1.勾股定理与面积问题
勾股定理解析三角形面积和边长之间的关系
勾股定理解析三角形面积和边长之间的关系勾股定理是初中数学中最基础的知识点之一，它指出：在一个直角三角形中，直角边的长度的平方等于另外两条边的长度平方之和。
用数学符号来表示就是：a² + b² = c²，其中c为斜边的长度，a、b为直角边的长度。
该定理的证明方法有很多种，其中最著名的莫过于毕达哥拉斯的证明。
面积和长度的关系三角形是初中数学中的另一个基础知识点，它有许多性质和公式，例如，三角形的面积可以用底边和高来表示，即面积等于底边长度乘以高的长度再除以2，公式可以表示为：S = 1/2 * a * h。
而在勾股定理中，三角形的斜边可以用另外两条直角边的长度表示，此时三角形的面积可以表示为：S = 1/2 * a * b。
三角形的面积公式中的“底边”和“高”都是用长度表示的，而勾股定理中的“直角边”和“斜边”也是用长度表示的。
这就说明，三角形的面积和边长之间存在着某种关系。
为了探究这种关系，我们可以结合勾股定理和三角形的面积公式来进行推导。
在勾股定理中，有c² = a² + b²，两边同时乘以2再除以c²，可以得到：2S/c² = 2ab/c²这里，S表示三角形的面积，c为斜边的长度，a、b为直角边的长度。
式子左边表示三角形的面积与斜边的平方之间的比值，式子右边表示直角边之积与斜边的平方之间的比值。
进一步移项得到：S = ab/c这就是三角形面积和边长之间的关系式。
结论：在任意一个三角形中，其面积等于底边长度和高的乘积再除以2，也等于任意两边长度之积再除以第三边的长度。
这两个公式是等价的。
结语通过对勾股定理和三角形面积公式的推导过程，我们可以发现它们之间存在着紧密的关系。
这不仅可以加深我们对数学知识的理解，还有助于我们更加灵活地运用它们，更好地解决实际问题。
勾股定理与三角形面积的计算
勾股定理与三角形面积的计算勾股定理是数学中一条著名的几何定理，它描述了直角三角形中三个边之间的关系。
根据勾股定理，我们可以通过已知直角三角形的两个边长来计算第三边的长度。
此外，勾股定理还可以应用于计算三角形的面积，为我们解决各种实际问题提供了有力的工具。
一、勾股定理的表述及应用勾股定理可以用以下公式来表述：在一个直角三角形中，设直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
根据勾股定理，我们可以解决多种实际问题。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度为3和4，我们可以通过勾股定理计算出斜边的长度：c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25因此，斜边的长度c为5。
二、三角形面积的计算三角形是几何中常见的形状之一，计算三角形的面积是我们经常遇到的问题之一。
根据勾股定理，我们可以利用三角形的底边和高来计算其面积。
计算三角形面积的公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2。
在这个公式中，底边长度表示为b，高表示为h。
三、应用示例下面以一个具体的应用问题来演示勾股定理和三角形面积的计算。
例题：某个直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，请计算该直角三角形的斜边长度和面积。
解答：根据勾股定理，斜边的长度c可以通过以下计算得到：c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169因此，斜边的长度c为13cm。
接下来，我们根据三角形面积的计算公式来计算面积。
首先需要确定底边和高的长度。
由于直角边5cm和12cm分别垂直于底边，我们可以选择其中任意一条作为底边。
假设我们选择5cm作为底边，12cm作为高。
根据面积计算公式：面积 = 底边长度 ×高 / 2面积 = 5 × 12 / 2面积 = 60 / 2面积 = 30（平方厘米）因此，该直角三角形的面积为30平方厘米。
四、总结勾股定理与三角形面积的计算是几何学中重要的内容之一。
勾股定理的三角形面积计算方法
勾股定理的三角形面积计算方法勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。
根据这个定理，我们可以推导出计算三角形面积的方法。
本文将探讨如何利用勾股定理来计算三角形的面积，并提供一些例题来帮助读者更好地理解。
一、勾股定理简介勾股定理可追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，以其名字命名。
它的数学表达式为：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。
该定理可以用于求解任意直角三角形中的边长，也可以应用于计算三角形的面积。
二、计算三角形面积的方法根据勾股定理，我们可以利用直角三角形的两个直角边的长度来计算其面积。
一般而言，我们可以使用以下公式来计算三角形的面积：面积 = 1/2 * 直角边a * 直角边b其中，直角边a和直角边b分别表示直角三角形的两个直角边的长度。
这个公式的推导过程如下：1. 已知直角边a和直角边b的长度，根据勾股定理可得斜边c的长度：c = √(a² + b²)。
2. 将斜边c代入三角形面积公式：面积= 1/2 * a * b = 1/2 * a * √(c² - a²)。
值得注意的是，我们一般会选择较为简便的方法来计算三角形的面积。
在已知直角边a和直角边b的情况下，可以直接使用公式面积 = 1/2 * a * b来计算三角形的面积。
三、例题解析为了更好地理解利用勾股定理计算三角形面积的方法，我们提供以下例题解析。
例题1：已知直角三角形的直角边a = 3，直角边b = 4，求三角形的面积。
解答：根据上述公式，面积 = 1/2 * a * b。
将已知数据代入公式，可得面积= 1/2 * 3 * 4 = 6。
因此，该直角三角形的面积为6。
例题2：已知直角三角形的直角边a = 5，直角边b = 12，求三角形的面积。
解答：同样地，根据面积 = 1/2 * a * b的公式，代入已知数据可得面积 = 1/2 * 5 * 12 = 30。
怎么用面积证明勾股定理
(° + 鸟)(金+3) = 2x-ab+-c 22 2用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1所示的正方形方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）— 1和（3）— 2所示的两个形状相同 的正方形。
