弹性力学问题中一个新的边界积分方程——自然边界积分方程

! 引言
边界元法最初是基于对微分方程边值或初值问题的经典积分方程进行离散求解而提出 的 . 经过三十多年的研究， 边界元法已成为工程问题数值分析的主要方法之一 . 边界元法首
［1］ 先在线弹性和势场问题中获得成功 . Rizzo （1967 年） 开创了线弹性二维问题的边界积分方 ［2］ ［3］ 程数值解， （1969 年） 推广到解三维弹性力学问题 . Brebbia （1978 年） 根据物理定理 Cruse 常用的边界元 从泛函变分的角度系统阐述了边界积分方程及边界元法理论 . 在弹性力学中， ［1， 2］ 法是基于位移边界积分方程 （ Boundary IntegraI Eguations— — — BIE） （ 这里称为常规的边界 通常通过对位移形函数沿边 元法） ， 边界未知量为位移 ui 和面力 t i . 当需要求边界应力时， ［4］ 这就产生了二次近似 . Ghosh 等 （1986 年） 对线弹性平面问题导出 界切向求导获取" u i /" s，
2
且 x 这里 U ij ， I 和 T ij ， I 分别为 U ij 和 T ij 的梯度场函数 . 当 y 趋于边界，
性阶 1 / r ，称之为强奇性；T ij ， 称之为超奇性 . 将 （5） 式代入 Hooke 定律可得应 I 中含有 1 / r ， 应力 BIE 可写为 力 BIE， ! 趋于边界， （ !） Bijst c O（ st ! ）= - W ijI t（ I x） c - = S ijIU（ I "） + W ijI6I c （8）
{
r = r， i =
rirj ，
ri = xi - yi r / I = r， iI i ， r ， s = r / s = r， i
i
r / xi ， r ， I =
（4）
将 （1） 在 ! 处求导得位移导数 BIE （ Ui， I ! ）= ［ U ij ， （ （ ］ c It j " ）- T ij ， IU j "） + （ U ij ， c ， ! I6 j "） （5）
了一组新的边界积分方程 . 以位移沿边界的切向导数 " 使得 u i /" s 取代位移 ui 作为边界量， 积分方程中核函数的奇异性降低一阶， 但增加了未知量" 该文补充的方程又启用了 ui u i /" s， 与" 这种 BIE 出现超奇异积分 u i /" s 的差分关系 . 在源点处对位移 BIE 求导得位移导数 BIE， 的障碍， 难以获取边界上的位移导数 . 一些学者 （参见文献 ［5， ） 在边界上将位移导数 BIE 6］ 中超奇异核函数的导数通过 Gauss 定理或 Stokes 定理转移到基本量 ui ， 而变为 " 构造 u i /" s， 出以" 此时相应核函数的奇性降为强奇性 . 然而， u i /" s 和面力表达的 BIE， u i /" s 不能直接表 " 达边界条件， 其相应的强奇异积分也未能求得， 尽管位移 BIE 中强奇异积分已充分解决 . Lei ［7］ （1994 年） 对线弹性平面问题建立了一个新的 BIE， 采用的边界量为 ui ， 应力第一不 Xiaoyan 变量和位移转动张量 . 该 BIE 的奇性阶与位移 BIE 的奇性阶相同 . 本文针对二维弹性力学问题， 从位移导数 BIE 出发， 通过适当组合和分部积分， 将全部
第22卷 第2期 2001年 6 月
固体力学学报 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA
VoI . 22 No . 2 June 2001
弹性力学问题中一个新的边界积分方程 — — —自然边界积分方程
!
牛忠荣
王秀喜
周焕林
张晨利
（中国科学技术大学力学系， 合肥， 230026）
（合肥工业大学力学研究所， 合肥， 230009）
式中 W ijI 和 S ijI 分别为 U ij ， 具体形式参见文 ［8］ （ !） 称为应力奇性系 . Bijst I 和 T ij ， I 的线性组合， 数， 它们依赖于 面上 ! 点附近几何形状和弹性常数 . - 表示 Cauchy 主值积分， = 表示
基于 （1） 的常规边界元法， 其位移奇性系数和 Cauchy 主值积 Hacamarc 主值积分 . 众所周知，
（批准号： 19572060） . ! 国家自然科学基金资助项目 2000-06-20 收到第 1 稿， 2000-12-01 收到修改稿 .
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固体力学学报
2001 年 第 22 卷
和部分边界上张量 Ui ， 从而构造出一个新的 BIE， 称为自然边 ti ， Ui， j 转换为新的边界张量 wi ， 界积分方程， 这个新 BIE 相应的积分核函数在源点处表现为强奇异积分， 并易于获得其 Cauchy 主值积分 . 自然 BIE 可以作为裂纹边的补充方程 . 自然 BIE 与位移 BIE 联合可以直接 获取边界应力 .
