圆确定的条件

确定圆的条件教案（蔡飞）

教学内容与过程：

一、创设问题情境，引入新课

1、问题：

车间工人要将一个破损的圆形文物复原，你有办法吗？

2、引入新课：

（1）这个问题就是本节课的学习的一个知识点，相信同学们通过本节课的学习一定能解决这个问题。

（2）出示课题：3.4确定圆的条件

二、探索新知

类比确定直线的条件

我们知道经过一点可以作无数条直线；经过两点只能作一条直线.想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？

1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?（提问）

2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?（提问）

作法：（1）连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；

（2）在直线MN上任取一点O，以O为圆心，以OA为半径作圆，即为所求。

证明：因为O为圆心，OA为半径，所以A在圆上。又因为O在线段的AB的垂

直平分线上，而垂直平分线上的所有点到线段两端点的距离相等，故OB＝OA，

所以B在圆上。

所以，圆O是经过两点A、B的圆。

师：现在，请同学回答以下两个问题：

（1）你是怎样想到上述作法的？（作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确

定了圆心和半径，圆就随之确定。在教学中，解决过已知点作圆的问题，应紧紧

抓住对圆心和半径的探讨，已知圆心和半径就可以作一个圆，这是从圆的定义引

出的基本思路，因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题．由

于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此作

圆的问题又变成了找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能

否确定圆心的位置和圆心的个数.）

（2）经过两个已知点A、B的圆有多少个？其圆心的分布有什么特点?与线段AB

有什么关系？为什么？

（在学生回答后，教师把上述两个问题的结果作一个小结。）

师：“经过两已知点A、B的圆心在线段AB的垂直平分线上”（板书）由于经过已知点A、B的圆，圆心可以取线段AB的垂直平分线上的任意点，圆心不确定，而半径也不确定，所以，“经过两个已知点A、B的圆有无穷多个，圆的大小是不确定的”（板书）。这是很重要的结论，以后经常要用到，希望同学们记下来。

发现新问题：

既然经过两已知点A、B的圆是不确定的，那么经过几个点的圆才是确定的呢？我们将“经过两个已知点A、B”换成“经过三点A、B、C”，这里新增了第三点C。这三点的位置要进行讨论．有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．

解决新问题

怎样才能做出这个圆呢？下面，我们来研究这个问题。2．请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的？你能作出几个这样的圆？

分析：作圆可以先找圆心，前面已学过，经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。这垂直平分线如果设为DE，那么DE上哪一点是既经过A、B两点又经过第三点C的圆的圆心呢？同学们想一下，圆心是否应该在线段AC（或BC的垂直平分线上）呢？那么圆心怎样找呢？

生：圆心应在线段AB的垂直平分线DE与线段BC的垂直平分线FG的交点上。

师：要作经过不共线三点A、B、C的圆，找圆心时，把经过三点A、B、C分解为先要求经过两点A、B，再要求经过两点A、C，两次一结合。问题就得到解决了。这是数学上常用的思考方法。对于这个问题小华是这样做的

作法：

1.连结AB，BC。

2.分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O。

3.以O为圆心、以OA为半径作圆。

⊙O就是所求作的圆。他作的圆符合要求吗？与同伴进行交流。

师：“证明”就是根据“作法”，从理论上说清所作圆确实经过不共线的三点A、B、C。

因为O为圆心，OB为半径，所以B在⊙O上，即⊙O过点B。又因为O在线段AB的垂直平分线上，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以OA＝OB。故A 在⊙O上，即⊙O经过点A。同理，⊙O经过点C。因此，⊙O确实是经过不共线三点

A、B、C的圆。现在，请同学们考虑：经过不共线三点A、B、C的圆只有一个。

生：经过不共线的三点A、B、C的圆只有一个。

师：这就得到了定理“过不共线三点决定一个圆”（板书）。这里的“决定”包含两层意思：一是能够作出一个圆；二是仅能作出一个圆。怎样证明这一个结论？

（1）要证明“存在性”，说明能作出一个圆，这包含刚才的“作法”、“证明”两部分的所有内容。

（2）要证明“唯一性”，说明仅能作一个圆，这由于AB、AC的垂直平分线DE、FG有唯一的交点O，从而圆心O是唯一的。进一步又知OA＝OB＝OC半径是唯一的，所以，这样所作的圆是唯一的，“唯一性”得到了证明。

师：请同学们再考虑，如果三点A、B、C是在同一直线上，那么存在不存在经过三点

A、B、C的圆？考虑一下圆心在哪里？

生：若A、B、C三点共线，线段AB、BC、CA的垂直平分线平行而无交点，因而找不到圆心，于是不存在经过共线三点的圆。（不共线三点能确定一个圆。这里的“不共线”

是极重要的条件，要再一次强调。

引导学生观察

这个圆与三角形的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．

三、应用和拓展

（1）我在黑板上画个圆，把圆心拭去，你们能找到圆心吗？怎样找？为了节省时间，你说一下怎样找圆心就行，试试看。

（2）车间工人要将一个破损的圆形文物复原，你有办法吗？

（3）不共线三点可以确定一个圆，那么三个以上的点呢？如：不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能？什么情况下不能？（用三角形外接圆、圆外、圆内各一点说明四个点或四个点以上未必在同一圆上，如右图所示。）

四、新知巩固

师：我们学会了定理“不共线三点能确定一个圆”有什么用呢？可以用来作出三角形