在（3）— 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 在（3）— 2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积） 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：】一「.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形图（1）中图（2）中‘如阿二F 3 - 口）2 + 4x ：必(1)4(4)练习题（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决.49、如图所示，△ ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、 AC 边上的点，且 DE 丄DF ，若BE=12，CF=5.求线段EF 的长。
50如图，在等腰厶ABC 中，/ ACB=90 °，D 、E 为斜边AB 上的点，且/ DCE=45° 求证：DE 2=AD 2+BE 2。
51如图，在△ A BC 中,52如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4,将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部 分厶AFC 的面积是 。
53在厶ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高A D=12，试求BC 边的长.BCCACAB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D=54在厶A BC中,D是BC所在直线上一点，若AB=IO,BD=6,AD=8,AC=17 ，求△ ABC的面积。
55. 若厶ABC三边a b、c满足a2+ b2+ c2+ 338=10a+24b+26c △ ABC是直角三角形吗？为什么？56. 在厶ABC中，BC=1997, AC=1998, AB2=1997+1998，则△ ABC是否为直角三角形？为什么? 注意BC、AC、AB的大小关系。
勾股定理的几何意义从面积关系
勾股定理的几何意义从面积关系勾股定理是几何学中一条重要的定理，它的几何意义不仅仅体现在直角三角形的边长关系上，还可以用来描述三角形的面积关系。
本文将以勾股定理的几何意义为切入点，从面积关系的角度来探讨这一定理。
一、勾股定理的基本形式勾股定理最常见的形式是：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
用公式表示即为：c² = a² + b²，其中c为直角三角形的斜边，a和b为直角三角形的两个直角边。
二、勾股定理的面积关系在直角三角形中，勾股定理不仅仅可以描述边长之间的关系，还能够揭示出三角形的面积关系。
根据勾股定理，我们可以得到以下推论：1. 推论一：直角三角形的面积公式设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理我们可以得到：c² = a² + b²。
进一步推导，可以得到直角三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b，其中S表示三角形的面积。
2. 推论二：直角三角形面积关于斜边的变化规律在直角三角形中，当两个直角边的长度确定时，斜边的长度也随之确定。
我们可以通过勾股定理来分析斜边对于三角形面积的影响。
我们可以看到斜边的长度越大，直角三角形的面积也越大。
这是因为斜边的长度增加，意味着直角三角形的底边和高也会相应增加，从而使面积增大。
当斜边的长度为定值时，直角三角形的面积也达到最大值。
这是因为根据勾股定理可知，斜边与两个直角边之间存在一种最优关系，使得直角三角形的面积取得最大值。
3. 推论三：直角三角形面积关于直角边的变化规律在直角三角形中，当斜边的长度确定时，两个直角边的长度也随之确定。
我们可以通过勾股定理来分析直角边对于三角形面积的影响。
根据勾股定理可知，直角边的长度与斜边的长度呈现一种关联关系。
当一个直角边的长度增加时，另一个直角边的长度会相应减小，从而使直角三角形的面积减小。
反之亦然。
三、勾股定理的应用举例1. 用勾股定理计算直角三角形的面积假设一个直角三角形的直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理来计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，即c = 5。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(学生版)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.322(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.53(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，若a+b=10cm,c=8cm，则Rt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2【变式训练】1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5，则△ABC的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或302直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c=66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD= 12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是()A.54B.74C.154D.254【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC= 3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.34B.1.5 C.53D.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A DE的位置，A D交AB于点F．若△BA F为直角三角形，则AE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DE折叠，点A落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①A 与点E在直线AC的异侧时．如图②，直接写出∠A EB-∠A DC的大小；②A 与点E在直线AC的同侧时，且△A DE的一边与BC平行，直接写出∠ADE的度数．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC∥DM，AB=12，BM=18，求BC的长．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长尺．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为 cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．。
