函数及其表示知识点练习题答案

合集下载

高三数学函数及其表示试题答案及解析

高三数学函数及其表示试题答案及解析

高三数学函数及其表示试题答案及解析1.设常数,函数,若,则.【答案】3【解析】由题意,则,所以.【考点】函数的定义.2.在函数y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点P(t,|t|),此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系图象可表示为()【答案】B【解析】当t∈[-1,0]时,S增速越来越平缓,当t∈[0,1]时,S增速越来越快,选B项.3.已知,,,映射.对于直线上任意一点,,若,我们就称为直线的“相关映射”,称为映射的“相关直线”.又知,则映射的“相关直线”有多少条()A.B.C.D.无数【答案】B【解析】当直线的斜率存在时,不放设直线的方程为,设点的坐标为,且,则点的坐标为,由于点在直线上,则有,即,因此有,解得;当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,在此直线上任取一点,则点,由于点也在直线上,因此有(非定值),此时,直线不存在.综上所述,映射的“相关直线”为或,有两条,故选B.【考点】新定义4.若f(x+1)=2f(x),则f(x)等于()xA.2x B.2x C.x+2D.log2【答案】B【解析】若f(x)=2x,则f(x+1)=2x+2,不满足f(x+1)=2f(x),故排除A.若f(x)=2x,则f(x+1)=2x+1=2×2x=2f(x),故满足条件.若f(x)=x+2,则f(x+1)=x+3,不满足f(x+1)=2f(x),故排除C.若f(x)=log2x,则f(x+1)=log2(x+1),不满足f(x+1)=2f(x),故排除D.故选B.5.下列图象表示函数关系y=f(x)的有________.(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义,定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应.6.已知函数和的图像关于原点对称,且.(1)求函数的解析式;(2)解不等式;(3)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.【答案】(1);(2) 解集为;(3) .【解析】(1)两个函数的图象关于某点或某条直线对称,一般设待求解析式的函数图象上任一点的坐标为,求出这点的对称点的坐标,当然这里是用表示的式子,然后把点代入已知解析式,就能求出结论;(2)这是含有绝对值的不等式,解题时,一般按照绝对值的定义分类讨论以去掉绝对值符号,便于解题;(3),这是含参数的二次函数,解题时,首先对二次项系数分类,即分二次项系数为0,不为0,其中不为0还要分为是正数,还是负数进行讨论,在二次项系数不为0时,只要讨论其对称轴与给定区间的关系就能求得结论.试题解析:(1)设是函数图像上任一点,则关于原点对称的点在函数的图像上,(1分)所以,故.(2分)所以,函数的解析式是.(1分)(2)由,得,(1分)即.(1分)当时,有,△,不等式无解;(1分)当时,有,,解得.(2分)综上,不等式的解集为.(1分)(3).(1分)①当时,在区间上是增函数,符合题意.(1分)②当时,函数图像的对称轴是直线.(1分)因为在区间上是增函数,所以,1)当时,,函数图像开口向上,故,解得;(1分)2)当时,,函数图像开口向下,故,解得.(1分)综上,的取值范围是.(1分)【考点】(1)函数图象的对称问题;(2)含绝对值的不等式;(3)函数的单调性.7.设二次函数,对任意实数,有恒成立;数列满足.(1)求函数的解析式和值域;(2)证明:当时,数列在该区间上是递增数列;(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都有恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由.【答案】(1),值域为;(2)证明见解析;(3)存在,且.【解析】(1)这是一个不等式恒成立问题,把不等式转化为恒成立,那么这一定是二次不等式,恒成立的条件是可解得,从而得到的解析式,其值域也易求得;(2)要证明数列在该区间上是递增数列,即证,也即,根据的定义,可把化为关于的二次函数,再利用,可得结论;(3)这是一道存在性问题,解决问题的方法一般是假设存在符合题意的结论,本题中假设存在,使不等式成立,为了求出,一般要把不等式左边的和求出来,这就要求我们要研究清楚第一项是什么?这个和是什么数列的和?由,从而,,不妨设,则(),对这个递推公式我们可以两边取对数把问题转化为,这是数列的递推公式,可以变为一个等比数列,方法是上式可变为,即数列是公比为2的等比数列,其通项公式易求,反过来,可求得,从而求出不等式左边的和,化简不等式.试题解析:(1)由恒成立等价于恒成立,从而得:,化简得,从而得,所以,3分其值域为. 4分(2)解:6分, 8分从而得,即,所以数列在区间上是递增数列. 10分(3)由(2)知,从而;,即;12分令,则有且;从而有,可得,所以数列是为首项,公比为的等比数列,从而得,即,所以,所以,所以,所以,.即,所以,恒成立. 15分当为奇数时,即恒成立,当且仅当时,有最小值为. 16分当为偶数时,即恒成立,当且仅当时,有最大值为. 17分所以,对任意,有.又非零整数, 18分【考点】(1)二次不等式恒成立问题与函数的值域;(2)递增数列;(3)递推公式,的数列通项公式,等比数列的前项和.8.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】A选项是对的.B选项的定义域不同一个大于零另一个不等于零,所以不是同一函数排除B.C选项的定义域也是不同,一个不等于3另一个属于任意实数.排除C.D选项也是定义域不同,一个不等于零,另一个属于任意实数.故选A.【考点】1.函数的概念.2.相等函数的概念.9.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,.若“,”是假命题,则的取值范围为 .【答案】【解析】是定义在R上的奇函数,故可求解析式为又“”是假命题,则是真命题,当时,,解得,①当时,,结合均值不等式有,得或,②①②取交集得的取值范围是.【考点】1.根据奇偶性求函数解析式;2.特称命题的否定;3.不等式恒成立问题.10.已知,其中、为常数,且,若为常数,则的值为 .【答案】.【解析】,,则,则有,即,则有,且,由得到,所以有,因式分解得,因为,所以,.【考点】函数的概念11.记实数中的最大数为max{} , 最小数为min{}则max{min{}}= ()A.B.1C.3D.【答案】D【解析】如图所示,所求最高点应为两点之一,故,,故答案选D.【考点】本小题主要考查分段函数、零点、函数的图象12.设则.【答案】【解析】.【考点】分段函数求值.13.若函数,则=()A.lg101B.2C.1D.0【答案】B【解析】因为,所以=f(1)=1+1=2,故选B.【考点】本题主要考查分段函数的概念,二次函数、对数函数的图象和性质。

