ydA
A
E
y2dA EIZ
A
结论 1.中性轴过截面形心
2. 1 M Z
EIZ
3. M z y
Iz
目录
M m
M n
中性轴
z
y
Mzy Iz
MZ:横截面上的弯矩
y:点到中性轴的距离
o
o
IZ:截面对中性轴的惯性矩
dA
z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
mn dx
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
丝中产生的最大应力。设 E 200GPa 。
解 取钢丝作为研究对象，
d 1.0005m 1m
D
max
E
ymax
200 109
0.0005 1
Pa
100MPa
目录
三、截面的几何性质
1.静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
Ip
2 dA
A
A（x2 y 2 )dA I y I x
4.惯性积
I xy
xy d A
A
惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零
如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的 任一对正交轴的惯性积必为零。
目录
例3-6 试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。
第三章 杆件横截面上的应力
第三章 杆件横截面上的应力
❖ 第一节 应力、应变极其相互关系 ❖ 第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上
材料力学 杆件横截面上的应力1
思考：
1. 拉压杆横截面上有没有切应力？ 没有 2. 拉压杆斜截面上有没有切应力？ 有， =？1
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面上的应力 任意截面上的应力 特殊面上的应力 一般面上的应力 特殊
一般
F
p
F
F
FN
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
t sin 2 s sin 2( 90） t
2 2
s
90
•
通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截 面上，垂直于两截面交线的剪应力在数值上必 相等，而方向均指向交线或背离交线。这个规 律就称为剪应力互等定律。
剪应力（切向应力）符号规定： 剪应力以对所研究的脱离体内任何一点均有顺 时针转动趋势的为正，反之为负。
2
FN 1 28.3kN FN 2 20kN
A 1
45°
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1 28.3 103 s1 90MPa A1 20 2 4
FN 1
y
F
FN 2 45° B
F
x
FN 2 20 10 s2 89MPa 2 A2 15
第6章：杆件横截面上的应力分析
除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，
在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。
F
F
F
F
有限元分析的圣维南原理
第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1.2 应力集中
由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在 离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。 但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟 槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增 大，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低且趋于 均匀。 由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为 应力集中。
对某一横截面而言，T 为常数， Ip 也是常数，因此横截面上
的切应力是 的线性函数
圆心处 0 0
外表面 max max
max
记
T max TR T Ip Ip Ip / R
Wp
Ip R
——抗扭截面系数
max
T Wp
第六章 杆件横截面上的应力分析
第六章 杆件横截面上的应力分析
假设与推理
平面假设 ：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小 相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截 面之间的距离不变。 扭转圆轴横截面上无正应力，只存在切应力。 受扭圆轴横截面上切应力的计算公式 1. 变形几何关系
变形前 变形后
g
g (ρ)
dj
A1
由截面法易知，吊环的轴力为：
A3 A2 15 F 50 15
FN F 38kN
2.求吊环的最小横截面面积。
f10
f22
50
分别计算孔ϕ22处、销子处和接近凹槽底部处的横截面 面积A1、 A2和A3：
材料力学 杆件横截面上的应力1
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
应力集中
应力集中 应力集中系数
s max K sm
孔边部分的σmax，与未开孔横截面上的平均 应力σm
