陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的广泛存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的特征.2.通过实例理解角的概念的推广的必要性，理解任意角的概念，能根据角的终边旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方法，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1.潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2.角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_________________________________________________为正角；______________________________________为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3.在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与_____重合，角的始边与________重合. 角的终边在第几象限，就把这个角叫作________________________.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为坐标轴上的角.4.终边相同的角有________个，相等的角终边一定__________，但终边相同的角不一定__________.S5.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=____________________________________.6. 与ο490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最 小的角是________，它们是第______象限角.【合作探究】1.在οο360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1）ο120-； （2）ο640； （3）'8950ο-.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用οο360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式οο720360<≤-β 的元素β写出来.（1）ο60； （2）ο225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于ο90的角是锐角D. ο0到ο90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】1. 角的推广；2. 象限角的定义；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在坐标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o ,k∈Z }第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1. ο276-是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_____，第50天是星期 _______.。
知识讲解正切函数的性质和图象基础
知识讲解_正切函数的性质和图象_基础正切函数是三角函数中的一种，常用符号为tan，表示一个角的正切值。
在数学中，正切函数具有许多重要的性质和图像，下面将对其进行详细介绍。
1.定义：正切函数的定义是：对于一个角θ，它的正切值tanθ等于角的对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
2.周期性：正切函数具有周期性，即tan(θ+π)=tanθ，其中π是圆周率。
这意味着正切函数的图像在每个周期内重复出现，以直线y=tanθ为对称轴。
3.定义域和值域：正切函数的定义域是所有实数，除了使分母为零的角度。
当角度为90°的倍数时，分母为零，正切函数无定义。
正切函数的值域是所有实数，即从负无穷到正无穷。
4.奇偶性：正切函数是一个奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
这意味着正切函数的图像关于原点对称。
5.渐近线：正切函数有两条渐近线，分别为x=π/2+kπ和x=-π/2+kπ，其中k是整数。
当θ接近这些值时，tanθ的值趋向于正无穷或负无穷。
6.零点：正切函数有无数个零点，即tanθ=0。
这些零点出现在角度为kπ时，其中k是整数。
7.图像变换：对于正切函数的图像，可以通过平移、缩放和反转等变换得到。
例如，将y=tanθ的图像向右平移π/4个单位，得到y=tan(θ-π/4)的图像；将y=tanθ的图像进行垂直缩放，得到y=a*tanθ的图像，其中a 是一个常数。
8.切线斜率：正切函数在每个周期内都有无穷多个切线，切线的斜率是tanθ。
这意味着切线的斜率在整个图像上是连续变化的。
9.函数图像：正切函数的图像是一个周期为π的波浪线。
在每个周期内，图像从负无穷逐渐上升到正无穷，然后再从正无穷逐渐下降到负无穷。
图像在每个周期内有一个零点，并且在每个周期的中点有一个峰值和一个谷值。
总结起来，正切函数是一个周期性的、奇函数，定义域为所有实数，值域为所有实数。
它具有两条渐近线，有无数个零点，图像是一个波浪线，切线的斜率等于函数值。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像 推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数 在)2,2(ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数ϕω,,A 对函数图像的影响.2.弧度制（1）1弧度的角： （2）弧度与角度的互化： （3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数 （1）定义：（2）三角函数值的符号：（3）诱导公式的口诀：4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质 函数x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性【合作探究】 1. 已知角α的终边在函数x y 21-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+---=f .（1）化简)(αf ； （2）若331πα-=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6π=x 时，y 取最小值1；当65π=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.4. 求下列函数的值域： （1）)34cos(32π--=x y ； （2）2sin 1sin 3-+=x x y .【课堂检测】 1. 求函数)343sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值 的集合.2. 判断下列函数的奇偶性： （1）x x y cos 2+=；（2）x y sin 21=；（3）x x y sin 2=；（4）x x y tan cos -=.3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.4. 比较下列各组函数值的大小：（1）532sin π和427sin π； （2）)2037cos(-和 852cos ； （3）)718tan(π-和)843tan(π-.【课后训练】。
高中数学第一章1.7正切函数1.7.1_1.7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质课件北师大版必修4
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)依题意得12x-π3≠kπ+π2,k∈Z,
所以 x≠2kπ+53π,k∈Z.
所以函数的定义域是
������
������
≠
2������π
+
5π 3
,������∈Z
.
由正切函数的值域可知该函数的值域也是(-∞,+∞).
(2)依题意 3-tan x≥0,
所以 tan x≤ 3.
