6.2 平面向量的运算(第一课时)
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由于方向反转两次仍回到原来的方向，因
此 a和 a互为相反向量，于是 a a.
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.
课文精讲
➢ 向量减法的定义 由两个向量和的定义易知，
a a a a 0.
即任意向量与其相反向量的和是零向量.
这样，如果 a, b 互为相反向量，那么 a b, b a, a b 0.
课文精讲
➢ 导入 1.（重点我）们知道，数能进行运算，因为有了
运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也 能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理 背景和数的运算中得到启发，引进了向量的 运算.本节我们就来研究平面向量的运算， 探索其运算性质，体会向量运算的作用.
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
a，b，以OA，OB为邻边作□OACB，则以O为
起点的向量OC（OC是□OACB的对角线）就
是向量 a与b的和.我们把这种作两个向量和的
方法叫做向量加法的平行四边形法则.
B
C
口诀：共起点，共 点对角线为和.
ab b
Owenku.baidu.com
a
A
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
思考：向量加法的平行四边形法则与 三角形法则一致吗？为什么？
（1）两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量 求和，平行四边形法则只适用于两个 不共线的向量求和.
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
（2）当两个向量不共线时，两个法则是一
致的.如图所示，在□ABCD中，
AC AB AD (平行四边形法则)
又因为BC AD,
1.（重你点能）用a, b 表示向量AC, DB 吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我
们知道 AC a b.
同样，由向量的减法，知 D
C
DB AB AD a b.
b
A
a
B
典型例题
例2: 如图，在□ABCD中, AB a, AD b,
你能用 a, b表示向量AC, DB 吗？
D
C
b
向
量 向量加法的运算律 的
运 算
向量减法的定义
向量减法的几何意义
再见
A
a
B
方法总结：向量加法的平行四边形法则与向量减 法的三角形法则都需要满足“同起点”， 当起点不同时，应先平移到同一点.
易错易混点
1、错误使用向量的减法法则 例：如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三
个顶点A,B,C的向量分别为 r1 , r2 , r3 , 求OD
解：因为 OD OC CD,
所以 AC AB BC (三角形法则)
D
C
A
B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
对于零向量与任意向量 a， 我们规定 a 0 0 a a
课文精讲
例1: 如图，已知向量a，b,求作向量 a b.
1.（重点）
b
解: 作法1：在平面内任取一点O， a
作 OA a，AB b, 则 OB a b.
如图，某质点从点A经过点B到点C，这个
质点的位移如何表示？
位移 AC 可以看成是位移 AB与 BC
C
合成的.即位移的合成可以看作向量的
加法.
A B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A，作 AB a，BC b，
则向量 AC 叫做 a与b的和，记 A
O
aA
b
B
课文精讲
例1: 如图，已知向量a，b,求作向量 a b.
1.（重点）
b
解: 作法2：在平面内任取一点O， a
□ 以OA,OB为邻边作 OAa，OBb, OACB,
连接OC,则
Oa
A
OC OA OB a b. b
B
C
课文精讲
➢ 向量形式的三角不等式 一般地，我们有 a b a b , 当且仅当 a，b方向相同时等号成立.
该法则的画法是将两个向量的起点平移到 一个点(共起点)，然后连接两个终点(连终 点)，然后加上代表方向的箭头，方向指向 被减向量(向被减)，可简记为：共起点， 连终点，向被减. (4)向量减法的三角形法则也称为向量减法的 几何意义.
典型例题
例2: 如图，在□ABCD中, AB a, AD b,
平面向量的运算 （第一课时）
授课教师：赵强
学习目标
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平 面向量的加法、减法运算及其运算规律. （重点）
2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意 义.
温故知新
向量的实际背景与概念
平
面
向
量
向量的几何表示
的
概
念
相等向量与共线向量
既有大小又有方 向的量叫做向量
几何表示 向量的模 零向量 单位向量
的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
a b
OaA
b ab
B
口诀：共起点，连终点，向被减.
课文精讲
➢ 向量减法的几何意义 1.（重点）
(1)两个向量的差仍是一个向量. (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算，
也可以用作向量加法的方法作向量的减法.
课文精讲
➢ 向量减法的几何意义 1.（(3重)两点个）向量的减法运算法则是三角形法则，
课文精讲
➢ 向量减法的定义
向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的 差，即 a b a (b).
求两个向量差的运算叫做向量的减法. 我们看到，向量的减法可以转化为向量的 加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向 量的相反向量.
课文精讲
➢ 向量减法的几何意义 1.（重点）
a b 可以表示为从向量b 的终点指向 a
作 a b，即 a b AB BC AC .
C b
a
B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角
形法则.
C
口诀：首尾相接， 首指向尾为和.
b
A
a
B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义
如图，以同一点O为起点的两个已知向量
CD BA OA OB,
所以OD OC OA OB r3 r1 r2 .
D
C
A
r1
B
r2 r3
O
易错易混点
1、错误使用向量的减法法则 注意：
a b可以表示为从向量b 的终点指向a
的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 连终点，向被减.
本课小结
向量加法运算及其几何意义
平
面
向量形式的三角不等式
利用向量形式的三角不等式可以解决有 关向量的大小（模）的取值范围或最值问题， 但需注意验证等号成立的条件，即当 a，b 同 向时，a b a b .
课文精讲
➢ 向量加法的运算律 向量加法的交换律
ab ba
向量加法的结合律
a b c a b c
课文精讲
➢ 向量减法的定义
我们规定，与向量 a长度相等，方向相反 的向量，叫做a 的相反向量，记作 a.