求勾股定理中的三角形面积综合练习题
求勾股定理中的三角形面积综合练习题勾股定理是数学中一项重要的几何定理，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
根据勾股定理，我们可以计算出三角形的边长、角度以及面积等相关参数。
本文将以练习题的形式，通过求解不同的三角形面积问题，加深对勾股定理的理解与掌握。
练习题一：已知直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5cm，BC=12cm，求三角形ABC的面积。
解答：根据勾股定理，可计算出斜边AC的长度：AC = √(AB² + BC²)= √(5² + 12²)= √(25 + 144)= √169= 13由于直角三角形ABC的两条直角边已知，我们可以利用面积公式计算三角形ABC的面积：面积 = 1/2 * 直角边1 * 直角边2= 1/2 * AB * BC= 1/2 * 5 * 12= 30 平方厘米练习题二：已知直角三角形DEF，∠E=90°，DF=8cm，EF=15cm，求三角形DEF的面积和以直角边EF为斜边的矩形面积。
解答：同样根据勾股定理，可以计算出斜边DE的长度：DE = √(DF² + EF²)= √(8² + 15²)= √(64 + 225)= √289= 17三角形DEF的面积可由面积公式计算得出：面积 = 1/2 * 直角边1 * 直角边2= 1/2 * DF * EF= 1/2 * 8 * 15= 60 平方厘米矩形以直角边EF为斜边，所以其长度等于EF，宽度等于直角边DF的长度。
矩形的面积可由公式计算得出：面积 = 长度 * 宽度= EF * DF= 15 * 8= 120 平方厘米练习题三：已知直角三角形GHI，∠H=90°，GH=9cm，HI=40cm，求以斜边HI为直径的圆的面积。
解答：根据勾股定理，可计算出斜边GI的长度：GI = √(GH² + HI²)= √(9² + 40²)= √(81 + 1600)= √1681= 41以斜边HI为直径的圆的半径等于斜边HI的一半，即20cm。
勾股定理的三角形面积公式
勾股定理的三角形面积公式勾股定理是数学中的一条重要定理，它关于直角三角形的边长之间的关系进行描述。
除了直角三角形的边长关系外，勾股定理在计算三角形的面积时也有着重要的应用。
本文将介绍勾股定理的三角形面积公式，并对其应用进行讨论。
一、勾股定理回顾勾股定理是关于直角三角形的定理，描述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边平方的关系。
具体表达为：若a、b、c代表直角三角形的三条边，其中c为斜边，则有a² + b² = c²。
二、三角形面积计算公式三角形是平面几何中最基本的图形之一，计算三角形的面积是常见的几何问题之一。
除了直接使用底和高的方法计算三角形面积外，勾股定理的三角形面积公式也提供了另一种计算方法。
1. 定义设三角形的三边分别为a、b、c，其中c为斜边。
则三角形的面积S 可以通过以下公式计算得到：S = 0.5 * a * b2. 推导为了推导出这个公式，我们首先需要了解三角形的高等于底和高的乘积除以2的面积公式：S = 0.5 * 底 * 高从勾股定理中得知，直角边a与b与斜边c构成了一个直角三角形，我们可以将a作为底，b作为高，代入上述面积公式中，则有： S = 0.5 * a * b这样，我们就得到了勾股定理的三角形面积公式。
三、应用举例现在，我们通过一些具体的例子来说明勾股定理的三角形面积公式的应用。
例1：已知直角三角形的两个直角边长分别为3cm和4cm，求其面积。
解：根据勾股定理可知斜边的长度为5cm（3²+4²=5²）。
将a=3cm，b=4cm代入面积公式，则有：S = 0.5 * 3cm * 4cm= 6cm²所以直角三角形的面积为6平方厘米。
例2：已知直角三角形的斜边长度为10cm，其中一个直角边长为6cm，求其面积。
解：根据勾股定理可知另一个直角边的长度为8cm（10²-6²=8²）。
勾股定理知识详解+典型例题
勾股定理（一）学习目标：1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．知识要点：一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，例：1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．三、直角三角形的性质1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．2.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．四、勾股定理的应用：1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．例题：一、与勾股定理有关的证明1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2二、与勾股定理有关的线段长2、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6三、与勾股定理有关的面积计算3、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．5 C．11 D．16四、利用勾股定理解决实际问题4、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108 B．90 C．180 D．542．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米D．12或（7+）厘米3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A．150 B．200 C．