+
������
≠
π 2
+
������π,������∈Z 的周期与常数 ω 的值有关,最小正周期 T=|���π���|.
(4)奇偶性:若 φ=������2π(k∈Z)时为奇函数,否则,不具备奇偶性.
(5)单调性:将(ωx+φ)视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化
为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A>0(A<0)时,函数
易错辨析
纠错心得1.在应用函数的单调性解题时,要弄清是在整个定义域
上是单调的,还是在每个区间上是单调的,否则会出现错误.
2.本题错解在解不等式 tan x≥- 33时,误认为 y=tan x 在整个定义域
上都是增函数而致错,正切函数应是在每个开区间
-
π 2
+
������π,
π 2
+
������π (k∈Z)上是增函数.
,
π 4
+
������π 3
(k∈Z).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误认为正切函数在整个定义域上都是增函数而出错
高中数学第1章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质高一数学
确；当点 P 在G︵H上时，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故 D 选项错误．综
上，故选 C．
12/8/2021
第十二页，共十四页。
12/8/2021
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
No Image
12/8/2021
第十四页，共十四页。
D．xx∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z
12/8/2021
第九页，共十四页。
解析：选 D y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，
由 x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)，得 x≠kπ＋34π(k∈Z)．所以函数的定
义域为x|
x∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z.
12/8/2021
第十页，共十四页。
5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，
A︵B，C︵D，E︵F，G︵H是圆 x2＋y2＝1 上的四段弧
(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始
边，OP 为终边，若 tanα<cosα<sinα，则 P 所
在的圆弧是( )
A．A︵B
B．C︵D
C．E︵F
D．G︵H
12/8/2021
第十一页，共十四页。
解析：选 C 逐个分析 A、B、C、D 四个选项，利用三角函
数的定义可得正确结论．当点 P 在A︵B上时，cosα＝x，sinα＝y，
∴cosα>sinα，故 A 选项错误；当点 P 在C︵D上时，cosα＝x，sinα
＝y，tanα＝yx，∴tanα>sinα>cosα，故 B 选项错误；当点 P 在E︵F上
时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴sinα>cosα>tanα，故 C 选项正
优化方案2016高中数学第一章三角函数7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式
7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式1．问题导航(1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？(2)正切函数的定义域能写成⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？ 2．例题导读P 39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法． 试一试：教材P 40习题1－7 A 组T 1、T 2你会吗？P 40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值． 试一试：教材P 41习题1－7 A 组T 7(1)你会吗？1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中 α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z ．根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tan α＝sin αcos α(比值ab叫作角α的余切函数，记作y ＝cot α，其中α∈R 且α≠k π，k ∈Z )．2．正切线 (1)定义：在直角坐标系中，设单位圆与x 轴的非负半轴的交点为A (1，0)，过点A (1，0)作x 轴的垂线，与角α的终边或其终边的延长线相交于T 点，则称线段AT 为角α的正切线．(2)画法：3．正切函数的图像与性质(1)tan(2π＋α)＝tan_α(1.16)； (2)tan(－α)＝－tan_α(1.17)； (3)tan(2π－α)＝－tan_α(1.18)； (4)tan(π－α)＝－tan_α(1.19)； (5)tan(π＋α)＝tan_α(1.20)；(6)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cot α(1.21)； (7)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α(1.22)．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期π.( )(4)函数y ＝tan x 为奇函数，故对任意x ∈R 都有tan(－x )＝－tan x ．( )解析：(1)错误．如x 1＝π4，x 2＝2π3，但tan π4>tan 2π3，不符合增函数的定义．(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．(3)错误．正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期π2，故此说法是错误的．(4)错误．当x ＝π2＋k π(k ∈Z )时，tan x 没有意义，此时式子tan(－x )＝－tan x 不成立．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A.因为y ＝tan(x ＋π)＝tan x ，所以y ＝tan(x ＋π)是奇函数．3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定义域是________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．解析：由题意知x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠π3＋k π(k ∈Z )．故定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝ 3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 34．化简：tan （2π－θ）sin （－2π－θ）cos （6π－θ）cos （θ－π）sin （5π＋θ）＝________．解析：原式＝tan （－θ）sin （－θ）cos （－θ）（－cos θ）（－sin θ）＝（－tan θ）（－sin θ）cos θcos θsin θ＝tan θ. 答案：tan θ1．对正切函数图像的理解(1)正切函数的图像是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和x ＝π2＋k π(k ∈Z )相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z )．(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来，“三点”是指(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝π2和x ＝－π2.