第二章投影法和三视图形成

3）
b
●k d
e
c
a X
a
b e ●k d
c
过平面内一个已知点作投影面的平行线求解
谢谢观赏
正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
投影面 垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
平行于某一投影 面而与其余两投 影面倾斜
垂直于某一投 影面
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
3.2.2.1 投影面的平行线
水平线
正平线
侧平线
实长
a Xa
b Z a b 实长 a Z b α γ
铅垂线
a
Z
正垂线 a c(d) Z d
b
b X
o
X
o
YW d
●
a(b) YH
c
YH
投影特性
侧垂线
c
e
f Z e(f)
YW X
o
YW
e
f YH
（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2）另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。
名称
铅垂线 （H）
立体图
正垂线 （V）
侧垂线 （W）
投影图
正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面
平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面：平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面：垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平面与投影面的两面角）分别用α、β、γ来表示。
投射线
投影体
A
C
B
a
c
b 投影面
投影
A
C
B
物体位置改变，投 影大小也改变
a
c
b 投影面
投影特性
中心投影法得到的投影一般不反映形体的真实大小。 度量性较差，作图复杂。
建筑物消隐 视图
1.3 平行投影法
投射线垂直于 投影面
投射线倾斜于 投影面
投影体 A
C
正投影
B
a
c
b 投影面
A
C
B
a
c
b 投影面
投影体 斜投影
局部三等
上
上
直观图
左
右后
前
下
下
后
左
右
前
三视图的方位关系
V面(主视图)——反映了形体的上、下、左、右方位关系； H面(俯视图)——反映了形体的左、右、前、后方位关系； W面(左视图)——反映了形体的上、下、前、后位置关系。
3.点、线、面和立体的投影 3.1 点的投影 3.1.1 点的三面投影
作图时，为了表示aax=a”az的 关系，常用过原点O的45°斜线或以 O为圆心的圆弧把点H面与W面投影关 系联系起来。
例：已知点A的两面投影，求点A的第三面投影
解题步骤： (1)过原点O作45°辅助线； (2)过a作平行OX轴的直线与45°
辅助线相交一点； (3) 过交点作⊥OYW的直线； (4) 该直线与过a’且平行OX轴的
正投影法 投影特性
斜投影法
能投准射确线、 互完 相整 平地 行表 且达 垂出 直形 于体 投的 影形 面状和结构，且作图简便，度 量性较好，故广泛用于工程图。
立投体射感线较互差相。平行且倾斜于投影面
1.4 正投影法
从属性 1.4.1 从属性
全等性
A C
ac
物体上的点的投 影仍在物体的投影上。
积聚性
3.3.3 一般位置平面的投影
一般位置平面和三个投影面既不垂 直也不平行，与三个投影面都倾斜，所 以，如用平面形(例如三角形)表示一般 位置平面，则它的三个投影均不是实形。
一般位置面在V、H、W面 的投影均为平面的类似形。
3.4 点在直线和平面上的投影 3.4.1 点在直线上的投影
如果点在直线上，则点的各投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投 影分割成和空间相同的比例。
直线相交于一点即为a” 。
空间两点的相对位置，有上下、前后、左右之分，规定Z坐标值大者为上， 小者为下；Y坐标值大者为前，小者为后；X坐标值大者为左，小者为右。
Z
az
V a’
A
b’
bz a’’
W
O b’’
X
bx ax
B
ay
X
a
by
b
Y H
a’ b’
bx
ax
a b’
Z
az
a’’
bz
b’’
aYW bYW
3.3.1 投影面平行面的投影
投影面平行面——平行于一个投影面，垂直于另外两 个投影面。 水平面 平行于H 面并垂直于V、W 面的平面； 正平面 平行于V 面并垂直于H 、 W 面的平面； 侧平面 平行于W 面并垂直于H、V 面的平面。
水平面的H 面 投影反映实形，V、 W 面投影积聚成垂 直于Z 轴的直线。
例：如图所示已知点M在直线CD上，求作它们的三面投影。
m m
3.4.1 点在平面上的投影
例：已知平面ABC 内一点K 的H 投影k,试求K 点的V 投影k。
1）
a X
a
b d
k
●
c
0 b
d ●k
c
b
2）
d
●k a e
c
XLeabharlann Baidu
0
bd
a e ●k
c
过平面内两已知点 作辅助线求解
过平面内一个已知点作平面内 已知直线的平行线求解
YW X
a
a
b
b
YW X a
Z a
β
α b YW
β
γ
b YH
ba YH
b
YH
实长
与H 面的夹角:α
投影特性 1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
与V 面的夹角:β 与W 面的夹角:γ
并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
名称 水平线 (∥H）
正平线 (∥V )
1.4.5 平行性
两平行直线的投影仍相互平行。
C
A
D
B
d
b
c
a
2.三视图的形成及投影规律 2.1 三视图的形成
你看到这个图形的时候能确定是下列哪个图形投影的吗？
一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个
方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
设立三个互相垂直的投影平面V、H、W，这三个平面将空间分为八个分角， 构成三面投影体系。 (GB4458.1–84)规定：采用第一角投影法.
