横截面上的应力

p cos cos2
1
τα

pα
sin α

σ sin 2α 2
斜截面上的正应力和切应力分别为：
cos2
分析：


1
2
sin 2
正应力的最大值发生在α = 0的截面，即横截面上，其值为
σα0 σmax σ
当 α π 时对应的斜截面上，切应力取得最大值
A 5kN
B
C
10kN 10kN
2m
2m
D 5kN
2m
10mm （a）
5kN
5kN
FN图
（b）
5kN
解：（1）求出各段轴力，并作轴力图（图b）。
FNAB 5kN FNBC 5kN FNCD 5kN
5kN
（a） （b）
FN
移去部分对保留部分的作用，
Ⅱ
F
（c）
用内力来代替，其合力为FN。
Fx 0, FN F 0, FN F
列平衡方程。
符号规定：引起杆件纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力， 引起杆件纵向缩短变形的轴力为负，称为压力，
轴力图
轴力图的作法： 以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的
解：(1)取节点A为脱离体，受力如图
Fy 0 Fx 0
FNAC


5 65 3
108.33kN
4
FNAB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
65 3

86.67kN
B
(2)AB杆的横截面面积为AAB=300 3m mm2，AC杆为10号槽钢，由型钢 表(附表II，表3)查出横截面面积 为AAC =12.7cm2 ＝12.7×10-4m2。
FN1 F
（b）
FA
m B 2F
n CF
m
n
在n −n处将杆截开，仍取左段为脱离体
A F
B 2F
n FN2
n
Fx 0 FN2 2F F 0
（a） （c）
FN F
FN 2 F
F
x （d）
例题6−1 一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆 的轴力图。
（a）
40kN 55kN 25kN
坐标轴为x轴，称为基线，其值代表截面位置， 取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。 正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。
例题：一等直杆及其受力情况如图a所示，试作 杆的轴力图。
FA
m B 2F
n CF
（a）
m
n
解：假想用一平面沿m −m处将杆截开，设取左段为脱离体
A F
m
FN1 m
Fx 0
横截面上的应力：
m F
F F
FN
m ac
a'
c'
b'
d''
bd
σ
FN
σ
F （a）
F （b）
（c） F
（d）
变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面 且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。
拉压杆横截面上正应力计算公式：
考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由 表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设—— 杆件的任一横截面上各点的变形是相同的。
20kN
A 600
B 300C
500 D 400 E
（b） FR A
（c） FR A
（d） FR A
（e）
1 40kN 2 55kN
4
3
1
BC 2
D 3
4
1 FN1 1 40kN
（f） 2
FN2
FN44 4
B2 50
FN3 3 25kN 3D
20kN E
20kN
20kN
（g）
10
5 例题6−1图
20 FN 图 （ kN ）
C 4m
F
A FNAB
F A
FNAC
例题2−4图
(3) 求出AB杆和AC杆的应力分别为
AB

FNAB AAB

86.67 103 300 106

288.9106 Pa
288.9MPa
AC

FNAC AAC

108.33103 12.7 104
85.03106 Pa 85.03MPa
§6−4 斜截面上的应力
研究目的：找出过一点哪一截面上应力达到最大 以作为强度计算的依据。
n－n截面的轴线方向的内力 F
nm
F
F F
F
斜截面面积
Aα

A cosα
F
斜截面上的应力pα为：
m
n
n α
Fα
n
n
σα
α
α
pα
n τα
pα

Fα Aα
即
p

F A
cos

cos
（a） （b） （c）
4
ταπ 4
τmax

σ 2
§6−5 拉压杆的变形、胡克定律
一.拉压杆的变形
F
d1 d
F
l l1
杆件的纵向（a伸） 长或缩短：
杆件的横向伸长或缩短：
纵向线应变： l
l
横向线应变： d
d
F
d1
d
l l1 （b）
Δ l l1 l Δ d d1 d
F
△l和△d 伸长为 正，缩短为负
用简便法求轴力：
任一横截面上的轴力等于该截面一侧上所有轴 向外力的代数和。背离该截面的外力取+号，指 向该截面的外力取-号。
§6−3 横截面上的应力
推导应力公式的方法：
1.由变形几何关系找出应变与所在位置的 关系。
2.由物理关系既应力与应变的关系，找出 应力与所在位置的关系。
3.由静力关系找出应力与内力的关系。
第6章 轴向拉伸和压缩
§6−1 轴向拉伸和压缩的概念
受力特点：杆件受与轴线重合的 F
F
外力作用。
变形特点：杆件发生轴线方向的 F
F
伸长或缩短。
§ 6−2 轴力与轴力图
横截面上的内力——轴力
轴力－FN
按截面法求解步骤：
F
Ⅰm
可在此截面处假想将杆截断。
m Ⅰ
保留左部分或右部分为脱离体。 F
Ⅱ
F
FN
拉应变为正，压 应变为负。
二.胡克定律
在弹性范围内
Δl Fl A
引入比例常数Ｅ， 又F = FN，得到胡克定律：
Δl FNl EA
ε σ 或 σ Eε E
弹性模量E，其单位为Pa。其值与材料性质有关，是 通过实验测定的，其值表征材料抵抗弹性变形的能力。
EA——拉伸（压缩）刚度。
根据力与变形间的物理关系，得到变形相同
时，受力也相同。
通过静力学关系，得到以内力表示的应力计
算公式。
FN
σdA σ dA σA
A
A
拉压杆横截面上正应力σ计算公式:
σ FN A
拉应力为正，压应 力为负。
例题6−3 图示为一简单托架，AB杆为钢板 条，横截面面积300mm2，AC杆为10号槽钢， 若F=65kN，试求各杆的应力。
泊松比ν----在弹性变形范围内，横向线应 变与纵向线应变之间保持一定的比例关系，以
ν代表它们的比值之绝对值。

而横向线应变与纵向线应变正负号恒相反，故

例题6−4 图示一等直钢杆，材料的弹性模量E＝ 210GPa。试计算：(1) 每段的伸长；(2) 每段的 线应变；(3) 全杆总伸长。