6.2 平面向量的运算(第一课时)

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人教B版必修第二册6.2.3第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式学案

6.2.3平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式(教师独具内容)课程标准：1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.教学重点：1.了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式.教学难点：平面向量坐标运算的应用.知识点一平面向量的坐标(1)向量的垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b□01垂直，记作□02a⊥b.(2)正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为□03正交基底．(3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的□04正交分解．(4)坐标的定义①给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称□05(x，y)为向量a的坐标，记作□06a＝(x，y)．②如图，在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的□07终点对应的坐标就是向量a的坐标．(5)向量的坐标表示若OA →＝x e 1＋y e 2＝(x ，y )，则□08OA →的坐标为(x ，y )⇔□09点A 的坐标为(x ，y )．知识点二向量的运算与坐标的关系 (1)向量坐标的运算已知平面上的两个向量a ，b ，满足a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．①a ＝b ⇔□01x 1＝x 2且y 1＝y 2.即平面上两个向量相等的充要条件是□02它们的坐标对应相等．②a ＋b ＝□03(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． ③u a ＋v b ＝□04(ux 1＋v x 2，uy 1＋v y 2)． ④u a －v b ＝□05(ux 1－v x 2，uy 1－v y 2)． (2)向量的模向量a ＝(x ，y )，则|a |＝□06x 2＋y 2.知识点三两点之间的距离公式与中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点． (1)两点之间的距离公式 AB ＝|AB →|＝□01 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)中点坐标公式设线段AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝□02x 1＋x 22，y ＝□03y 1＋y 22.1．求平面上向量坐标的三种方法 (1)将向量用单位向量e 1，e 2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标； (3)用向量终点的坐标减去始点的坐标． 2．向量的坐标与点的坐标的区别(1)当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同． (2)(x ，y )在直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量．为了区分，我们通常说点(x ，y )，向量(x ，y )．(3)向量坐标前带“＝”而点的坐标前不带．注意：两个相等向量的始点和终点可以不同．3．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．若a ＝(a 1，a 2)，则将a 任意平移后其坐标仍为(a 1，a 2)．4．通过平面直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对也表示一个向量．也就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样就可以把许多几何问题代数化．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把一个向量分解成两个互相垂直的基向量，叫做向量的正交分解．( ) (2)AB→＝(－2，－1)即表示B (－2，－1)，A (0,0)．( ) (3)两个相等向量的始点和终点相同．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知AB→＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________．(2)在平面直角坐标系内，已知i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示为a ＝________.(3)若点A (3,5)，B (2,1)，则向量AB→的坐标为________．(4)若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是________．答案 (1)(－2－x,1－y ) (2)(1，－2) (3)(－1，－4) (4)(－3，－4)题型一平面向量的坐标表示例1 已知向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由平面向量基本定理，知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．[答案] A向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．由于向量的起点可以任意选取，如果向量是以坐标原点为始点的，则向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，则向量的坐标就与其终点的坐标不同．如图，分别用单位正交基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解由图可知a ＝AA 1→＋AA 2→＝2i ＋3j ，∴a ＝(2,3)．同理可得b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)， c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)， d ＝2i －3j ＝(2，－3).题型二平面向量的坐标运算例2 设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标． (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)3a ；(4)2a ＋5b .[解] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． (3)3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a ＋5b ＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．平面向量坐标的线性运算(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行．(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则|c |＝________； (2)已知向量a ＝(x 2－3x －4，x ＋3)，b ＝(0,2)，若a ＝b ，求x 的值．