（l3a） （l3b）
E T =
$U T ， $s
EI =
$UI ， $I
EI T =
$UI $Us + $s $I
・ ll4 ・
固体力学学报
200l 年 第 22 卷
由 （l2） 的第一、 二式和 （l3a） ， 第一应力不变量在 P 上可表示为 l+ （ tI + 2 G ， Okk = l - P E T） P 由 （l2） 的第三式和 （l3a） ， 位移旋转张量在 P 上表示为 ! !P （l4）
图1 平面问题
1 （3 - 4 ） （2） In r ij - r ， ir ， j （ 1 G 8 ! - ） -1 （ "， ｛r ［ （1 - 2 ） （ r， ｝ （3） T ij ! ）= I （1 - 2 ） ij + 2 r ， ir ， j ］+ jI i - r ， iI j ） （ 4 1 r ， ! - ） 式中 G 为拉梅常数， 为泊松比， ij 为符号张量， r 为源点到场点的距离
摘
要
位移导数边界积分方程一直存在着超奇异积分计算的障碍 . 该文提出以符号算子
施用一系列变换将边界位移、 面力和位移导数转成为新 !ij 和" ij 作用于位移导数边界积分方程， 的边界张量， 从而得到一个新的边界积分方程— — —自然边界积分方程 . 自然边界积分方程的奇 异性为强奇性， 文中给出了相应的 Cauchy 主值积分算式 . 自然边界积分方程与位移边界积分方 程联合可直接获取边界应力 . 几个算例表明了自然边界积分方程的正确性 . 关键词 边界元法， 自然边界积分方程， 弹性力学， 主值积分
l-2 l H （2 r ， SikT ! ij ， k = jr ， I - Ij ） （l - H）r 2 2 !G l （ - EikT ! ij ， k = jr ， s -T j） 2 2 r， !r 式 （9） 和 （l0） 代入式 （5） ， 得
r， r， l-2 l l l j j H （ （lla） （ Uj cP + t j cP + 6j cO SikUi ， k ! ）= jr ， I - Ij ） 2 2 r， （ ） 2 l 2 G r 2 G ! P P r O r H r， r， l l l l k k （ （ Uj cP + - EikUi ， Ekjt j cP Ekj6j cO ，! # O k ! ）= jr ， s -T j） 2 2 r， 2 G r 2 G r r ! P P O （llb）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l "UI "US l l "UI "UI ， t + ! !P = - EI + =WI T = 2 2 T "S 2 G T "S "S "I 存在 l "U l "U 2 WI T = Wl2 = 2 "x 2 "x l 引用 （l4） 和 （l5） 式， 在 P 上， 式 （ll） 的左边为
! 一阶导数场边界积分方程的剖析
考虑线弹性平面问题， 见图 1 . 区域 （ U i ! ）= 的内点位移 BIE + U ij 6j c ， ! （1）
［ U ij （ "， （ （ "， （ ］ !） t !） U c j " ）- T ij j "） ；U （ 和 t （ 是 j "） j "） 上的位
（ U ij ， ! ）= I "，
1 ［ （3 - 4 ） （6） r， I ij - r ， i Ij - r ， j Ii + 2 r ， ir ， jr ， I］ （ ） 8 1 Gr ! 1 （ ｛ ［ （1 - 2 ） T ij ， ! ）= 2 r， r， I "， I r， i jI + r ， j Ii I ij - 4 r ， ir ， jr ， I ］+ （ 4 1 r2 ! - ） （1 - 2 ） （ jIIi + ijII - IiIj ）+ 2 r ， （ r， ｝ （7） 2 1-2 ） ir ， jII + （ ir ， II j - r ， jr ， II i ） 则 U ij ， y， I 中含有奇
第2期
牛忠荣等： 弹性力学问题中一个新的边界积分方程— — —自然边界积分方程
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分计算早已获得完全解决， 解出边界位移和面力 . 迄今， 式 （5） 和 （8） 中奇异积分的计算尚未 获得正面解决 . 所以， 从式 （5） 和 （8） 出发， 难以求得边界上的 Ui ， 而它们的物理场并不 Oij ， j和 （8） 式， 在光滑边界上， 并且 tk 在 ! 处连续， 容易判断 Bijst 但在边界偶角 奇异 . 分析 Sst =Sij / 2， 处或面力不连续处， 我们未见有文献直接分析出 Bijst 的值， 也只能定性地说 （ 8） 式中两项奇 异积分的和是存在的 . 本文认为， 在面力和位移导数不满足 H lceI 连续性条件的边界上， 从 数学的角度， 式 （8） 的表现形式及系数 Bijst 的成立和应用是值得商榷的 . 导致 （5） 和 （8） 式中主值积分难以计算的原因可能是边界量 Ui ， （ 和O （ 是随着 ! j !） ij ! ） 处边界的方位变化而改变， 而 （5） 和 （8） 式中等号右边积分式不能发生互动的响应 . 根据 （ 8） 导出的面力 BIE 亦存在类似的疑问 . 这里讨论的现象对三维问题也同样存在 . ! 自然边界积分方程的建立 在弹性力学平面问题中， 任一点处的主应变张量 Ui ， （ j= i 和位移转动张量 U i ， j - Uj， i i， 与坐标的选择无关 . 引用两个张量Sij 和 -Eij ， 其中Eij 为排列张量， 即Eij \ i = j = 0， l， 2） El2 = l， （5） 的两边分别作用算子 Sik 和 -Eik ， 将 （ 6） 和 （ 7） 式代入， 经过逐项的张量运 E2l = - l . 对式 算， 有 r， l-2 j H SikU ! ij ， k = （ ） 4G l - H ! r - EikU ! ij ， k = r， l k Ekj r 2 !G （9a） （9b） （l0a） （l0b）
式中 i ， j = 1， 2； =
是体力 # ! 为源点， 移和面力， 6（ " 为场点 . U ij 和 j "） 亦 T ij 为弹性力学 Navier 方程的位移和面力 KeIvin 解， 称为基本解 . 令 yi 和 xi 为源点和场点的笛卡儿坐标； Ii ， i 分别为边界的外法线和切线的方向余弦 . 对平 面应变问题 （ "， U ij ! ）=
["
["
" "
" "
]
]
对任何体力 6 （ ， 式 （ll） 的最后一项域积分为弱奇性， 易于获得准确解 # 对图 l 所示的结 j "） 构， 沿边界定义自然坐标 $ 、 !. 平面应力问题应力应变关系 0 l H OI EI E l 0 H E T = T O l - H2 l - H OI 0 0 T T 2 EI 下标 I 表示边界法向， T 表示切向 . 边界条件和几何方程为 OI = tI ， OI T = t T （l2）