作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π2，x ＝π2，然后描出三点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．注意：直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交．2．对正切函数的性质的理解(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意．(2)正切函数的图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，而不是(k π，0)(k ∈Z )，它没有对称轴．3．对正切函数的诱导公式的理解 (1)公式的特点与记忆2π±α，－α，π±α的正切函数值等于α的正切函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)利用“化切为弦”的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦”是指利用tan α＝sin αcos α，α∈R ，且α≠π2＋k π，k ∈Z ，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题．例如，tan(－α)＝sin （－α）cos （－α）＝－sin αcos α＝－tan α.(3)诱导公式的应用利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数．即正切函数的图像求函数f (x )＝tan |x |的定义域与值域，并作其图像． (链接教材P 42习题1－7 B 组T 4) [解] f (x )＝tan |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0且x ≠k π＋π2，－tan x ，x <0且x ≠k π＋π2(k ∈Z )，可知，函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R .当x ≥0时，函数y ＝tan |x |在y 轴右侧的图像即为y ＝tan x 的图像不变；x <0时，y ＝tan |x |在y 轴左侧的图像为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像关于y 轴对称的图像，如图所示(实线部分)．本例中“函数f (x )＝tan |x |”若换为“函数f (x )＝|tan x |”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：函数f (x )＝|tan x |的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．方法归纳(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，两线是直线x ＝±π2. (2)如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要做出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．1．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是如图中的________．解析：(1)如图，函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是3.(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <32π.答案：(1)A (2)④正切函数的性质求函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域、最小正周期和单调区间． (链接教材P 40练习T 2)[解] 由题意，知2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，所以x ≠k π2＋5π12(k ∈Z )，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋5π12，k ∈Z .由于f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2， 所以最小正周期T ＝π2.因为k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，所以k ·π2－π12<x <k ·π2＋512π(k ∈Z )，即函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．方法归纳求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)定义域、周期、单调区间的方法(1)定义域：由ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，求出x 的取值集合即为函数的定义域，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋π2－φω，k ∈Z .(2)周期性：利用周期函数的定义来求．(3)单调区间：在求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x 的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z )，求出x 的所在区间即可．提醒：注意A 的正负对函数单调性的影响．2．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)的图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中0<φ<π2，试求函数f (x )的单调区间．解：由于y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ， 故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4，由于0<φ<π2，所以当k ＝2时，φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 由于正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，解得k 3π－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z . 故该函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )．正切函数诱导公式的应用已知tan(3π－α)＝15，求sin （π＋α）·tan （π－α）·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值．(链接教材P 40例2)[解] 因为tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝15，所以tan α＝－15.原式＝－sin α（－tan α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－sin α·（－tan α）⎝ ⎛⎭⎪⎫－－cos αsin αcos α－sin α·sin α＝－tan α＝15.方法归纳解决条件求值问题的基本思路是分别将已知条件和所求问题进行化简，进而寻找已知条件和所求问题间的关系，从而求得结论．3．(1)已知tan(π＋α)＋1tan （3π＋α）＝2，则tan(π－α)＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________；(3)已知tan(π＋α)＝lg 1310，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π的值． 解：(1)选 D.tan(π＋α)＋1tan （3π＋α）＝tan α＋1tan α＝2，即tan 2α－2tan α＋1tan α＝0，解得tan α＝1.所以tan(π－α)＝－tan α＝－1.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，所以sin φ＝－32. 因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－tan π3＝－ 3.故填－ 3. (3)因为tan(π＋α)＝lg 1310＝－13，所以tan α＝－13.