答案 (1)1853 (2)见解析解析 (1)由已知得3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43， ∴|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝1853. (2)根据“两向量相等，则其对应坐标相等”列方程组求解．∵a ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＝0，x ＋3＝2，解得x ＝－1.题型三两点间的距离公式与中点坐标公式例3 已知平面内的三个点A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)． (1)求AB→＋12AC →的坐标；(2)求AB ＋AC 的长．[解] (1)∵A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)，∴AB→＝(7－1,0＋2)＝(6,2)，AC →＝(－5－1,6＋2)＝(－6,8)．∴12AC →＝(－3,4)，∴AB →＋12AC →＝(6,2)＋(－3,4)＝(3,6)． (2)由两点间的距离公式得， AB ＝(7－1)2＋(0＋2)2＝36＋4＝210. AC ＝(－5－1)2＋(6＋2)2＝36＋64＝10.∴AB ＋AC ＝10＋210. 故AB ＋AC 的长为10＋210.(1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标．(2)求线段的长度时，注意利用两点间的距离公式求解．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，点M 为BC 的中点．(1)求点M 的坐标； (2)求BC ＋2BM 的长．解 (1)设C (x ，y )，则AC →＝(x －0，y －1)＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，所以C (－4，－2)，由中点坐标公式知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－42，2－22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.(2)由两点间的距离公式，可知 BC ＝(－4－3)2＋(－2－2)2＝49＋16＝65. BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＋(0－2)2＝494＋4＝652.∴BC ＋2BM ＝65＋65＝265. ∴BC ＋2BM 的长为265.题型四平面向量坐标运算的应用例4 已知平面上三个点的坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．[解] 设点D 的坐标为(x ，y )，(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，同(1)可得D (2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC 时，同(1)可得D (6,15)．综上所述，点D 可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．1.进行向量坐标运算的常见方法(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解．(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数．2．利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,2)，B (4,3)，C (3,6)，AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上； (2)试求实数λ为何值时，点P 在第三象限内．解设P (x ，y )，因为AP→＝AB →＋λAC →，所以OP →＝O A →＋AP →＝O A →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(4,3)＋λ(4,4)＝(4＋4λ，3＋4λ)．(1)因为点P 在第二、四象限的角平分线上，所以x ＝－y ，所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－78，所以当λ＝－78时，点P 在第二、四象限的角平分线上． (2)因为点P 在第三象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4λ<0，3＋4λ<0，解得λ<－1.所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．1．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝( ) A ．(0,5) B ．(0,1) C ．(2,5) D ．(2,1)答案 D解析 ∵AB →＝MB →－MA →＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．2．若向量a ＝(x －2,3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则x ＝________，y ＝________. 答案 3 1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.3．如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)解析解法一：将各向量向基底所在直线分解． a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)． b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)， c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．解法二：分别将向量a ，b ，c 的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a ＝(－4,0)，b ＝(0,6)，c ＝(－2，－5)．解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a ＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b ＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c ＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．4．设AB →＝(－2，－5)，B 点坐标为(－1,3)，则A 点坐标为________．答案 (1,8)解析设A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－23－y ＝－5，解得x ＝1，y ＝8，即A (1,8)．5．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，求a 和b . 解解法一：设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎨⎧m ＋p ＝2，n ＋q ＝－8，m －p ＝－8，n －q ＝16，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝4，p ＝5，q ＝－12.所以a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)．解法二：a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝(－3,4)，1b＝2[(a＋b)－(a－b)]＝(5，－12)．。

