七年级数学整体代入思想的应用
整体思想在数学解决问题中的应用
整体思想在数学解决问题中的应用整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
一、整体思想在代数式求值中的应用例1：m+n=2，mn=1，则 = ；思路：不用单独求m和n，而是把变成在把m+n和mn的值进行整体代入。
例2：已知 +x-1=0，则 = ；思路：不用单独求x值，而是 +x-1=0变化成2（ + x）-1=0得到 + x=进行整体代入。
二、整体思想在解方程（组）中的应用例1：若方程组的解是，则方程组的解是（）。
A． B． C． D．思路：把x+2和y-1看做一个整体，根据已知方程组的解，容易得到x+2=8.3，y-1=1.2，进而求得x和y的值。
例2：若二元一次方程组的解为则a-b=；思路：不用解方程求x和y，只需把方程组中两个方程相加，得到4x-4y=7，得到x-y的值，进而得到a-b的值。
三、整体思想在求线段长中的应用例1(河北2018中考)：如图，点为△ABC的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（）A.4.5B.4C.3D.2思路：阴影部分的周长可以凑成一个整体转化为线段AB的长。
例2：如图，某楼梯示意图，BC＝4米。
要在楼梯上铺设地毯，则地毯的长度大约为（）米。
(取1.73)思路：其实地毯的长度就是所有台阶的长度与高度的和，即AC+BC的长。
四、整体思想在求角度中的应用例1：如图，三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数是( )。
A.90∘B.120∘C.135∘D.180∘思路：∠1+∠2+∠3的度数和看做一个整体去求。
可以利用平移的办法转化为一个平角，也可以用三个平角的和减去两个三角形的内角和。
五、整体思想在求面积中的应用例2：如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，半径都是1cm，则图中阴影部分的面积是( )cm²。
初中数学精品教案：整体代入的应用)
《0501整体代入的应用》微设计教学目标:1.初步掌握利用整体思想解决代数式的化简求值问题的一般方法；2.在经历解决较复杂问题过程中初步学会体会整体思想的重要性；3.体验理解整体思想在求解代数式的化简求值问题中的价值.重点：利用整体思想解决代数式的化简求值问题的一些方法.难点：当已知条件与所求代数式没有直接的倍数关系时，需要将条件转化或结论转化，再整体代入.教学过程：一、激趣引入同学们，代数式的化简求值中许多问题离不开整体思想，今天我们用整体代入的方法解决代数式的化简求值问题.二、例题解析（一）直接整体代入例1.如果5=+b a ，那么=+-+)(4)(2b a b a __________.分析：首先从整体上观察已知条件与所求代数式的关系，若能将已知条件直接整体代入的就直接代入求值；若不能将条件直接代入的，可以考虑先将结论化简再整体代入，或者先用一个字母表示另一个字母，再代入所求结论并化简求值.而在本题中，我们不难发现：可以将a+b 的值直接整体代入所求代数式，求出结果.解答：将5=+b a 整体代入，得=+-+)(4)(2b a b a 520255452=-=⨯-. 小结：通过本题，可以总结出利用整体思想解决代数式的化简求值问题的基本步骤：（1）从整体上观察已知条件与所求代数式的倍数关系；（2）若能将已知条件直接代入的就直接代入求值；若不能，可以考虑将已知条件或结论先化简，再整体代入求值，也可以考虑先消元，再代入化简求值.（二）转化已知式后再整体代入例2．已知0232=--a a ，求代数式2625a a -+的值.分析:本题与例1相似，方法类似，但是不能发现已知条件与所求结论的直接关系，可以自己尝试着寻找其中的关系.思考：是否可以先将已知条件所求转化，再整体代入求值. 解答：由0232=--a a ，得232=-a a ，两边同时乘以-2，得4262-=+-a a ，故2625a a -+=1)4(5=-+.小结：当已知条件和所求代数式中存在倍数关系时，可以先将已知条件转化，再整体代入求值.（三）转化所求式后再代入例3．已知012=--x x ，求代数式201523++-x x 的值.分析:本题中没有直接可以发现的倍数关系，所求代数式又相对比较复杂，但也可以用整体思想来解决，可以尝试先将所求代数式转化成已知条件的倍数，再整体代入，逐步化简并求值.解答: 201523++-x x =2015223++-++-x x x x x=2015)1(22++----x x x x x 20141201522+++-=++-=x x x x 2014)1(2+---=x x =2014.小结：当已知条件和所求代数式中没有直接存在倍数关系时，可以先将所求代数式转化，再将已知条件整体代入，逐步化简并求值.变式：已知012=--x x ，求分式342232++-x x x x 的值. 分析:本题条件不变，只是求整式改成了分式，题中也没有直接可以发现的倍数关系，如果采用分式基本性质，将分子与分母同除以2x ，这样只会变得更加复杂，通过仔细分析，同样可以用整体思想来解决，方法与例3大致相同. 解答: 342232++-x x x x = 332332)1(222222++-=++---x x x x x x x x x =1111)1(111)1(22222=++=+++--=+=++---x x x x x x x x x x x x . 小结：无论是整式还是分式，当已知条件和所求代数式中没有直接存在倍数关系时，都可以先将所求代数式转化，再将已知条件整体代入，逐步化简并求值.三、感悟提升本节课我们重点研究了用整体代入的方法求解代数式的化简求值问题，以常见的三种类型展开，解决问题时，首先需要从整体上观察已知条件与所求代数式的关系，然后再选择直接代入、转化已知式后再代入和转化所求式后再代入等方法，可以通过等式性质、因式分解、去括号法则的应用，也可以利用拼凑法、消元法等其它方法.。