截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax与杆横截 面上的平均应力σ之比。 应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的 程度。 应力集中系数k只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、 孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。
x 是横截面的位置。 若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？ 为什么？
3-2-1横截面上正应力公式的推导
3-2-1横截面上正应力公式的推导 圣维南(Saint-Venant)原理: 将原力系用静力等 效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略 远处，该影响就非常小。
C
D 2F A
3、计算应力
FN
3F 2F
+ +
O
－
1F
最大应力位于CD段
s max
FNOB 3F s OB (拉) 2A 2A FNBC F s BC (压) 2A 2A FNCD 2 F x s CD (拉) A A 2F s CD (拉) A
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
第五章-杆件基本变形横截面上的应力
l/2
bh3
bh2
IZ 12 W Z 6
x
3) 应力分析：
K
M y m a x K 6MPa ( 压 ) IZ
M
max
W
m ax Z
9MPa
37
例5－4、槽形截面铸铁外伸梁，已知：q=10kN/m，F=20kN， Iz=4.0×107mm4,y2=140mm，y1=60mm，求危险截面最大应力。
ym ax
则公式改写为
max
M W
32
常见截面的抗弯截面系数
d
实心圆截面 W Iz d4/64d3
d/2 d/2 32
空心圆截面 WD3(14)
32
αd D
矩形截面 W Iz bh 3/12bh 2 h/2 h/2 6
h
z y
D d
z y
b
z y
33
(4) 对于中性轴不是对称轴的横截面
第五章 杆件基本变形横截面上的应力
§5-1 拉伸与压缩变形横截面上的应力 §5-2 扭转变形横截面上的应力 §5-3 纯弯曲横截面上的应力 §5-4 横力弯曲横截面上的应力
2
§5-1 拉伸与压缩变形横截面上的应力
横截面上只有 ，无。 F N
变形现象 A
静力学关系 平面假设
dA
A
1
F N1 A1
28.3 103 2 0 2 1 0 6 90MPa
4
2
FN2 A2
20 103 152 106
89MPa
9
§5-2 扭转变形横截面上的应力
一、圆轴扭转横截面上的应力
表面 推断 横截面
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。
如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。
这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。
本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。
第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。
一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。
当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。
(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。
p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。
称为正应力，称为切应力。
在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。
由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。
二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。
若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。
把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。
变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。
变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。
相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。
当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。
1拉压杆横截面上的应力
1拉压杆横截面上的应力6.1.1 应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。
但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。
这说明单凭轴力F N 并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即Ap p ∆∆=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。