6.2平面向量的运算课件共40张PPT

故选 B.
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即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
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解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
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由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
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[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
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(1)+;
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解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
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(2)++;
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解:(2)++=++
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=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
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解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
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[备用例 2] 化简:--.
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解:法一 --=-=.
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《平面向量的应用》平面向量及其应用(第一课时余弦定理)

求解三角形内角等。
物理学中的应用
余弦定理在物理学中也有广泛的应用，例如在力学中计算力的合成与分解，或者在电磁学中计算电荷间的相互作用力。
工程学中的应用
在工程领域，余弦定理可以用于解决与三角形相关的测量和定位问题，例如在土地测绘中计算两点间的距离和方位角。
03
余弦定理在平面Leabharlann 量中的应用余弦定理的推导
基于向量点积的推导
利用平面向量的点积性质，可以推导余弦定理。通过计算两个向量的点积，并考虑三角形的几何关系，可以得到余弦定理的表达式。
基于几何的推导
可以通过在三角形中构造垂直线段，利用勾股定理和三角函数的基本关系，推导出余弦定理的公式。
余弦定理的应用场景
解三角形问题
余弦定理可以用于解决各种三角形相关的问题，例如给定两边和夹角求解三角形，或者给定三边
三角形，来判断这三个地点是否能构成一个三角形区域，进而实现区域
的面积计算和地形分析等功能。
04
例子与实战演练
基础例子解析
例子1
已知两向量的坐标，求它们的夹角。通过余弦定理，我们可以直接计算夹角的余弦值，进而求出夹角。这个例子帮助学生理解余弦定理的基本应用。
例子2
已知三角形的两边向量，求第三边的长度。利用余弦定理，可以计算第三边的平方，再求平方根得到第三边的长度。这个例子展示如何利用余弦定理解决三角形中的问题。
向量的模与方向
向量的模
向量的模，也称为向量的长度，表示向量的大小。对于平面向量a，其模|a|定义为从原点O到点M的距离，可以通过勾股定理计算得出。
向量的方向
向量的方向表示向量所指的方向。在平面直角坐标系中，向量a的方向可以由其对应的坐标(x,y)决定。当x>0，y>0时，向量a指向第一象限；当x<0，y>0时，向量a指向第二象限；当x<0，y<0时，向量a指向第三象限；当x>0，y<0时，向量a指向第四象限。

第6章 6.2 6.2.1 向量的加法运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

业
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17
·
情
课
境
堂
导
小
学
2．设 A1，A2，A3，…，An(n∈N，且 n≥3)是平面内的点，则一结
·
探
提
新知
般情况下，A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An 的运算结果是什么？
素养
合
作探究
课
[提示]
将三角形法则进行推广可知A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An
层作
疑
业
难
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13
·
情
课
境导学
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，D→A＋D→C＝________.
堂小结
·
探
提
新
素
知Leabharlann 养合作课
探
时
究释
D→B [由平行四边形法则可知D→A＋D→C＝D→B.]
分层作
疑
业
难
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·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
4．小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河提
情
课
境导
重力用C→G表示，则C→E＋C→F＝C→G.
堂小
学
结
·
探
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
提
新
素
知
∠FCG＝180°－120°＝60°.
养
合
作探究
∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3，

6.1.2平面向量的线性运算(1)

合作探究
是船的实际航行速度，
AD 2 2 AB AC 122 52 13
D
B
归纳小结
布置作业
CAD 6723 又，利用计算器求得《数学》（基础版
C
A
即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约 6723 ．
“终”同之差，前“起”到后 “起” 高等教育出版社
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五年制高职
《数学》（第2册）
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知识回眸情境引入
向量a与向量b线性运算的结果仍然是向量。向量加法有三角形法则和平行四边形法则. 当“一终为二起”时，选用三角形法则’ 当“起同”时选用平行四边形法则。向量的减法可以看作是向量a与向量b的负向量的和，“起同之差，后终到前终”，“终同之差，前起到后起”。
合作探究 A
归纳小结
500m 布置作业
《数学》（基础版
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
200m
B
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五年制高职
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问题1
什么是平面向量的加法？
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A，依
知识回眸情境引入
次作 =a, BC =b，则向量 AC 叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即 a＋b = AB+ BC = AC
N
归纳小结
布置作业
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3.计算：
知识回眸情境引入
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2019-2020学年人教B版必修第二册 6.2.3 第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式