巧用“整体代入”数学思想方法解决数学问题
巧用“整体代入”数学思想方法解决数学问题作者：郑兴万来源：《教育周报·教研版》2017年第23期在解决数学问题的时候，有时不能直接解决问题，可以考虑使用“整体代入”数学思想方法解决问题，往往能起到事半功倍的效果。
下面就我在教学中用“整体代入”数学思想方法解决的几个数学问题。
以此提供给大家参考，不妥之处请指正。
一、利用“整体代入”数学思想方法解决实际中方程组的求解问题1.甲、乙两人合作完成一项工程需24天，若乙先干10天后甲加入则需20天完成；问甲乙单独完成这项工程各需多少天？解：设甲、乙单独完成这项工程过需x天，y天，依据意得；。
将①式代入②式得，解得y=60. 将y=60代入①式得x=40.经验根知：x=40是方程组的解。
由此发现整体代入在解决问题中取到的功效显而一见。
二、利用“整体代入”数学思想方法解决代数式的求值问题在学习了代数式的化简求值之后，对代数式的化简求值，有时在不能直接求出代数式值的情况下，可以考虑使用”整体代入”数学思想解决问题。
问题2.已知，求的值。
分析：因为，所以。
两边同除以m得；，于是 =25+2=27，因此 +（）=1+27=28。
利用“整体代入”数学思想方法解决与一元二次方程根与系数有关的代数式的求值问题。
问题3.设a、b是方程的两个实数根，求代数式的值。
解：由一元二次方程根与系数的关系，得a+b=-1，又因为a是方程的实数根，所以即：，因此， = =2009+（-1）=2008三、利用“整体代入”数学思想方法解决求三角形的周长问题问题4. 如图，Rt∆ABC的内切圆ʘO与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D、E）上任一点P作ʘO的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若ʘO 的半径为r ，求Rt∆MBN的周长。
解：由切线长定理可得.DM=PM，NP=NE.连接OD、OE，则四边形ODBE是正方形。
所以DB=BE=OD=OE=r，于是Rt∆MBN的周长为：BM+BN+MN=BM+MP+BN+NP=BM+MD+BN+NEBD+BE=2 BD=2r。
整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档
整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
洋葱数学七年级下册中的整体代入法是指在解决问题时，将数据整体代入，而不是逐个代入。
这种方法可以简化计算过程，提高解题效率。
在某些问题中，给定一些数据，我们需要对这些数据进行计算或者进行某些操作。
如果我们逐个代入数据进行计算，往往会比较繁琐。
而使用整体代入法，我们可以将给定的数据整体代入，从而减少计算步骤。
例如，假设题目给出了一组数列（1，2，3，4，5），要求计算这组数列所有数的和。
使用整体代入法时，我们可以将这组数列整体代入求和的公式中：
和 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
这样，我们只需要一步就得到了结果，而不需要逐个数进行累加。
整体代入法在解决数学问题时非常实用，可以简化计算过程，节省时间。
在洋葱数学七年级下册的学习中，我们可以运用整体代入法解决一些实际问题，提高解题效率。
代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
代入法是解决数学问题的一种常见方法，在数学七年级下册我们学习了整体代入法和洋葱代入法。
这两种代入法都是比较常见且实用的解题方法，能够帮助我们更深入地理解数学问题，提高解题的效率和准确性。
让我们来了解一下整体代入法。
整体代入法是解决一些多步骤、复杂的数学问题时常用的方法。
它的核心思想是将一个复杂的问题整体看待，通过一些关键的步骤或方法进行代入，从而简化问题，使其更易于求解。
这种方法适合于那些需要分步骤求解的问题，能够帮助我们更快速地找到解题的突破口，从而解决问题。
我们来看一下洋葱代入法。
洋葱代入法是一种从内而外逐步推进的解题方法，它的名字来源于洋葱的剥皮过程。
在使用洋葱代入法时，我们会先对问题进行分层分析，然后逐步进行代入，从内层向外层推进，直到解决问题。
这种方法适合于那些需要逐步推进、逐层分析的问题，能够帮助我们依次解决问题的各个部分，最终得出整体的解答。
在数学七年级下册的学习中，我们会遇到许多需要整体代入法和洋葱代入法来解决的问题。
对于一个复杂的算术题，我们可以通过整体代入法将其分解成多个简单步骤，然后逐步代入求解；对于一个需要逐步推进的几何问题，我们可以通过洋葱代入法逐层进行分析，逐步得出最终的解答。
整体代入法和洋葱代入法都是非常实用的解题方法，它们能够帮助我们更深入地理解数学问题，提高解题的效率和准确性。
当我们遇到复杂的数学问题时，可以根据问题的性质和要求选择合适的代入方法，从而更好地解决问题。
通过学习整体代入法和洋葱代入法，我们也能培养自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
在今后的学习和工作中，这些能力和方法都将起到重要的作用，帮助我们更好地理解和解决各种问题。
在实际应用中，我个人认为整体代入法更适合用于解决复杂的算术题和函数问题，而洋葱代入法更适合用于解决几何问题和逻辑推理问题。
通过灵活运用这两种代入法，我们能更好地应对各种数学问题，提高解题的效率和准确性。
代入法是解决数学问题的一种重要方法，而整体代入法和洋葱代入法则是其中比较常见且实用的方法。