当面积无限趋近于零时比值Ap ∆∆的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即 lim 0dAdp A p p A =∆∆=→∆ （6-2） 上式p 定义为C 点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。
其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b ），法向分量称为正应力，用σ 表示；切向分量称为切应力，用τ表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。
因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应力的单位为“帕”，用Pa 表示。
1Pa=1N/m 2, 常用单位为兆帕MPa ，1MPa=106Pa=1MN/mm 2=1N/mm 2，1GPa=109Pa 。
6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab 和 cd ，然后在杆两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形，此时直线ab 、 cd分别平移至a 'b '、 c 'd '且仍保持为直线（图6-2a ）。
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式
a
b
T O1
g
T O2
dj
a dx
b
dx
d/2
O1 E
A
g
g
O2 G
D
dj
G'
D'
g
ρ
tan g
ρ
GG EG
dj
dx
即
g
ρ
dj
dx
扭转
a
T O1
g
a
b
T O2
dj
dx
b
g
ρ
dj
dx
式中 dj——相对扭转角j
dx
沿杆长的变化率，常用j' 来表示，
对于给定的横截面为常量。
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变g 均相同；g 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
扭矩图——显示横截面上扭矩与横截面位置的关系。 杆件各个横截面上扭矩可能不同。找最大扭矩
扭转
例题: 一传动轴如图，转速 n 300 r min ；主动轮输 入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
The End
扭转
等直圆杆扭转时的应力·强度条件
Me
Me
目标： 求切应力
静力平衡 A t dA T
由上式无法得到切应力的值 要利用几何条件和物理条件
t
dA
扭转
一. 横截面上的应力
(问题的几何方面)
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
横截面 上应变 的变化 规律
纯弯曲时横截面产生的应力
纯弯曲时横截面产生的应力引言在工程力学中，纯弯曲是指杆件或构件在受到外力作用下，仅受到弯曲力而不受轴向力和剪切力的影响。
在纯弯曲的情况下，杆件或构件的横截面会产生应力分布。
本文将对纯弯曲时横截面产生的应力进行详细介绍和分析。
理论背景在纯弯曲的情况下，杆件或构件受到的外力会引起材料内部产生应力。
根据工程力学理论，横截面上任意一点处的应力可以通过以下公式计算得出：σ=M⋅y I其中，σ表示应力，M表示弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示截面惯性矩。
应力分布在纯弯曲的情况下，杆件或构件横截面上不同位置处产生不同大小和方向的应力。
根据上述公式可以得知，在距离中性轴越远的位置，产生的应力越大。
而在中性轴上，应力为零。
最大应力在纯弯曲的情况下，横截面上产生的最大应力出现在离中性轴最远的位置。
根据公式可以得知，最大应力出现在距离中性轴最远的点处，即y max。
σmax=M⋅y maxI位置和方向除了最大应力外，横截面上其他位置处的应力也需要考虑。
根据公式可以得知，距离中性轴越远的位置产生的应力越大。
此外，在横截面上不同位置处产生的应力方向也不同。
•在距离中性轴上方的点处，产生的应力为正值；•在距离中性轴下方的点处，产生的应力为负值；横截面形状对应力分布的影响横截面形状是影响纯弯曲时横截面产生应力分布的重要因素之一。
不同形状的横截面会导致不同分布规律和大小的应力。
矩形横截面对于矩形横截面，应力分布规律较为简单。
由于矩形横截面的中性轴位于几何中心，因此最大应力出现在矩形的边缘处。
圆形横截面对于圆形横截面，应力分布规律也相对简单。
由于圆形横截面的中性轴与几何中心重合，因此最大应力出现在圆的边缘处。
其他形状的横截面除了矩形和圆形横截面外，其他形状的横截面会导致更复杂的应力分布。
这是由于不同形状的横截面具有不同的中性轴位置和惯性矩大小。
应力计算实例为了更好地理解纯弯曲时横截面产生的应力，下面给出一个简单的计算实例。
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泊松比ν----在弹性变形范围内，横向线应 变与纵向线应变之间保持一定的比例关系，以
ν代表它们的比值之绝对值。
而横向线应变与纵向线应变正负号恒相反，故
例题6−4 图示一等直钢杆，材料的弹性模量E＝ 210GPa。试计算：(1) 每段的伸长；(2) 每段的 线应变；(3) 全杆总伸长。
p cos cos2
1
τα
pα
sin α
σ sin 2α 2
斜截面上的正应力和切应力分别为：
cos2
分析：
1
2
sin 2
正应力的最大值发生在α = 0的截面，即横截面上，其值为
σα0 σmax σ
当 α π 时对应的斜截面上，切应力取得最大值
解：(1)取节点A为脱离体，受力如图
Fy 0 Fx 0
FNAC
5 65 3
108.33kN
4
FNAB
65 3
86.67kN
B