6.2.3 第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b ＝( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(－1，－2) D ．(1,2)答案 A解析 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝( 12－32，12＋32 )＝(－1,2)．2．已知点M 的坐标为(4，－1)，且AB →＝(4，－1)，下列各项中正确的是( ) A ．点M 与点A 重合 B ．点M 与点B 重合 C ．点M 在AB→上 D ．OM →＝AB →(O 为坐标原点) 答案 D解析由于M (4，－1)，所以OM→＝(4，－1)＝AB →.3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 答案 B解析由已知可设c ＝x a ＋y b ⇒⎩⎨⎧ 4＝x －y ，2＝x ＋y ⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.所以c ＝3a －b .4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 答案 D解析由题意得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．故选D ．5．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅答案 C解析设a ∈M ∩N ，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎨⎧ 4μ－3λ＝3，5μ－4λ＝4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝0.所以a ＝(－2，－2)． 6．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则|b |＝( ) A ． 5 B ．2 5 C ． 3 D ．2 3 答案 A解析 b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)，故|b |＝1＋4＝ 5. 二、填空题7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB ＋2BC ＝________. 答案 5 2解析 AB ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，BC ＝(3－1)2＋(4－2)2＝22，故AB ＋2BC ＝2＋42＝5 2.8．已知O (0,0)和A (6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且OP P A ＝12，又点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ①若点P 在线段OA 上，则P A →＝2OP →，∴OA→－OP →＝2OP →，∴OP →＝13OA →＝(2,1)， ∴点P 的坐标为(2,1)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(4,2)． ②若点P 在线段AO 的延长线上．则P A →＝－2OP →，∴OA →－OP →＝－2OP →. ∴OP→＝－OA →＝(－6，－3)， ∴点P 的坐标是(－6，－3)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(－12，－6)．综上，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．9．如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC→＝__________；OD →＝________.答案 (1，－1) (1,1) (－1,1)解析根据题意，知点A 与点B 关于y 轴对称，与点C 关于原点对称，与点D 关于x 轴对称，又因OA→＝(－1，－1)，O 为坐标原点，∴A (－1，－1)，∴B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)， ∴OB →＝(1，－1)，OC →＝(1,1)，OD →＝(－1,1)．三、解答题10．已知a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )，b ＝( 2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3 )，若2a ＝3b ，试求x 与y 的值．解 ∵a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3， ∴由2a ＝3b 可得(6x ＋8y ，－4x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －9y ＋3，－9x ＋163y ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋8y ＝6x －9y ＋3，－4x －2y ＝－9x ＋163y ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3517，y ＝317.B 级：“四能”提升训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|O C →|＝2，若O C →＝λOA→＋μOB →，则λ＋μ＝________.答案 2 2解析因为|O C →|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又O C →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.2．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)，D (x ，y )． (1)求3AB→－2AC →＋BC →的坐标； (2)若A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．解 (1)∵AB→＝(1,3)，AC →＝(2,4)，BC →＝(1,1)，∴3AB→－2AC →＋BC →＝3(1,3)－2(2,4)＋(1,1)＝(0,2)． (2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD→＝BC →，又AD →＝(x －1，y ＋2)，∴⎩⎨⎧ x －1＝1，y ＋2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 的坐标为(2，－1)．。

2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．结论几何表示坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=，故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3 【解析】【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -，所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--，因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =，所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=，因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文））在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ．因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -．所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=，即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.．【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。

平面向量的运算(课时1 向量的加法运算)(同步课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

巩固训练
二、向量加法的实际应用
例2 河水自西向东流动的速度为，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为，求小船的实际航行速度.
[解析] 设，分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点作，，以，为邻边作矩形，连接，则，并且即为小船的实际航行速度.
D
[解析] 由知， ,所以，，，四点构成的四边形一定是平行四边形.
4.已知向量表示“向东航行 ”，表示“向南航行 ”，则表示__________________.
向东南航行
情境设置
合作探究·提素养
问题2：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
[答案] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法.
新知生成
1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量，，在平面内取任意一点，作，，则向量叫作与的和，记作，即 .这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量，规定
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
（1）三角形法则可以推广到个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第个向量的终点的向量；
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合；
续表
新知运用
一、求作向量的和
例1 （1）如图①，利用向量加法的三角形法则作出；
（2）如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出 .
[解析] （1）如图③，设，因为与有公共点，所以过点作，连接，即为 .

《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的加法运算)

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探究三向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km，则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)，又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
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1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.