七年级数学培优专题：整体思想
目 录
• 整体思想概述 • 整体思想的基本概念 • 整体思想在解题中的应用 • 整体思想的培养与提高 • 整体思想在数学竞赛中的应用 • 总结与展望
01
整体思想概述
整体思想的定义
01
整体思想是指从整体的角度出发 ，将多个部分或要素视为一个整 体，对其进行全面、系统的分析 和处理。
促进知识整合
整体思想有助于学生将所 学知识进行整合，形成完 整的知识体系，加深对数 学本质的理解。
整体思想在数学中的应用
代数问题
在代数问题中，整体思想常用于因式 分解、方程组的求解等，通过将问题 看作一个整体，简化计算过程。
几何问题
函数问题
在函数问题中，整体思想常用于分析 函数的性质和图像，通过从整体角度 把握函数的规律，更好地理解函数的 本质。
03
整体思想在解题中的应 用
代数题中的应用
代数方程组的求解
通过将方程组视为一个整 体，利用消元法或代入法 求解，避免了逐一解每个 方程的繁琐过程。
代数式的化简
将复杂的代数式视为一个 整体，运用合并同类项、 提取公因式等技巧进行化 简，简化了解题过程。
代数式的变形
通过观察代数式的整体结 构，运用整体代换、整体 约简等方法，快速找到解 题思路。
06
总结与展望
总结整体思想的内容与意义
整体思想概述
整体思想是一种重要的数学思维方式 ，它强调从整体的角度看待问题，通 过全面分析、综合运用知识点，寻找 解题的突破口。
整体思想的意义
整体思想有助于培养学生的逻辑思维 、创新思维和问题解决能力，对于提 高学生的数学素养和应对复杂问题的 能力具有重要意义。
对未来学习的展望
整体代入法
“整体代入法”在数学求值中的妙用整体思想，就是在研究和解决相关数学识题时，经过研究问题的整体形式、整体构造、 整体特点， 进而对问题进行整体办理的解题方法． 从整体上去认识问题、思虑问题，经常能 化繁为简、 变难为易，同时又能培育学生思想的灵巧性、 矫捷性． 整体思想的主要表现形式 有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中 的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因 此，每年的中考取浮现了很多别具创意、 独到新奇的波及整体思想的问题， 特别在考察高层 次思想能力和创新意识方面拥有独到的作用．一．数与式中的整体思想( 一 ) 整式求值：246【例 1】 已知代数式xx)3x 2－ 4x+6 的值为 9，则 3 的值为 ( A ． 18 B ． 12 C ． 9 D． 7 相应练习：1. （ 2011 盐城， 4， 3 分）已知 a ﹣b=1 ，则代数式 2a ﹣ 2b ﹣3 的值是（） A. ﹣1B. 1C. ﹣ 5D . 5 2、 若代数式 4x 22x5 的值为 7，那么代数式 2x 2 x 1的值等于（）．A ． 2B ．3C ．－ 2D ．43、若 3a 2-a-2=0, 则 5+2a-6a 2=4、当 x=1 时，代数式 x 3+bx+7 的值为 4，则当 x= － l 时，代数式x 3+bx+7 的值为（）A ． 7B ． 10C ． 11D ． 12（二）分式求值：a 2 a 1 a 4例 2：先化简，再求值a22aa24a4a2，此中 a 知足 a2－ 2a －1=0．相应练习：1、当 时，求代数式 的值．2．先化简，再求值：a 2 4 1 2 ，此中 a 是方程 2x 2+6x+2=0 的根 a 2 4a 4 2 aa 2 2a3．已知 a 2 +2a=4，求的值．4. 已知 x 2－ 2x － 1=0 ，且 x<0 ，则=__________．5、已知 ，则代数式 的值为 _________．二、方程 ( 组 ) 与不等式（组）中的整体思想x 2y 4k 1 x y 3 ，则 k 的取值范围是【例 3】已知y k，且 02x2相应练习：1．假如 ( a 2+b 2) 2 － 2( a 2 +b 2) － 3=0，那么 a 2+b 2=___．2．用换元法解方程 (x 2+x) 2 +2(x 2+x) －1=0，若设 y=x 2+x ，则原方程可变形为( )A ． y 2+2y+1=0B ． y 2－ 2y+1=0 C． y 2+2y － 1=0 D ． y 2－ 2y － 1=03x ay 5 x 5 3、已知对于 x ， y 的二元一次方程组 by的解为y，那么对于 x ， y 的二元x 1163(x y) a(x y) 5一次方程组的解为为x y b( x y) 114．解方程2x 2 3x 42x 2 5 3x5、已知 是方程 一个根，求的值 .6、已知 m 是方程 x 2x 2 0 的一个实数根，求代数式 ( m2m)( m 2 1) 的值m1 22+x ﹣ 1=0 的两个根，则x 12+x 22=．7、 若 x ， x是方程 x8、已知对于 x 的方程 x 22( a 1)x a 2 7a 4 0 的两根为 x 1 、 x 2 ，且知足 x 1 x 23x 1 3x 22 0 .求 (1a 4 4 ) a 2的值。
整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档
整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及重要性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
数学中的整体思想
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
第07讲 专题3 一次方程(组)中整体思想的应用(解析版)七年级数学下册