225 D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，计算两圆孔中心A和B的距离为 mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是 m2．13.如图A ，一圆柱体的底面周长为24cm ，高BD 为4cm ，BC 是直径，一只蚂 蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是14.长方体的长、宽、高分别为8cm ，4cm ，5cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm ．15.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？16.某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 米17．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从 A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm ．（结果保留π）A BC三．解答题18．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．19.如图，中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．20．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．21、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．22、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
勾股定理与三角形的面积关系
勾股定理与三角形的面积关系勾股定理是初中数学中最经典的定理之一，它关系到三角形的边长和角度之间的关系。
除此之外，勾股定理还能被应用于计算三角形的面积。
本文将探讨勾股定理与三角形面积的关系，并通过实例说明其应用。
一、勾股定理的定义及应用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，它的数学表述如下：在直角三角形中，直角的边长分别为a、b，斜边的边长为c，那么有a² + b² = c²。
利用勾股定理，我们能够求解未知边长的三角形。
以一个简单的例子来说明：假设我们有一个直角三角形，已知两条直角边的边长分别为3cm和4cm，求斜边的边长。
根据勾股定理，我们可以得出：a² + b² = c²3² + 4² = c²9 + 16 = c²25 = c²因此，斜边的边长c = √25 = 5cm。
通过勾股定理，我们成功求得了三角形的斜边的长度。
二、勾股定理与三角形面积的关系除了求解三角形边长外，勾股定理还能被应用于计算三角形的面积。
在讨论该关系之前，我们先来了解一下三角形的面积公式。
三角形的面积公式为：S = 1/2 ×底 ×高。
其中底表示三角形的底边长度，高表示底边上的高度。
在直角三角形中，底边与高分别为直角边和斜边上的高度。
因此，我们可以借助勾股定理来推导直角三角形的面积公式。
现假设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c。
以a为底边，b为高，代入三角形的面积公式，我们有：S = 1/2 × a × b根据勾股定理，可以得到：c² = a² + b²解方程得到：a² = c² - b²将其代入面积公式，得到：S = 1/2 × (c² - b²) × b整理后可得：S = 1/2 × (c²b - b³)通过以上推导，我们得到了直角三角形面积与两个直角边的关系。
用面积证明勾股定理的原理
用面积证明勾股定理的原理面积证明勾股定理是一种通过对三角形各边的长度进行计算，来验证三条边符合勾股定理的方法。
该方法基于平行四边形面积的性质，可以通过计算三角形各边构成的平行四边形的面积关系，进而推导出勾股定理的原理。
为了证明勾股定理，我们先要了解平行四边形面积的性质。
平行四边形有两条对等的边与一条夹角，我们将这两条对等的边分别称为底边和高。
平行四边形的面积可以通过底边与高的乘积来计算，即S = 底边×高。
我们选取任意一个直角三角形ABC，假设直角边分别为a，b，斜边为c，且直角为C。
首先，我们以c为底边，构造一个平行于直角边a的线段DE，使它与直角边b和斜边c分别交于点D和点E，形成平行四边形ABED。
在这个平行四边形中，线段DE是底边，直角边a是高。
根据平行四边形的面积性质，我们可以计算平行四边形面积S' = DE ×a。
接下来，我们以直角边b为底边，构造一个线段FG，使它与直角边a和斜边c 分别交于点F和点G，形成平行四边形ACGF。
在这个平行四边形中，线段FG 是底边，直角边b是高。
同样地，根据平行四边形的面积性质，我们可以计算平行四边形面积S" = FG ×b。
由于ABED和ACGF是共用一对对等边的平行四边形，它们的面积应该相等，即S' = S"。
因此，我们可以得到以下等式：DE ×a = FG ×b我们将等式两边除以2，得到：(a ×DE) / 2 = (b ×FG) / 2由于直角三角形ABC的面积可以通过斜边c的一半和直角边a与b的乘积来计算，即S = (c ×a ×b) / 2，我们可以将等式转化为：S = S'将S'代入等式，我们可以得到：S = (a ×DE) / 2进一步地，我们可以将DE的长度用斜边c减去GF的长度得到，即DE = c - GF：S = (a ×(c - GF)) / 2通过化简，我们得到：2S = a ×(c - GF)进一步化简为：2S = ac - aGF由于GF的长度等于b，我们可以将等式转化为：2S = ac - ab经过重新排列，我们得到：2S + ab = ac进一步化简为：a²+ b²= c²这正是勾股定理的表达式。
勾股定理专题复习
专题复习一 勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理知识点及典型例题
勾股定理知识点及典型例题一、勾股定理：勾股定理定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数是满足a²+b²=c²的三个正整数a，b，c。
注意，若a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数。