平面向量的运算教案

平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【教学重难点】【教学目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．规律方法：（1）应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．（2）应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点；②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC→＋AB →；（2）DB →＋CD →＋BC →；（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →．解：（1）BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB→＝（BC→＋CD →）＋DB →＝BD →＋DB →＝0．（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB→＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AD →＋DF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0．规律方法：向量加法运算中化简的两种方法（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．规律方法：应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．三、课堂总结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC→图形法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB结论对角线OC →就是a 与b 的和图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、课堂检测1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（）A ．QP →B ．OQ→C ．SP→D ．SQ→解析：选B ．OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO →＋AC →；（2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【教学重难点】【教学目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）；（2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB →－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →．规律方法：向量减法运算的常用方法探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．规律方法：求作两个向量的差向量的两种思路（1）可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋（－b ）即可．（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB→＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ．规律方法：用已知向量表示其他向量的三个关注点（1）搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．（2）注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．（3）注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0．三、课堂总结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、课堂检测1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（）A ．CB →B ．BC →C ．CD →D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →．2．化简：AB →－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB→＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|AC →|＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|．又||AC →||≤|AB →－AC →|≤|AB →|＋|AC →|，3≤|AB →－AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【教学重难点】【教学目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究点1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j－－23b2b－a）．解：（1）①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b．②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c．a－3b＋13b－32a ＋74b－11 12b＝53a－1118b．（2）原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a1－1＋23＋＝－53a＋5b＝－5（3i＋2j）＋53（2i －j）5－103－＝－53i－5j．规律方法：向量线性运算的基本方法（1）类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB →，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2由于e 1与e 2－λ＝0，－1＝0，所以k ＝±1．规律方法：向量共线定理的应用（1）若b ＝λa （a ≠0），且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．（2）若b ＝λa （a ≠0），且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB →＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →．（1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN →＝MD →＋DA →＋AN→＝－12DC →－AD →＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0．所以2MN →＝DA →＋CB →，所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1．规律方法：用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法（2）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．三、课堂总结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、课堂检测1．1312（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（）A ．BO →B ．AO→C ．CO →D ．DO→解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2．又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【教学重难点】【教学目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．（2）①因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°，所以AD →·BC →＝|AD →||BC →|·cos0°＝3×3×1＝9．②因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°，所以AB →→＝|AB →||DA →|·cos120°＝6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →）＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7．规律方法：向量数量积的求法（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 规律方法：求向量的模的常见思路及方法（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则a与b的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a 与b的夹角为______．解析：（1）设a与b的夹角为θ，（a＋2b）·（a－3b）＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72，所以24cosθ＝36＋72－96＝12，所以cosθ＝1 2．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a与b的夹角为θ，由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝b2|a||b|．又因为|a|＝2|b|，所以cosθ＝|b|22|b|2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a，b是非零向量，当a＋t b（t∈R）的模取最小值时，求证：b⊥（a＋t b）．证明：因为|a＋t b|＝（a＋t b）2＝a2＋t2b2＋2t a·b＝|b|2t2＋2a·b t＋|a|2，所以当t＝－2a·b2|b|2＝－a·b|b|2时，|a＋t b|有最小值．此时b·（a＋t b）＝b·a＋t b2＝a·b b|2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5规律方法：求向量a 与b 夹角的思路（1）求向量a 与b 夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．（2）在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．三、课堂总结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM →＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θe ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．四、课堂检测1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为（）A．π6B．π4C．π3D．π2解析：选C．由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，所以cosθ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为（）A．－6B．6C．3D．－3解析：选B．因为c·d＝0，所以（2a＋3b）·（k a－4b）＝0，所以2k a2－8a·b＋3k a·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．解析：设a与b的夹角θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－123×5＝－45，所以a在b上的投影向量为|a|cosθ·e＝＝－125 e．答案：－12 5 e4．已知|a|＝1，|b|＝2．（1）若a∥b，求a·b；（2）若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；（3）若a－b与a垂直，求a与b的夹角．解：设向量a与b的夹角为θ．（1）当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝2；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－2．（2）|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋2，|a＋b|＝3＋2．（3）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，cosθ＝a·b|a||b|＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。