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos αsin α＝－1tan α＝3.设函数y ＝tan 2x ＋2tan x ＋2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，4，求函数的值域．[解] 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，所以tan x ∈[－3，1]， 令tan x ＝t ，t ∈[－3，1]，则y ＝t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1.当t ＝－1时，y 取得最小值，为1； 当t ＝1时，y 取得最大值，为5.所以函数y ＝tan 2x ＋2tan x ＋2的值域为[1，5]．[感悟提高] (1)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题．(2)利用换元法时，要注意新变量的取值范围，把原变量的范围转化给新变量．1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：选B.由(tan α，cos α)在第三象限，知tan α<0，cos α<0，所以角α是第二象限角．2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝( ) A ．－5 B ．5 C ．±5 D ．不能确定解析：选B.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－5， 故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5. 3．若tan x －3≥0，则x 的取值范围是________．解析：由题意，知tan x ≥ 3.由正切函数的图像，知k π＋π3≤x <k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的 ，则tan 0≤y ≤tan π4，即0≤y ≤1.答案：[0，1], [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )．2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角． 3．函数y ＝|tan x |的周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．3π解析：选B.结合函数y ＝|tan x |的图像可知周期为π.4．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)，下列说法不正确的是( ) A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B ．不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数C ．存在φ，使f (x )为奇函数D ．对任意的φ ，f (x )都不是偶函数 解析：选A.当φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝tan(x ＋k π)＝tan x 为奇函数．5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )(1)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递减的．(2)最小正周期为2π. (3)是奇函数． A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin(x ＋3π) D ．y ＝sin 2x解析：选C.y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，不满足条件(1)．B ．函数y ＝cos x 是偶函数，不满足条件(3)．C ．函数y ＝sin(x ＋3π)＝－sin x ，满足三个条件．D ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期T ＝π，不满足条件(2)．6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan x 2的图像相交，两相邻交点间的距离为________． 解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．答案：2π7．比较大小：tan 211°________tan 392°.解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，因为tan 31°<tan 32°，所以tan 211°<tan 392°.答案：<8．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1，故π4≤x ≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1 9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2. 解：原式＝tan （－α）·sin（－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α. 10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的值总不大于零，求实数k 的取值范围． 解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ≤0， 得k ≤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 由正切函数的单调性，得0≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3恒成立，只要k ≤0即可． 所以k 的取值范围为(－∞，0]．[B.能力提升]1．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( ) A.12B ．－22 C.22 D ．－12解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，所以f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3×15°)＝cos 45°＝22. 2．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．b <a <c解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．3．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝________． 解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7， 所以a sin π5＋b tan π5＝6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝a sin 995π＋b tan 995π＋1＝ a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π5＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a sin π5＋b tan π5＋1 ＝－6＋1＝－5.答案：－54．给出下列命题：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称； ②函数f (x )＝sin |x |是最小正周期为π的周期函数； ③函数y ＝cos 2x ＋sin x 最小值为－1；④设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2.其中正确的命题序号是________．解析：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称，正确；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x )＝sin|x |不是周期函数；③因为函数y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，即θ2为第一象限或第三象限的角，所以④不对．