常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13.判断直角三角形的方法有两种：一是如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
二是如果有一个角为90°或两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
具体判断方法是确定最大边（不妨设为c），若c=a+b，则为直角三角形；若a+bc，则为锐角三角形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
勾股定理的作用有四个：一是已知直角三角形的两边求第三边；二是已知直角三角形的一边，求另两边的关系；三是用于证明线段平方关系的问题；四是利用勾股定理，作出长为a，b，c的直角三角形。
二、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，其中常见的是拼图的方法。
具体证明过程如下：在直角三角形ABC中，以BC为底边，作等腰直角三角形ABD，连接AD，则AD=AB，BD=BC。
因此，AB²=AD²+BD²=AD²+BC²，即a²=b²+c²。
1.一个无盖的正方体盒子内有两只昆虫，昆虫甲在顶点C1处，昆虫乙在棱BB1的中点E处。
昆虫乙要在最短时间内捕捉到昆虫甲，可以沿着路径A→E→C1爬行。
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三cb aHG F EDCB A ba cbac cabcab a bc cbaED CBA角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形：ABC30°D CBA ADB CCB DA类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少？ 类型二：勾股定理的构造应用1. 若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_______。
勾股定理与三角形的面积比较利用比例关系解题
勾股定理与三角形的面积比较利用比例关系解题在数学中，勾股定理是一条重要的定理，它描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将探讨如何利用勾股定理及比例关系来解决三角形面积的问题。
1. 勾股定理的介绍勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的定理，它被广泛应用于几何学和物理学中。
勾股定理的表达方式为：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
2. 利用勾股定理解决三角形面积问题在解决三角形面积的问题时，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长，进而求得三角形的面积。
以一个直角三角形为例，假设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理可知，a^2 + b^2 = c^2。
假设三角形的底边长度为x，高边长度为y，则三角形的面积可表示为S = 0.5xy。
我们可以通过比例关系来求解x和y的值。
由于三角形的面积与底边和高边成正比，可以利用比例关系建立方程：x:y = a:b。
通过求解比例关系方程，我们可以得到x和y的具体值。
进而代入面积公式S = 0.5xy中，即可得到三角形的面积。
3. 例题解析假设有一个直角三角形，直角边的长度分别为3和4，求该三角形的面积。
根据勾股定理，斜边的长度可计算为c = √(3^2 + 4^2) = 5。
根据比例关系，我们可以得到x:y = a:b = 3:4。
由此可知，x = (3/4) * 5 = 3.75，y = (4/3) * 5 = 6.67。
代入面积公式S = 0.5xy，即可得到该直角三角形的面积为S = 0.5 *3.75 * 6.67 = 12.5。
4. 总结通过利用勾股定理及比例关系解决三角形面积问题，我们可以简化计算过程并获得准确的结果。
在实际应用中，勾股定理及比例关系经常被用于解决各种几何问题，它们的应用范围十分广泛。
以上便是利用比例关系解题时，结合勾股定理计算三角形面积的方法和步骤。
勾股定理与平行四边形的面积关系
勾股定理与平行四边形的面积关系勾股定理是数学中十分重要的定理之一，常被用于解决与直角三角形有关的问题。
而在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
本文将探讨勾股定理与平行四边形的面积关系。
1. 勾股定理简介勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有a² + b² = c²。
2. 平行四边形的基本概念平行四边形是一种具有两组对边平行的四边形。
它的性质包括对边相等、对角线互相平分和对角线交点连线平分平行四边形。
设平行四边形的底边长为b，高为h，则其面积可以表示为S = b * h。
3. 勾股定理与平行四边形的关系在直角三角形中，我们可以观察到一个有趣的现象：如果我们以直角边为底边，斜边为高，构造一个平行四边形，那么这个平行四边形的面积和直角三角形的面积之间存在着一定的关系。
以直角三角形ABC为例，如下图所示：A|\| \h | \ c| \|____\B a C在该直角三角形中，以边AC为底边，高为h，可以构造一个平行四边形ABCD。
根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积为S = b * h。
而直角三角形ABC的面积可以表示为S' = (1/2) * a * b。
由勾股定理可得 a² + b² = c²，整理得 b² = c² - a²。
这样，我们就可以将平行四边形的面积表示为S = b * h = (c² - a²) * h。
进一步化简，得到S = c²h - a²h。
因此，直角三角形ABC的面积 S' = (1/2) * a * b 可以表示为S' = ((1/2) * a * b) = (1/2)(c²h - a²h) = (1/2)(c² - a²)h，从而我们可以看出，直角三角形ABC的面积与构造的平行四边形ABCD的面积之间存在着这样的关系：直角三角形的面积是平行四边形面积的一半乘以高。
初中数学精品课件：从勾股定理到图形面积关系的拓展
2.如图2，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以 四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S2=36，S3=10， 则S4= 26 .
