参考补充例题

1 mA ( Fi ) 0 : P cos(600 ) 2 P[l cos l cos(600 )] 0 2
2 cos 2.5(cos 60 cos sin 60 sin ) 0
0 0
3 tg 0.346 5
19 16
FA FA FD
m m m
q B q D 6kN / m 6
0 : Fx B 0 ( Fi ) 0 :
FC
F m
FB FB FC
xi B
1 4 FC 4 qB 4 0, FC 4kN () 2 3 1 Fyi 0 : Fy B FC 2 qB 4 0, Fy B 8kN ()
倾翻问题． 进行受力分析时，应利用欲倾翻时，有些约束被解脱 的特点。 分析系统整体，当球太重，筒太轻时，圆通由可能绕 B翻倒。刚要翻倒时，A处约束已解脱，其约束反力NA为 零，画出其受力图，如图（a）所示。
系统受已知力P及三个未知力 ：
R
R
Qmin N D，N B
是平面平行力系的平衡问题， 只有两个平衡方程， 无法直接求出
再由投影方程 :
X
i
0
X A RC sin 0 XA 0
Y 0
i
1 YA RC cos (q A qB ) 3l 0 2
解得 :
3l YA ( q A q B ) 2 3 2 (4 2) 18kN () 2
补例７三跨静定刚架，自重不计，如图示。已知 :
杆件内力为正，表示杆件受拉；负号表示杆件受压。
补例 多跨静定梁的平衡。图示多跨静定梁，由主梁 AB和次梁BC铰接而成。已知 qD 9kN / m，m 4kN m 试求A，B，C，D处的约束反力。
m
m
m
解：受力图如图：
1.取次梁BC为研究 对象，B处的线荷载 集度为 ：4 列出平衡方程 :
Q
E
W
C
解：从BC取开，受力分析如图：
x A
a o
FBY
B
,
Q , FBx FBY RC
C E
Fox FoY W
FBx
首先考虑BCE：
y 0，F
S S AB AB
CD sin 750 0.22 0.9659 0.2125m d
m2 S d 8 0.2125 1.70 Nm AB
RD S S AB 8N AB
补例12：
沿正六面体的三棱边作用着三个力，在平面OABC 内作用一个力偶。已知
解出：
P YF 1.5kN () 2
代入前式求得：
X F qa 2.5kN()
2. 再研究基本部分ABC三铰刚架，受力图如图（d）
(d)
(e)
列平衡方程：
m (F ) 0 :
A i
YB 4a X F '2a 0
解得：
X F ' qa YB 1.25kN () 2 2
补例３
匀质杆AB和BC在B端刚结， A端用绳悬挂，
如图。已知： BC
水平面的倾角θ 。
2 AB
求当刚杆ABC平衡时，BC与
解：研究刚杆ABC的平衡，设杆 AB重P，长L，则杆BC重2P，长 2L。画出杆的受力图，如图所示。 这是平面平行力系的平衡问题，
有两个独立平衡方程，可求解两个未知量。
选未知力T的作用点A为矩心，列出平衡方程：
q 1kN / m，P 3kN，a 2.5m
试求铰链G、I和B的约束反力。
(a) a a 2a 2a 2a
2a
2a
解：这是一个由基本部分三铰刚架ABC和两个附属的
三铰刚架DEF和GHI所组成的系统。
受力分析如图： 首先分析HC部分,HI为二力杆,
m (F ) 0 : R x 0: X 0 y 0: Y 0
补例９
物体系统倾翻问题
无底的圆柱形空筒放于光滑地面上，内放两个重为
P的均质圆球，球的半径为r，筒的半径为R，如图（a） 所示。设各接触处光滑，且r＜R＜2r。试求圆筒不致倾 翻的最小重量 Q
min
R R
解：这是由基本部分圆柱筒和附属部分两球所组成的物体
系统。
应选用先附属部分，后整体的解题方案，求解
合力大小和作用线位置后，再计算它们在所选投影轴上 得投影以及对所选矩心之矩。 列平衡方程：
m
B
( Fi ) 0
3l 1 RC 4l cos m q B 3l (q A q B ) 3l 2l 0 2 2
得：
1 9 RC [m q B l 2 3(q A q B )l 2 ] 4l cos 2 1 9 [60 2 2 2 3(4 2) 2 2 ] 2 4 2 cos 30 0 0
SBC C
m2 45
0
RA
A
D
RD
（a） （b）
S AB 与 R A 组成力偶与 m1 平衡，由
m
0
i
0
S AB d m1 0
d AB sin 30 0.05m
S AB
m1 0.4 8N d 0.05
其次观察杆CD，受力如图(b)所示，由
m
i
0 m2 S d 0 AB
A i B
3m
3m
4m
解得：
F
4m 3m 3m 4m
F
FB 80kN()
3m
2. 从C和E处拆开，取BCE部分为研究对象，画出 受力图如图（b),列平衡方程：
m (F ) 0 :
C i
FB 7 70 3 FN 3 3 0
解得：
F F F 70kN F
FN 3 116.7kN()
0
补例４
在水平单伸梁上作用有集中力偶和梯形线
荷载，如图，已知m=60kN· m，
q A 4kN / m，qB 2kN / m，l 2m， 300
试求B，C支座反力。
3
4
解：
研究AC梁，画出其受力图，如图5—7所示。在列
平衡方程时，梯形线荷可视为荷载集度为qB的匀布荷载
上，叠加一三角形荷载组成，分别求得这两个线荷载的