答案：①③5．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数的定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x |cos x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π， 则f (x )在其定义域上的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )， 递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋2k π，－π2＋2k π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． 6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]， 所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ，所以原函数的图像的对称轴方程为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ<π2＋k π或－π2＋k π<θ≤－π3＋k π， k ∈Z .又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的诱导公式导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的诱导公式导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 能借助正切函数的图像和已学诱导公式推导出正切函数的诱导公式.2. 进一步体会数形结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.【重点难点】 重点：正切函数的诱导公式及应用. 难点：正切函数诱导公式的灵活应用.【使用说明】 结合正切函数的图像和已学诱导公式推导正切函数的诱导公式，并用其解决相关问题.【自主学习】1. 观察下图，当22παπ<<-时，角α与角απ+2，απ-2，απ-，απ+，α-的正切函数值有什么关系？当角α是任意角呢？=+)2tan(απ_________； =-)tan(α__________；=-)2tan(απ_________； =-)tan(απ___________；=+)tan(απ_________.2.利用学习过的诱导公式证明以下公式：（1）ααπcot )2tan(-=+； （2）ααπcot )2tan(=-. 3.所有三角函数的诱导公式可概括为：)(2Z k k ∈±⋅απ的各三角函数.当k 为偶数时，得α的同名三角函数，当k 为奇数时，得α的异名三角函数，然后在 前面加上一 个把α看成锐角时原函数值的符号，可利用口诀“奇变偶不变， 符号看象限”来记忆.4.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的步骤：任意负角 的三角函数→正角的三角函数→___________________→_______________.【合作探究】1. 比较下列各组数的大小.（1）ο138tan 与ο143tan ； （2）)713tan(π-与)815tan(π-.2. 化简：)5sin()4tan()2tan()tan()3cos()sin(απαππαπααπαπ+------.3.已知41log )sin(8=-απ，且)0,2(πα-∈，求)23tan(απ+的值.【课堂检测】1. 化简：（1）πππ2tan 2cos sin k q p ++；（2）πππππ2sin 23cossin 2cos tan r q p n m ---+； （3）)280tan()72tan()370tan()18tan(αααα---+οοοο.2. 已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ（ ） A.33 B.33- C.3 D.3-3. 求︒︒︒︒+--210tan 315tan 675tan )60tan(的值.【课堂小结】【课后训练】1. 化简：（1）)(cos 2)sin()2sin(12ααππα--+-+；（2）οοοοο1080tan )690tan()300tan(765tan 675tan +-+-++.。
三角函数正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质课件
正切函数图像关于原点对称，即(x,y)在图像上，(-x,-y)也在图像上。此外，正切 函数图像还关于直线x=kπ/2+(π/4)，(k∈Z)对称。
04
正切函数的性质
周期性
总结述
正切函数的周期为π，即对于任意实数x，都有tan(x+π)=tan(x)。
界性
05
正切函数的实际应用
在解三角形中的应用
确定未知量的值
通过已知的边长和角度，利用正切函数的定义可以计算出未 知边的长度或其他未知量。
判断解的合理性
在解三角形的过程中，使用正切函数可以判断解的合理性。 例如，如果两个三角形的高相同，底边长度的比值等于它们 的坡度比值，即正切函数的值。
在物理中的应用
拓展1
正切函数的定义域和值域的拓展
拓展2
正切函数的周期性和对称性的拓展
THANKS
感谢观看
正切函数的定义式
正切函数的定义
tan(x) = sin(x) / cos(x)。
定义域
{x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}。
值域
(-∞, ∞)。
正切函数的基本性质
周期性
tan(x + π) = tan(x)。
图像
单调区间、图像变换等。
导数
tan'(x) = sec²(x)。
奇偶性
tan(-x) = -tan(x)。
测量建筑物高度
在城市规划和建设中，测量建筑物的高度是必要的。通过测量建筑物与水平面之 间的角度，结合正切函数的定义可以计算出建筑物的高度。
06
复习与进阶
经典例题解析
总结1
经典例题的解题思路和步骤
三角函数正切函数的性质与图像
。这意味着正切值等于正弦值除以余弦值。
03
互补角关系
对于互补角x和y（x + y = 90度），有tan(x) = 1 / tan(y)的关系，即
一个角的正切值等于其互补角的余切值。
02
正切函数的图像与特性
பைடு நூலகம்
正切函数的图像
1 2
形状
正切函数的图像是一个无穷多的连续且无穷密集 的曲线组，每个周期内的图像形状相同。
正切函数的基本性质
定义域
正切函数在实数域上是无限 定义的，但在任何一个角度x （除了直角）上，都有一个 唯一的正切值。
值域
正切函数的值域是所有实数 ，这意味着它可以取到任何 实数值。
周期性
正切函数是周期性的，周期 为180度（或π弧度），即 tan(x) = tan(x + 180n)，其 中n是整数。
在工程问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，正切函数可以用来计算斜坡的倾斜角度。例如，设计师需要确定一个斜坡的倾斜角度 以确保排水效果良好，他们可以利用正切函数来计算这个角度。
土木工程
在土木工程中，正切函数可以用来描述土壤的抗剪强度。土壤的抗剪强度与土壤的内摩擦角和凝聚力 有关，这两个参数之间的关系可以用正切函数来表示。
渐近线
当角度接近于直角（90度）的奇数倍时，正切函 数的值趋向于无穷大，因此图像有垂直渐近线。
3
零点
正切函数在角度为0度、180度、360度等直角倍 数的位置上，函数值为0，图像与x轴交于这些点 。
正切函数的周期性
周期定义
正切函数是周期函数，意味着 在一定的角度区间内，函数的
取值会重复。
周期长度
正切函数的周期长度是180度，即 π弧度。