A D
E
C
B
F
图1
S3 C
D
S4 S2
A
B
S1
图2
D S4
S3
C
E
S2
S5
A
B
S1
S1+S2+S3=S4+S5
直角+作相似的图形 勾股定理
图形面积关系
五、知识拓展
拓展1：如图，两个月牙形的面积之和S1+S2与△ABC 的面积之间存在关系吗？
C
S1 S3
A
S2
B
S1+S2=S3
五、知识拓展
拓展2：如图，Rt△ABC中，分别以它的三边为边向上
作三个正方形，面积之间有怎样的关系呢？
H
F
E S3 N C
S4 G
M
S2 I
C S2D
E
S1 G
D S1 S5
S4
A
A
B
F
S3
B
S1+S2+S4=S3+S5 S1+S4=S2=S3=S5
结合其他知识，细化面积关系.
六、反思悟学
C
S1
S2
ba
c A
B
S3
C
S1
S2
A
B
S3
C
S2 S1
C
S1
S2
A
BA
B
S3
S3
S1
C
S2
《勾股定理》一章的热点问题
《勾股定理》热点问题希望达到的境界：宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天空云卷云舒 线上教学勾股定理后，进行复习，复习方法是，学生自己总结知识点，然后通过做题，发现不会的问题，拍照发给老师，老师通过整理学生的问题，发现有关勾股定理的问题主要以下五种类型.这五种类型也是《勾股定理》一章的热点问题.特总结如下：一．求面积1.等边三角形ABC 的边长为6，（1）计算高AD 的长;（2）计算三角形的面积总结：边长为a 的等边三角形的高是h=23a ，面积S=243a 2. 已知等腰三角形的腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.【方法】：等腰三角形的三线合一3. 已知△ABC 的三边长分别是AB=5,BC=13,AC=12,求△ABC 的面积.【方法指导】已知三角形三边长，求面积时，首先思考运用勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，然后再求面积.4. 已知直角三角形的直角边长为7，周长为56，求另一直角边长和斜边和这个三角形的面积.【分析】本题是运用三角形的周长与三边的关系和直角三角形三边满足勾股定理来解决问题的.5. 测得一块四边形草地的边长如图所示（单位：米），且∠ABC=90°，求这个草地的面积.【分析】求不规则四边形的面积问题：首先通过作辅助线将四边形转化为两个特殊的三角形，然后运用勾股定理逆定理判定两个特殊的三角形是直角三角形，最后运用求直角三角形面积求出不规则四边形的面积.秘诀：掌握住最常用的勾股数有助于解决问题.6. 如图，某会展中心在会展期间准备将高为5m,长为13m,宽为2m 的楼梯上铺上地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要多少元？【分析】这也是求长方形的面积问题.首先要明白这块地毯的长是怎样计算出来的.利用线段的平移法，将横铺的地毯向下平移发现和BC 重合，将竖直铺的地毯向右平移，和AC 重合，所以地毯的长为BC+AC.解决这个问题需要求出BC 的长.7.如图，已知在△ABC 中，点D,E,F 分别是BC,AB,AC 边上的点，且103 DB CD ,CF=CD,BD=BE,AE=AF,AB=12,AC=5, 求△ABC 的面积.【分析】根据比例，设适当的未知数，然后根据条件 求出△ABC 的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC 是直角三角形 ，然后再根据直角三角形面积公式解决问题.8.四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=22EF ，则正方形ABCD 的面积为 【 】A. 12SB. 10SC. 9SD. 8S 【分析】由题意可知EF=S ,AM=2S 2则，AM 的一半就是S 2，小空白矩形的宽就是S S -2,BM=S 2-（S S -2）=S在Rt △ABM 中，由勾股定理得：S S S BM AM AB 98222=+=+= 所以正方形ABCD 的面积是9S.答案：C9.分别以等腰Rt △ACD 的边AD ，AC ，CD 为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AGCE 和DHCF 的面积之和（图中阴影部分）等于Rt △ACD 的面积二．求线段的长1.一木杆在离地面3m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m 处，木杆折断之前有多高？【提示】木杆与地面是垂直关系，运用勾股定理.2.如图，要从电线杆离地面5m 处向地面拉一条长1题为7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）.【分析】隐含条件：电线杆与地面是垂直关系，电线杆，地面，电缆构成直角三角形，运用勾股定理即可解决问题.3.如图，一个圆锥的高AO=2.4,底面半径OB=0.7.AB的长是多少？【分析】圆锥的高垂直于地面，即OA⊥OB，△AOB为直角三角形，有OA,OB 的长，由勾股定理就可以求出AB的长.4.如图，有一个直角三角形纸片ABC，两直角边长AC=3cm,BC=4cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，则CD的长等于.【提示】折叠的性质：折叠前后的线段相等，角相等.即：∠C=∠AED=∠BED=90°，CD=DE.再设适当的未知数，然后再根据勾股定理解决问题.5.如图（1）△ABE和△ACD都是等边三角形，则CE=BD.如图（2）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=3,BC=4,D 是△ABC外一点，且，△ACD 是等边三角形，则BD的长度为.【分析】（1）个图是引子，在第一个图的基础上，解决第（2）图的问题，需要作辅助线，构造两个等边三角形，将求BD的长转化为求CE的长.求CE的长时需要运用勾股定理来解决.6.