FBx θ FBy
B
1 1 FBx Rc sin qL sin 2 P sin 2 2 4
F
y
0 :Rc cos FBy q 2L 0
1 2 FBy q 2 L Rc cos P(1 cos ) 2
再分析AC悬臂梁：
M F Ax F Ay
3.最后研究三根二力杆的连结点 D的平衡，画出受力图，如图(c) 列出平面汇交力系的平衡方程：
F
F F
,
F
xi
0:FN 3 FN 1 sin 0
5 FN 1 FN 3 / sin FN 3 145.8kN () 4 Fyi 0:FN 2 FN 1 cos 0 FN 2 3 FN 1 cos FN 1 87.5kN 5
m
A
0 : M A Rc cos 2 L M 0 M A 2 Rc L cos PL PL(1 cos 2 )
x 0:
y 0:
1 FAX Rc sin 0 FAx P sin 2 4 1 FAy Rc cos 0 FAy P cos 2 2
N A 0，Q Qmin
m
B
( Fi ) 0 : P r ( P N D ) (2 R r ) Qmin R 0
解得：
Qmin
2( R r ) P R
()
显然，筒不可能绕A边倾翻。
补例：图示结构自重与摩擦不计，已知：L、θ、M、 q。试求支座A、B的约束反力。 解：分别取斜梁和悬臂梁为 研究对象，受力分析如图：
2.取整体为研究对象， F A 列平衡方程：
FA
FX i 0 : FX A 0
FD
m m m
FC
1 6 mD ( Fi ) 0 : FC 6 m 2 qD 6 3 FY A 4 0 FY A 6.5kN ()
Y 0 :
i
1 FY A FD FC qD 6 0 2 FD 29.5kN ()
RC q=P/2L
M=PL C
A L D L 2L θ B
q=P/2L
首先研究斜梁BC：
m
FBx θ FBy
B
B
(F ) 0 :
Rc 2 L q 2 L L cos 0 1 Rc qL cos P cos 2
RC
q=P/2L
F
x
0:
Rc sin FBx 0
补例11：平面机构ABCD中的AB=0.1m，CD=0.22m，杆AB
及CD上各作用一力偶，在图示位置平衡，已知
m1 0.4 N m
杆重不计，求A、D两铰处的约束力及力偶矩 m2
C B m1 A 60
0
30
0
m2 45
0
D
解：观察AB杆平衡，受力如图（a）：
S BC
B m1 600 300
2
补例 混合结构的平衡厂房组合桁架的荷载及尺寸 如图(a)所示，长度单位为m。若不计各构件重量， 试求1、2、3杆的内力。 解：
3m 3m 4m
1.先研究组合
3m
4m 3m 3m 4m
桁架整体，
画出受力图，
如图(a)所示,
Leabharlann Baidu 列出平衡方程：
m (F ) 0: F 14 60 3 40 6 70 10 0
３．从C处拆开，研究BC部分，受力图如图（e）， 列平衡方程；
m (F ) 0
c i
YB 2a X B '4a 0
YB qa XB 0.63kN () 2 4
补例８ 混合结构的平衡厂房组合桁架的荷载及尺寸如图 （a）所示，长度单位为m。若不计各构件重量，试 求1、2、3杆的内力。
m 9.2i 3.6 j ( N m)
m 9.2 3.6 9.88N m
2 2
补例13：图示一台秤。空载时，台秤以及支架BCE的重量与杠杆 AB的重量恰好平衡；当秤台上有重物时，在AO上加一秤锤，设 秤锤重量为w，OB=a，求AO上的刻度x与重量Q之间的关系。
x A
a O


m1 ,m2 ,m 均在x,y平面内如图所示。
m1 20 0.25 5N m m2 30 0.2 6 N m
4 mx m cos m1 cos m2 (1 5) 6 9.2 N m 5 3 m y m sin m1 sin (1 5) 3.6 N m 5 mz 0
F1 20 N，F2 30 N，F3 50 N
m=1N· 求力偶与三个力合成的结果。 m
解：将 F 3 分解为 F 1 F 2，见图(a) F1 20 N，F2 30 N 与
这样三个力与力偶m的合成可看成为力偶 ( F 1， 1 )、 2，F2 ) F (F 与力偶m的合成。以上三力偶用矩矢表示 m1 ,m2 ,m
Qmin
如果先求出ND，则可由
m
B
(F ) 0
求出：
Qmin
(a)
1. 先研究两球组成的附属部分，画出其受力图， 如图（b）所示。
(b)
列出平衡方程：
Y
2.
i
0，N D P P 0
N D 2 P()
再研究系统整体，其受力图如图（ｂ），
列出平衡方程，并利用不倾翻的条件：
A
M=PL
D
RC
C
,
m
A
0
M A Rc cos 2L M 0 M A 2 Rc L cos PL PL(1 cos ) 1 Fx 0 : FAX Rc sin 0 FAx 4 P sin 2 1 2 Fy 0 : FAy Rc cos 0 FAy 2 P cos
G i
HI
0
G
G
再分析DEFHC部分,
选二未知力的交点D为矩心， 列出平衡方程：
2a
m
D
( Fi ) 0 :
(b)
YF 2a X F 2a P a q 2a a 0
2a
然后研究EF，受力图如图，
列出平衡方程：
m
E
( Fi ) 0 :
YF 2a P a 0