第07讲专题3一次方程（组）中整体思想的应用类型一：不解方程（组）求式子的值类型二：利用整体代入法求方程组的解类型三：整体换元法求未知数的值类型一：不解方程（组）求式子的值1．已知x，y为二元一次方程组的解，则x﹣y＝1．【分析】两式相减即可得出答案．【解答】解：，②﹣①，得2x﹣2y＝2，则x﹣y＝1．故答案为：1．2．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（）A．3B．6C．﹣1D．﹣2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．故选：B．3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为2024．【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，∴原式＝﹣1+2025＝2024；故答案为：2024．4．已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为9．【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：2m+3n＝5，所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．故答案为：9．5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝4．【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，∴2m﹣3n＝2020．∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．故答案为：4．6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b的值为﹣1．【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论．【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，∴3a﹣2b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故选：A．8．已知x、y满足方程组，则x+y的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】直接把两式相加即可得出结论．【解答】解：，①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．故选：B．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（）A．9B．3C．﹣3D．﹣9【分析】②﹣①得：m+n＝3．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝3．故选：B．10．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（）A．1B．2C．﹣1D．0【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程组，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：A．类型二：利用整体代入法求方程组的解11．解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由①得x＝3y﹣1③，把③代入②，得6y﹣y＝10，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝5，∴．12．解方程组时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组．【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．【解答】解：，把①代入②得：3×12+5y＝26，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，解得x＝3，故原方程组的解是：．13．阅读以下材料：解方程组：；小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：（1）请你替小亮补全完整的解题过程；（2）请你用这种方法解方程组：．【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；（2）利用整体代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程组的解是：；（2），整理得：，把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x＝，故原方程组的解是：．14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，则方程组的解为．15．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝0，y＝1；利用整体代入思想，已知，则x2+4y2＝17．【分析】将x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；给2x2+xy+8y2＝36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，解得y＝﹣1，∴x＝0，故答案为：0，1；，②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，∴7x2+28y2＝119，∴7（x2+4y2）＝119，∴x2+4y2＝17，故答案为：17．