如图，△ABG,△BCF，△CDE和△DAH为四个全等直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10,EF=2,那么AH= .7.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=2cm,求AC【分析】直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=4,CF=3,求EF的长.9.如图，某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，已知AD=2.3m，AB=2m，现有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m，问：这辆车能否通过厂门？说明理由.【分析】本题可以转化为求线段NE 的长度，然后和2.5m 进行比较即可.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，P 是BC 上一点，且DB=DC ，过BC 上一点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F,已知AD:DB=1:3,BC=46， 则PE+PF 的长是 .A.46B. 6C. 42D.26 【分析】先求出AB,AC ，BD 的长，然后连接DP ，再由面积法求出PE+PF 的长.【解】连接PD ，设AD=x,则DB=DC=3X,在Rt △ADC 中，∠A=90°，由勾股定理得：AC=22x在Rt △ABC 中，∠A=90°，BC=46由勾股定理得：96168x 22222=+=+x BC AB AC x=2∴AC=42;AB=8 DB=DC=6∵ PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F,由面积法得：PF DC PE DB AC BD •+•=•，DB=DC∴PE+PF=AC=42答案：C11.某园艺公司对一块直角三角形的绿地进行改造，如图，测得两直角长AC=8m,BC=6cm,现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，求2题扩充后等腰三角形绿地的周长.【分析】假设扩充后的等腰三角形为△ABE,有三种情况：①AB=AE,②BA=BE ,③ EA=EB.如图①12.如图，直角坐标系中，∠ABC=90°，A （3,0）B （0，-1），以AB 为直角边在AB 边的上方作等腰直角△ABE ，则点E 的坐标是 .三．运用勾股定理进行证明三角形是直角三角形.1.已知a,b,c 分别为△ABC 的三边长，且满足c b a c b a 262410338222++=+++试判断△ABC 的形状.【分析】首先运用移项，将等号右边的整式移到等号的左边，等号右边为0；然后再配方，使等号左边化为几个非负数的和，从而求出a,b,c 的值，然后根据勾股定理逆定理，判断出三角形ABC 的形状.2. 如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,试说明以a+b,h,c+h 为三边组成的三角形是直角三角形.【分析】首先由勾股定理得：222c b a =+，再根据面积法得出ab=ch,然后再分别计算出()()22,h c b a ++；最后运用等量代换变形得出满足勾股定理逆定理的式子，从而说明以a+b,h,c+h 为三边组成的三角形是直角三角形.3.设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a,b 及h, 求证：222111h b a =+4.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=41CD ，求证∠AEF=90°【分析】首先设正方形的边长为a ，则用含a 的式子表示出222;;AF EF AE ,然后再计算两个式子的和是否等于第三个式子，从而判定△AEF 是直角三角形.5.如图，在四边形ABCD 中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°， 求证：∠A+∠C=180°【分析】首先作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理计算出AC 2，然后再计算AD 2和CD 2， 比较三个数是否满足勾股定理逆定理，从而判断出三角形ACD 是直角三角形.最后根据四边形内角和是360°，从而达到解决问题的目的.6.如图，已知在△ABC 中，AB>AC ，AD 是BC 边的高，求证：()2=-2AB-ACBDCDBC【分析】由高得垂直，得90°的直角，从而得出两个直角三角形，并且这两个直角三角形有公共边AD.然后分别在两个直角三角形中由勾股定理求出AD2,则两个式子相等，然后根据平方差进行因式分解，即可达到解决问题的目的.四．作图题1.在数轴上作出20五．挑战题1.已知如图1，△ABC分别以AB,AC为边向△ABC外作正方形ABGE 和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P,FQ⊥AN于Q，判断EP,FQ 的数量关系并证明；如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，分别以AB,CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于M，交BC于N，若EP⊥MN于P，FQ ⊥MN于Q，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.总之，以上问题全部来自学生的一手问题,通过总结发现老师讲过的知识点，学生未必都能掌握，不管是来自课本上的问题，还是基础训练上的问题，还是来自其他资料的问题，作老师的都一视同仁，面面俱到进行讲解.《勾股定理》一章，虽然内容较少，只有两个定理，但是运用广泛，题型千变万化，形式多种多样，但是万变不离其宗，只要我们用心研究，细心探索，相信我们是能解决相关问题的.。