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

专题3.1 函数的概念及其表示1.(2021·四川达州市·高三二模(文))已知定义在R 上的函数()f x 满足,2(1)2()1f x f x x -+=+,则(1)f =( )A .1-B .1C .13-D .13【答案】B 【解析】当0x =时,f (1)2(0)1f +=①;当1x =时,(0)2f f +(1)2=②,由此进行计算能求出f (1)的值.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足,2(1)2()1f x f x x -+=+,∴当0x =时,f (1)2(0)1f +=,①当1x =时,(0)2f f +(1)2=,②②2⨯-①,得3f (1)3=,解得f (1)1=.故选:B2.(2021·浙江高一期末)已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =( )A .7B .2C .10D .12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算.【详解】由题意2(3)3312f =+=.故选:D .3.(2021·全国高一课时练习)设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩,则(5)f 的值为( )A .16B .18C .21D .24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩,所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选:B.4.(2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试)若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ,则b =( )A .1B .3C .3-D .1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数,求出其值域,结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数,且定义域和值域都是[1,]b ,所以min ()(1)f x f =1=,2max 13()()22f x f b b b b ==-+=,解得3b =或1b =(舍),故选:B5.(上海高考真题)若是的最小值,则的取值范围为( ).A .[-1,2]B .[-1,0]C .[1,2]D .[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时,1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +,由题意当0x ≤时,2()()f x x a =-应该是递减的,则0a ≥,此时最小值为2(0)f a =,因此22a a ≤+,解得02a ≤≤,选D .6.(广东高考真题)函数()f x =的定义域是______.【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案.【详解】由{100x x +≥≠,得1x ≥-且0x ≠.∴函数()f x =的定义域为:[)()1,00,-⋃+∞;故答案为[)()1,00,-⋃+∞.7.(2021·青海西宁市·高三一模(理))函数()f x 的定义域为[]1,1-,图象如图1所示,函数()g x 的定义域为[]1,2-,图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==,()(){}0B x g f x ==,则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ,再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =,则()0g x =或1-或1,∴{}1,0,1,2A =-,若()()0g f x =,则()0f x =或2,∴{}1,0,1B =-,∴{}1,0,1=- A B .故答案为:3.8.(2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模)已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞,则函数()y f x =的定义域是_______.【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-,根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-,则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+,1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增,10x x∴-≥,10111x x∴<≤-+,()12g x ∴<≤,()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为:(]1,2.9.(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模(文))已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩,若()2f a =,则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=,212a=,解方程,求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥,令212a +=,解得:1a =,当0a <,令212a =,解得:a =故1a =或,故答案为:1或.10.(2021·云南高三二模(理))已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩,若n m >,且()()f n f m =,设t n m =-,则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ,结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示,3114⨯+=,令()2140x x -=>,解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-,223n m -=,且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤,结合二次函数的性质可知,当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时,t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭,当n =时,t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为:171,12⎤⎥⎦1.(2021·云南高三二模(文))已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩,若n m >,且()()f n f m =,设t n m =-,则( )A .t 没有最小值B .t1-C .t 的最小值为43D .t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象,再结合图象由()()f n f m =,得到m 与n 的关系,消元得关于n 的函数,最后求最值.【详解】如图,作出函数()f x 的图象,()()f n f m = 且n m >,则1m £,且1n >,练提升2311m n ∴+=-,即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩,解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦,又1n <≤ ∴当n =时,()min 1n m -=-.故选:B.2.(2020·全国高一单元测试)已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,若()05f x =,则0x 的取值集合是( )A .{2}-B .5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C .{2,2}-D .52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法,对00x ≤与00x >两种情况求解,可得答案.【详解】若00x ≤,可得2015x +=,解得02x =-,(02x =舍去);若00x >,可得02x -=5,可得052x =-,与00x >相矛盾,故舍去,综上可得:02x =-.故选:A.3.【多选题】(2021·全国高一课时练习)(多选题)下列函数中,定义域是其值域子集的有( )A .865y x =+B .225y x x =--+C .y =D .11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域,利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ,符合题意;B.定义域为R ,因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤,所以函数值域为(,6]-∞,值域是定义域的真子集不符合题意;C.易得定义域为[1,)+∞,值域为[0,)+∞,定义域是值域的真子集;D.定义域为{|0}x x ≠,值域为{|1}x x ≠-,两个集合只有交集;故选:AC4.【多选题】(2021·全国高一课时练习)已知f (x )=2211x x+-,则f (x )满足的关系有( )A .()()f x f x -=-B .1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C .1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D .1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式,对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-,所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =,即不满足A 选项;1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-,1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -,即满足B 选项,不满足C 选项,1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-,1()()f f x x -=-,即满足D 选项.故选:BD5.【多选题】(2021·全国高三其他模拟)已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =,则下列说法正确的是( )A .()10g -=B .方程()2g x =有3个根C .方程()2g x =-的所有根之和为-1D .当0x <时,()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=;令()f x u =,因为方程()2f u =没有实根,即()2g x =没有实根;令()u f x =,则方程()2g x =-,即()2f u =-,通过化简与计算即可判断C ;当0x <时,()(1)g x f x =+,则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象,即可判断D .【详解】对于A 选项,由题意知()10f -=,则()()()()1100g f f f -=-==,所以A 选项正确;对于B 选项,令()f x u =,则求()()()2g x f f x ==的根,即求()2f u =的根,因为方程()2f u =没有实根,所以()2g x =没有实根,所以选项B 错误;对于C 选项,令()u f x =,则方程()2g x =-,即()2f u =-,得112,03u u u +=-<⇒=-,2222,01u u u u -+=-≥⇒=+,由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥,解得4x =-或3x =,易知方程2()f x u =,没有实数根,所以方程()2g x =-的所有根之和为-1,选项C 正确;对于D 选项,当0x <时,()(1)g x f x =+,则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象,当0x <时,函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方,所以D 选项正确,故选:ACD .6.【多选题】(2021·全国高三专题练习)已知函数()f x ,(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ,()()()f xy f x f y =+,则( )A .()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B .()f x 在定义域上为奇函数C .若当1x >时,有()0f x >,则当10x -<<时,()0f x <D .若当01x <<时,有()0f x <,则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质,利用特殊值法一一判断即可;【详解】解:因为函数()f x ,(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ,()()()f xy f x f y =+,令1x y ==,则()()()111f f f =+,则()10f =,令1x y ==-,则()()()111f f f =-+-,则()10f -=,所以()f x 过点()1,0和()1,0-,故A 正确;令1y =-,则()()()1f x f x f -=+-,即()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数,故B 错误;令1y x =-,则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭,则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时,所以()11,0x -∈-,又()0f x >,则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,即当10x -<<时,()0f x <,故C 正确;令1y x =,则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当01x <<时,所以()11,x ∈+∞,又()0f x <,则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭,即当1x >时,()0f x >,因为()f x 是偶函数,所以1x <-时,()0f x >,所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ,故D 错误;故选:AC7.【多选题】(2021·全国高三专题练习)已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩,则( )A .()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B .若()1f a =-,则2a =C .()f x 在R 上是减函数D .若关于x 的方程()f x a =有两解,则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式,代入数据可判断A 、B 的正误,做出()f x 的图象,可判断C 、D 的正误,即可得答案.【详解】对于A :由题意得:2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=,所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦,故A 正确;对于B :当0a <时,2()21f a a a =-=-,解得a =1,不符合题意,舍去当0a ≥时,()231f a a =-+=-,解得2a =,符合题意,故B 正确;对于C :做出()f x 的图象,如下图所示:所以()f x 在R 上不是减函数,故C 错误;对于D :方程()f x a =有两解,则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点,如下图所示所以(]0,3a ∈,故D 正确.故选:ABD8.(2021·浙江高三月考)已知0a >,设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩,存在0x 满足()()00f f x x =,且()00f x x ≠,则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式,通过构造函数,结合零点存在性列不等式,由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=,且()00f x x ≠,所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+,交换,x y 得x ay =,即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+,构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(()22a a x a +≤<+),所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+,由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<,由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤,即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝,由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. (2021·浙江高一期末)已知函数()1f x x =-+,()()21g x x =-,x ∈R .(1)在图1中画出函数()f x ,()g x 的图象;(2)定义:x R ∀∈,用()m x 表示()f x ,()g x 中的较小者,记为()()(){}min ,m x f x g x =,请分别用图象法和解析式法表示函数()m x .(注:图象法请在图2中表示,本题中的单位长度请自己定义且标明)【答案】(1)图象见解析;(2)()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩;图象见解析.【解析】(1)由一次函数和二次函数图象特征可得结果;(2)根据()m x 定义可分段讨论得到解析式;由解析式可得图象.【详解】(1)()f x ,()g x 的图象如下图所示:(2)当0x ≤时,()211x x -≥-+,则()()1m x f x x ==-+;当01x <<时,()211x x -<-+,则()()()21m x g x x ==-;当1≥x 时,()211x x -≥-+,则()()1m x f x x ==-+;综上所述:()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示:10. (2021·全国高一课时练习)已知函数()12f x x x =++-,()3g x x =-.(1)在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.(2)x R ∀∈,用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者,记作()()(){}min ,x f x g x =,请用图象法和解析法表示()min x ;(3)求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)()(),20,-∞-+∞ .【解析】(1)化简函数()f x 、()g x 的解析式,由此可作出这两个函数的图象;(2)根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象,并结合图象可求出函数()min x 的解析式;(3)根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】(1)()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩,()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图:(2)函数()min x的图象如图:解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或;(3)若()()f x g x >,则由图象知在A 点左侧,B 点右侧满足条件,此时对应的x 满足0x >或2x <-,即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.(山东高考真题)设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=( )A .2B .4C .6D .8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.(2018上海卷)设D 是含数1的有限实数集,f (x )是定义在D 上的函数,若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合,则在以下各项中,f (1)的可能取值只能是( )A .3B .32 C .33 D .0【答案】B 【解析】由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f (1)=3,33,0时,此时得到的圆心角为π3,π6,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y 与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ,因此只有当练真题x=32,此时旋转π6,此时满足一个x 只会对应一个y ,故选:B .3. (2018年新课标I 卷文)设函数f (x )=2―x , x ≤01 , x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A. (―∞ , ―1]B. (0 , +∞)C. (―1 , 0)D. (―∞ , 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来,观察图象可知会有2x <02x <x +1,解得x <0,所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ , 0),故选D.4.(浙江高考真题(文))已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->,则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦,()f x 的最小值是.【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示,易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. (2018·天津高考真题(文))已知a R ∈,函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩,,,.若对任意x ∈[–3,+∞),f (x )≤x 恒成立,则a 的取值范围是__________.【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况,结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论:①当0x >时,()f x x ≤即:222x x a x -+-≤,整理可得:21122a x x ≥-+,由恒成立的条件可知:()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭,结合二次函数的性质可知:当12x =时,2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭,则18a ≥;②当30x -≤≤时,()f x x ≤即:222x x a x ++-≤-,整理可得:232a x x ≤--+,由恒成立的条件可知:()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤,结合二次函数的性质可知:当3x =-或0x =时,()2min322x x --+=,则2a ≤;综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.(2018·浙江高考真题)已知λ∈R,函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩,当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是___________.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数,转化为两个不等式组,分别求解,最后求并集.先讨论一次函数零点的取法,再对应确定二次函数零点的取法,即得参数λ的取值范围.详解:由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩,所以24x ≤<或12x <<,即14x <<,不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时,()40f x x =->,此时2()430,1,3f x x x x =-+==,即在(,)λ-∞上有两个零点;当4λ≤时,()40,4f x x x =-==,由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上,λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析
①对于给定的函数 ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
②定义域和值域都是 的函数 不存在承托函数;
③ 为函数 的一个承托函数;
④ 为函数 的一个承托函数.
其中所有正确结论的序号是____________________.
【答案】①③
【解析】由题意可知,如果存在函数 ( 为常数),使得 对一切实数 都成立,那么称 为函数 的一个承托函数,那么对于 来说,不存在承托函数,当 , ,则此时有无数个承托函数;②定义域和值域都是 的函数 不存在承托函数,因为一个函数本身就是自己的承托函数.故错误;对于③因为 恒成立,则可知 为函数 的一个承托函数;成立;对于④如果 为函数 的一个承托函数.则必然有 并非对任意实数都成立,只有当 或 时成立,因此错误;综上可知正确的序号为①③.
⑷ ,能被称为“理想函数”的有_ _(填相应的序号) 。
【答案】(4)
【解析】依题意,性质①反映函数f(x)为定义域上的奇函数,性质②反映函数f(x)为定义域上的单调减函数,
⑴ 为定义域上的奇函数,但不是定义域上的单调减函数,其单调区间为(-∞,0),(0,+∞),故排除(1);
⑵ 为定义域上的偶函数,排除(2);
【答案】B
【解析】函数 的定义域为R,
函数 的定义域为 ,所以与函数 的定义域不同,不是同一函数;
函数 的定义域为R,且 ,与与函数为同一函数;
函数 的定义域为 ,所以与函数 的定义域不同,不是同一函数;
函数 ,与函数y=x的解析式不同,所以不是同一函数.
故选:B.
【考点】函数的定义
12.已知函数 ,则该函数与直线 的交点个数有( )
C.(4)
D.(3),(5)
【答案】C

函数及其表示知识点+练习题+答案

函数及其表示知识点+练习题+答案

函数及其表示知识点+练习题+答案函数及其表示考纲知识梳理一、函数与映射的概念注:函数与映射的区别:函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合,可以不是数集,而函数中的两个集合必须是非空数集。

二、函数的其他有关概念(1)函数的定义域、值域在函数()y f x =,x A ∈中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y值叫做函数值,函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域(2)一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 (3)相等函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数。

注:若两个函数的定义域与值域相同,是否为相等函数?(不一定。

如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;再如y=sinx与y=cosx,其定义域为R,值域都为[-1,1],显然不是相等函数。

因此凑数两个函数是否相等,关键是看定义域和对应关系)(4)函数的表示方法表示函数的常用方法有:解析法、图象法和列表法。

(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是个函数。

函数及其表示测试题1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是( A )A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞ 解析 由已知,函数先增后减再增 当0≥x ,2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0<x ,3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ,解得313><<-x x 或2、试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1)f (x )=2x ,g (x )=33x ;(2)f (x )=xx ||,g (x )=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x(3)f (x )=1212++n n x ,g (x )=(12-n x )2n -1(n ∈N*);(4)f (x )=x 1+x ,g (x )=x x +2;(5)f (x )=x 2-2x -1,g (t )=t 2-2t -1。

(完整版)函数及其表示练习题及答案

(完整版)函数及其表示练习题及答案

i函数及其表示练习题一.选择题1函数满足则常数等于()23(,32)(-≠+=xxcxxf,)]([xxff=cA B33-C D33-或35-或2. 已知,那么等于())0(1)]([,21)(22≠-=-=xxxxgfxxg21(fA B151C D3303.函数的值域是()2y=A B[2,2]-[1,2]C D[0,2][4已知,则的解析式为()2211(11x xfx x--=++()f xA B21xx+212xx+-C D212xx+21xx+-5.设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )()f x(A)是奇函数 (B)是奇函数()()f x f x-()()f x f x-(C) 是偶函数 (D) 是偶函数()()f x f x--()()f x f x+-6. 下列图中,画在同一坐标系中,函数与函数bxaxy+=2)0,0(≠≠+=babaxy的图象只可能是()7.已知二次函数,若,则的值为()0()(2>++=aaxxxf0)(<mf)1(+mfAl l )A .正数B .负数C .0D .符号与a 有关8. 已知的定义域为,则的定义域为()(x f )2,1[-|)(|x f )A .B .C .D .)2,1[-]1,1[-)2,2(-)2,2[-9. 已知在克的盐水中,加入克的盐水,浓度变为,将y 表示成x 的函x %a y %b %c 数关系式( )A .B .C .D .x b c ac y --=x cb ac y --=x a c b c y --=x ac cb y --=10.已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b),且f (2)=,那么等于(p q f =)3()72(f )A .B .C .D .qp +qp 23+qp 32+23qp +11. 某学校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为(A )y =[10x ](B )y =[310x +](C )y =[410x +](D )y =[510x +]12.已知函数则()()2113,f x x x =+≤≤A . B .()()12202f x x x -=+≤≤()()12124f x x x -=-+≤≤C . D .()()12202f x x x -=-≤≤()()12104f x x x -=-≤≤13.函数的定义域为y =A .B .()4,1--()4,1-C . D .()1,1-(1,1]-14.设函数则的值为()221, 1,2, 1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A .B .C . D.15162716-891815. 定义在上的函数满足R ()f x ()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈=则等于( )()3f - A. 2 B. 3 C. 6 D .916.下列函数中与函数有相同定义域的是 ( )y =A .B 。