16．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．请你解决以下问题（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组；（i）求xy的值；（ii）求出这个方程组的所有整数解．【分析】（1）把3x+5y看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．【解答】解：（1），将方程②变形：6x+10y+y＝35，即2（3x+5y）+y＝35③，把方程①代入③得：2×16+y＝35，解得y＝3，把y＝3代入方程①，得，所以方程组的解为；（2）（i）原方程组化为，将①代入方程②得：72+7xy＝51，∴xy＝﹣3；（ii）由（i）得xy＝﹣3，∵x与y是整数，∴或或或，由（i）可求得2x2+3y2＝21，∴和符合题意，故原方程组的所有整数解是或．类型三：整体换元法求未知数的值17．用换元法解方程组，如果，那么原方程组化为关于u、v的方程组是．【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可．【解答】解：已知，设＝u，＝v，那么原方程组化为：，故答案为：．18．解方程组．【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．【解答】解：原方程组可化为：，（2）×5+（1）得：46y＝46，y＝1，把y＝1代入（1）得：x＝7．∴．19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【解答】解：由题意知，，①+②，得：2x＝7，x＝3.5，①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，所以方程组的解为，故选：C．20．阅读材料，解答问题：材料：解方程组，我们可以设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．请用换元法解方程组：．【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组即可求解．【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再将a、b转化为，解得．21．阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，方程组变形得：，整理得：，①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，∴，解得：．22．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，解得，即，解得．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设，，∴原方程可以化为，用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程组的解为，即，解得，∴原方程组的解为；（2）解：设，则方程化为：，即，解得；（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，变形为，将方程②代入③得：，解得z＝2．。
初中数学整体思想——整体代入
整体思想——整体代入
整体的思想
用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等.这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.
整体代入
例题 已知x 2-5x+1=0，且x≠0，求441x x
+的值。
思路导航：由x 2-5x+1=0，先构造求出1x x +的值，然后整体代入441x x +变形的式子中求值即可。
答案：∵x 2-5x+1=0，且x≠0，
∴x 2+1=5x ， ∴15x x
+=， ∴24222422111()22x x x x x x ⎛⎫+=+⋅⋅+- ⎪⎝⎭
=222
1()2x x +- =22211(22)2x x x x
+⋅+-- =()22221()22522527x x ⎡⎤+--=--=⎢⎥⎣⎦。
点评：构造求出1x x +的值，搭建关于1x x
+的整体代入的模型，是解决本题的关键所在。
跟踪训练 1. （湖南衡阳中考）已知a +b =2，ab=1，则a 2b +ab 2的值为
2. （北京中考）已知0142=--x x ，求代数式2
2))(()32(y y x y x x --+--的值。
参考答案：
1. 2 解析：a 2b +ab 2=ab （a +b ）=2
2. 解：22))(()32(y y x y x x --+-- =22224129x x x y y -+-+-
=3x 2－12x ＋9
=3（x 2－4x ＋3）
∵0142=--x x
∴ x 2 －4x ＝1
∴原式 ＝1243)31(3=⨯=+⨯。
07 利用整体代入思想解题
点评：本题三次构造，然后用替换 ，逐渐靠近答案，难度升级 【难度】较难
10．已知是方程一个根，求的值． 【答案】2015 【解析】 试题分析：
把已知方程变形求出与，代入所求代数式，即可求解．
试题解析： 解：∵是方程一个根
∴ ∴，
【难度】较难
（整体加减） 11．已知，则 【答案】12 【解析】 试题分析： 已知因式分解得，而 ，故即可得解． 试题解析： 解：由 得
∴ 故选B． 【难度】较易
类型三 函数与图象中的整体思想
