1.勾股定理与面积问题
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初中数学知识点精讲课程
勾股定理与面积问题
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
典例精讲
类型一：求出相应边长度，利用公式求面积
典例精讲
且HFRN为矩形.
典例精讲
课堂小结
求出相应边长度， 利用公式求面积 巧妙分割，构造 直角三角形求面 积 求“勾股树”形 图形的面积
勾股定理与三角形面积
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平面直角坐标系中的面积问题
平面直角坐标系中的图形面积
典例精讲 一：直接利用面积公式求面积
直接利用面积 公式求面积
例1：如图，求△ABC的面积。
y4
解：由图知：A(0,2), B(-2,0),C(3,0)
可得：BC=5，AO=2 则△ABC的面积为： 1 BC AO — · 2 1 = — ×5 ×2 =5 2
3 A 2 C B 1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 1 -1 O -2 -3
B
M P
P
课堂小结
一：直接利用面积公式求面积
二：利用割补法求图形的面积
三：与图形面积相关的点的存在性问题
y
(方法2）
B
补
5
3
4
C
6 x
典例精讲
三：与图形面积相关的点的存在性问题
例3：在平面直角坐标系中，已知点 A(0,3),B(2,1),C(3,4).在x轴上是否存在点P，使 △OCP的面积为△ABC面积的1.5倍？说明理由。 解：因为S ABC
= S梯形EBCD- S AEB - S ADC 1 1 1 ×2×2— —×1×3 =4 = — ×(3+2)×3— — 2 2 2 所以S OCP= 1.5S ABC=6 1 即 — OP × CM=6， 又CM=4 2 所以P(3,0)或（-3，0） 所以 OP =3 D A C E O
y
典例精讲
4 D 3 = S梯形OCBD A 2 -1 S OAD- S ADB 1 —×3×1— ×(4+5)×3— =— 2 2 1 1 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O — ×4×1 1 2 =10 -2 -3 -4
解：S四边形OABC
y
B
补
5
3
4
C
6 x
典例精讲
4 D 3 A 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O -11 2 -2 -3 -4
典例精讲 二：利用割补法求图形的面积
例2：如图，求四边形OABC的面积。
y
4 3 A 2 1 1 2 O
利用割补法求图 形的面积
B
3
C
4 x
典例精讲
4 B 3A 割 3 2 1 2 1 +— S BEC ×OD ×AD+ — ×(AD+BE)×DE = 2 1 1 D 3 E 1 C x 2 1 1 2 3 4 5 6 + — ×EC×BE-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 1 1 ×1×2+ — ×(2+3)×3+ = — -2 2 2 1 — ×1×3 -3 2 =10 -4 解：S四边形OABC =S OAD+ S梯形ADEB
1、若直角三角形两直角边的比是3：4， 斜边长是20，求此直角三角形的面积。
B A
C
典例精讲
A
B
C
典例精讲
类型二：巧妙分割，构造直角三角形求面积
例2.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3， BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。
Байду номын сангаас
典例精讲
典例精讲
类型三：求“勾股树”形图形的面积 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多 人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ABC的斜 边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正 方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3， AC=4，则图中空白部分的面积是 .
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勾股定理与面积问题
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
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类型一：求出相应边长度，利用公式求面积
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且HFRN为矩形.
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求出相应边长度， 利用公式求面积 巧妙分割，构造 直角三角形求面 积 求“勾股树”形 图形的面积
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直接利用面积 公式求面积
例1：如图，求△ABC的面积。
y4
解：由图知：A(0,2), B(-2,0),C(3,0)
可得：BC=5，AO=2 则△ABC的面积为： 1 BC AO — · 2 1 = — ×5 ×2 =5 2
3 A 2 C B 1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 1 -1 O -2 -3
B
M P
P
课堂小结
一：直接利用面积公式求面积
二：利用割补法求图形的面积
三：与图形面积相关的点的存在性问题
y
(方法2）
B
补
5
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C
6 x
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三：与图形面积相关的点的存在性问题
例3：在平面直角坐标系中，已知点 A(0,3),B(2,1),C(3,4).在x轴上是否存在点P，使 △OCP的面积为△ABC面积的1.5倍？说明理由。 解：因为S ABC
= S梯形EBCD- S AEB - S ADC 1 1 1 ×2×2— —×1×3 =4 = — ×(3+2)×3— — 2 2 2 所以S OCP= 1.5S ABC=6 1 即 — OP × CM=6， 又CM=4 2 所以P(3,0)或（-3，0） 所以 OP =3 D A C E O
y
典例精讲
4 D 3 = S梯形OCBD A 2 -1 S OAD- S ADB 1 —×3×1— ×(4+5)×3— =— 2 2 1 1 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O — ×4×1 1 2 =10 -2 -3 -4
解：S四边形OABC
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4 D 3 A 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O -11 2 -2 -3 -4
典例精讲 二：利用割补法求图形的面积
例2：如图，求四边形OABC的面积。
y
4 3 A 2 1 1 2 O
利用割补法求图 形的面积
B
3
C
4 x
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4 B 3A 割 3 2 1 2 1 +— S BEC ×OD ×AD+ — ×(AD+BE)×DE = 2 1 1 D 3 E 1 C x 2 1 1 2 3 4 5 6 + — ×EC×BE-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 1 1 ×1×2+ — ×(2+3)×3+ = — -2 2 2 1 — ×1×3 -3 2 =10 -4 解：S四边形OABC =S OAD+ S梯形ADEB
1、若直角三角形两直角边的比是3：4， 斜边长是20，求此直角三角形的面积。
B A
C
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A
B
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类型二：巧妙分割，构造直角三角形求面积
例2.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3， BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。
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类型三：求“勾股树”形图形的面积 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多 人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ABC的斜 边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正 方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3， AC=4，则图中空白部分的面积是 .