函数的概念及练习题和答案

函数的概念及练习题和答案

第二章 2.1.1 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1.函数f (x )=x +1-5,则f (3)=导学号 ( A ) A .-3 B .4 C .-1D .6[解析] f (3)=3+1-5=2-5=-3.2.设集合M ={x |-2≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M 为定义域,N 为值域的函数关系的是导学号 ( B )[解析] 选项A 中,函数的定义域不是集合M ;选项C 不是函数关系;选项D 中,函数的值域不是集合N ,故选B .3.已知f (x )=x 2+1,则f [f (-1)]=导学号 ( D ) A .2 B .3 C .4D .5[解析] f (-1)=(-1)2+1=2, ∴f [f (-1)]=f (2)=22+1=5. 4.函数f (x )=x +3+2x +303-2x的定义域是导学号 ( B )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,32B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫-3,-32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,32C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫-3,32 D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫-3,-32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-32,32 [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x +3≥03-2x >02x +3≠0,解得-3≤x <32且x ≠-32,故选B .二、填空题5.若[m,2m -2]为一确定的区间,则m 的取值范围是__(2,+∞)) [解析] 由题意,得2m -2>m ,∴m >2.6.设函数f (x )=41-x ,若f (a )=2,则实数a =__-)[解析] ∵f (a )=41-a =2,∴a =-1.三、解答题 7.已知函数f (x )=x 21+x2.导学号(1)求f (2)与f (12),f (3)与f (13);(2)由(1)中求得的结果,你能发现f (x )与f (1x)有什么关系证明你的发现.[解析] (1)∵f (x )=x 21+x2,∴f (2)=221+22=45,f (12)=1221+122=15, f (3)=321+32=910,f(13)=1321+132=110.(2)由(1)发现f(x)+f(1x)=1.证明如下:f(x)+f(1x)=x21+x2+1x21+1x2=x21+x2+11+x2=1.8.已知函数f(x)=3-x+1x+2的定义域为集合A,B={x|x<a}.导学号(1)求集合A;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.[解析](1)要使函数f(x)有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧3-x≥0x+2>0,∴-2<x≤3,故A={x|-2<x≤3}.(2)∵A⊆B,∴把集合A、B分别表示在数轴上,如图所示,由如图可得,a>3.故实数a的取值范围为a>3.B级素养提升一、选择题1.已知函数f(x+1)的定义域为(-2,-1),则函数f(x)的定义域为导学号( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫-32,-1B.(-1,0)C.(-3,-2) D.⎝⎛⎭⎪⎫-2,-32[解析]∵函数f(x+1)的定义域为(-2,-1),∴-1<x+1<0,∴函数f (x )的定义域为(-1,0).2.已知函数f (x )满足2f (x )+f (-x )=3x +2且f (-2)=-163,则f (2)=导学号( D )A .-163B .-203C .163D .203[解析] ∵2f (x )+f (-x )=3x +2,∴2f (2)+f (-2)=8,又f (-2)=-163,∴f (2)=203.二、填空题3.设f (x )=2x 2+2,g (x )=1x +2,则g [f (2)]= 112.导学号 [解析] f (2)=2×22+2=10, ∴g [f (2)]=g (10)=112.4.函数y =4-x2x -1的定义域为__[-2,1)∪(1,2])[解析] 要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0x -1≠0,解得-2≤x <1或1<x ≤2.∴函数y =4-x2x -1的定义域为[-2,1)∪(1,2].三、解答题5.已知函数f (x )=x +3+1x +2. (1)求函数的定义域;(2)求f (-3),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值; (3)当a >0时,求f (a ),f (a -1)的值; (4)求f (x 2).导学号[解析] (1)使根式x +3有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥-3},使分式1x +2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠-2}.故这个函数的定义域是{x |x ≥-3}∩{x |x ≠-2}={x |x ≥-3,且x ≠-2}. (2)f (-3)=-3+3+1-3+2=-1; f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=23+3+123+2=113+38=38+333. (3)∵a >0,a -1>-1,∴f (a ),f (a -1)有意义. ∴f (a )=a +3+1a +2, f (a -1)=a -1+3+1a -1+2=a +2+1a +1.(4)∵x 2≥0, ∴f (x 2)有意义. ∴f (x 2)=x 2+3+1x 2+2. C 级 能力拔高1.已知函数f (x )=2kx -8kx 2+2kx +1的定义域为R ,求实数k 的取值范围.导学号[解析] ①当k =0时,分母kx 2+2kx +1=1≠0,y =-8,即x 为任意实数时,y 都有意义,即定义域为R .②当k ≠0时,要使分母kx 2+2kx +1恒不等于零,必须有Δ=(2k )2-4k <0,即0<k <1.综上所述,当0≤k <1时,函数y =2kx -8kx 2+2kx +1的定义域为R .2.(1)已知函数y =f (x +2)的定义域为[1,4],求函数y =f (x )的定义域; (2)已知函数y =f (2x )的定义域为[0,1],求函数y =f (x +1)的定义域;(3)已知函数y =f (x )的定义域为[0,1],求g (x )=f (x +a )+f (x -a )的定义域.导学号[解析] (1)∵y =f (x +2)中,1≤x ≤4,∴3≤x +2≤6,∴函数y =f (x )中,3≤x ≤6,故函数y =f (x )的定义域为[3,6].(2)∵y =f (2x )中,0≤x ≤1, ∴0≤2x ≤2,∴函数y =f (x +1)中,0≤x +1≤2, ∴-1≤x ≤1,∴函数y =f (x +1)的定义域为[-1,1].(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x +a ≤10≤x -a ≤1,∴⎩⎪⎨⎪⎧-a ≤x ≤1-aa ≤x ≤1+a,以下按a 的取值情况讨论:①当a =0时,函数的定义域为[0,1].②a >0时,须1-a ≥a .才能符合函数定义(定义域不能为空集).∴0<a ≤12.此时函数的定义域为{x |a ≤x ≤1-a }.③a <0时,须1+a ≥-a ,即-12≤a <0,此时函数的定义域为{x |-a ≤x ≤1+a }.综上可得:-12≤a <0时,定义域为{x |-a ≤x ≤1+a },0≤a ≤12时,定义域为{x |a ≤x ≤1-a }.。

高二数学函数及其表示试题答案及解析

高二数学函数及其表示试题答案及解析

高二数学函数及其表示试题答案及解析1.已知奇函数当时,,则当时,的表达式是( ). A.B.C.D.【答案】A.【解析】设,则;;因为函数是奇函数,所以,即.【考点】函数的解析式、函数的奇偶性.2.已知,,,则;【答案】.【解析】令得,;令得,;令得,.【考点】函数的求值.3.已知,且,则等于_____________.【答案】【解析】令,则,,令,则.【考点】函数的解析式.4.下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法测的结构图正确的是()【答案】A【解析】根据函数的三要素有函数的定义域、值域、对应法则,可知A正确.【考点】函数的概念.5.下列各组函数是同一函数的是()A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】函数的要素由两个:定义域与对应法则。

=x(x-1),所以,是同一函数的是与,选D。

【考点】函数的概念点评:简单题,函数的要素由两个:定义域与对应法则。

6.下列各组函数中表示同一函数的是()A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】在D项中,函数与的定义域和对于关系一致,所以是相同函数。

故选D。

【考点】相同函数点评:要看两个函数是否相同,只要看这两个函数的定义域和对于关系是否一致。

7.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()A.y=()2B.y=C.y=D.y=【答案】B【解析】根据同一函数的定义可知定义域和对应法则相同的即为所求,那么可知选项A定义域不同,选项C,对应法则不同;选项D,定义域不同,故选B8.对任意实数,定义运算,其中是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知,并且有一个非零常数,使得对任意实数,都有,则的值是______________【答案】4【解析】由定义可知,所以,所以恒成立,所以.,.9.图中的阴影部分由底为,高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成.设函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积,则函数的图象大致为【答案】C【解析】解:根据图象可知在[0,1]上面积增长的速度变慢,在图形上反映出切线的斜率在变小;在[1,2]上面积增长速度恒定,在[2,3]上面积增长速度恒定,而在[1,2]上面积增长速度大于在[2,3]上面积增长速度,故选:C10.给出函数,则等于()A.B.C.D.【答案】 B【解析】解:因为函数,则,选C11.设,在上任取三个数,以为边均可构成的三角形,则的范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解:由f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0得到x1=1,x2=-1(舍去)∵函数的定义域为[0,2]∴函数在(0,1)上f′(x)<0,(1,2)上f′(x)>0,∴函数f(x)在区间(0,1)单调递减,在区间(1,2)单调递增,则f(x)min=f(1)=m-2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m由题意知,f(1)=m-2>0 ①;f(1)+f(1)>f(2),即-4+2m>2+m②由①②得到m>6为所求12.(本小题满分14分)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】函数在上的最小值为,最大值为【解析】∵,令,即,解得(舍去),.当时,,单调递增;当时,,单调递减.∴为函数的极大值.又∵,,∴函数在上的最小值为,最大值为13.设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“海宝”函数. 给出下列函数:①;②;③;④其中是“海宝”函数的序号为【答案】③【解析】解:由题意可知若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“海宝”函数.,那么可以知道对于成立,则①;②④都不能找到这样的常数k使得成立,所以只有选③是个有界函数,成立。

高三数学函数及其表示试题答案及解析

高三数学函数及其表示试题答案及解析

高三数学函数及其表示试题答案及解析1.设常数,函数,若,则.【答案】3【解析】由题意,则,所以.【考点】函数的定义.2.在函数y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点P(t,|t|),此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系图象可表示为()【答案】B【解析】当t∈[-1,0]时,S增速越来越平缓,当t∈[0,1]时,S增速越来越快,选B项.3.若函数f(x)=,则(1)=________.(2)f(3)+f(4)+…+f(2 012)+++…+=________.【答案】(1)-1(2)0【解析】(1)∵f(x)+f=+=0,∴=-1(x≠±1),∴=-1.(2)又f(3)+f=0,f(4)+=0,…f(2 012)+f=0,∴f(3)+f(4)+…+f(2 012)+f+…+f=0.4.已知复数z+i,在映射f下的象是,则﹣1+2i的原象为()A.﹣1+3i B.2﹣i C.﹣2+i D.2【答案】D【解析】由题意:z+i→∴﹣1+2i=,z=2﹣i所以z+i=2﹣i+i=2.故选D.5.下列图象表示函数关系y=f(x)的有________.(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义,定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应.6.设函数f(x)=其中b>0,c∈R.当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.(1)求函数f(x)的表达式;(2)若方程f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相同的实数根,求a取值的集合.【答案】(1)f(x)=(2)【解析】(1)∵当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.∴二次函数y=x2+bx+c的对称轴是x=-=-2.且有f(-2)=(-2)2-2b+c=-2,即2b-c=6.∴b=4,c=2.∴f(x)=(2)记方程①:2=x+a(x>0),方程②:x2+4x+2=x+a(x≤0).分别研究方程①和方程②的根的情况:(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2,方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根,即方程x2+3x+2-a=0有两个不相同的非正实数根.∴-<a≤2;方程②有且仅有一个实数根,即方程x2+3x+2-a=0有且仅有一个非正实数根.∴2-a<0或Δ=0,即a>2或a=-.综上可知,当方程f(x)=x+a(a∈R)有三个不相同的实数根时,-<a<2;当方程f(x)=x+a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时,a=-或a=2.∴符合题意的实数a取值的集合为7.已知函数,对任意都有,且是增函数,则【答案】6【解析】本题看起来很难,好像没处下手,事实上,我们只要紧紧抓住函数的定义,从的初始值开始,如,首先,否则不合题意,其次若,则与是增函数矛盾,当然更不可能(理由同上),因此,,.【考点】函数的定义与性质.8.是上的奇函数,当时,,则当时,()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,∴,∴,又∵是上的奇函数,∴,∴.【考点】1.函数的奇偶性;2.函数解析式.9.设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在上是单调函数;②在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”.下列结论错误的是()A.函数()存在“和谐区间”B.函数()不存在“和谐区间”C.函数)存在“和谐区间”D.函数()不存在“和谐区间”【答案】B【解析】根据“和谐区间”的定义,我们只要寻找到符合条件的区间即可,对函数(),“和谐区间”,函数是增函数,若存在“和谐区间” ,则,因为方程有两个不等实根和,故,即区间是函数的“和谐区间”,B错误,选B,根据选择题的特征,下面C,D显然应该是正确的(事实上,函数)的“和谐区间”为,在其定义域内是单调增函数,若有“和谐区间”,则方程有两个不等实根,但此方程无实根,因此函数不存在“和谐区间”).【考点】新定义的理解,函数的单调性,方程的解.10.设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在上是单调函数;②在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”.下列结论错误的是()A.函数()存在“和谐区间”B.函数()不存在“和谐区间”C.函数)存在“和谐区间”D.函数(,)不存在“和谐区间”【答案】D【解析】根据“和谐区间”的定义,我们只要寻找到符合条件的区间即可,对函数(),“和谐区间”,函数是增函数,若存在“和谐区间” ,则,因此方程至少有两个不等实根,考虑函数,由,得,可得在时取得最小值,而,即的最小值为正,无实根,题设要求的不存在,因此函数()不存在“和谐区间”,函数)的“和谐区间”为,当然此时根据选择题的设置方法,知道应该选D,事实上,在其定义域内是单调增函数,“和谐区间”为,故D中的命题是错误的.【考点】新定义的理解,函数的单调性,方程的解.11.若对任意,,(、)有唯一确定的与之对应,称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:(1)非负性:,当且仅当时取等号;(2)对称性:;(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①;②;③;④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】(1)【解析】对于①,f(x,y)=|x-y|≥0满足(1),f(x,y)=|x-y|=f(y,x)=|y-x|满足(2);f(x,y)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|z-y|=f(x,z)+f(z,y)满足(3)故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数;对于②不满足(3);对于③不满足(2);对于④不满足(1)(2),故答案为①【考点】1.函数的概念及其构成要素.12.已知函数的导函数为偶函数,则()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】对所给函数求导得:,由偶函数定义知:,即,所以.【考点】1.函数的导数;2.偶函数的定义13.已知函数, 则的值是 .【答案】【解析】由分段函数解析式得.【考点】1.分段函数;2.函数值的求法14.若曲线y=上存在三点A,B,C,使得,则称曲线有“中位点”,下列曲线(1)y=cosx,,(2),(3),(4)有“中位点”的是()A.(2)(4)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(4) C.(2)(3)D.(2)(3)(4)【答案】B【解析】若曲线y=上存在三点A,B,C,使得,则称曲线有“中位点”,此时函数图象上必然有三点共线,函数y=cosx的图象上(0,1),(,0),(π,-1)三点显然共线,函数的图象上(-1,-4),(0,-2),(1,0)三点和函数的图象上(-1,-1),(0,0),(1,1)三点显然共线,均有三点共线,而没有,故选B.【考点】1.数形结合的思想方法;2.新定义的理解15.已知函数且,其中为奇函数, 为偶函数,若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵h(x)为定义在R上的偶函数,g(x)为定义在R上的奇函数∴g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x), 又∵由h(x)+g(x)=2x, h(-x)+g(-x)=h(x)-g(x)=2-x,∴h(x)= (2x+2−x),g(x)=(2x−2−x), 不等式2ag(x)+h(2x)≥0在[1,2]上恒成立,化简为:a(2x−2−x)+(22x+2−2x)≥0,x∈[1,2], ∵1≤x≤2∴2x-2-x>0,令t=2-x-2x,整理得:,由t=2-x-2x得在上单调递增,故意当时,即实数a的取值范围为.【考点】1.函数不等式的恒成立问题;2.换元法;3.基本不等式16.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,.若“,”是假命题,则的取值范围为 .【答案】【解析】是定义在R上的奇函数,故可求解析式为又“”是假命题,则是真命题,当时,,解得,①当时,,结合均值不等式有,得或,②①②取交集得的取值范围是.【考点】1.根据奇偶性求函数解析式;2.特称命题的否定;3.不等式恒成立问题.17.已知,则___________.【答案】2【解析】因为,所以,又因为,所以.【考点】求分段函数的函数值.18.已知,则的值等于.【答案】2014【解析】令,则所以,,故【考点】指数式与对数式的互化.19.已知函数满足.(1)求常数的值;(2)解不等式.【答案】(1) ;(2)【解析】(1)显然,所以,代入相应解析式求出;(2)由(1)确定函数解析式,对在不同段上的讨论.试题解析:(1)因为,所以;由,即,. 4分(2)由(1)得,由得, 6分当时,解得; 8分当时,解得. 10分所以的解集为. 12分【考点】1.分段函数;2.不等式.20.下列各组函数是同一函数的是()①与;②与;③与;④与。