(2)AB杆的横截面面积为AAB=300 3m mm2，AC杆为10号槽钢，由型钢 表(附表II，表3)查出横截面面积 为AAC =12.7cm2 ＝12.7×10-4m2。
§6−4 斜截面上的应力
研究目的：找出过一点哪一截面上应力达到最大 以作为强度计算的依据。
n－n截面的轴线方向的内力 F
nm
F
F F
F
斜截面面积
Aα
A cosα
F
斜截面上的应力pα为：
m
n
n α
Fα
n
n
σα
α
α
pα
n τα
pα
Fα Aα
即
p
F A
cos
cos
（a） （b） （c）
第6章 轴向拉伸和压缩
§6−1 轴向拉伸和压缩的概念
受力特点：杆件受与轴线重合的 F
F
外力作用。
变形特点：杆件发生轴线方向的 F
F
伸长或缩短。
§ 6−2 轴力与轴力图
横截面上的内力——轴力
轴力－FN
按截面法求解步骤：
F
Ⅰm
可在此截面处假想将杆截断。
m Ⅰ
保留左部分或右部分为脱离体。 F
Ⅱ
F
FN
A 5kN
B
C
10kN 10kN
2m
2m
D 5kN
2m
10mm （a）
5kN
5kN
FN图
（b）
5kN
解：（1）求出各段轴力，并作轴力图（图b）。
FNAB 5kN FNBC 5kN FNCD 5kN
5kN
C 4m
F
A FNAB
F A
FNAC
例题2−4图
(3) 求出AB杆和AC杆的应力分别为
AB
FNAB AAB
86.67 103 300 106
288.9106 Pa
288.9MPa
AC
FNAC AAC
108.33103 12.7 104
85.03106 Pa 85.03MPa
20kN
A 600
B 300C
500 D 400 E
（b） FR A
（c） FR A
（d） FR A
（e）
1 40kN 2 55kN
4
3
1
BC 2
D 3
4
1 FN1 1 40kN
（f） 2
FN2
FN44 4
B2 50
FN3 3 25kN 3D
20kN E
20kN
20kN
（g）
10
5 例题6−1图
20 FN 图 （ kN ）
4
ταπ 4
τmax
σ 2
§6−5 拉压杆的变形、胡克定律
一.拉压杆的变形
F
d1 d
F
l l1
杆件的纵向（a伸） 长或缩短：
杆件的横向伸长或缩短：
纵向线应变： l
l
横向线应变： d
d
F
d1
d
l l1 （b）
Δ l l1 l Δ d d1 d
F
△l和△d 伸长为 正，缩短为负
横截面上的应力：
m F
F F
FN
m ac
a'
c'
b'
d''
bd
σ
FN
σ
F （a）
F （b）
（c） F
（d）
变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面 且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。
拉压杆横截面上正应力计算公式：
考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由 表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设—— 杆件的任一横截面上各点的变形是相同的。
用简便法求轴力：
任一横截面上的轴力等于该截面一侧上所有轴 向外力的代数和。背离该截面的外力取+号，指 向该截面的外力取-号。
§6−3 横截面上的应力
推导应力公式的方法：
1.由变形几何关系找出应变与所在位置的 关系。
2.由物理关系既应力与应变的关系，找出 应力与所在位置的关系。
3.由静力关系找出应力与内力的关系。
拉应变为正，压 应变为负。
二.胡克定律
在弹性范围内
Δl Fl A
引入比例常数Ｅ， 又F = FN，得到胡克定律：
Δl FNl EA
ε σ 或 σ Eε E
弹性模量E，其单位为Pa。其值与材料性质有关，是 通过实验测定的，其值表征材料抵抗弹性变形的能力。
EA——拉伸（压缩）刚度。
FN1 F
（b）
FA
m B 2F
n CF
m
n
在n −n处将杆截开，仍取左段为脱离体
A F
B 2F
n FN2
n
Fx 0 FN2 2F F 0
（a） （c）
FN F
FN 2 F
F
x （d）
例题6−1 一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆 的轴力图。
（a）
40kN 55kN 25kN
坐标轴为x轴，称为基线，其值代表截面位置， 取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。 正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。
例题：一等直杆及其受力情况如图a所示，试作 杆的轴力图。
FA
m B 2F
n CF
（a）
m
n
解：假想用一平面沿m −m处将杆截开，设取左段为脱离体
A F
m
FN1 m
Fx 0
根据力与变形间的物理关系，得到变形相同
时，受力也相同。
通过静力学关系，得到以内力表示的应力计
算公式。
FN
σdA σ dA σA
A
A
拉压杆横截面上正应力σ计算公式:
σ FN A
拉应力为正，压应 力为负。
例题6−3 图示为一简单托架，AB杆为钢板 条，横截面面积300mm2，AC杆为10号槽钢， 若F=65kN，试求各杆的应力。
（a） （b）
FN
移去部分对保留部分的作用，
Ⅱ
பைடு நூலகம்
F
（c）
用内力来代替，其合力为FN。
Fx 0, FN F 0, FN F
列平衡方程。
符号规定：引起杆件纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力， 引起杆件纵向缩短变形的轴力为负，称为压力，
轴力图
轴力图的作法： 以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的