高中数学第一章 §7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .根据函数的定义，比值b a是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos x＝tan_x ．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线单位圆与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，与角α的终边或其反向延长线交于点T .则称线段AT 为角α的正切线．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．3续表[问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，正切曲线在每一个开区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数y ＝|tan x |的周期是π2吗？提示：不是．y ＝|tan x |的周期仍为π.讲一讲1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. [尝试解答] 在α的终边上取一点P (a ，2a )且a ≠0， 则有x ＝a ，y ＝2a ，r ＝a 2＋4a 2＝5|a |. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 当α在第一象限时，a >0，则r ＝5a . ∴sin α＝y r＝2a 5a＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55. 当α在第三象限时，a <0，则r ＝－5a . ∴sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.1．若P (x ，y )是角α终边上任一点，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2.2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值．解：由已知可知点P 在第二象限，∴b ＞0. ∵cos α＝－35，∴－b b 2＋16＝－35，解得b ＝3，tan α＝－43.讲一讲2．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像写出使y ≤1的x 的集合． [尝试解答] ∵y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2，（k ∈Z ），－tan x ， k π－π2＜x ＜k π，（k ∈Z ），画出其图像，如图所示实线部分．由图像可知x 的集合为{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }．1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等． 练一练2．[多维思考] 根据讲2中函数y ＝|tan x |的图像，讨论该函数的性质． 解：(1)定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)值域：[0，＋∞)．(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π. (4)奇偶性：图像关于y 轴对称，函数是偶函数． (5)单调性：在每一个区间(－π2＋k π，k π](k ∈Z )上是减少的，在每一个区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的．(6)对称性：对称轴x ＝k π2，k ∈Z .讲一讲3．(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间．(2)比较tan 21π4与tan 17π5的大小．[尝试解答] (1)∵y ＝tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的，∴－π2＋k π＜12x －π4＜π2＋k π，k ∈Z .∴2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛－π2＋2k π，⎭⎪⎫3π2＋2k π(k ∈Z )． (2)tan 21π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋5π＝tan π4， tan 17π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π5＝tan 2π5.又∵函数y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，而0<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5，即tan 21π4<tan 17π5.1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．2．对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x 的范围即可．3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．练一练3．函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．解析：由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k ×π2－π12＜x ＜k ×π2＋512π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )． 答案：(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )求函数y ＝11－tan x 的定义域．[错解] 由1－tan x ≠0得tan x ≠1， 解得x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．[错因] 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的x ≠k π＋π2，k ∈Z 这一条 件．上面的解法只考虑了1－tan x ≠0，而没有考虑x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因而是错误的．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .1．函数y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：选A ∵y ＝tan(x ＋π)＝tan x . ∴此函数是奇函数．2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：选 D 由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .3．已知角α的终边上一点P (－2，1)，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12解析：选D tan α＝y x ＝1－2＝－12. 4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增加的， ∴0≤tan x ≤1. 答案：[0，1]5．比较大小：tan 2________tan 9. 解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)， 而π2＜2＜－2π＋9＜π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增加的．∴tan 2＜tan(－2π＋9)， 即tan 2＜tan 9. 答案： ＜6．利用正切函数的图像作出y ＝tan x ＋|tan x |的图像，并判断此函数的周期性． 解：∵当x ∈(k π－π2，k π]时，y ＝tan x ≤0，当x ∈(k π，k π＋π2)时，y ＝tan x ＞0，∴y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈（k π－π2，k π]，k ∈Z ，2tan x ，x ∈（k π，k π＋π2），∈Z .图像如图所示．由y ＝tan x ＋|tan x |的图像可知，它是周期函数，周期为π.一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．函数y ＝2tan(2x －π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 解析：作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示． 令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________． 解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)．答案：18．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0， ∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f (－2π5)＝7， 求f (2 012π5)． 解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5. 10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .。