高二数学函数及其表示试题答案及解析

高二数学函数及其表示试题答案及解析

高二数学函数及其表示试题答案及解析1.若函数f(x+2)=,则等于()A.B.-C.2D.-2【答案】D【解析】因为,所以,;所以.考点:分段函数求值.2.已知函数,则下列哪个函数与表示同一个函数( )A.B.C.D.【答案】B【解析】去绝对值可得:所以D错误,同一个函数要求定义域,解析式相同,所以即选B.【考点】函数相等必要三要素相等.3.下列各组函数是同一函数的是()A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】函数的要素由两个:定义域与对应法则。

=x(x-1),所以,是同一函数的是与,选D。

【考点】函数的概念点评:简单题,函数的要素由两个:定义域与对应法则。

4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意,对于A,定义域不同,故不成立,对于B,由于定义域和对应法则相同,因此成立,对于C,由于定义域不同,前者是x>1,后者是-1 1 ,故错误,对于D,由于定义域不同,前者是R,后者是,故选B.【考点】同一函数点评:本题考查函数的三要素:定义域、对应法则、值域,只有三要素完全相同,才能判断两个函数是同一个函数,这是判定两个函数为同一函数的标准.5.下列各组函数是同一函数的是①与;②与;③与;④与。

A.①②B.①③C.②③④D.①④【答案】C【解析】根据题意,对于①与,由于定义域分别是R,不同,错误,对于③与;定义域为x ,对应关系式为y=1,故可知是同一函数,那么对②与和④与。

,定义域和对应法则相同,一定为同一函数,故选C.【考点】同一个函数点评:本题考查判断两个函数是否是同一个函数,考查根式的定义域,主要考查函数的三要素,即定义域,对应法则和值域.6.已知函数,函数①当时,求函数的表达式;②若,函数在上的最小值是2 ,求的值;③在②的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】⑴.⑵.⑶=.【解析】⑴∵,∴当时,; 当时,∴当时,; 当时,.∴当时,函数.⑵∵由⑴知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=.【考点】本题主要考查导数计算,应用导数研究函数的单调性、最值,定积分计算。

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列函数中,图象如图的函数可能是().A.y=x3B.y=2x C.y=D.y=log2x【答案】C【解析】由图像可知,函数的定义域为,且过点;而选项A:的定义域为,选项B:的定义域为,选项C:的定义域为,且过点,选项D:的定义域为;故选C.考点:函数的图像.2.,则 ( )A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查函数解析式.由,故选D.【考点】函数解析式,诱导公式.3.设= .【答案】【解析】因为所以【考点】分段函数求值4.下列各组函数表示同一函数的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】排除,因为三个选项中两个函数的定义域各不相同,故C正确。

【考点】函数的三要素。

5.已知函数的对应关系如下表,函数的图像是如下图的曲线,其中则的值为()A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】由的图像与的对应关系表可知,,所以,故选B.【考点】1.函数及其表示;2.复合函数的求值问题.6.已知函数(1)若,求的值;(2)求的值.【答案】(1)1;(2)1006【解析】(1)因为.所以可以计算出的值为1,即表示两个自变量的和为1的函数值的和为1.(2)由(1)可知两个自变量的和为1的函数值的和为1.所以令…①.利用倒序又可得到…②.所以由①+②可得2S=2012.所以S=1006.试题解析:. 5分(2). 10分【考点】1.函数的表示法.2.倒序求和法.7.下列各个对应中,构成映射的是()【答案】B【解析】按照映射的定义,A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.在选项A中,前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应,故不符合映射的定义;在选项C中,前一个集合中的元素2在后一集合中有2个元素和它对应,也不符合映射的定义;在选项D中,前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应,也不符合映射的定义;只有选项B满足映射的定义,【考点】映射概念.8.某公司一年购买某种货物200吨,分成若干次均匀购买,每次购买的运费为2万元,一年存储费用恰好与每次的购买吨数的数值相等(单位:万元),要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则应购买________次.【答案】10【解析】先设此公司每次都购买x吨,利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和,再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得最小值.公司一年购买某种货物200吨,分成若干次均匀购买,每次购买的运费为2万元,一年存储费用恰好与每次的购买吨数的数值相等(单位:万元),要使一年的总运费与总存储费用之和y=2x+,当且仅当x=10时取得最小值,故答案为10.【考点】函数最值的应用点评:本题主要考查了函数最值的应用,以及函数模型的选择与应用和基本不等式的应用,考查应用数学的能力,属于基础题.9.下列所示的四幅图中,可表示为y=f(x)的图像的只可能是()【答案】D【解析】在函数中,取集合A中的任何一个元素x,都能在集合B中找个唯一一个元素y与之对应,选项D具有这样的特点,而其他选项没有。

专题练习:函数及其表示(含参考答案)

专题练习:函数及其表示(含参考答案)

14.(2018·山东济南模拟)已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1,若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为( ) A .-32B .-34C .-32或-34D .32或-34解析:选B.当a >0时,1-a <1,1+a >1.由f (1-a )=f (1+a )得2-2a +a =-1-a -2a ,解得a =-32,不合题意;当a <0时,1-a >1,1+a <1,由f (1-a )=f (1+a )得-1+a -2a =2+2a +a ,解得a =-34,所以a 的值为-34,故选B.15.已知函数f (x )=⎩⎨⎧-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,a ≤x <0,-x 2+2x ,0≤x ≤4的值域是[-8,1],则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-3]B .[-3,0)C .[-3,-1]D .{-3}解析:选 B.当0≤x ≤4时,f (x )=-x 2+2x =-(x -1)2+1,∴f (x )∈[-8,1];当a ≤x <0时,f (x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为增函数,f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ,-1,所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12a ,-1⊆[-8,1],-8≤-12a <-1,∴18≤2a <1. 即-3≤a <0.16.(2018·陕西西安模拟)设函数y =f (x )在R 上有定义,对于给定的正数M ,定义函数f M (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≤M ,M ,f (x )>M ,则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”.若给定函数f (x )=2-x 2,M =1,则f M (0)的值为( )A .2B .1 C. 2D .- 2解析:选B.由题意,令f (x )=2-x 2=1,得x =±1,因此当x ≤-1或x ≥1时,x 2≥1,-x 2≤-1,∴2-x 2≤1,f M (x )=2-x 2;当-1<x <1时,x 2<1,∴-x 2>-1,∴2-x 2>1,f M (x )=1,所以f M (0)=1,选B.17.(2018·福州调研)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,1 B .[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ D .[1,+∞)解析:选C.当a =2时,f (2)=4,f (f (2))=f (4)=24, 显然f (f (2))=2f (2),故排除A ,B.当a =23时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=3×23-1=1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=f (1)=21=2.显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.故排除D.选C. 18.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )=2x +1与函数y =g (x )的图象关于直线x =2成轴对称图形,则函数y =g (x )的解析式为________.解析:设点M (x ,y )为函数y =g (x )图象上的任意一点,点M ′(x ′,y ′)是点M 关于直线x =2的对称点,则⎩⎨⎧x ′=4-x ,y ′=y .又y ′=2x ′+1,∴y =2(4-x )+1=9-2x ,即g (x )=9-2x .答案:g (x )=9-2x19.(2018·柳州模拟)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,-x 2,x ≥0.若f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意得⎩⎨⎧f (a )<0,f 2(a )+f (a )≤2或⎩⎨⎧f (a )≥0,-f 2(a )≤2,解得f (a )≥-2.由⎩⎨⎧a <0,a 2+a ≥-2或⎩⎨⎧a ≥0,-a 2≥-2,解得a ≤ 2. 答案:(-∞,2]。

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是()A.B.C.D.【答案】D.【解析】对于A,函数的定义域为,函数的定义域为,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即A不正确;对于B,函数的定义域为,函数的定义域为或,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即B不正确;对于C,函数的定义域为,函数的定义域为,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即C不正确;对于D,函数的定义域和值域均为,函数的定义域和值域也均为,两者的定义域和值域均相同,所以是同一函数,即D正确.【考点】相等函数的概念.2.已知,则(指出范围).【答案】.【解析】令,,即,由已知得方程:,化简整理得,,.所以,.【考点】函数的解析式求法;换元法.3.下列各组函数的图象相同的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的图象相同即是同一个函数A、定义域不相同,B、对应关系不同,C、定义域不相同,中,x不能为零;两函数相同条件是定义域相同,对应关系相同,值域相同三者有一不满足就不是同一函数,但函数定义域相同,对应关系相同值域就相同.故判断同一函数,只判断定义域,对应关系即可【考点】两函数相等4.,则 ( )A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查函数解析式.由,故选D.【考点】函数解析式,诱导公式.5.设则f(2 016)=()A.B.-C.D.-【答案】D【解析】.【考点】求分段函数函数值.6.下列各组函数中,表示同一个函数的是()A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】表示同一函数必须具备两个条件:一是定义域相同,二是对应法则相同.对于A,的定义域为,而的定义域为,不符合;对于B,的定义域为,对于的定义域为,不符合;对于C,函数与函数的定义域都为,但当时,与的对应法则不相同,也不符合;对于D,函数与函数的定义域都为,且,两个函数的对应法则也相同,故相同函数的是答案D.【考点】1.函数的概念;2.对数的恒等式.7.下列函数中,与函数相同的是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】函数相同的两个条件:定义域相同,对应法则相同.原函数的定义域为,所以,故选D.【考点】函数的概念.8.下列函数中,与函数相同的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,由函数,那么对于A,由于对应关系不一样,定义域相同不是同一函数,对于B,由于,对应关系式不同,不成立,对于C,由于定义域相同,对应法则不同,不是同一函数,排除法选D.【考点】本题考查同一个函数的概念.9.下列函数中,与函数有相同图象的一个是A.B.C.D.【答案】B【解析】选项A中函数的定义域为,定义域不相同,故选项A错;选项B中函数可化为,故B正确;选项C中函数的定义域为,故选项C错;选项D中函数的定义域为,故选项D 错.所以正确答案为B.【考点】函数相等.10.已知函数的值域是,则的值域是A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知可得,令,则,此时,两个函数的定义域相同,且它们的对应关系均为,所以两个函数的值域相同,故正确答案为A.【考点】函数的定义.11.设集合A=B=,从A到B的映射在映射下,B中的元素为(4,2)对应的A中元素为()A.(4,2)B.(1,3)C.(6,2)D.(3,1)【答案】D【解析】集合A=B=,从A到B的映射在映射下,B中的元素为,所以,解得,所以集合中的元素为故选D.【考点】本题主要考查了映射的定义.12.下列四组函数中,表示同一函数的一组是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由函数的定义可知,两个函数要为同一函数则其三要素必须相同。

