构造函数解导数综合题

构造辅助函数求解导数问题

对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧．技法一：“比较法”构造函数

[典例](2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x＞0时，x2＜e x．

[解](1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a．

因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，

所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2，

令f′(x)＝0，得x＝ln 2，

当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．

(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x．

由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0，

故g(x)在R上单调递增．

所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x．

[方法点拨]

在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的结论求解．[对点演练]

已知函数f(x)＝x

e x，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线，

求证：f(x)≤g(x)．

证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)． 令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1－x e x －1－x 0e 0x ＝

1－x e 0x －1－x 0

e x e 0

＋x x ．

设φ(x )＝(1－x )e 0x －(1－x 0)e x ， 则φ′(x )＝－e 0x －(1－x 0)e x ， ∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0，

∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0，

∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0，

∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )．

技法二：“拆分法”构造函数

[典例] 设函数f (x )＝ae x ln x ＋be

x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y

＝e (x －1)＋2．

(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1．

[解] (1)f ′(x )＝ae x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln x ＋1x ＋be x

－1

x －1x

2

(x ＞0)，

由于直线y ＝e (x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)， 所以⎩⎨⎧ f 1＝2，f ′1＝e ，即⎩⎨⎧ b ＝2，ae ＝e ，解得⎩⎨⎧

a ＝1，

b ＝2.

(2)证明：由(1)知f (x )＝e x ln x ＋2e

x －1

x (x ＞0)，

从而f (x )＞1等价于x ln x ＞xe －x －2

e ． 构造函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ， 所以当x ∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，1e 时，g ′(x )＜0，

当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

1e ，＋∞时，g ′(x )＞0，

故g (x )在⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，1e 上单调递减， 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1e ＝－1e ．

构造函数h (x )＝xe －x －2

e ， 则h ′(x )＝e －x (1－x )．

所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；

故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1

e ． 综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即

f (x )＞1． [方法点拨]

对于第(2)问“ae x ln x ＋be x －1x ＞1”的证明，若直接构造函数h (x )＝ae x ln x ＋be

x －1x

－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式

“ae x ln x ＋be x －1

x ＞1”合理拆分为“x ln x ＞xe －x －2

e ”，再分别对左右两边构造函数，

进而达到证明原不等式的目的．

[对点演练] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b

x

，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0．

(1)求a ，b 的值；

(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞

ln x

x －1

． 解：(1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋1x －ln x

x ＋12

－b

x 2(x ＞0)．