《正切函数的图像与性质》 讲义
《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，对于一个锐角α，它的对边与邻边的比值叫做这个角的正切值，记作tanα。
即tanα ＝对边／邻边。
如果我们把角α放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径作一个圆，角α的终边与单位圆相交于点 P(x,y)，那么tanα ＝ y ／ x（x≠0）。
二、正切函数的定义域正切函数tanα ＝ y ／ x（x≠0），所以正切函数的定义域为｛α ｜α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}。
这是因为当α ＝kπ ＋π/2 时，角α的终边在 y 轴上，此时 x ＝ 0，正切函数的定义式无意义。
三、正切函数的周期性正切函数是周期函数，其最小正周期为π。
即对于任意实数 x，都有 tan(x ＋π) ＝ tan x。
这是因为角α和角α ＋π 的终边关于点（π/2, 0) 对称，它们的正切值相等。
四、正切函数的奇偶性正切函数是奇函数。
即tan(α) ＝tanα这可以从正切函数的定义出发来理解，角α 的终边与角α 的终边关于 x 轴对称，它们的对边和邻边的绝对值相等，但符号相反，所以正切值互为相反数。
五、正切函数的单调性正切函数在每个区间（π/2 ＋kπ ，π/2 ＋kπ ）（k∈Z）上都是单调递增的。
我们可以通过观察正切函数的图像来直观地理解其单调性。
六、正切函数的图像1、首先，我们来分析正切函数图像的渐近线。
因为正切函数的定义域为｛α ｜α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}，所以当α趋近于kπ ＋π/2 （k∈Z）时，函数值趋近于正无穷或负无穷，此时 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）就是正切函数图像的渐近线。
2、接下来，我们通过描点法来绘制正切函数的图像。
选取一些特殊的角度，如 0，π/6，π/4，π/3 等，计算出对应的正切值，然后描点连线。
当α ＝ 0 时，tan 0 ＝ 0；当α ＝π/6 时，tan π/6 ＝√3 ／ 3；当α ＝π/4 时，tan π/4 ＝ 1；当α ＝π/3 时，tan π/3 ＝√3 。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义.2. 能借助单位圆中的正切线画出x y tan =的图像.3. 理解正切函数的性质.【重点难点】重点：正切函数的定义、图像与性质.难点：正切函数性质的应用.【使用说明】 类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用正切线画出x y tan =的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质.【自主学习】1. 正切函数的定义（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2Z k k ∈+≠ππα，那么角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比值a b，根据函数的定义，比值a b是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作_____________，其中Z k k R ∈+≠∈,2,ππαα.（比值b a叫作角α的余切函数，记作αcot =y ，其中.,,Z k k R ∈≠∈παα）（2）当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时， 其正切函数值为负.（3）由x x xk x k x x tan cos sin )cos()sin()tan(==++=+πππ（.,2,Z k k x R x ∈+≠∈ππ）可知，正切函数是周期函数，_______是它的最小正周期.2. 正切函数图像的画法（1）正切线：设单位圆与x 轴正半轴交于A 点，过点A 作圆的切线与角的终边或终边的延长线相交于T点，线段AT成为角α的正切线.（2）类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数xy tan=，)2,2(ππ-∈x的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线.3.正切函数的性质函数xy tan=（ZkkxRx∈+≠∈,2,ππ）定义域值域周期性奇偶性单调性对称性【合作探究】1.若角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线xy4-=上，求αααtan,cos,sin的值.靖边三中2015届数学必修4导学案2. 解下列不等式：（1）0tan <x ； （2）1tan -≥x .3. 设α是锐角，利用单位圆证明：（1）1cos sin >+αα； （2）αααtan sin <<.【课堂检测】1. 函数x y 2tan =的定义域为________________________________.2.（1）正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？（2）正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？3. 已知)3,(x P 是角θ终边上一点，且53tan -=θ，求x 的值.【课堂小结】。
正切函数的图像与性质
正切函数的单调性
总结词
在开区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)，k∈Z，正切函数是单调递增 的。
详细描述
在区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)，k∈Z时，随着x的增加，tan(x) 的值也增加，因此正切函数在此区间内单调递增。在其他区间 上，正切函数可能表现出先减后增或先增后减的单调性变化。
THANKS
感谢观看
03பைடு நூலகம்
在地理学中，正切函数可以用 于描述地球上不同地区的气候 类型、地理特征等，例如分析 经纬度对气候的影响。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中有着广泛的应用，它可以与其他数学函数结合使用， 建立各种复杂的数学模型。
在解决优化问题时，正切函数可以用于描述约束条件或目标函数的形状， 例如求解最小二乘法问题。
02
正切函数图像与x轴的交点是当 y=0时的点，即无数个点，分别位 于x=nπ (n为整数)的位置上。
03
正切函数的应用
在三角函数中的应用
三角函数是数学中的基本概念，正切函数作为三角函数的一种，在解决与角度和边长相关的问题中有 着广泛的应用。
在求解三角形问题时，正切函数常常与其他三角函数结合使用，例如求解直角三角形中的边长或角度。
正切函数的周期性
总结词
正切函数具有周期性，最小正周期为 π。
详细描述
正切函数的周期为π，即tan(x) = tan(x + π)。在每个周期内，正切函数呈现出 重复的变化规律。
正切函数的奇偶性
总结词
正切函数是奇函数，满足f(-x) = -f(x)。
详细描述
由于tan(-α) = -tan(α)，正切函数是奇函数，具有奇函数的性质。这意味着正切函数图像关于原点对称。
高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课件1北师大版必修4
【即时(jíshí) 训练】
α
C
第十一页，共38页。
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线(qiēxiàn)
如图，单位(dānwèi)圆与x 轴正半轴的交点为A(1 ,0) ，任意角α的终边与单位 (dānwèi)圆交于点P，过点 A(1 ,0)作x轴的垂线，与 角的终边或终边的延长线 从相图交中于可T点以.看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二(dì èr)和第四象限时，T点位于x轴的下方 .
今天我们学习(xuéxí)正切函数的图像及性质.