高二数学函数及其表示试题答案及解析

高二数学函数及其表示试题答案及解析

高二数学函数及其表示试题答案及解析1. 下列四组中的f (x ),g (x ),表示同一个函数的是( ).A .f (x )=1,g (x )=x 0B .f (x )=x -1,g (x )=-1C .f (x )=x 2,g (x )=()4D .f (x )=x 3,g (x )=【答案】D 【解析】A:函数的定义域为,函数的定义域为,所以定义域不相同,B:函数的定义域为,函数的定义域为,所以定义域不相同,C:函数的定义域为,函数的定义域为,所以定义域不相同.【考点】函数的三要素.2. 已知奇函数当时,,则当时,的表达式是( ). A . B .C .D .【答案】A.【解析】设,则;;因为函数是奇函数,所以,即.【考点】函数的解析式、函数的奇偶性.3. 设V 为全体平面向量构成的集合,若映射f : V →R 满足:对任意向量a =(x 1,y 1)∈V ,b =(x 2,y 2)∈V ,以及任意λ∈R ,均有f [λa +(1-λ)b ]=λf (a )+(1-λ)f (b ),则称映射f 具有性质p . 现给出如下映射:①f 1:V →R ,f 1(m )=x -y ,m =(x ,y )∈V ; ②f 2:V →R ,f 2(m )=x 2+y ,m =(x ,y )∈V ; ③f 3:V →R ,f 3(m )=x +y +1,m =(x ,y )∈V. 分析映射①②③是否具有性质p .【答案】①具有性质p ②不具有性质p . ③具有性质p . 【解析】a =(x 1y 1),b =(x 2,y 2),λa +(1-λ)b =(λx 1+(1-λ)x 2,λy 1+(1-λ)y 2). 对于①,f 1(m )=x -y∴f (λa +(1-λ)b )=[λx 1+(1-λ)x 2]-[λy 1+(1-λ)y 2] =λ(x 1-y 1)+(1-λ)(x 2-y 2).λf (a )+(1-λ)f (b )=λ(x 1-y 1)+(1-λ)(x 2-y 2) f (λa +(1-λ)b )=λf (a )+(1-λ)f (b ). ∴①具有性质p .对于②,f 2(m )=x 2+y ,设a =(0,0),b =(1,2), λa +(1-λ)b =(1-λ,2(1-λ)),f (λa +(1-λ)b )=(1-λ)2+2(1-λ)=λ2-4λ+3,而λf (a )+(1-λ)b =λ(02+0)+(1-λ)(12+2)=3(1-λ). 又λ∈R ,∴f (λa +(1-λ)b )=λf (a )+(1-λ)f (b )不恒成立 故②不具有性质p .对于③,f 3(m )=x +y +1,f (λa +(1-λ)b )=[λx 1+(1-λ)x 2]+[λy 1+(1-λ)y 2]+1 =λ(x 1+y 1)+(1-λ)(x 2+y 2)+1,又λf (a )+(1-λ)f (b )=λ(x 1+y 1+1)+(1-λ)(x 2+y 2+1)=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+λ+(1-λ)=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1.∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)③具有性质p.4.下列各组函数中表示同一函数的是()A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】在D项中,函数与的定义域和对于关系一致,所以是相同函数。

高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案

高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案

04 函数概念及其表示1.函数f (x )=log 2(1-2x )+1x +1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .⎝⎛⎭⎫-∞,12 C .(-1,0)∪⎝⎛⎭⎫0,12 D .(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫-1,12 【答案】D.要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧1-2x >0,x +1≠0,解得x <12且x ≠-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,12).2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (-x ),x >2,ax +1,-2≤x ≤2,f (x +5),x <-2,若f (2 019)=0,则a =( )A .0B .-1C .1D .-2【答案】B.由于f (2 019)=f (-2 019)=f (-404×5+1)=f (1)=a +1=0,故a =-1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5.若函数f (x )满足f (1-ln x )=1x,则f (2)等于( )A.12 B .e C.1e D .-1【答案】B.解法一:令1-ln x =t ,则x =e 1-t ,于是f (t )=1e1-t ,即f (x )=1e1-x ,故f (2)=e.解法二:由1-ln x =2,得x =1e ,这时1x =11e =e ,即f (2)=e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -b , x <1,2x , x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56=4,则b =( ) A .1 B .78C.34 D .12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56=3×56-b =52-b , 当52-b ≥1,即b ≤32时,f ⎝⎛⎭⎫52-b =252-b , 即252-b =4=22,得到52-b =2,即b =12;当52-b <1,即b >32时,f ⎝⎛⎭⎫52-b =152-3b -b =152-4b , 即152-4b =4,得到b =78<32,舍去. 综上,b =12,故选D.8. 若任意都有,则函数的图象的对称轴方程为A .,B .,C .,D .,【答案】A令,代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。

函数及其表示练习题与答案汇编

函数及其表示练习题与答案汇编

⑸ f ( x ) = ( 2 x - 5) 2 , f ( x ) = 2 x - 5 。

{}4.已知 f ( x ) = ⎨ x 2(-1 < x < 2) ,若 f ( x ) = 3 ,则 x 的值是( )⎪2 x ( x ≥ 2) A .1 B .1或 3 ⎧ (数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示[基础训练 A 组]一、选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()⑴ y =1 ( x + 3)( x - 5)x + 3, y = x - 5 ; 2⑵ y = x + 1 x - 1 , y = ( x + 1)(x - 1) ;1 2⑶ f ( x ) = x , g ( x ) =x 2 ;⑷ f ( x ) = 3 x 4 - x 3 , F ( x ) = x 3 x - 1 ;12A .⑴、⑵B .⑵、⑶C .⑷D .⑶、⑸2.函数 y = f ( x ) 的图象与直线 x = 1 的公共点数目是()A .1B . 0C . 0 或1D .1或 23.已知集合 A = {1,2,3, k }, B = 4,7, a 4 , a 2 + 3a ,且 a ∈ N *, x ∈ A, y ∈ B使 B 中元素 y = 3x + 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( )A . 2,3B . 3,4C . 3,5D . 2,5⎧ x + 2( x ≤ -1) ⎪⎩3C .1, 或 ± 3D . 32 25.为了得到函数 y = f (-2 x ) 的图象,可以把函数 y = f (1- 2 x ) 的图象适当平移,这个平移是()A .沿 x 轴向右平移1个单位B .沿 x 轴向右平移 1 2个单位1C .沿 x 轴向左平移1个单位D .沿 x 轴向左平移 个单位26.设 f ( x ) = ⎨x - 2, ( x ≥ 10)⎩ f [ f ( x + 6)],( x < 10)则 f (5) 的值为( )A .10B .11C .12D .13二、填空题⎪⎪ 2 x - 1( x ≥ 0),⎧ 11.设函数 f ( x ) = ⎨若f (a) > a. 则实数 a 的取值范围是 。