勾股定理求圆环面积
勾股定理求圆环面积
勾股定理是古希腊数学家几何学家勾股曾经发现的一个重要定理，说明在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。
勾股定理被广泛应用于解决几何问题中的平方根，特别是求解圆环的面积。
因为圆环的面积是内圆的面积减去外圆的面积，而两个圆的面积可以用勾股定理求解。
首先要求出两个圆的半径。
由直径确定圆的半径，斜边即为直径的一半。
因此，外圆的半径可以通过直径求得，内圆的半径可以通过内径求得。
接下来，用勾股定理求圆面积。
圆面积可以用公式$S=pi r^2$表示，其中$r$为圆的半径。
根据
勾股定理，外圆的半径$r_1$可以求得，内圆的半径$r_2$也可以求得。
所以，外圆的面积$S_1$可以表示为$S_1=pi r_1^2$，内圆的面
积$S_2$可以表示为$S_2=pi r_2^2$。
最后，圆环面积可以通过以下公式求得：
$S=S_1-S_2$
$=pi r_1^2-pi r_2^2$
因此，通过勾股定理，可以简便地求出圆环的面积。
上述公式仅是简单的用勾股定理求圆环面积的实例，实际过程中也可以使用更复杂的推理方法来求解此类问题。
比如，可以将圆环看作是相邻的两个圆，并通过综合使用弧长、夹角和周长等基本概念来求解圆环的面积。
总之，勾股定理在求解圆环面积中起到了重要作用。
而由于勾股定理具有渊博的知识面和深厚的数学功底，所以可以更全面地解决更复杂的几何问题。
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典例精讲
且HFRN为矩形.
典例精讲
课堂小结
求出相应边长度， 利用公式求面积 巧妙分割，构造 直角三角形求面 积 求“勾股树”形 图形的面积
勾股定理与三角形面积
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优翼微课
初中数学知识点精讲课程
平面直角坐标系中的面积问题
优翼微课
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勾股定理与面积问题
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
典例精讲
类型一：求出相应边长度，利用公式求面积
平面直角坐标系中的图形面积
典例精讲 一：直接利用面积公式求面积
直接利用面积 公式求面积
例1：如图，求△ABC的面积。
y4
解：由图知：A(0,2), B(-2,0),C(3,0)
可得：BC=5，AO=2 则△ABC的面积为： 1 BC AO — · 2 1 = — ×5 ×2 =5 2
3 A 2 C B 1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 1 -1 O -2 -3
y
(方法2）
B
补
5
3
4
C
6 x
典例精讲
三：与图形面积相关的点的存在性问题
例3：在平面直角坐标系中，已知点 A(0,3),B(2,1),C(3,4).在x轴上是否存在点P，使 △OCP的面积为△ABC面积的1.5倍？说明理由。 解：因为S ABC
= S梯形EBCD- S AEB - S ADC 1 1 1 ×2×2— —×1×3 =4 = — ×(3+2)×3— — 2 2 所以S OCP= 1.5S ABC=6 1 即 — OP × CM=6， 又CM=4 2 所以P(3,0)或（-3，0） 所以 OP =3 D A C E O
y
典例精讲
4 D 3 = S梯形OCBD A 2 -1 S OAD- S ADB 1 —×3×1— ×(4+5)×3— =— 2 2 1 1 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O — ×4×1 1 2 =10 -2 -3 -4
解：S四边形OABC
y
B
补
5
3
4
C
6 x
典例精讲
4 D 3 A 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O -11 2 -2 -3 -4
B
M P
P
课堂小结
一：直接利用面积公式求面积
二：利用割补法求图形的面积
三：与图形面积相关的点的存在性问题
典例精讲 二：利用割补法求图形的面积
例2：如图，求四边形OABC的面积。
y
4 3 A 2 1 1 2 O
利用割补法求图 形的面积
B
3
C
4 x
典例精讲
4 B 3A 割 3 2 1 2 1 +— S BEC ×OD ×AD+ — ×(AD+BE)×DE = 2 1 1 D 3 E 1 C x 2 1 1 2 3 4 5 6 + — ×EC×BE-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 1 1 ×1×2+ — ×(2+3)×3+ = — -2 2 2 1 — ×1×3 -3 2 =10 -4 解：S四边形OABC =S OAD+ S梯形ADEB
1、若直角三角形两直角边的比是3：4， 斜边长是20，求此直角三角形的面积。
B A
C
典例精讲
A
B
C
典例精讲
类型二：巧妙分割，构造直角三角形求面积
例2.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3， BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。
典例精讲
典例精讲
类型三：求“勾股树”形图形的面积 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多 人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ABC的斜 边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正 方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3， AC=4，则图中空白部分的面积是 .