6.2.1向量的加法运算及其几何意义

如图：
| a b || a | - | b | (或 | b | - | a |);
且 | a b || a | + | b |;
| a | | b | | a b || a | + | b |;
(2)当a与b共线时， (ⅰ)当a与b同向时，如图：
| a b | = | a | + | b || a | - | b | (或 | b | - | a |); | a | | b | | a b | = | a | + | b |;
6.2.1向量加法运算及其几何意义
思考：
(1).某人从A地到B地,再从B地按原来的方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A地到B地,再从B地左转450方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
C A
B
这是物理学中从点A到点B,再从点B到点C的问题。
因此： AB BC AC
1、向量的加法的定义：
求两个向量和的运算叫向量的加法。
B C
a
b
A
口诀：首尾相接，首尾连 2.向量的加法的作法：三角形法则
(1)在平面内任取一点A (2)作 AB a, BC b
(3)则向量 AC a+b.
特别地：
方向相同 a b
A
B
C
AC a b
a0 0a a
练习2. 如图,已知a,b用向量加法的平行四边形法则作出a b
（1）
性质
(1) 交换律:a b b a
b ab b
a
(2) 结合律:(a b) c a (b c)
abc

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算同步课件新人教A版

【补偿训练】
在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
① A DA B=
.
② C D A C D O =
.
③ A B A D C D =
.
④ A C B A D A =
.
类型三向量加法的应用(逻辑推理、直观想象) 角度1 与平面几何知识综合应用【典例】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且 A O O C ， D O O B . 求证:四边形ABCD是平行四边形. 【思路导引】利用向量加法结合题目条件推证 A BD C .
【补偿训练】
1.在矩形ABCD中,| A B |=4,| B C |=2,则向量 A B A D A C 的长度等于 ( )
A.2 5
B.4 5
C.12
D.6
【解析】选B.因为 A B A D A C ，所以 A B A D A C 的长度为 A C 的模的2倍,
即为4 5 .
2.如图,已知▱ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点,求作:
A . O H B . O G C . F O D . E O
3.如图,已知向量a,b.
(1)用平行四边形法则作出向量a+b; (2)用三角形法则作出向量a+b.
【解题策略】 1.应用三角形法则应注意的问题使用三角形法则求两个向量的和时,应注意“首尾相连,起点指终点”,即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 2.应用平行四边形法则应注意的问题 (1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和. (2)基本步骤可简述为:共起点,两向量所在线段为邻边作平行四边形,找共起点的对角线对应的向量.

6.2平面向量的运算第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义

故答案为： AC
【点评】本题考查向量加法的运算法则，向量加法的几何意义，向量加法满足交换律．
三．解答题（共 1 小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量 AB与CD 是共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上；
（2）向量
3
AB
1
AC
44
B．
AD
1
AB
3
AC
44
C．
AD
2
AB
1
AC
D．
AD
1
AB
2
AC
33
33
【分析】可画出图形，根据 BD 2CD 即可得出 BD 2DC ，从而得出 AD AB 2( AC AD) ，
解出向量 AD 即可．
【解答】解：如图，
BD 2DC ；
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．向量的有关性质
（1）一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 a，b 方向相同时等号成立．
（2）在 ABC
中，
AB
BC
CA
0
.
（3）向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
10．化简 AB CD AC BD ．
11．化简 ( AB MB) (BO BC) OM ．
D．正方形
三．解答题（共 1 小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量 AB与CD 是共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上；
（2）向量
a与b平行,
则a,

向量的数乘运算(第1课时)(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

解：在□中， = + = + ， = − = − .
1

课堂练习
1. 任画一向量e ，分别求作向量a 4e ,b = 4e .
e
e
e
A
C
B
P
N
M
作法：在平面内任取一点A,作 AB e ,延长AB至C ,使BC 3 AB，则 AC 4e .
D.－2(a＋b)
→ 1
解析因为 M 是 BC 的中点，所以AM＝2(a＋b).
1.化简：
1
1
1
1
3
(1)3(6 + ) − 9( + 3 )；(2)2 [(3 + 2) − ( + 2 )] − 2(2 + 8 ).
解：(1)原式= 18 + 3 − 9 − 3 = 9；