考点04 高中数学-函数及其表示-考点总结及习题

考点04 高中数学-函数及其表示-考点总结及习题

考点04函数及其表示【命题趋势】对于此知识点,高考中主要掌握以下几点:(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.【重要考向】一、求函数的定义域二、求函数的值域三、求函数的解析式四、分段函数函数的概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A 、B设A 、B 是两个非空数集设A 、B 是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈Af :A →B注意:判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种:解析法、列表法、图象法.解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;图象法:注意定义域对图象的影响.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y=x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞).(7)y=tan x的定义域为π{|π,}2x x k k≠+∈Z.【巧学妙记】1.(2021·全国高一课时练习)有对应法则f :(1)A ={0,2},B ={0,1},x →2x;(2)A ={-2,0,2},B ={4},x →x 2;(3)A =R ,B ={y |y >0},x →21x ;(4)A =R ,B =R ,x →2x +1;(5)A ={(x ,y )|x ,y ∈R},B =R ,(x ,y )→x +y .其中能构成从集合A 到集合B 的函数的有________(填序号).【答案】(1)(4)【分析】利用函数的定义判断.【详解】(1)由函数的定义知,正确;(2)当x =0时,B 中不存在数值与之对应,故错误;(3)当x =0时,B 中不存在数值与之对应,故错误;(4)由函数的定义知,正确;(5)因为集合A 不是数集,故错误;故答案为:(1)(4)2.(2021·北京清华附中高三其他模拟)函数()()lg 4f x x =+-的定义域是(1)相等函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.①两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数.②函数的自变量习惯上用x 表示,但也可用其他字母表示,如:f (x )=2x −1,g (t )=2t −1,h (m )=2m −1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素,则从集合A 到集合B 的映射共有mn 个._____________.【答案】[)1,4-【分析】根据函数解析式直接列出式子即可求解.【详解】()()lg 4f x x =+-,1040x x +≥⎧∴⎨->⎩,解得14x -≤<,故函数的定义域为[)1,4-.故答案为:[)1,4-.3.若函数()1f x +的定义域是[]1,1-________.【答案】1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()1f x + 的定义域是[]1,1-,()f x ∴的定义域是[]02,,则12log f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为满足不等式120log 2x ≤≤的x 的取值范围,114x ∴≤≤,故答案为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【名师点睛】根据“若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出.若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.求函数的值域通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.一次函数的值域为R ;反比例函数的值域为{|0}y y ≠;指数函数的值域为(0,)+∞;对数函数的值域为R ;正、余弦函数的值域为[1,1]-;正切函数的值域为R .将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数,变形过程为:()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++,再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围,从而确定函数的值域.对某些无理函数或其他函数,通过适当的换元,把它们化为我们熟悉的函数,再用有关方法求值域.如:函数()0)f x ax b ac =+≠,可以令0)t t =≥,得到2t dx c-=,函数()f x ax=0)b ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0),接下来求解关于t 的二次函数的值域问题,求解过程中要注意t的取值范围的限制.对二次函数型的解析式可以先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域.作出函数图象,找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义,在图上找出值域.函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其单调性,进而求函数的最值和值域.利用基本不等式a b +≥(a >0,b >0)求最值.若“和定”,则“积最大”,即已知a +b =s ,则ab ≤22()24a b s +=,ab 有最大值24s ,当a =b 时取等号;若“积定”,则“和最小”,即已知ab =t ,则a b +≥=,a +b有最小值,当a =b 时取等号.应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.将函数转化为二次方程:若函数y =f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2+b (y )x +c (y )=0,则在a (y )≠0时,由于x ,y 为实数,故必须有Δ=b 2(y )-4a (y )·c (y )≥0,由此确定函数的值域.利用判别式求函数值的范围,常用于一些“分式”函数、“无理”函数等,使用此法要特别注意自变量的取值范围.充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域.利用导数求函数值域时,一种是利用导数判断函数单调性,进而根据单调性求值域;另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.4.(2021·北京北大附中高三其他模拟)若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞,则()f x 的值域是___________.【答案】[)1,1-【分析】先分离常数将函数解析式化为()211f x x =-+,结合x 的范围,先得出分母的范围,由反比例函数的性质和不等式的性质可得答案.【详解】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++当0x ≥时,11x +≥,所以1011x <≤+,则2201x -≤-<+所以21111x -≤-<+,即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-故答案为:[)1,1-5.(2021·浙江高一期末)函数y =的值域是_________.【答案】[0,)+∞.【分析】求出函数定义域,结合二次函数性质可得.【详解】2230x x --≥,解得1x ≤-或3x ≥,在此条件下,0y ≥.故答案为:[0,)+∞.6.(2021·浙江高一期末)函数21()2f x x x=-的值域为_________.【答案】(,-∞-∞ 1](0,+)【分析】利用换元法,令22t x x =-,则1()f t t=,根据二次函数性质得1t ≥-,然后再根据反比例函数的单调性判断值域.【详解】令22t x x =-,则1()f t t =,由二次函数的性质可得1t ≥-,因为函数1()f t t=在[1,0)-和(0,)+∞上单调递减,所以当[1,0)t ∈-时,()1f t ≤-;当(0,)t ∈+∞时,()0f t >,综上,函数21()2f x x x=-的值域为(,-∞-∞ 1](0,+).故答案为:(,-∞-∞ 1](0,+)7.(2021·全国高三专题练习)函数y =的值域是______.【答案】1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】1y ===-,然后可求出答案.【详解】由题知1y ===,0≥33+≥,所以103<≤,则403<≤因此11,13y ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭,故答案为:1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.8.(2020·上海高一专题练习)已知22124x xx-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,求函数22x x y -=-的值域【答案】2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】首先解指数不等式22124x x x-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到41x -≤≤,再根据函数22x x y -=-的单调性求值域即可.【详解】222242122224414x xxxxx x x x x -++-+⎛⎫≤⇔≤⇔+≤-+⇔-≤≤ ⎪⎝⎭,而函数22x x y -=-在区间[]4,1-上是增函数,所以,函数22x x y -=-的值域为2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.求函数解析式1.换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;2.配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式;3.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;4.方程组法:已知关于f (x )与1()f x或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程求出f (x ).9.(2021·浙江高一期末)函数1)1f x -=+,则()f x =__________(注明定义域)【答案】222(1)x x x ++≥-【分析】利用换元法可得函数()f x 的解析式.【详解】1t -=,则2(1)x t =+,1t ≥-,所以22()(1)122f t t t t =++=++,1t ≥-,所以2()22(1)f x x x x =++≥-.故答案为:222(1)x x x ++≥-.【点睛】方法点睛:本题考查了利用换元法求函数()f x 的解析式,换元时要注意新元的取值范围.10.(2021·湖北高三其他模拟)(多选)已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足:()()x f x g x e +=(其中e 为自然对数的底数),则下列结论中正确的是()A .()()221fx g x -=B .()()()222g x f x g x =+C .()()()22f x f x g x =D .当0x <,12a ≤时,恒有()()21g x x f x ax +->+成立【答案】BCD 【分析】由()()xf xg x e +=得()()--+-=x f x g x e ,利用函数()f x 为奇函数,()g x 为偶函数,求出()f x 和()g x ,经过验证可知A 不正确;B 、C 正确;当0x <,12a ≤时,将不等式()()21g x x f x ax +->+化为21x e ax x >++,(0x >),构造函数2()12xx h x e x =---(0)x >,利用导数可证不等式21x e ax x >++,(0x >)恒成立..【详解】因为()f x 为奇函数,所以()()f x f x -=-,因为()g x 为偶函数,所以()()g x g x -=,由()()xf xg x e +=得()()--+-=x f x g x e ,所以()()x f x g x e --+=,所以()e e 2x x f x --=,()2x xe e g x -+=,对于选项A ,[][]22()()()()()()f x g x f x g x f x g x -=-+2222x x x x x x x x e e e e e e e e ----⎛⎫⎛⎫-+-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1x x e e -=-⋅=-,故A 不正确;对于选项B ,2222()()22x x x x e e e e f x g x --⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(2)2x x e e g x -+==,故B 正确;对于选项C ,()222()()22222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⨯⨯==,故C 正确;对于选项D :()()21g x x f x ax +->+等价于21x e ax x ->-+,(0x <),等价于21x e ax x >++,(0x >),又∵12a ≤,∴22112x ax x x ++++≤,∴只需要212xx e x >++,(0x >)即可,令2()12xx h x e x =---(0)x >,则()1x h x e x '=--,令()1x x e x ϕ=--(0)x >,则()1x x e ϕ'=-,因为0x >,所以()0x ϕ'>,所以()ϕx 在(0,)+∞上为增函数,所以0()(0)010x e ϕϕ>=--=,即()0h x '>,所以()h x 在(0,)+∞上为增函数,所以0()(0)0010h x h e >=---=,所以212xx e x >++,(0x >),所以当0x <,12a ≤时,恒有()()21g x x f x ax +->+成立,故D 正确.故选:BCD 【点睛】关键点点睛:构造等式,利用函数的奇偶性求出()f x 和()g x 的解析式是解题关键.分段函数1.求函数值:弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算.2.求函数最值:分别求出每个区间上的最值,然后比较大小.3.求参数:“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程或不等式.4.解不等式:根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取值范围的大前提.5.求奇偶性、周期性:利用奇函数(偶函数)的定义判断,而周期性则由周期性的定义求解.11.(2020·北京市十一学校高三月考)函数()2233,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()3f a =,则a 的值是()A .3或B.C .3或D .以上都不对【答案】B 【分析】利用分段函数以及指对方程求解a 的值即可.【详解】函数()2233,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,f (a )=3,当2a <时,23a -=3,解得a =3,舍去当2a ≥时,()23log 1a -=3,解得,a =±a =-舍掉,所以a =故选:B .12.(2021·全国高三月考(理))已知函数()()()22log 1,23,2x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩,则()()4f f =()A .1B .2C .3D .4【答案】A 【分析】由内向外,代入分段函数求值,先计算()4f ,再计算()()4f f .【详解】由题意,()224(1)log (11)1==+=f f ,所以()()224(1)log (11)1==+=ff f .故选:A.13.(2021·江西高三其他模拟(文))已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为()A .(),3-∞-B .3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C .(),1-∞-D .(),1-∞【答案】A 【分析】根据()f x 在R 上单调递增可求解.【详解】易得函数()f x 在R 上单调递增,则由()()324f x f x +<-可得324x x +<-,解得3x <-,故不等式的解集为(),3-∞-.故选:A .14.(2021·浙江高一期末)已知函数()()()()()24312121xa x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+-+>⎪⎩在R 上是增函数,则实数a 的取值范围是_______.【答案】[)1,1-【分析】保证在每一段都是增函数,同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系,由此列出不等式组,进而可解得结果.【详解】要使()f x 在R 上是增函数,则431114352a a a a ->⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩,解得11a -≤<.故答案为:[)1,1-.【点睛】方法点睛:对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:一是保证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端点值之间的大小关系;二是画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观的判断.一、单选题1.已知函数ln 01()2(1),1x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩,则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()A .16ln 2-B .16ln 2C .8ln 2-D .32ln 2-2.已知函数21(0)()23(0)x x x f x x ⎧+≤=⎨+>⎩,若()5f a =,则a =()A .2-B .2-或1C .2或2-D .2或2-或13.设函数()121,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩,若()02f x >,则0x 的取值范围是()A .()(),14,-∞-+∞B .(),1-∞-C .()4,+∞D .()1,4-4.已知函数()f x 的定义域为R ,且()()2xf x f x xe-'+=,若()01f =,则函数()()f x f x '的取值范围为()A .[]2,0-B .[]1,0-C .[]0,1D .[]0,25.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 为减函数,对任意的()0,x ∈+∞,均有()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ,则函数()()3g x f x x =+的最小值是()A .2B .5C .103D .3二、填空题6.已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.7.已知函数22()2x xx a f x x x a⎧--≤=⎨-+>⎩,若存在实数0x ,使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立,则实数a 的取值范围是___________.8.已知函数()313f x x x =-的值域为22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则()f x 的定义域可以是__________.(写出一个符合条件的即可)9.已知函数()()()()22220430x ka x f x x x a x ⎧+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩其中a R ∈.若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数()212x x x ≠,使得()()12f x f x =成立,则实数k 的取值范围是______.10.已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞,则函数()y f x =的定义域是_______.三、双空题11.已知11fx =+,则()f x =________,值域为_________.12.已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______;若函数()f x 的值域为[)1,+∞,则a 的最小值为______.一、单选题1.(2019·上海高考真题)下列函数中,值域为[)0,+∞的是A .2xy =B .12y x =C .tan y x=D .cos y x=2.(2011·广东高考真题(文))函数f (x )=11x-+lg(1+x )的定义域是()A .(-∞,-1)B .(1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .(-∞,+∞)3.(2011·湖北高考真题(文))若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x ,则g(x)=()A .e x -e -x B.(e x +e -x )C.(e -x -e x )D.(e x -e -x )4.(2016·全国高考真题(文))下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y x5.(2008·江西高考真题(理))若函数()y f x =的值域是1[,3]2,则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A .1[,3]2B .10[2,3C .510[,23D .10[3,36.(2019·天津高考真题(文))已知函数201,()1,1.x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为A .59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .59,44⎛⎤⎥⎝⎦C .59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D .59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.(2014·江西高考真题(文))已知函数f (x )=2,02,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R),若f [f (-1)]=1,则a =()A .14B .12C .1D .28.(2018·全国高考真题(文))设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩,,,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A .(]1-∞-,B .()0+∞,C .()10-,D .()0-∞,9.(2017·山东高考真题(文))设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .2B .4C .6D .8二、填空题10.(2016·江苏高考真题)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1-)上,,10,(){2,01,5x a x f x x x +-≤<=-≤<其中.a R ∈若,则(5)f a 的值是.11.(2019·江苏高考真题)函数y =_____.12.(2018·江苏高考真题)函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(2,2]-上,cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____.一、单选题1.(2021·江西南昌市·高三三模(文))若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩.则()0f f ⎡⎤=⎣⎦()A .0B .1C .2D .32.(2020·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟(文))函数1ln ln y x x=+的值域为()A .(-∞,-2]B .[2,+∞)C .(-∞,-2] [2,+∞)D .[-2,2]3.(2021·全国高三专题练习)下列函数中,是偶函数且值域为[0,)+∞的是()A .2()1f x x =-B .12()f x x=C .2()log f x x=D .