19．已知与成正比例 （1）试说明是的一次函数； （2）如果时，，时，，求与的函数关系式． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 试题分析： （1）我们把与都看成一个整体，设，得出 从而说明是的一次函数 （2）当我们把握两组数值代入解析式中后得到一个三元二次方程组， 显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把看作一个整体，就可以求 出，，从而求出与的函数关系式是，在这个问题中两次用到整体思想． 试题解析： 解：（1）∵与成正比例，
∴设 整理得 ∵是常数，且 ∴是的一次函数． （2）解：当时，；时， ，解得 这个函数的解析式
【难度】一般
类型四 几何与图形中的整体思想
（整体转换）
【例题9】如图，
．
【答案】 【解析】 试题分析：
由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性 质，我们将视为一个整体，那么应与△中外角相等，同理，分别与，相 等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了． 试题解析： 解：如图，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和
类型三 函数与图象中的整体思想
【例题8】已知和成正比例（其中、是常数） （1）求证：是的一次函数； （2）如果时，；时，，求这个函数的解析式． 【答案】
七年级数学整体代入思想
七年级数学整体代⼊思想整体代⼊思想有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，⽽是通过告诉⼀个代数式的值，且已知代数式中的字母⼜⽆法具体求出来，这时，我们应想到采⽤整体思想解决问题，⽤整体思想求值时，关键是如何确定整体。
下⾯举例说明如何⽤整体思想求代数式的值。
⼀、直接代⼊例1、如果5a b +=，那么（a +b ）2－4（a +b ）= ．解析：本题是直接代⼊求值的⼀个基本题型，a 、b 的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间都有（a b +），只要把式中的a b +的值代⼊到要求的式⼦中，即可得出结果5．（a +b ）2－4（a +b ）=52－4×5=5。
2.已知 3x=a, 3y=b, 那么3x+y= ________⼆、转化已知式后再代⼊例2、已知a 2－a －4=0，求a 2－2(a 2－a+3)－21(a 2－a －4)－a 的值. 解析:仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a 2－a ，可以将a 2－a －4=0转化为a 2－a=4，再把a 2－a 的值直接代⼊所求式即可。
a 2－2(a 2－a+3)－21(a 2－a －4)－a =a 2－a －2(a 2－a+3)－21(a 2－a －4) =(a 2－a)－2(a 2－a)－6－21(a 2－a)+2 =－23(a 2－a)－4. 所以当a 2－a=4时，原式=－23×4－4=－10. 三、转化所求式后再代⼊例3、若236x x -=，则262x x -= ．解析：这两个乍看起来好象没有什么关系的式⼦，其实却存在着⾮常紧密的内在联系，所求式是已知式的相反数的2倍．我们可作简单的变形：由236x x -=，可得236x x -=-，两边再乘以2，即得262x x -=－12．例4、2237x x ++的值为8，则2469x x +-= ．解析：将要求式进⾏转化，“凑”出与已知式相同的式⼦再代⼊求值，即由2469x x +-得22(37)23x x ++-=2×8－23=－7。
七年级整体代入求值知识点
七年级整体代入求值知识点初中数学知识点之七年级整体代入求值在初中数学的学习过程中，我们接触到了各种各样的知识点，其中也包括了整体代入求值这一知识点。
下面，我们将详细探讨七年级整体代入求值的相关内容。
1.概念解析整体代入求值是指将某一数值代入式子中计算的方法。
在数学中，我们常使用字母来代替数值，这样在处理不同的模型问题时，我们只需要将不同的数值代入到方程中，即可得到相应的结果。
那么，在实际使用中，我们如何进行整体代入求值呢？下面我们以一个简单的实例进行介绍。
假设现在有一个式子：5x + 2，要求将x=4代入该式中计算。
那么我们只需将x=4代入式子中，即可得到计算结果：5 x 4 + 2 = 22。
2.操作方法2.1、将变量代入对于一个给定的式子，我们可以将其当做一个模型，使用字母代替数值，从而得到一个通用的公式。
在实际运算中，我们可以通过将不同的数值代替字母，来求得相应答案。
比如对于5x+2这个式子，我们可以将其看作一个模型问题，只需要将x=4代入其中，就可以得到答案22。
2.2、使用计算器在实际计算中，我们可以通过使用计算器的功能，来实现快速求解问题的目的。
现有的计算器不仅可以进行基本的四则运算，还能够进行更为复杂的运算，如幂运算、三角函数等。
2.3、手写计算其实，手写计算也是一种非常有效的方法。
通过手工计算，我们不仅可以更好地理解问题，还可以提高自己的计算能力和数学思维能力。
但是，在进行手写计算时，一定要注意计算过程的规范性，并保持良好的心理素质，不要因为一些小错误而影响自己的情绪。
3.实际应用整体代入求值在我们的日常生活中也有广泛的应用。
比如，在计算商品价格时，我们需要根据不同的材料、规格和数量等情况，进行相应的计算。
只有在了解整体代入求值这一概念后，我们才能更好地掌握计算知识，从而提高自己的生活水平和工作能力。
4.总结整体代入求值是初中数学中的一个非常重要的知识点，需要我们在日常的学习过程中认真学习和掌握。
