陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图

像与性质导学案 北师大版必修4

【学习目标】

1. 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义.

2. 能借助单位圆中的正切线画出x y tan =的图像.

3. 理解正切函数的性质. 【重点难点】

重点：正切函数的定义、图像与性质. 难点：正切函数性质的应用. 【使用说明】

类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用 正切线画出x y tan =的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质. 【自主学习】 1. 正切函数的定义

（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2

Z k k ∈+≠

ππ

α，

那么角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比 值

a b ，根据函数的定义，比值a

b

是角α的函数，我们 把它叫作角α的正切函数，记作_____________，其中Z k k R ∈+≠∈,2

,ππ

αα.

（比值

b

a

叫作角α的余切函数，记作αcot =y ，其中.,,Z k k R ∈≠∈παα） （2）当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时， 其正切函数值为负. （3）由x x

x k x k x x tan cos sin )cos()sin()tan(==++=

+πππ（.,2,Z k k x R x ∈+≠∈ππ

）可知，正

切函数是周期函数，_______是它的最小正周期. 2. 正切函数图像的画法

（1）正切线：设单位圆与x 轴正半轴交于A 点，过点A 作圆的切线与角的终边

或终边的延长线相交于T 点，线段AT 成为角α的正切线.

（2）类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数x y tan =，

)2

,2(π

π-∈x 的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线.

3. 正切函数的性质

函数 x y tan =（Z k k x R x ∈+≠

∈,2

,ππ

）

定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性

【合作探究】

1. 若角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在直线x y 4-=上， 求αααtan ,cos ,sin 的值.

靖边三中2015届数学必修4导学案

2. 解下列不等式：

（1）0tan

3. 设α是锐角，利用单位圆证明：

（1）1cos sin >+αα； （2）αααtan sin <<.

【课堂检测】

1. 函数x y 2tan =的定义域为________________________________.

2.（1）正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？ （2）正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？

3. 已知)3,(x P 是角θ终边上一点，且5

3

tan -=θ，求x 的值. 【课堂小结】