第五页，共38页。
1.了解任意角的正切函数的概念(gàiniàn).(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.(难点 ) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
第六页，共38页。
v =tan
u
第三页，共38页。
y
1 P（u，v）
-1
1 三角函数
OM x
-1
v=sin
u=cos 什么(shén
v =tan me)函数呢？
u
第四页，共38页。Biblioteka y1 P（u，v）
-1
1 三角函数
OM x
-1
v=sin
u=cos
v =tan
u
通常,我们(wǒ men)把以角作为自变量,以点P的纵坐 标与横坐标的比值为函数值的函数称作正切函数。
且
与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐
渐
近
近
线
线
3
O
2
第十八页，共38页。
《正切函数的图像与性质》 讲义
《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。
用数学语言表示，如果一个角为\（＼alpha\），其对边为\（a\），邻边为\（b\），那么\（＼tan\alpha ＝＼frac{a}｛b}＼）。
在平面直角坐标系中，对于任意角\（＼alpha\），如果\（＼alpha\）的终边上有一点\（（x,y)＼），那么\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}＼）（＼（x\neq 0\））。
二、正切函数的定义域正切函数\（y ＝＼tan x\）的定义域为\（＼｛x|x ＼neq k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}， k ＼in Z\｝＼）。
这是因为当\（x ＝ k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}＼）时，角\（x\）的终边在\（y\）轴上，此时邻边\（x ＝0\），正切值\（＼tan x\）不存在。
三、正切函数的周期正切函数是一个周期函数，其最小正周期为\（＼pi\）。
这是因为\（＼tan(x ＋＼pi) ＝＼tan x\），对于任意\（x\），只要\（x ＋＼pi\）不在定义域的奇点处，这个等式都成立。
四、正切函数的奇偶性正切函数\（y ＝＼tan x\）是一个奇函数。
因为\（＼tan(x) ＝＼tan x\），满足奇函数的定义，即\（f(x) ＝ f(x)＼）。
五、正切函数的单调性正切函数在每个区间\（（k\pi ＼frac{＼pi}｛2}， k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}）＼），＼（k ＼in Z\）上都是单调递增的。
需要注意的是，不能说正切函数在整个定义域上是单调递增的，因为它的定义域是不连续的。
六、正切函数的图像正切函数的图像是由一系列的分支组成的。
1、渐近线正切函数的图像有无数条渐近线，其方程为\（x ＝ k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}＼），＼（k ＼in Z\）。
当\（x\）趋近于这些渐近线时，＼（＼tan x\）的值趋近于正无穷或负无穷。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图
像与性质导学案 北师大版必修4
【学习目标】
1. 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义.
2. 能借助单位圆中的正切线画出x y tan =的图像.
3. 理解正切函数的性质. 【重点难点】
重点：正切函数的定义、图像与性质. 难点：正切函数性质的应用. 【使用说明】
类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用 正切线画出x y tan =的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质. 【自主学习】 1. 正切函数的定义
（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2
Z k k ∈+≠
ππ
α，
那么角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比 值
a b ，根据函数的定义，比值a
b
是角α的函数，我们 把它叫作角α的正切函数，记作_____________，其中Z k k R ∈+≠∈,2
,ππ
αα.
（比值
b
a
叫作角α的余切函数，记作αcot =y ，其中.,,Z k k R ∈≠∈παα） （2）当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时， 其正切函数值为负. （3）由x x
x k x k x x tan cos sin )cos()sin()tan(==++=
+πππ（.,2,Z k k x R x ∈+≠∈ππ
）可知，正
切函数是周期函数，_______是它的最小正周期. 2. 正切函数图像的画法
（1）正切线：设单位圆与x 轴正半轴交于A 点，过点A 作圆的切线与角的终边
或终边的延长线相交于T 点，线段AT 成为角α的正切线.
（2）类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数x y tan =，
)2
,2(π
π-∈x 的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线.
3. 正切函数的性质
函数 x y tan =（Z k k x R x ∈+≠
∈,2
,ππ
）
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性
【合作探究】
1. 若角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在直线x y 4-=上， 求αααtan ,cos ,sin 的值.
靖边三中2015届数学必修4导学案
2. 解下列不等式：
（1）0tan <x ； （2）1tan -≥x .
3. 设α是锐角，利用单位圆证明：
（1）1cos sin >+αα； （2）αααtan sin <<.
【课堂检测】
1. 函数x y 2tan =的定义域为________________________________.
2.（1）正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？ （2）正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？
3. 已知)3,(x P 是角θ终边上一点，且5
3
tan -=θ，求x 的值. 【课堂小结】。