代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
整体代入法是解决数学问题的一种方法，它的核心思想是将问题中的变量用一个整体替代，然后通过整体的性质来解决问题。
具体来说，整体代入法一般包括以下几个步骤：
1. 将问题中的变量用一个整体替代，使问题简化。
例如，用一个未知数x来代表问题中的某个量。
2. 根据问题中的条件，建立方程或不等式，将整体和其他已知量进行关联。
通过解方程或不等式，得到整体的值。
3. 将整体的值代入原问题中，求出具体的答案。
举个例子来说明整体代入法的应用：
问题：某班共有x个学生，其中男生的人数是女生的3倍，男生人数比女生人数多15人。
求这个班级的学生人数。
解法：
1. 用x来代表班级的学生人数。
2. 根据问题中的条件，设男生人数为3x，女生人数为x。
根据题目中的陈述，可得方程3x = x + 15。
3. 解方程3x = x + 15，得到x = 15。
将x的值代入原问题中，
可知该班级共有15个学生。
整体代入法是一种简化问题的方法，通过将变量用一个整体替代，可以使问题更加明确和易于解决。
洋葱数学七年级下册可能会在应用问题的解决中介绍这种方法。
整体代入的数学思想
整体代入的数学思想在教学中的应用 G081217 张峰1整体与部分的辩证。
只有相对于部分所构成的整体而言，才是一个确定的部分，没有整体，也无所谓部分。
部分作为整体的组成，有时也可以当作一个整体。
在数学上，从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
所谓善于用“集成”的思想，譬如，航天飞机有无数多的元器件组成，某个元器件发生故障，把该元器件所在的集成板整体换掉。
整体代入在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法就是代入法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值．有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代人的技法经常用到。
例1.若3a2-a-2=0,则 5+2a-6a2= (江苏2009中考数学试题)解析：由3a2-a-2=0得-2=-3a2+a,等式两边都乘以2，-4=-6a2+2a,把2 a-6a2看作一个整体等于-4整体代入5+ 2a-6a2=1例2.已知 3 x=a, 3y=b, 那么3 x+y=解析：看已知条件单求x,y 不容易。
在看3x+y，可以根据同底数幂的乘法的逆运算写成3x ×3y ，把3x ,3y 分别看作一个整体，然后整体代入，得出ab.例3．212m -=，求34m +的值．解析：这道题给人的感觉是先移项得到2m =3, 求 m , 这里的m 是指数，我们没有学，不少学生都望而生畏，感到难不堪言，其实仔细观察要求式与已知式，是不难发现解决问题的方法的．由已知式212m -=，我们可以得到23m =，而34m +又可以看作是23(2)m +，它又可以转化为23(2)m +，所以本题结果是12．整体代入在方程组中应用解二元方程组时，通常是用代入消元法，由一个方程求出其中一个未知数的代数式，然后把这个代数式整体代入另一个方程中，求另一个未知数的解，然后再求另一个未知数；再一个方法是加减消元法，通过叠加叠减的方法求出未知数。
方程整体代入法
方程整体代入法方程整体代入法是数学中常用的一种解题方法，它通过将已知的条件整体代入方程中，从而得到未知数的解。
在数学问题中，我们经常会遇到需要求解方程的情况，方程整体代入法是一种比较简单且有效的解题方法。
方程整体代入法的基本思想是将已知的条件整体代入方程中，将方程中的未知数用已知量表示出来，从而得到一个只含已知量的等式，进而求出未知数的值。
这种方法的优点在于可以减少计算的步骤和复杂度，简化解题过程。
在解决实际问题中，方程整体代入法常常被用于求解线性方程组。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合，其中每个方程都是线性的。
利用方程整体代入法，我们可以将已知的条件整体代入方程组中的每一个方程，从而得到一个只含未知数的方程组。
然后，通过求解这个方程组，我们就可以得到未知数的值。
举个例子来说明方程整体代入法的应用。
假设我们有一个线性方程组：2x + 3y = 74x - 2y = 10我们希望求解出x和y的值。
可以通过方程整体代入法来解决这个问题。
首先，我们将第一个方程中的x用第二个方程中的表达式代替，得到：2(4x - 2y) + 3y = 7然后，我们将这个方程化简，得到一个只含有y的方程：8x - 4y + 3y = 78x - y = 7接下来，我们可以继续使用方程整体代入法，将已知条件整体代入这个方程中。
假设我们已知x=2，代入得到：8(2) - y = 716 - y = 7解这个简单的一元方程，我们可以得到y的值：y = 16 - 7y = 9我们将求得的y的值代入到第一个方程中，求得x的值：2x + 3(9) = 72x + 27 = 72x = -20x = -10所以，通过方程整体代入法，我们求解出了x和y的值，得到x=-10，y=9。
方程整体代入法在解决实际问题中具有广泛的应用。
无论是求解线性方程组还是其他类型的方程，方程整体代入法都可以帮助我们简化解题过程，快速求解出未知数的值。
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解：原式＝x3 ＋5x2 ＋4x－1＋x2 ＋3x－2x3 ＋3＋8－7x－6x2 ＋x3＝10.因为原式化简后不含 x 的项，所以不论 x 取何值，该 代数式的值恒不变．
5 5 解：(1)5×6＝5－6 n n (2)n× ＝n－ . n＋ 1 n＋ 1
.