此 a和 a互为相反向量，于是 a a.
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.
课文精讲
➢ 向量减法的定义 由两个向量和的定义易知，
a a a a 0.
即任意向量与其相反向量的和是零向量.
这样，如果 a, b 互为相反向量，那么 a b, b a, a b 0.
课文精讲
➢ 导入 1.（重点我）们知道，数能进行运算，因为有了
运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也 能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理 背景和数的运算中得到启发，引进了向量的 运算.本节我们就来研究平面向量的运算， 探索其运算性质，体会向量运算的作用.
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
a，b，以OA，OB为邻边作□OACB，则以O为
起点的向量OC（OC是□OACB的对角线）就
是向量 a与b的和.我们把这种作两个向量和的
方法叫做向量加法的平行四边形法则.
B
C
口诀：共起点，共 点对角线为和.
ab b
Owenku.baidu.com
a
A
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
思考：向量加法的平行四边形法则与 三角形法则一致吗？为什么？
（1）两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量 求和，平行四边形法则只适用于两个 不共线的向量求和.
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
（2）当两个向量不共线时，两个法则是一
致的.如图所示，在□ABCD中，
AC AB AD (平行四边形法则)
又因为BC AD,
1.（重你点能）用a, b 表示向量AC, DB 吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我
们知道 AC a b.
同样，由向量的减法，知 D
C
DB AB AD a b.
b
A
a
B
典型例题
例2: 如图，在□ABCD中, AB a, AD b,
你能用 a, b表示向量AC, DB 吗？
D
C
b
向
量 向量加法的运算律 的
运 算
向量减法的定义
向量减法的几何意义
再见
A
a
B
方法总结：向量加法的平行四边形法则与向量减 法的三角形法则都需要满足“同起点”， 当起点不同时，应先平移到同一点.
易错易混点
1、错误使用向量的减法法则 例：如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三
个顶点A,B,C的向量分别为 r1 , r2 , r3 , 求OD
解：因为 OD OC CD,
所以 AC AB BC (三角形法则)
D
C
A
B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
对于零向量与任意向量 a， 我们规定 a 0 0 a a
课文精讲
例1: 如图，已知向量a，b,求作向量 a b.
1.（重点）
b
解: 作法1：在平面内任取一点O， a
作 OA a，AB b, 则 OB a b.
如图，某质点从点A经过点B到点C，这个
质点的位移如何表示？
位移 AC 可以看成是位移 AB与 BC
C
合成的.即位移的合成可以看作向量的
加法.
A B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A，作 AB a，BC b，
则向量 AC 叫做 a与b的和，记 A
O
aA
b
B
课文精讲
例1: 如图，已知向量a，b,求作向量 a b.
1.（重点）
b
解: 作法2：在平面内任取一点O， a
□ 以OA,OB为邻边作 OAa，OBb, OACB,
连接OC,则
Oa
A
OC OA OB a b. b
B
C
课文精讲
➢ 向量形式的三角不等式 一般地，我们有 a b a b , 当且仅当 a，b方向相同时等号成立.
该法则的画法是将两个向量的起点平移到 一个点(共起点)，然后连接两个终点(连终 点)，然后加上代表方向的箭头，方向指向 被减向量(向被减)，可简记为：共起点， 连终点，向被减. (4)向量减法的三角形法则也称为向量减法的 几何意义.
典型例题
例2: 如图，在□ABCD中, AB a, AD b,
平面向量的运算 （第一课时）
授课教师：赵强
学习目标
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平 面向量的加法、减法运算及其运算规律. （重点）
2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意 义.
温故知新
向量的实际背景与概念
平
面
向
量
向量的几何表示
的
概
念
相等向量与共线向量
既有大小又有方 向的量叫做向量
几何表示 向量的模 零向量 单位向量
的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
a b
OaA
b ab
B
口诀：共起点，连终点，向被减.
课文精讲
➢ 向量减法的几何意义 1.（重点）
(1)两个向量的差仍是一个向量. (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算，
也可以用作向量加法的方法作向量的减法.
课文精讲
➢ 向量减法的几何意义 1.（(3重)两点个）向量的减法运算法则是三角形法则，
课文精讲
➢ 向量减法的定义
向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的 差，即 a b a (b).
求两个向量差的运算叫做向量的减法. 我们看到，向量的减法可以转化为向量的 加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向 量的相反向量.
课文精讲
➢ 向量减法的几何意义 1.（重点）
a b 可以表示为从向量b 的终点指向 a
作 a b，即 a b AB BC AC .
C b
a
B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义 1.（重点）
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角
形法则.
C
口诀：首尾相接， 首指向尾为和.
b
A
a
B
课文精讲
➢ 向量加法运算及其几何意义
如图，以同一点O为起点的两个已知向量
CD BA OA OB,
所以OD OC OA OB r3 r1 r2 .
D
C
A
r1
B
r2 r3
O
易错易混点
1、错误使用向量的减法法则 注意：
a b可以表示为从向量b 的终点指向a
的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 连终点，向被减.
本课小结
向量加法运算及其几何意义
平
面
向量形式的三角不等式
利用向量形式的三角不等式可以解决有 关向量的大小（模）的取值范围或最值问题， 但需注意验证等号成立的条件，即当 a，b 同 向时，a b a b .
课文精讲
➢ 向量加法的运算律 向量加法的交换律
ab ba
向量加法的结合律
a b c a b c
课文精讲
➢ 向量减法的定义
我们规定，与向量 a长度相等，方向相反 的向量，叫做a 的相反向量，记作 a.