第二章投影法和三视图形 成
1. 投影法基本知识 1.1 投影法
讨论：物体在光的照射下就会在墙上产生影子，墙上影子可以反映一个物体的 实际形状吗？
只能反映部分形状；只在特殊情况下反映真实尺寸 ；可以通过投影想象实际物体形状 问题：通过投影将三维物体转换成二维平面物体，但还不能完全反映真实情况。是否可 以通过投影解决二维平面反映三维物体？
正垂面V 面投影积聚成一 直线，该直线 与OX 轴和 OZ 轴的夹角分 别是平面 与H、W 面的倾角α、γ。 正垂面的H、W 面投影是 平面的类似形。
侧垂面W 面投影积聚成一 直线，该直线与OYW 轴和OZ 轴的夹角分别是平面与H、 V 面的倾角α、β。侧垂 面的V、H 面投影是平面的 类似形。
铅垂面H 面投影积聚成一 直线，该直线与OX 轴和OYH 轴的夹角分别是平面与V、 W 面的倾角β、γ。铅垂 面的V、W 面投影是平面的 类似形。
左视(产生W面投影) 主视(产生V面投影) 直观图
俯视图(H面)
W位置关系
俯视图(H面)在主视图(V面)的正下方；
左视图(W面)在主视图(V面)的正右方，这种位置关系，在一般情况下是不允 许变动的。
宽
高
高
长
宽
长
宽
宽
直观图
总体三等
➢V面、H面（主、俯视图）——长对正。 ➢V面、W面（主、左视图）——高平齐。 ➢H面、W面（俯、左视图）——宽相等。
类似性
B
b E
e
平行性
F f
1.4.2 全等性
若线段和平面图形平行于投影面,则其投影反映实长或实形。
1.4.3 积聚性 若线段和平面的图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或 一直线段。
1.4.4 类似性 类似性——若线段和平面图形倾斜于投影面，其投影仍为直线或与之相
似的平面图形（长度变短或面积变小）。
d’’
c’’(f’’)
在投影图上规定：不可见点的投影符号加注括号，如（d’）。
3.2 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。
直线的投影规定用粗实线绘制。
3.2.1 直线投影的普遍特性
➢从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，C∈AB ，
侧平线 (∥W )
立体图
投影图
投影特性
(1)ab∥OX, ab∥OYW (2)ab=AB ； (3)反映夹角、 大小。
(1)ab∥OX, ab∥OZ (2)ab =AB (3)反映夹角、 大小。
(1)ab∥OYH, ab∥OZ； (2)ab=AB (3)反映夹角、 大小。
3.2.2.2 投影面的垂直线
假定光可以穿透物体（物体的面是透明的，而物体的轮廓线是不透的），在影
子中，光直接照射到的轮廓画成实线，光线间接照射的线画成虚线，则经过抽象后的
“影子”称为投影。
画透视图
中心投影法
投影方法 画工程图样
平行投影法
正投影法 斜投影法
单面投影 多面投影
画工程图或轴测图 画斜轴测图
1.2 中心投影法 投射中心
水平投影用相应小写字母a表示；正面投影 用相应小写字母加一撇a'表示；侧面投影用相应 小写字母加二撇a''表示。
aa’⊥OX，a’az=aayh=XA a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA aax=a”az=YA
点的正面投影与水平投影的连线垂 直于OX轴： 点的正面投影与侧面投影的连线垂 直于OZ轴： 点的水平投影到OX轴的距离等于点 的侧面投影到OZ的距离。
则有c ∈ab ，c′∈a′b′，c″∈a″b″。 反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。
V
b
c a
B
b
a
c
C
X A
X
b
c a
b
ac
H
➢定比性
直线上的点分割线段之比等于其投影之比。
V
b
c a
B
b c a
C
X A
X
c
b
b
a
ac
H
3.2.2 直线投影的特性
特殊位 置直线
投影面 平行线
三面投影体系
Z高
V
主视图从前向后看
向后翻90度
正 面 投 影 面
X长
W
左
侧
o
视 图
从 左
面 投 影 面
向
右
看
H
水平投影面
俯视图从上往下看
向下翻90度
Y宽
直观图
V
Z
W
X
0
YW
H
YH
展开后三视图
展开投影面
(主视图)
(左视图)
(俯视图)
三视图
2.2 三视图的投影规律 俯视(产生H面投影)
主视图(V面) 左视图(W面)
侧平面的W 面投 影反映实形，V、H 面 投影积聚成垂直于X 轴的直线。
正平面的V 面投影 反映实形，H、W 面投影 积聚成垂直于Y 轴的直 线。
3.3.2 投影面垂直面的投影
投影面垂直面——垂直于一个投影面，倾斜于另外两 个投影面。 正垂面 垂直于V 面并倾斜于H、W 面的平面； 铅垂面 垂直于H 面并倾斜于V、W 面的平面； 侧垂面 垂直于W 面并倾斜于H、V 面的平面。
=AB
3.2.2.3 投影面的一般位置直线
各投影的长度均小于直线本身的实长。 直线的各投影均不平行于各投影轴。
直线与H、V 和W 三投 影面的夹角分别用α、 β、γ表示。
a b = AB cosα ab = AB cosβ ab=AB cosγ
3.3 平面的投影 投影面垂直面
平面的 投影
投影面平行面 一般位置平面
YW
aYH
bYH
YH
3.1.2 点的相对位置和重影点 若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条投射线上，因此，
这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于一点。
Z
V e’
c’(d’)
f’
DE C
d’’
O
F
X
d
f
e’(c)
H
e’’
W
c’’(f’’)
Y
e’
c’(d’)
f’
d
f e(c)
e’’
投影特性
(1) H 投影为一点， 有积聚性； (2) ab OX , abOYW ； (3) ab=ab
=AB
(1) V 影为一点， 有积聚性； (2) abOX ,
abOZ ； (3) ab=ab
=AB
(1) W 投影为一 点，有积聚性； (2) Ab OYH,
ab OZ ； (3) Ab =ab