专题三 含有绝对值符号的整式化简
若 x≥0，则|x|＝x；若 x≤0，则|x|＝－x.
【例 3】已知 a、b、c 在数轴上的对应点如图 2，化简 3a－2c |a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b＋c|＝____________.
4．计算 ab－(2ab－3a2b)的结果是( C )
A．3a2b＋3ab
C．3a2b－ab
B．－3a2b－ab
D．－3a2b＋3ab
5．对－{－[x－(y－z)]}去括号，结果是( B ) A．x＋y＋z
B．x－y＋z
D．x－y－z
C．－x＋y－z
6．某厂 1 月份的产量是 a 吨，2 月份的产量比 1 月份增加 2 倍，3 月份的产量增加到 2 月份的 2 倍，则该厂第一季度的产 量是( A ) A．10a 吨 B．9a 吨 C．7a 吨 D．15a 吨
7．使(ax2－2xy＋y2)－(－ax2＋bxy＋2y2)＝6x2－9xy＋cy2 成 立的 a、b、c 依次是( C )
A．3,－7,－1 C．3, 7,－1
B．－3, 7,－1 D．－3,－7,1
8．若 2x2－6x＋1＝0，则 6＋3x－x2＝________.
4x－2y ． 9．计算 x－[y－2x－(x－y)]的结果是________
专题二
用整式表示规律
【例 2】观察图 1 所示的图形(每个正方形的边长均为 1)和 相应的等式，探究其中的规律：
图1
(1)写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与
之对应的图示；
(2)猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式．
【分析】观察①②③④发现，等式左边第一个因数与第二 个因数的分子相等，都等于右边正方形的个数，第二个因数的 5 分母比分子大 1，故第五个等式的左边是 5×6；等式右边是等 5 式左边两个因数之差， 即 5－6； 将正方形的边长等分成 6 等份， 则阴影部分占 5 份．
10．已知(a＋2b)2＋|2b－1|＝0，求 ab－[2ab－3(ab－1)]的 值．
解：由已知得 a＋2b＝0,2b－1＝0， 1 ∴a＝－1，b＝2， 原式＝ab－(2ab－3ab＋3)＝ab－(－ab＋3) ＝ab＋ab－3＝2ab－3. 1 1 当 a＝－1，b＝2时，原式＝2×(－1)×2－3＝－4.
图2 【分析】观察数轴，得 a>0，a+b<0，c－a<0，b+c<0，所 以|a|－|a+b|+|c－a|+|b+c|＝a－[－(a+b)]+[－(c－a)]+[－(b+c)]＝ a+(a+b)－(c－a)－(b+c)＝a+a+b－c+a－b－c＝3a－2c.
1．下列说法中正确的是( D )
1 A.2不是单项式 C．x 的系数是 0
2n 4
b B.a是单项式 3x－4y D. 2 是整式
1 8 m－n 2．如果 3x y 和－3x y 是同类项，那么 m＝________ ， 8
4 n＝________.
5ab3c2 3．单项式－ 7 的系数是________，次数是________ ． 6
11．求一个多项式与 2x2－3x＋7 的差时，因误认为加上 2x2
－3x＋7，得答案 5x2－2x＋4.试求出这个问题的正确答案． 解：5x2－2x＋4－2(2x2－3x＋7)
＝5x2－2x＋4－4x2＋6x－14＝x2＋4x－10.
12．试说明不论 x 取何值，代数式(x3＋5x2＋4x－1)－ (－x2－3x＋2x3－3)＋(8－7x－6x2＋x3)的值恒不变．
章末热点考向专题
专题一
整体代入思想的应用
求代数式的值可利用整体代入法，对所求多项式进行适当
变形后，再将已知条件整体代入求值． 【例 1】已知代数式 x2＋x＋3 的值为 7，求代数式 2x2＋2x －3 的值． 【分析】两个代数式中都含有“x2＋x”，因此把“x2＋x”
看作一个整体代入求解．
解：由题意，得 x2＋x＋3＝7，所以 x2＋x＝4. 则 2(x2＋x)＝2x2＋2x＝8. 所以 2x2＋2x－3＝8－3＝5.