()||f x x =4.(2021·重庆八中高三其他模拟)已知集合{}24A x y x ==-,{}e x B y y ==,其中e 是自然对数的底数,则A B = ()A .∅B .(0,2]C .[2,)+∞D .[2,)-+∞5.(2021·福建厦门双十中学高三其他模拟)设集合2{|2},{|}M x y x x N x x a ==-=<,若M N ⊆,则实数a 的取值范围是()A .2a <B .2a<C .2a≤D .2a ≤6.(2020·全国高三专题练习)函数()22368f x x x x =--+-的值域是()A .35,5⎡⎤-⎣⎦B .[]1,5C .2,35⎡+⎣D .35,35⎡⎤-+⎣⎦二、填空题7.(2020·山东高一期中)函数4()21f x x =+在[-4,-2]上的值域是________.8.(2021·千阳县中学高三其他模拟(文))已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则不等式()1f x >的解集为___________.9.(2021·全国高三其他模拟(文))设函数()22,01,0x m x f x x x --<⎧=⎨-≥⎩,若()()28f f -=,则实数m =___________.10.(2021·江西上高二中高二月考(文))函数21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为______.11.(2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三二模(文))设()221x f x x =+,()sin 323x g x a a π=+-(0a >),若对于任意[]10,1x ∈,总存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()01g x f x =成立,则a 的取值范围是______.12.(2021·山西阳泉市·高三三模(文))已知函数()()2211,21ln 1,2x x x f x x x +⎧<-⎪⎪=⎨⎪+≥-⎪⎩,()233g x x x =-+.设b 为实数,若存在实数a ,使得()()0f a g b +=,则b 的取值范围是___________.三、双空题13.(2021·浙江高三其他模拟)已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______;若函数()f x 的值域为[)1,+∞,则a 的最小值为______.参考答案跟踪训练1.C 【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案.【详解】由题意可知,75312488ln 22222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:C .2.B 【分析】分类讨论自变量的范围,然后带入对应分段函数的解析式,解方程即可.【详解】当0a ≤时,()215f a a =+=,∴2a =-;当0a >时,()235af a =+=,∴1a =.故选:B.3.A 【分析】分别在00x ≤和00x >的情况下,根据解析式构造不等式,解不等式求得结果.【详解】当00x ≤时,()0001222x x f x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭,01x ∴->,解得:01x <-;当00x >时,()1202f x x ==>,解得:04x >;综上所述:0x 的取值范围为()(),14,-∞-+∞ .故选:A.4.A 【分析】将已知等式变为()2x e f x x '⎡⎤=⎣⎦,令()()xg x e f x =,根据()2g x x '=可知()()2xg x x C e f x =+=,由()01f =可确定()f x 解析式,并得到()f x ';根据()()f x f x '的表达式,在0x =和0x ≠两种情况下,结合对号函数的值域可确定最终结果.【详解】由()()2xf x f x xe-'+=得:()()2xxe f x e f x x '+=,即()2x e f x x '⎡⎤=⎣⎦,令()()xg x e f x =,则()2g x x '=,()2g x x C ∴=+(C 为常数),()2xx C e f x ∴+=,()2xx C f x e+∴=,又()01f =,1C ∴=,()21x x f x e +∴=,则()221xx x f x e --'=,()()222212111f x x x xf x x x '--∴==-++;当0x =时,()()1f x f x '=-;当0x ≠时,()()211f x f x x x'=-+,(][)1,22,x x+∈-∞-+∞ ,111,00,122x x ⎡⎫⎛⎤∴∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦+,则[)(]212,11,01x x -∈---+ ,即()()[)(]2,11,0f x f x '∈--- ;综上所述:()()[]2,0f x f x '∈-.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查导数在函数中的应用问题,解题关键是能够根据已知等式构造出函数()g x ,从而利用()2g x x '=构造出等量关系求得()f x 的解析式.5.D【分析】根据题意x 由3()2f x x +带入()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ,可得:3331[()[()]32242[()]2f f x f f f x x x f x x ⎛⎫⎪+⋅++= ⎪ ⎪+⎝⎭整理化简可得228()2()30x f x xf x --=,解方程求得函数解析式,再结合基本不等式即可得解.【详解】由任意的()0,x ∈+∞,均有()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ,x 由3()2f x x+带入可得:3331[()[()]32242[()]2f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪+⋅++= ⎪ ⎪+⎝⎭,所以()()3333[()][()]32222[()]2f x f f x f f x f f f x x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅+=+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭所以()33[()]322[()]2f x f f f x x f x x ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪+⎝⎭,由()f x 为减函数,所以33[()]322[()]2f f x xx f x x++=+所以333[()]2[()]32[()]222f f x f x x f x x x x+⋅++=+即3332()[()]+[()]32()322f x f f x f f x xf x x x x⋅+⋅++=+由()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ,所以11342()2()xf x x f x +⋅=,化简整理可得228()2()30x f x xf x --=,所以3()4f x x =或3()2f x x=-,由()g x 为减函数所以3()4f x x=,故当0x >时,3()()3334g x f x x x x =+=+≥=,当且仅当12x =时,等号成立.故选:D.【点睛】本题考查了求函数解析式,考查了单调性求解过程中的应用,考查了较高的计算能力,属于较难题.本题的关键点有:(1)带入化简,把3()2f x x +带入()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x 在利用原式进行化简,是本题的关键;(2)掌握利用基本不等式求最值.6.12-【分析】利用分段函数直接进行求值即可.【详解】∵函数()3,06log ,0xsin x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=,∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为:12-.7.1a ≥【分析】作出分段函数的图象,再结合图形就可以得到a 的取值范围.【详解】分别作出22y x x =--、2y x =-+的图象中下图所示,由图可以看出当1a ≥时,()f x 有确定的最大值()11f -=,所以这时存在0x ,使得对于任意x 都有0()()f x f x ≤.故答案为:1a ≥.8.[1,1]-(答案不唯一)【分析】利用导数求出函数的单调性,再求出2()3f x =±时所对应的自变量,即可求解.【详解】()21f x x '=-,令()0f x '=可得1,1x =-,所以当1x <-或1x >时,(0)0f '>,当11x -<<时,(0)0f '<,故()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递增,在(1,1)-上单调递减,且22(1),(1)33f f -==-,由此可知定义域可以是[1,1]-,故答案为:[1,1]-(答案不唯一)9.1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由函数单调性可将问题转化为方程()21680k a a -+-=有实数解的问题,分别在1k =和1k ≠两种情况下,根据方程有实数解求得k 的范围.【详解】当0x ≥时,()22xf x ka =+单调递增;当0x <时,()()2243f x x x a =-+-单调递减;若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数()212x x x ≠,使得()()12f x f x =成立,则()2213ka a +=-,整理可得:()21680k a a -+-=,则问题转化为()21680k a a -+-=有实数解,当1k =时,43a =,满足题意;当1k ≠时,()363210k ∆=+-≥,解得:18k ≥-;综上所述:实数k 的取值范围为1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛:本题考查根据方程有根求解参数范围的问题,解题关键是能够根据函数单调性将问题转化为在0x =处函数值相等的关系,将问题化为一元二次方程有实数解的问题.10.(]1,2【分析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-,根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-,则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+,1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增,10x x∴-≥,10111x x∴<≤-+,()12g x ∴<≤,()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为:(]1,2.【点睛】思路点睛:已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域,求解()f x 定义域的基本思路为:()g x 的值域即为()f x 的定义域.11.()2101x x ≥+(]0,1【分析】利用换元法可求出函数的解析式,由反比例函数的性质可求得值域.【详解】令)0t t =≥,则2x t =,所以()()2101f t t t =≥+,即()()2101f x x x =≥+;由于211x +≥,所以(]210,11x ∈+,即函数()f x 的值域为(]0,1,故答案为:()2101x x ≥+,(]0,1.12.23-【分析】根据函数的解析式,结合()21f =和一次函数的性质,列出不等式组,即可求解.【详解】()()()204log 42f f f ===,要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞,则满足041a a ≤⎧⎨+≥⎩,解得30a -≤≤,所以实数a 的最小值为3-.故答案为:①2;②-3.【点睛】本题考查了分段函数的性质,解题的关键点是画出函数的图象,考查了学生的识图能力和计算能力.真题再现1.B 【分析】依次判断各个函数的值域,从而得到结果.【详解】A 选项:2xy =值域为()0,∞+,错误B 选项:12y x =值域为[)0,+∞,正确C 选项:tan y x =值域为R ,错误D 选项:cos y x =值域为[]1,1-,错误本题正确选项:B 【点睛】本题考查初等函数的值域问题,属于基础题.2.C 【分析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.【详解】因为f (x )=11x-+lg(1+x ),所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩,解得1x >-且1x ≠,所以函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞),故选:C 【点睛】本题主要考查了函数的定义域,考查了对数函数的概念,属于容易题.3.D 【分析】由已知中定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=,根据奇函数和偶函数的性质,我们易得到关于()f x 、()g x 的另一个方程:()()--+-=x f x g x e ,解方程组即可得到()g x 的解析式.【详解】∵()f x 为定义在R 上的偶函数,∴()()f x f x -=,又∵()g x 为定义在R 上的奇函数,()()g x g x -=-,由()(),()()()()x x f x g x e f x g x f x g x e -+=∴-+-=-=,∴1()()2xx e g x e -=-.故选:D.【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法——方程组法,及函数奇偶性的性质,其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于()f x 、()g x 的另一个方程:()()--+-=x f x g x e ,是解答本题的关键.4.D 【详解】试题分析:因函数lg 10x y =的定义域和值域分别为,故应选D .考点:对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用.5.B 【详解】试题分析:设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域,由“勾函数”的图象可知,102()3F x ≤≤,故选B .考点:函数的值域.6.D 【分析】画出()f x 图象及直线14y x a =-+,借助图象分析.【详解】如图,当直线14y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方,或者直线14y x a =-+与曲线1y x =相切在第一象限时符合要求.即1124a ≤-+≤,即5944a ≤≤,或者2114x -=-,得2x =,12y =,即11224a =-⨯+,得1a =,所以a 的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎣⎦.故选D .【点睛】根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法.7.A 【分析】由题意,函数()f x 的解析式,可得()12f -=,进而求解()(1)f f -的值,列出方程,即可求解.【详解】由题意,函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩,则()(1)122f ---==,则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==,所以14a =,故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题,其中解答中根据分段函数的分段条件,合理选择相应的对应法则求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.8.D 【分析】分析:首先根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立,一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩,从而求得结果.详解:将函数()f x 的图像画出来,观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩,解得0x <,所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞,,故选D .点睛:该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系,从而求得相关的参数的值的问题,在求解的过程中,需要利用函数解析式画出函数图像,从而得到要出现函数值的大小,绝对不是常函数,从而确定出自变量的所处的位置,结合函数值的大小,确定出自变量的大小,从而得到其等价的不等式组,从而求得结果.【详解】9.C【详解】由1≥x 时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式,代入求解;当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.10.25-【详解】51911123()()()(22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=,因此32(5)(3)(1)(1)1.55f a f f f ===-=-+=-【考点】分段函数,周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时,要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值,尤其是分段函数分界点处的函数值.11.[1,7]-.【分析】由题意得到关于x 的不等式,解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤,故函数的定义域为[1,7]-.【点睛】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.12.2【详解】分析:先根据函数周期将自变量转化到已知区间,代入对应函数解析式求值,再代入对应函数解析式求结果.详解:由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4,所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π2((15))()cos .242f f f ===点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现(())f f a 的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.模拟检测【分析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.【详解】()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩ ,则()0021f ==,因此,()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选:A.2.C【分析】利用基本不等式可求该函数的值域.【详解】当1x >时,1ln 2ln y x x =+≥=,当01x <<时,[11ln (ln )()2ln ln y x x x x ⎤=+=--+-≤--⎥⎦,所以函数的值域为][(,22-∞-⋃,)+∞,故选:C .【点睛】本题考查函数值域、基本不等式,注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”,本题属于基础题.3.D【分析】通过函数的性质依次分析选项中的奇偶性和值域即可.【详解】解:对于A :2()1f x x =-,为偶函数,但值域为[)1,-+∞,故A 不正确;对于B :12()f x x =定义域不对称,为非奇非偶函数函数,故B 不正确;对于C :2()log f x x =定义域不对称,为非奇非偶函数函数,故C 不正确;对于D :()||f x x =为偶函数,且值域为[)0,+∞,故D 正确;故选:D.【分析】根据函数的定义域求法以及指数函数的值域求出集合,A B ,再由集合的交运算即可求解.【详解】{{}[]222,2A x y x x ===-≤≤=-,{}{}()e 00,x B y y y y ===>=+∞,所以A B = (0,2].故选:B5.B【分析】先利用定义域的求法化简集合M ,再根据M N ⊆求解.【详解】因为集合{|{|02}M x y x x ===≤≤,{|}N x x a =<,且M N ⊆,所以实数a 的取值范围是2a >.故选:B.6.A【详解】由()232x 3f x x =-=-,知2680x x -+-≥,解得[]2,4.x ∈令t 23x =-,则23x t =--.,即为y =y 23x t =--两函数图象有交点,作出函数图象,如图所示:由图可知,当直线和半圆相切时t 最小,当直线过点A(4,0)时,t 最大.3t 114-=+,解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时,2430t ⨯--=,解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈-⎣⎦,即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.7.44[,]37--【分析】利用反比例型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数4()21f x x =+在1(,)2-∞-上是单调递减函数,所以当[4,2]x ∈--时,函数4()21f x x =+也是单调递减函数,因此有:(4)()(2)f f x f -≥≥-,即44()37f x -≤≤-,所以函数4()21f x x =+在[-4,-2]上的值域是44[,]37--.故答案为:44[,]37--8.11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据分段函数的定义,分段讨论即可求解.【详解】解:()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ,()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩,解得10-<≤x 或103x <<,即113x -<<,∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.9.1或16【分析】由题意得()24f m -=-,分别讨论40-≥m 和40m -<,代入不同解析式,结合题意,即可求得答案.【详解】由题意得:()24f m -=-,若40-≥m ,则2(4)(4)18f m m -=--=,即43m -=,解得1m =,满足题意;若40m -<,则(4)2(4)8f m m m -=---=,即88m -=,解得16m =,满足题意,综上,m 的值为1或16.故答案为:1或1610.(0,)+∞【分析】按1x <和1x >分别求出函数的值域,取并集可得答案.【详解】当1x <时,()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭当1x >时,()()10,1f x x=∈综上可得,21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为(0,)+∞故答案为:(0,)+∞11.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由()221x f x x =+,由0x =,()0f x =和当01x <≤时,转化为()22221111124f x x x x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭,利用二次函数求得其值域;利用三角函数的性质求得()g x 的值域;根据对于任意[]10,1x ∈,总存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()01g x f x =成立,由()f x 的值域是()g x 的值域子集求解.【详解】()221x f x x =+,当0x =时,()0f x =;当01x <≤时,()(]22220,11111124f x x x x ==∈⎛⎫++- ⎪⎝⎭,所以()f x 在[]0,1的值域为[]0,1;()sin323x g x a a π=+-(0a >),当302x ≤≤时,032x ππ≤≤,有0sin 13x π≤≤,可得()g x 的值域为[]32,3a a --,对于任意[]10,1x ∈,总存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()01g x f x =成立,可得[][]01323a a ⊆,-,-,。