)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
B
1
1
1
4
4
2
[原式＝6(2a＋8b)－3(4a－2b)＝3a＋3b－3a＋3b
＝－a＋2b．]
→
→
→
2.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于
1
A.2(a－b)
1
B.－2(a－b)
1
C.2(a＋b)
1
例5.计算：
(1)(−3) × 4；(2)3( + ) − 2( − ) − ；(3)(2 + 3 − ) − (3 − 2 + ).
解：(1)原式= (−3 × 4) = −12；

平面向量的坐标运算教学设计

平面向量的坐标运算（第一课时）教材分析与教法设计教学目标知识目标1、理解平面向量的坐标概念（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.2、掌握平面向量的坐标运算（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐标运算；（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.能力要求1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感态度设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.重点平面向量的坐标运算.难点理解向量坐标的意义.方法引导发现、合作探究.教具多媒体课件、实物投影仪、三角尺.教学过程应用四：课本P114练习2.应用五：以表格形式对练习2引申训练起点A终点B向量AB（2，3）（1，1）(3,－4)(－2,7)应用六：课本P113例三.变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.（教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题）学生口答，教师进行评价、拓展.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.例三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.归纳总结强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫.在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握.作业课本第114页第1、2、3题板书设计方案一：§5．4平面向量的坐标运算（一）一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、向量的坐标运算法则2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系三、例题例1例2例3方案二：一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、坐标运算法则2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系三、例题例1例2例3教学环节流程安排复习回顾情境设置向量的坐标表示向量的坐标运算跟踪练习跟踪练习巩固提高归纳总结探究及应用。

新人教A版高中数学必修二课件：6.2平面向量的运算—加法减法——课件

人民教育出版社A版必修一
二.向量的减法运算
2.向量的减法：求两个向量差的运算. a b 叫做 a, b 的差.

a b a b
a b 表示为由向量
33.向量减法的几何意义:
.已知a, b,根据减法的定义，如何
作出a b呢？ b 的终点指向向量a 的终点的向量
B
a
b
ab
→ →
BC，BD.
解：
CD AE c
BC AC AB b a
BD BC CD b a c
步骤：
1)找到未知向量所在的平行四边形或三角形；
2)按照平行四边形法则或三角形法则进行分解；
3)用已知表示未知.
人民教育出版社A版必修一
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，
律
二、思想方法
类比、数形结合、分类讨论
b
a
b
口诀：首同尾连，指向被减
C
O
A
a b
D
人民教育出版社A版必修一
例 1.化简下列各式：
→ → →
(1) AB－AD－DC;
DB DC CB
→ →
→
→
(2)(AB＋MB)＋(－OB－MO).
或 AB ( AD DC ) AB AC CB

AB MB OB MO AB MB MO OB AB OB OB AB
人民教育出版社A版必修一
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．

6.2.1向量基本定理教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

一、教材内容分析6.2.1平面向量基本定理本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 2 第六章第 2 节向量基本定理与向量的坐标的第一课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”。

平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。

定理实际上又是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，为学生后续学习向量坐标表示及空间向量基本定理打下基础。

定理的学习也提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标1、知识和能力：1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。

2、掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式3、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2、过程和方法：通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3、情感态度价值观目标：经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

三、学习者特征分析（1）本节课的授课对象是高一学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（2）学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运算有了初步的认知。

同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。

（3）学生有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.（4）让学生通过对课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高，所以这部分将作为本节课的重点内容四、教学重点、难点教学重点：（1）掌握判断基底的方法和用基底表示向量的方法；（2）掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式；教学难点：平面向量的基本定理探究以及理解；五、教学方法探究式，小组合作学习六、教学过程1共线向量基本定理【设计意图】知识的复习回顾不但巩固了上几节课所学，也给学生留下了思维空间，为本节课知识的学习和应用做好充分的铺垫，探究：小组讨论下列问题，然后交流分享成果。