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是()A.B.C.D.【答案】D.【解析】对于A,函数的定义域为,函数的定义域为,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即A不正确;对于B,函数的定义域为,函数的定义域为或,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即B不正确;对于C,函数的定义域为,函数的定义域为,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即C不正确;对于D,函数的定义域和值域均为,函数的定义域和值域也均为,两者的定义域和值域均相同,所以是同一函数,即D正确.【考点】相等函数的概念.2.已知且则的值是A.B.C.5D.7【答案】A【解析】由已知得,令,则,。

【考点】奇函数的定义及性质的应用。

3.已知,则()A.B.C.D.【答案】B.【解析】先令,则,由得,即,然后将替换上式可得.故选B.【考点】函数的解析式.4.设则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意易知,.故选A.【考点】函数的求值.5.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:(1)对任意的,总有;(2);(3)若,,且,则有成立,则称为“友谊函数”,请解答下列各题:(1)若已知为“友谊函数”,求的值;(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?并给出理由.(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得且,求证:.【答案】(1)(2)是友谊函数(3)见解析.【解析】(1)利用赋值法由得,再由得,所以(2)分别验证(1)由指数函数的性质在区间上的最小值为0,(2)直接带入验证易得(3)利用做差法直接比较(3)先利用单调性的定义证明抽象函数的单调性,然后再证明取得,又由,得(2)显然在上满足(1);(2).(3)若,,且,则有故满足条件(1)、(2)、(3),所以为友谊函数.(3)由(3)知任给其中,且有,不妨设所以:.下面证明:(i)若,则有或若,则,这与矛盾;(2)若,则,这与矛盾;综上所述:【考点】函数的概念与性质.6.下列各组函数中,表示同一个函数的是()A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】表示同一函数必须具备两个条件:一是定义域相同,二是对应法则相同.对于A,的定义域为,而的定义域为,不符合;对于B,的定义域为,对于的定义域为,不符合;对于C,函数与函数的定义域都为,但当时,与的对应法则不相同,也不符合;对于D,函数与函数的定义域都为,且,两个函数的对应法则也相同,故相同函数的是答案D.【考点】1.函数的概念;2.对数的恒等式.7.设是集合M到集合N的映射, 若N="{1,2}," 则M不可能是()A.{-1}B.C.D.【答案】D【解析】对应法则是,根据映射的定义,集合M中的任何一个元素在N中都要有唯一的元素和他对应,而D选项中的2,,,不满足定义,所以不正确,故选D.【考点】映射的定义8.下列函数中与为同一函数的是A.B.C.D.【答案】B【解析】函数的定义域为R,函数的定义域为,所以与函数的定义域不同,不是同一函数;函数的定义域为R,且,与与函数为同一函数;函数的定义域为,所以与函数的定义域不同,不是同一函数;函数,与函数y=x的解析式不同,所以不是同一函数.故选:B.【考点】函数的定义9.下列各组函数中表示同一函数的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】显然A中两函数的解析式不同;B中函数的定义域不同;C中函数的定义域不同;D中哈思楠的定义域和解析式都相同,所以表示同一函数.【考点】本小题主要考查函数的三要素的应用.点评:函数的定义域,值域和对应关系是函数的三要素,其实函数的定义域和对应关系如果相同,值域也就相同了,所以判断时,一般只判断定义域和对应关系.10.函数称为高斯函数,又称取整函数,对任意实数是不超过的最大整数,则函数的值域为 .【答案】【解析】:①当-0.5<x<0时,y=[x]+1的函数值为0;②当0≤x<1时,y=[x]+1的函数值为1;③当1≤x<2时,y=[x]+1的函数值为2;④当2≤x<2.5时,y=[x]+1的函数值为3;综上所述,得函数y=[x]+1(-0.5<x<2.5)的值域为{0,1,2,3}。

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析

高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是()A.B.C.D.【答案】D.【解析】对于A,函数的定义域为,函数的定义域为,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即A不正确;对于B,函数的定义域为,函数的定义域为或,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即B不正确;对于C,函数的定义域为,函数的定义域为,两者的定义域不相同,所以不是同一函数,即C不正确;对于D,函数的定义域和值域均为,函数的定义域和值域也均为,两者的定义域和值域均相同,所以是同一函数,即D正确.【考点】相等函数的概念.2.已知,则(指出范围).【答案】.【解析】令,,即,由已知得方程:,化简整理得,,.所以,.【考点】函数的解析式求法;换元法.3.设则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意易知,.故选A.【考点】函数的求值.4.设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为().A.B.C.D.【答案】C.【解析】因为分段函数在求值时,不同范围内的自变量对应不同的函数,所以在编写函数求值的算法程序需运用条件语句,故本题选C.【考点】基本算法语句中的条件语句的理解.5.下列函数中,与函数相同的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,由函数,那么对于A,由于对应关系不一样,定义域相同不是同一函数,对于B,由于,对应关系式不同,不成立,对于C,由于定义域相同,对应法则不同,不是同一函数,排除法选D.【考点】本题考查同一个函数的概念.6.下列各项表示相等函数的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】函数相等要函数的三要素(定义域、对应法则、值域)相同,故选C.【考点】同一函数的判断,函数的三要素(定义域、对应法则、值域).7.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则。

【答案】2【解析】由题意可知,【考点】本小题主要考查函数的求值.点评:解决本小题的关键是根据图象求出相应的函数值,难度较低.8.下列函数中,与函数相同的函数是 ()A.B.C.D.【答案】C【解析】,,与定义域不同,故选C。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

函数及其表示考纲知识梳理一、函数与映射的概念集合,可以不是数集,而函数中的两个集合必须是非空数集。

二、函数的其他有关概念(1)函数的定义域、值域在函数()y f x =,x A ∈中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域(2)一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 (3)相等函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数。

注:若两个函数的定义域与值域相同,是否为相等函数?(不一定。

如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;再如y=sinx 与y=cosx ,其定义域为R ,值域都为[-1,1],显然不是相等函数。

因此凑数两个函数是否相等,关键是看定义域和对应关系)(4)函数的表示方法表示函数的常用方法有:解析法、图象法和列表法。

(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是个函数。

函数及其表示测试题1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是( A )A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞解析 由已知,函数先增后减再增当0≥x ,2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0<x ,3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ,解得313><<-x x 或2、试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1)f (x )=2x ,g (x )=33x ;(2)f (x )=x x ||,g (x )=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x(3)f (x )=1212++n n x ,g (x )=(12-n x )2n -1(n ∈N *);(4)f (x )=x 1+x ,g (x )=x x +2;(5)f (x )=x 2-2x -1,g (t )=t 2-2t -1。

解:(1)由于f (x )=2x =|x|,g (x )=33x =x ,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数;(2)由于函数f (x )=x x ||的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而g (x )=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x 的定义域为R ,所以它们不是同一函数;(3)由于当n ∈N *时,2n ±1为奇数, ∴f (x )=1212++n n x =x ,g (x )=(12-n x )2n -1=x ,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;(4)由于函数f (x )=x1+x 的定义域为{x|x ≥0},而g (x )=x x +2的定义域为{x|x ≤-1或x ≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数;(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数注:对于两个函数y=f (x )和y=g (x ),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f (x )和y=g (x )才表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。

3、求下列函数的值域: (1)232y x x =-+;(2)y =3)312x y x +=-;(4)y x =+5)y x =6)|1||4|y x x =-++;(7)22221x x y x x -+=++;(8)2211()212x x y x x -+=>-;解:(1)(配方法)2212323323()61212y x x x =-+=-+≥, ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞(2)求复合函数的值域:设265x x μ=---(0μ≥),则原函数可化为y = 又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤, ∴04μ≤≤[0,2],∴y =[0,2] (3)(法一)反函数法:312x y x +=-的反函数为213x y x +=-,其定义域为{|3}x R x ∈≠, ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠(法二)分离变量法:313(2)773222x x y x x x +-+===+---,∵702x ≠-,∴7332x +≠-,∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠(4)换元法(代数换元法):设0t =≥,则21x t =-,∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥,∴5y ≤, ∴原函数值域为(,5]-∞注:总结y ax b =+变形:2y ax b =+2y ax b =++(5)三角换元法:∵21011x x -≥⇒-≤≤,∴设cos ,[0,]x ααπ=∈,则cos sin )4y πααα=+=+ ∵[0,]απ∈,∴5[,]444πππα+∈,∴sin()[,1]42πα+∈-,)[4πα+∈-,∴原函数的值域为[-(6)数形结合法:23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩,∴5y ≥,∴函数值域为[5,)+∞(7)判别式法:∵210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R由22221x x y x x -+=++得:2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时,①即300x +=,∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时,∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根, ∴△22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥, ∴15y ≤≤且2y ≠, ∴原函数的值域为[1,5](8)2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----,∵12x >,∴102x ->,∴112122x x -+≥=-,当且仅当112122x x -=-时,即12x =时等号成立∴12y ≥,∴原函数的值域为1,)2+∞4、求函数的解析式(1)已知3311()f x x x x +=+,求()f x ; (2)已知2(1)lg f x x +=,求()f x ;(3)已知()f x 是一次函数,且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x ; (4)已知()f x 满足12()()3f x f xx +=,求()f x ;解:(1)配凑法:∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+, ∴3()3f x x x =-(2x ≥或2x ≤-); (2)换元法:令21t x +=(1t >),则21x t =-, ∴2()lg1f t t =-,2()lg (1)1f x x x =>-;(3)待定系数法:设()(0)f x ax b a =+≠,则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+, ∴2a =,7b =, ∴()27f x x =+;(4)方程组法:12()()3f x f xx += ①把①中的x 换成1x ,得132()()f f x x x +=②, ①2⨯-②得33()6f x x x =-∴1()2f x x x =-。

5.设a 是正数,ax+y=2(x ≥0,y ≥0),记y+3x -21x 2的最大值是M(a),试求:M(a)的表达式; 解 将代数式y+3x -21x 2表示为一个字母,由ax+y=2解出y 后代入消元,建立关于x 的二次函数,逐步进行分类求M(a)。

设S(x)=y+3x -21x 2,将y=2-ax 代入消去y ,得:S(x)=2-ax+3x -21x 2=-21x 2+(3-a)x+2=-21[x -(3-a)]2+21(3-a)2+2(x ≥0)∵y ≥0 ∴2-ax ≥0而a>0 ∴0≤x ≤a 2下面分三种情况求M(a)(i)当0<3-a<a 2(a>0),即⎩⎨⎧>+-<<023302a a a 时解得 0<a<1或2<a<3时M(a)=S(3-a)= 21(3-a)2+2(ii)当3-a ≥a 2(a>0)即⎩⎨⎧≤+->02302a a a 时,解得:1≤a ≤2,这时M(a)=S(a 2)=2-a ·a 2+3·a 2-21·2)2(a=-22a +a 6(iii)当3-a ≤0;即a ≥3时 M(a)=S(0)=2 综上所述得:M (a )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-≤≤+-<<+-)3(2)32(2)3(21)21(62)10(2)3(21222a a a a a aa a 。

相关文档
最新文档